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  • 2021-11-12 发布

2019年甘肃省陇南市中考数学试卷含答案

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‎2019年甘肃省陇南市中考数学试卷 一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)‎ 1. 下列四个几何体中,是三棱柱的为(  )‎ A. B. C. D. ‎ 2. 如图,数轴的单位长度为1,如果点A表示的数是-1,那么点B表示的数是(  )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ 3. 下列整数中,与‎10‎最接近的整数是(  )‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ 4. 华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片,7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数法表示为(  )‎ A. ‎7×‎‎10‎‎-7‎ B. ‎0.7×‎‎10‎‎-8‎ C. ‎7×‎‎10‎‎-8‎ D. ‎‎7×‎‎10‎‎-9‎ 5. 如图,将图形用放大镜放大,应该属于(  )‎ A. 平移变换 B. 相似变换 C. 旋转变换 D. 对称变换 ‎ 6. 如图,足球图片正中的黑色正五边形的内角和是(  )‎ A. ‎180‎‎∘‎ B. ‎360‎‎∘‎ C. ‎540‎‎∘‎ D. ‎720‎‎∘‎ ‎ 7. 不等式2x+9≥3(x+2)的解集是(  )‎ A. x≤3‎ B. x≤-3‎ C. x≥3‎ D. ‎x≥-3‎ 1. 下面的计算过程中,从哪一步开始出现错误(  ) ‎ A. ‎①‎ B. ‎②‎ C. ‎③‎ D. ‎‎④‎ 2. 如图,点A,B,S在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的‎2‎倍,则∠ASB的度数是(  )‎ A. ‎22.5‎‎∘‎ B. ‎30‎‎∘‎ C. ‎45‎‎∘‎ D. ‎60‎‎∘‎ ‎ 3. 如图①,在矩形ABCD中,AB<AD,对角线AC,BD相交于点O,动点P由点A出发,沿AB→BC→CD向点D运动.设点P的运动路程为x,△AOP的面积为y,y与x的函数关系图象如图②所示,则AD边的长为(  ) ‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ 二、填空题(本大题共8小题,共32.0分)‎ 4. 中国象棋是中华名族的文化瑰宝,因趣味性强,深受大众喜爱.如图,若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系,使“帅”位于点(0,-2),“马”位于点(4,-2),则“兵”位于点______. ‎ 5. 一个猜想是否正确,科学家们要经过反复的实验论证.下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据:‎ 实验者 德•摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 掷币次数 ‎6140‎ ‎4040‎ ‎10000‎ ‎36000‎ ‎80640‎ 出现“正面朝上”的次数 ‎3109‎ ‎2048‎ ‎4979‎ ‎18031‎ ‎39699‎ 频率 ‎0.506‎ ‎0.507‎ ‎0.498‎ ‎0.501‎ ‎0.492‎ 请根据以上数据,估计硬币出现“正面朝上”的概率为______(精确到0.1).‎ 1. 因式分解:xy2-4x=______.‎ 2. 关于x的一元二次方程x2+mx+1=0有两个相等的实数根,则m的取值为______.‎ 3. 将二次函数y=x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式为______.‎ 4. 把半径为1的圆分割成四段相等的弧,再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形,那么这个恒星图形的面积等于______.‎ 5. 定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k=______.‎ 6. 已知一列数a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,……,按照这个规律写下去,第9个数是______.‎ 三、计算题(本大题共1小题,共6.0分)‎ 7. 计算:(-2)2-|‎2‎-2|-2cos45°+(3-π)0 ‎ 四、解答题(本大题共9小题,共82.0分)‎ 8. 小甘到文具超市去买文具.请你根据如图中的对话信息,求中性笔和笔记本的单价分别是多少元? ‎ ‎ ‎ 1. 已知:在△ABC中,AB=AC. (1)求作:△ABC的外接圆.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) (2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4,BC=6,则S⊙O=______. ‎ ‎ ‎ 2. 