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- 2021-11-12 发布
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2019年辽宁省葫芦岛市龙港区中考数学模拟试卷
一.选择题(满分21分,每小题3分)
1.的相反数是( )
A. B.﹣ C. D.﹣
2.若点A(a+1,b﹣2)在第二象限,则点B(﹣a,1﹣b)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OCB=40°,则∠A的大小为( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
4.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是( )
A.k≤5 B.k≤5,且k≠1 C.k<5,且k≠1 D.k<5
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则tanA的值是( )
A. B. C. D.
6.一次函数y=kx+b的图象如图,当x<0时,y的取值范围是( )
A.y>0 B.y<0 C.﹣1<y<0 D.y<﹣1
7.如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为H,沿AH和DH剪下,这样剪得的三角形中( )
A.AH=DH≠AD B.AH=DH=AD C.AH=AD≠DH D.AH≠DH≠AD
二.填空题(满分21分,每小题3分)
8.某天银川市的最低温度是﹣2℃,最高温度是13℃,这一天的温差是________℃.
9.在函数中,自变量x的取值范围是________.
10.因式分解:9a2﹣12a+4=____________.
11.如图,⊙O的半径为10cm,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于D,交⊙O于点C,且CD=4cm,弦AB的长为_________cm.
12.如图,A.B两地相距200km,一列火车从B地出发沿BC方向以120km/h的速度行驶,在行驶过程中,这列火车离A地的路程y(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系式是_____
13.如图,把正六边形各边按同一方向延长,使延长的线段与原正六边形的边长相等,顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形,重复上述过程,经过10次后,所得到的正六边形是原正六边形边长的_______倍.
14.已知圆柱的底面半径为2cm,母线长为3cm,则该圆柱的侧面展开图的面积为_______cm2.
三.解答题(共6小题,满分58分)
15.(8分)已知y是x的反比例函数,且当x=﹣2时,y=.
(1)求这个反比例函数解析式;
(2)分别求当x=3和x=﹣时函数y的值.
16.(8分)如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知AB⊥
BC于点B,底座BC的长为1米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=60°,点H在支架AF上,篮板底部支架EH∥BC,EF⊥EH于点E,已知AH长米,HF长米,HE长1米.
(1)求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数.
(2)求篮板底部点E到地面的距离.(结果保留根号)
17.(10分)已知关于x的方程:(2+k)x2+2kx+(k+1)=0.
(1)如果此方程只有一个实数根,求k的值;
(2)如果此方程有两个实数根,求k的取值范围;
(3)如果此方程无实数根,求k的取值范围.
18.(10分)在南京地铁二号线某路段铺轨工程中,先由甲工程队独做2天后,再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务.已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天.请你根据以上信息,就“工作量”或“工作时间”,提出一个用分式方程解决的问题,并写出解答过程.
19.(10分)已知,如图,CD为⊙O的直径,∠EOD=60°,AE交⊙O于点B,E,且AB=OC,求:(1)∠A的度数;
(2)∠AEO度数.
20.(12分)某兴趣小组对部分中小学生去年暑假看电视的时间进行了抽样调查,根据调查的数据绘制了频数、频率分布表和频数分布直方图(小时数取整数).
看电视时间
(小时)
0.5~20.5
20.5~40.5
40.5~60.5
60.5~80.5
80.5以上
合计
频数
20
30
15
10
100
频率
0.2
0.25
0.1
1
(1)此次调查的样本容量是多少?
(2)补全频数、频率分布表和频数分布直方图;
(3)请估计1200名中小学生大约有多少学生暑假期间看电视的时间会低于60小时.
四.解答题(共3小题,满分24分)
21.(7分)如图,已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0),C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D.
(1)求此二次函数解析式;
(2)连接DC.BC.DB,求证:△BCD是直角三角形;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
22.(8分)如图1至图5,⊙O均作无滑动滚动,⊙O1.⊙O2.⊙O3.⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置,⊙O的周长为c.
阅读理解:
(1)如图1,⊙O从⊙O1的位置出发,沿AB滚动到⊙O2的位置,当AB=c时,⊙O恰好自转1周;
(2)如图2,∠ABC相邻的补角是n°,⊙O在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滚动,在点B处,必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置,⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2=n°,⊙O在点B处自转周.
实践应用:
(1)在阅读理解的(1)中,若AB=2c,则⊙O自转_______-周;若AB=l,则⊙O自转 周.在阅读理解的(2)中,若∠ABC=120°,则⊙O在点B处自转_______周;若∠ABC=60°,则⊙O在点B处自转________周;
(2)如图3,∠ABC=90°,AB=BC=c.⊙O从⊙O1的位置出发,在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滚动到⊙O4的位置,⊙O自转_______周.