图①是放置在水平面上的台灯,图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计),其中灯臂AC=40cm,灯罩CD=30cm,灯臂与底座构成的∠CAB=60°.CD可以绕点C上下调节一定的角度.使用发现:当CD与水平线所成的角为30°时,台灯光线最佳.现测得点D到桌面的距离为49.6cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳?(参考数据:‎3‎取1.73). ‎ ‎ ‎ 1. ‎2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行.世园会为满足大家的游览需求,倾情打造了4条各具特色的趣玩路线,分别是:A.“解密世园会”、B.“爱我家,爱园艺”、C.“园艺小清新之旅”和D.“快速车览之旅”.李欣和张帆都计划暑假去世园会,他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览,每条线路被选择的可能性相同. (1)李欣选择线路C.“园艺小清新之旅”的概率是多少? (2)用画树状图或列表的方法,求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率. ‎ 2. 为弘扬传统文化,某校开展了“传承经典文化,阅读经典名著”活动.为了解七、八年级学生(七、八年级各有600名学生)的阅读效果,该校举行了经典文化知识竞赛.现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行分析,过程如下: 收集数据: 七年级:79,85,73,80,75,76,87,70,75,94,75,79,81,71,75,80,86,59,83,77. 八年级:92,74,87,82,72,81,94,83,77,83,80,81,71,81,72,77,82,80,70,41. 整理数据:‎ ‎40≤x≤49‎ ‎50≤x≤59‎ ‎60≤x≤69‎ ‎70≤x≤79‎ ‎80≤x≤89‎ ‎90≤x≤100‎ 七年级 ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ a ‎7‎ ‎1‎ 八年级 ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎7‎ b ‎2‎ 分析数据:‎ 平均数 众数 中位数 七年级 ‎78‎ ‎75‎ c 八年级 ‎78‎ d ‎80.5‎ 应用数据: (1)由上表填空:a=______,b=______,c=______,d=______. (2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人? (3)你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好,请说明理由. ‎ 1. 如图,已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交于A(1,3),B(3,1)两点 (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)已知点P(a,0)(a>0),过点P作平行于y轴的直线,在第一象限内交一次函数y=-x+b的图象于点M,交反比例函数y=kx上的图象于点N.若PM>PN,结合函数图象直接写出a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 1. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D在BC边上,⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E. (1)求证:AC是⊙D的切线; (2)若CE=2‎3‎,求⊙D的半径.‎ ‎ ‎ 2. 阅读下面的例题及点拨,并解决问题: 例题:如图①,在等边△ABC中,M是BC边上一点(不含端点B,C),N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点,且AM=MN.求证:∠AMN=60°. 点拨:如图②,作∠CBE=60°,BE与NC的延长线相交于点E,得等边△BEC,连接EM.易证:△ABM≌△EBM(SAS),可得AM=EM,∠1=∠2;又AM=MN,则EM=MN,可得∠3=∠4;由∠3+∠1=∠4+∠5=60°,进一步可得∠1=∠2=∠5,又因为∠2+∠6=120°,所以∠5+∠6=120°,即:∠AMN=60°. 问题:如图③,在正方形A1B1C1D1中,M1是B1C1边上一点(不含端点B1,C1),N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,且A1M1=M1N1.求证:∠A1M1N1=90°. ‎ ‎ ‎ 1. 如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m. (1)求此抛物线的表达式; (2)过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标,若不存在,请说明理由; (3)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C 【解析】‎ 解:A、该几何体为四棱柱,不符合题意; B、该几何体为四棱锥,不符合题意; C、该几何体为三棱柱,符合题意; D、该几何体为圆柱,不符合题意. 故选:C. 分别判断各个几何体的形状,然后确定正确的选项即可. 考查了认识立体图形的知识,解题的关键是能够认识各个几何体,难度不大.‎ ‎2.【答案】D 【解析】‎ 解:∵数轴的单位长度为1,如果点A表示的数是-1, ∴点B表示的数是:3. 故选:D. 直接利用数轴结合A,B点位置进而得出答案. 此题主要考查了实数轴,正确应用数形结合分析是解题关键.‎ ‎3.【答案】A 【解析】‎ 解:∵32=9,42=16, ∴3<<4, 10与9的距离小于16与10的距离, ∴与最接近的是3. 故选:A. 由于9<10<16,于是<<,10与9的距离小于16与10的距离,可得答案. 本题考查了无理数的估算,解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.‎ ‎4.【答案】D 【解析】‎ 解:0.000000007=7×10-9; 故选:D. 由科学记数法知0.000000007=7×10-9; ‎ 本题考查科学记数法;熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键.‎ ‎5.【答案】B 【解析】‎ 解:根据相似图形的定义知,用放大镜将图形放大,属于图形的形状相同,大小不相同,所以属于相似变换. 故选:B. 根据放大镜成像的特点,结合各变换的特点即可得出答案. 本题考查的是相似形的识别,关键要联系图形,根据相似图形的定义得出.‎ ‎6.【答案】C 【解析】‎ 解:黑色正五边形的内角和为:(5-2)×180°=540°, 故选:C. 根据多边形内角和公式(n-2)×180°即可求出结果. 本题考查了多边形的内角和公式,解题关键是牢记多边形的内角和公式.‎ ‎7.【答案】A 【解析】‎ 解:去括号,得2x+9≥3x+6, 移项,合并得-x≥-3 系数化为1,得x≤3; 故选:A. 先去括号,然后移项、合并同类项,再系数化为1即可. 本题考查了解简单不等式的能力,解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错. 解不等式要依据不等式的基本性质,在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变;在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.‎ ‎8.【答案】B 【解析】‎ 解:- =- = ‎ ‎=. 故从第②步开始出现错误. 故选:B. 直接利用分式的加减运算法则计算得出答案. 此题主要考查了分式的加减运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.‎ ‎9.【答案】C 【解析】‎ 解:设圆心为O,连接OA、OB,如图, ∵弦AB的长度等于圆半径的倍, 即AB=OA, ∴OA2+OB2=AB2, ∴△OAB为等腰直角三角形,∠AOB=90°, ∴∠ASB=∠AOB=45°. 故选:C. 设圆心为0,连接OA、OB,如图,先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°,然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数. 本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.‎ ‎10.【答案】B 【解析】‎ 解:当P点在AB上运动时,△AOP面积逐渐增大,当P点到达B点时,△AOP面积最大为3. ∴AB•=3,即AB•BC=12. 当P点在BC上运动时,△AOP面积逐渐减小,当P点到达C点时,△AOP面积为0,此时结合图象可知P点运动路径长为7, ∴AB+BC=7. 则BC=7-AB,代入AB•BC=12,得AB2-7AB+12=0,解得AB=4或3, 因为AB<AD,即AB<BC, 所以AB=3,BC=4. 故选:B. 当P点在AB上运动时,△AOP面积逐渐增大,当P点到达B点时,结合图象可得△AOP面积最大为3,得到AB与BC的积为12;当P点在BC上运动时,△AOP面积逐渐减小,当P点到达C点时,△AOP面积为0,此时结合图象可知P点运动路径长为7,得到AB与BC的和为7,构造关于AB的一元二方程可求解. ‎ 本题主要考查动点问题的函数图象,解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程,找到分界点极值,结合图象得到相关线段的具体数值.‎ ‎11.【答案】(-1,1) 【解析】‎ 解:如图所示:可得原点位置,则“兵”位于(-1,1). 故答案为:(-1,1). 直接利用“帅”位于点(0,-2),可得原点的位置,进而得出“兵”的坐标. 本题考查了直角坐标系、点的坐标,解题的关键是确定坐标系的原点的位置.‎ ‎12.【答案】0.5 【解析】‎ 解:因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动, 所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5. 故答案为0.5. 由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动,则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率. 本题考查了利用频率估计概率:大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值,随实验次数的增多,值越来越精确.‎ ‎13.【答案】x(y+2)(y-2) 【解析】‎ 解:xy2-4x, =x(y2-4), =x(y+2)(y-2). 