拓展联想:
(1)如图4,△ABC的周长为l,⊙O从与AB相切于点D的位置出发,在△ABC外部,按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB相切于点D的位置,⊙O自转了多少周?请说明理由;
(2)如图5,多边形的周长为l,⊙O从与某边相切于点D的位置出发,在多边形外部,按顺时针方向沿多边形滚动,又回到与该边相切于点D的位置,直接写出⊙O自转的周数.
23.(9分)全世界每年都有大量的土地被沙漠吞没,改造沙漠,保护土地资源已称为一项十分紧迫的任务.某地元有沙漠100万公顷,为了了解该地区沙漠面积的变化情况,有关部门进行了连续3年的观察,并将每年年底的观察结果坐了记录(如下表所示),然后根据这些数据描点、连线,绘成曲线图如图所示,发现其连续且成直线状.预计该地区的沙漠面积将继续按此趋势扩大.
观察时间x
该地区沙漠面积比原有面积增加的数量y
第一年底
0.2万公顷
第二年底
0.4万公顷
第三年底
0.6万公顷[来源:学科网ZXXK]
(1)如果不采取任何措施,那么到第m年底,该地区的沙漠面积将变为多少万公顷?[来源:学科网]
(2)如果在第5年底,采取植树造林等措施,每年改造0.8万公顷沙漠,那么到第几年底,该地区的沙漠面积能减少到95万公顷?
五.解答题(共3小题,满分16分)
24.(8分)如图,AB为⊙O的直径,点D为⊙O上的一点,在BD的延长线上取点C,使DC=BD,AC与⊙O交于点E,DF⊥AC于点F.求证:
(1)DF是⊙O的切线;
(2)DB2=CF•AB.
25.(8分)唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣将军饮马问题:
如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河旁边的P点饮
马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?
做法如下:如图1,从B出发向河岸引垂线,垂足为D,在AD的延长线上,取B关于河岸的对称点B′,连接AB′,与河岸线相交于P,则P点就是饮马的地方,将军只要从A出发,沿直线走到P,饮马之后,再由P沿直线走到B,所走的路程就是最短的.
(1)观察发现
再如图2,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,点E.F是底边AD与BC的中点,连接EF,在线段EF上找一点P,使BP+AP最短.
作点B关于EF的对称点,恰好与点C重合,连接AC交EF于一点,则这点就是所求的点P,故BP+AP的最小值为 .
(2)实践运用
如图3,已知⊙O的直径MN=1,点A在圆上,且∠AMN的度数为30°,点B是弧AN的中点,点P在直径MN上运动,求BP+AP的最小值.
(3)拓展迁移
如图4,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(﹣1,0)、C(0,﹣3)两点,与x轴交于另一点B.
①求这条抛物线所对应的函数关系式;
②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M,使△ACM周长最小,请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值.(结果保留根号)
26.如图,在某海域内有三个港口A.D.C.港口C在港口A北偏东60°方向上,港口D在港口A北偏西60°方向上.一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30°的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处,测得港口C在B处的南偏东75°方向上,此时发现船舱漏水,应立即向最近的港口停靠.
(1)试判断此时哪个港口离B处最近,说明理由,并求出最近距离.
(2)若海水以每小时48吨的速度渗入船内,当船舱渗入的海水总量超过75吨时,船将沉入海中.若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外,问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠,才能保证船在抵达港口前不会沉没(要求计算结果保留根号)?
参考答案[来源:学科网ZXXK]
一.选择题
1.解:的相反数是﹣.
故选:B.
2.解:∵点A(a+1,b﹣2)在第二象限,
∴a+1<0,b﹣2>0,
解得:a<﹣1,b>2,
则﹣a>1,1﹣b<﹣1,
故点B(﹣a,1﹣b)在第四象限.
故选:D.
3.解:∵OB=OC
∴∠BOC=180°﹣2∠OCB=100°,
∴由圆周角定理可知:∠A=∠BOC=50°
故选:B.
4.解:∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有实数根,
∴,
解得:k≤5且k≠1.
故选:B.
5.解:∵∠C=90°,AC=4,AB=5,
∴BC==3,
∴tanA==,
故选:C.
6.解:根据图象和数据可知,当x<0即图象在y轴左侧时,y的取值范围是y<﹣1.
故选:D.
7.解:由图形的对称性可知:AB=AH,CD=DH,
∵正方形ABCD,
∴AB=CD=AD,
∴AH=DH=AD.
故选:B.
二.填空题(共7小题,满分21分,每小题3分)
8.解:13﹣(﹣2)
=13+2
=15(℃).
故答案为:15.
9.解:根据题意,知,
解得:x≥4,
故答案为:x≥4.
10.解:9a2﹣12a+4=(3a﹣2)2.