先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式,熟记公式是解题的关键,难点在于要进行二次因式分解.‎ ‎14.【答案】4 【解析】‎ 解: 由题意,△=b2-4ac=()2-4=0 得m=4 故答案为4 要使方程有两个相等的实数根,即△=b2-4ac=0,则利用根的判别式即可求得一次项的系数. 此题主要考查一元二次方程的根的判别式,利用一元二次方程根的判别式(△=b2-4ac)可以判断方程的根的情况:一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的实数根;②当△=0 时,方程有两个相等的实数根;③当△<0  时,方程无实数根,但有2个共轭复根.上述结论反过来也成立.‎ ‎15.【答案】y=(x-2)2+1 【解析】‎ 解:y=x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+1, 所以,y=(x-2)2+1. 故答案为:y=(x-2)2+1. 利用配方法整理即可得解. 本题考查了二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数); (2)顶点式:y=a(x-h)2+k; (3)交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2).‎ ‎16.【答案】4-π 【解析】‎ 解:如图: 新的正方形的边长为1+1=2, ∴恒星的面积=2×2-π=4-π. 故答案为4-π. 恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积,依此列式计算即可. ‎ 本题考查了扇形面积的计算,关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积.‎ ‎17.【答案】‎8‎‎5‎或‎1‎‎4‎ 【解析】‎ 解: ①当∠A为顶角时,等腰三角形两底角的度数为:=50° ∴特征值k== ②当∠A为底角时,顶角的度数为:180°-80°-80°=20° ∴特征值k== 综上所述,特征值k为或 故答案为或 可知等腰三角形的两底角相等,则可求得底角的度数.从而可求解 本题主要考查等腰三角形的性质,熟记等腰三角形的性质是解题的关键,要注意到本题中,已知∠A的底数,要进行判断是底角或顶角,以免造成答案的遗漏.‎ ‎18.【答案】13a+21b 【解析】‎ 解:由题意知第7个数是5a+8b,第8个数是8a+13b,第9个数是13a+21b, 故答案为:13a+21b. 由题意得出从第3个数开始,每个数均为前两个数的和,从而得出答案. 本题主要考查数字的变化规律,解题的关键是得出从第3个数开始,每个数均为前两个数的和的规律.‎ ‎19.【答案】解:(-2)2-|‎2‎-2|-2cos45°+(3-π)0, =4-(2-‎2‎)-2×‎2‎‎2‎+1, =4-2+‎2‎-‎2‎+1, =3. 【解析】‎ ‎ 先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可. 本题考查的是实数的运算,熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键.‎ ‎20.【答案】解:设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元,根据题意可得: ‎12x+20y=144‎‎12y+20x=112‎, 解得:y=6‎x=2‎, 答:中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元. 【解析】‎ ‎ 根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案. 此题主要考查了二元一次方程组的应用,正确得出等量关系是解题关键.‎ ‎21.【答案】25π 【解析】‎ 解:(1)如图⊙O即为所求. (2)设线段BC的垂直平分线交BC于点E. 由题意OE=4,BE=EC=3, 在Rt△OBE中,OB==5, ∴S圆O=π•52=25π. 故答案为25π. (1)作线段AB,BC的垂直平分线,两线交于点O,以O为圆心,OB为半径作⊙O,⊙O即为所求. (2)在Rt△OBE中,利用勾股定理求出OB即可解决问题. 本题考查作图-复杂作图,等腰三角形的性质,三角形的外接圆与外心等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.‎ ‎22.【答案】解:如图,作CE⊥AB于E,DH⊥AB于H,CF⊥DH于F. ∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°, ∴四边形CEHF是矩形, ∴CE=FH, 在Rt△ACE中,∵AC=40cm,∠A=60°, ∴CE=AC•sin60°=34.6(cm), ∴FH=CE=34.6(cm) ∵DH=49.6cm, ∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15(cm), 在Rt△CDF中,sin∠DCF=DFCD=‎15‎‎30‎=‎1‎‎2‎, ∴∠DCF=30°, ∴此时台灯光线为最佳. 【解析】‎ ‎ 如图,作CE⊥AB于E,DH⊥AB于H,CF⊥DH于F.解直角三角形求出∠DCF即可判断. 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎23.【答案】解:(1)在这四条线路任选一条,每条被选中的可能性相同, ∴在四条线路中,李欣选择线路C.