11.解:连接OA,
∵OA=OC=10cm,CD=4cm,
∴OD=10﹣4=6cm,
在Rt△OAD中,有勾股定理得:AD==8cm,
∵OC⊥AB,OC过O,
∴AB=2AD=16cm.
故答案为16.
12.解:∵A.B两地相距200km,一列火车从B地出发沿BC方向以120km/h的速度行驶,
∴离A地的路程y(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系式是y=200+120t(t≥0).
故答案为:y=200+120t(t≥0).
13.
解:∵此六边形是正六边形,
∴∠1=180°﹣120°=60°,
∵AD=CD=BC,
∴△BCD为等边三角形,
∴BD=AC,
∴△ABC是直角三角形
又BC=AC,
∴∠2=30°,
∴AB=BC=CD,
同理可得,经过2次后,所得到的正六边形是原正六边形边长()2=3倍,
∴经过10次后,所得到的正六边形是原正六边形边长的()10=243倍.
故答案为:243.
14.解:圆柱沿一条母线剪开,所得到的侧面展开图是一个矩形,它的长是底面圆的周长,即4π,宽为母线长为3cm,
所以它的面积为12πcm2.
三.解答题(共6小题,满分58分)
15.解:(1)设反比例函数的解析式为y=(k 为常数且 k≠0),
将x=﹣2,y=代入y=,得 k=﹣1,
所以,所求函数解析式为y=﹣;
(2)当x=3时,y=﹣;当x=﹣时,y=3.
16.解:(1)在Rt△EFH中,cos∠FHE==,
∴∠FHE=45°,
答:篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°;
(2)延长FE交CB的延长线于M,过点A作AG⊥FM于G,过点H作HN⊥AG于N,
则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形,
∴GM=AB,HN=EG,
在Rt△ABC中,∵tan∠ACB=,
∴AB=BCtan60°=1×=,
∴GM=AB=,[来源:Z.xx.k.Com]
在Rt△ANH中,∠FAN=∠FHE=45°,
∴HN=AHsin45°=×=,
∴EM=EG+GM=+,
答:篮板底部点E到地面的距离是(+)米.
17.解:(1)当方程是一次方程时,方程只有一个实数根,
此时2+k=0,解得k=﹣2
当k=﹣2时,2k=﹣4≠0,
即方程只有一个实数根,k的为:k=﹣2时;
(2)若方程有两个实数根,需满足:
△=(2k)2﹣4(2+k)(k+1)≥0,且2+k≠0
解得:k≤﹣且k≠﹣2;
即方程有两个实数根,k的取值范围为:k≤﹣且k≠﹣2;
(3)当△<0时,方程无实数根,
即(2k)2﹣4(2+k)(k+1)<0,
解得:k>﹣.
即方程无实数根,k的取值范围为:k>﹣.
18.解:本题答案不惟一,下列解法供参考.
解法一问题:甲工程队单独完成这项任务需要多少天?(2分)
解:设甲工程队单独完成这项任务需要x天,则乙工程队单独完成这项任务需要(x+2)天.
根据题意,得(4分),
解得x1=4,x2=﹣1(舍去),
∴x=4(5分)
答:甲工程队单独完成这项任务需要4天.(6分)
解法二问题:乙工程队单独完成这项任务需要多少天?(2分)
解:设乙工程队单独完成这项任务需要x天,则乙工程队单独完成这项任务需要(x﹣2)天.
根据题意,得,(4分)
解得x1=6,x2=1(舍去),
∴x=6.(5分)
答:乙工程队单独完成这项任务需要6天.(6分)
19.解:(1)连接OB,
∵∠EOD=60°,
∵AB=OC,OC=OB=OE,
∴∠AOB=∠A,∠OBE=∠E,
∵∠OBE=∠A+∠AOB=2∠A,
∴∠E=2∠A,
∵∠EOD=∠A+∠E,
∴3∠A=60°,
∴∠A=20°;
(2)∵AB=OC=OB,
∴∠OBE=2∠A=40°,
∵OB=OE,
∴∠AEO=∠EBO=40°.
20.解:(1)由频率分布表可知,此次调查的样本容量是100;
(2)如图:
看电视时间
(小时)
0.5~20.5
20.5~40.5
40.5~60.5
60.5~80.5
80.5以上
合计
频数
20
25
30
15
10
100
频率
0.2
0.25
0.3
0.15
0.1
1
(3)1200×(0.2+0.25+0.3)=1200×=900,即1200名中小学生大约有900学生暑假期间看电视的时间会低于60小时.
四.解答题(共3小题,满分24分)
21.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),
∴根据题意,得,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)由y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4得,D点坐标为(1,4),
∴CD==,
BC==3,
BD==2,
∵CD2+BC2=()2+(3)2=20,BD2=(2)2=20,
∴CD2+BC2=BD2,
∴△BCD是直角三角形;
(3)存在.
y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1.
①若以CD为底边,则P1D=P1C,
设P1点坐标为(x,y),根据勾股定理可得P1C2=x2+(3﹣y)2,P1D2=(x﹣1)2+(4﹣y)2,
因此x2+(3﹣y)2=(x﹣1)2+(4﹣y)2,
即y=4﹣x.
又P1点(x,y)在抛物线上,
∴4﹣x=﹣x2+2x+3,
即x2﹣3x+1=0,
解得x1=,x2=<1,应舍去,
∴x=,
∴y=4﹣x=,
即点P1坐标为(,).
②若以CD为一腰,
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P2与点C关于直线x=1对称,
此时点P2坐标为(2,3).
∴符合条件的点P坐标为(,)或(2,3).
22.解:实践应用
(1)2;.;.
(2).
拓展联想
(1)∵△ABC的周长为l,
∴⊙O在三边上自转了周.
又∵三角形的外角和是360°,
∴在三个顶点处,⊙O自转了=1(周).
∴⊙O共自转了(+1)周.
(2)∵多边形外角和等于360°
∴所做运动和三角形的一样:(+1)周.
23.解:(1)设沙漠的面积与时间x的函数关系式为y=kx+b,由题意,得
,
解得:,
解得:y=0.2x+100
当x=m时,y=0.2m+100.
答:第m年底,该地区的沙漠面积将变为(0.2m+100)万公顷;
(2)当x=5时,y=0.2×5+100=101(万公顷).
设需要a年,该地区的沙漠面积能减少到95万公顷,由题意,得
101﹣0.8a=95,
解得:a=7.5.
答:需要7.5年,该地区的沙漠面积能减少到95万公顷.
五.解答题(共3小题,满分16分)
24.证明(1)如图1,连接OD,
∵OA=OB,BD=DC,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD,
∴DF是⊙O的切线;
(2)如图2,连接AD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴AD⊥BC,
又∵BD=DC,
∴AB=AC,
∵DF⊥AC,
∴∠DFC=90°,
∴∠DFC=∠ADC=90°,
又∵∠C=∠C,
∴△CDF∽△CAD,
∴,即:CD2=CF•AC.
又∵BD=CD,AB=AC,
∴DB2=CF•AB.
25.解:(1)在等腰梯形ABCD中,∵AD∥BC,且∠BAD=∠D=120°,
∴∠ABC=60°;
在△ADC中,AD=CD=2,∠D=120°,所以∠DAC=∠DCA=30°;
∴∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=120°﹣30°=90°,即△BAC为直角三角形;
在Rt△BAC中,∠ABC=60°,∠BCA=90°﹣60°=30°,AB=2,所以AC=AB•tan60°=2;
由于B.C关于直线EF对称,根据阅读资料可知BP+AP的最小值为线段AC的长,即2.
(2)如图(2),作点A关于直径MN的对称点C,连接BC,则BC与直径MN的交点为符合条件的点P,BC的长为BP+AP的最小值;
连接OA,则∠AON=2∠AMN=60°;
∵点B是的中点,
∴∠BON=∠AON=30°;
∵A.C关于直径MN对称,
∴=,则∠CON=∠AON=60°;
∴∠BOC=∠BON+∠CON=90°,又OC=OB=MN=,
在等腰Rt△BOC中,BC=OB=;
即:BP+AP的最小值为.
(3)①依题意,有:
,解得
∴抛物线的解析式:y=x2﹣2x﹣3;
②取点C关于抛物线对称轴x=1的对称点D,根据抛物线的对称性,得:D(2,﹣3);
连接AD,交抛物线的对称轴于点M,如图(3)﹣②;
设直线AD的解析式为y=kx+b,代入A(﹣1,0)、D(2,﹣3),得:
,解得
∴直线AD:y=﹣x﹣1,M(1,﹣2);
∴△ACM的周长最小值:lmin=AC+AD=+3.
26.解:(1)连接AC.AD.BC.BD,过B作BP⊥AC于点P.
由已知得∠BAD=90°,∠BAC=30°,AB=3×25=75(海里),
从而(海里).
∵港口C在B处的南偏东75°方向上,
∴∠CBP=45°.在等腰Rt△CBP中,(海里),
∴BC<AB.
∵△BAD是Rt△,
∴BD>AB.
综上,可得港口C离B点位置最近,为海里.
(2)设由B驶向港口C船的速度为每小时x海里,
则据题意有,
解不等式,得(海里).
答:此船应以速度至少不低于每小时海里,才能保证船在抵达港口前不会沉没.
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