“园艺小清新之旅”的概率是‎1‎‎4‎; (2)画树状图分析如下: 共有16种等可能的结果,李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种, ∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为‎4‎‎16‎=‎1‎‎4‎. 【解析】‎ ‎ (1)由概率公式即可得出结果; (2)画出树状图,共有16种等可能的结果,李欣和张帆恰好选择同一线路游 览的结果有4种,由概率公式即可得出结果. 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎24.【答案】11   10   78   81 【解析】‎ 解:(1)由题意知a=11,b=10, 将七年级成绩重新排列为:59,70,71,73,75,75,75,75,76,77,79,79,80,80,81,83,85,86,87,94, ∴其中位数c==78, 八年级成绩的众数d=81, 故答案为:11,10,78,81; (2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90(人); (3)八年级的总体水平较好, ∵七、八年级的平均成绩相等,而八年级的中位数大于七年级的中位数, ∴八年级得分高的人数相对较多, ∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好(答案不唯一,合理即可). (1)根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得; (2)利用样本估计总体思想求解可得; (3)答案不唯一,合理均可. 本题考查了众数、中位数以及平均数,掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键.‎ ‎25.【答案】解:(1)∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交于A(1,3),B(3,1)两点, ∴3=k‎1‎,3=-1+b, ∴k=3,b=4, ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=‎3‎x,y=-x+4; (2)由图象可得:当1<a<3时,PM>PN. 【解析】‎ ‎ (1)利用待定系数法即可求得; ‎ ‎(2)根据图象可解. 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,待定系数法求解析式,利用函数图象性质解决问题是本题的关键.‎ ‎26.【答案】(1)证明:连接AD, ∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°, ∵AD=BD, ∴∠BAD=∠B=30°, ∴∠ADC=60°, ∴∠DAC=180°-60°-30°=90°, ∴AC是⊙D的切线; (2)解:连接AE, ∵AD=DE,∠ADE=60°, ∴△ADE是等边三角形, ∴AE=DE,∠AED=60°, ∴∠EAC=∠AED-∠C=30°, ∴∠EAC=∠C, ∴AE=CE=2‎3‎, ∴⊙D的半径AD=2‎3‎. 【解析】‎ ‎ (1)连接AD,根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°,∠BAD=∠B=30°,求得∠ADC=60°,根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-60°-30°=90°,于是得到AC是⊙D的切线; (2)连接AE,推出△ADE是等边三角形,得到AE=DE,∠AED=60°,求得∠EAC=∠AED-∠C=30°,得到AE=CE=2,于是得到结论. 本题考查了切线的判定和性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.‎ ‎27.【答案】解:延长A1B1至E,使EB1=A1B1,连接EM1C、EC1,如图所示: 则EB1=B1C1,∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1, ∴△EB1C1是等腰直角三角形, ∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°, ∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点, ∴∠M1C1N1=90°+45°=135°, ∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°, ∴E、C1、N1,三点共线, ‎ 在△A1B1M1和△EB1M1中,A‎1‎B‎1‎‎=EB‎1‎‎∠A‎1‎B‎1‎M‎1‎=∠EB‎1‎M‎1‎B‎1‎M‎1‎‎=‎B‎1‎M‎1‎, ∴△A1B1M1≌△EB1M1(SAS), ∴A1M1=EM1,∠1=∠2, ∵A1M1=M1N1, ∴EM1=M1N1, ∴∠3=∠4, ∵∠2+∠3=45°,∠4+∠5=45°, ∴∠1=∠2=∠5, ∵∠1+∠6=90°, ∴∠5+∠6=90°, ∴∠A1M1N1=180°-90°=90°. 【解析】‎ ‎ 延长A1B1至E,使EB1=A1B1,连接EM1C、EC1,则EB1=B1C1,∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1,得出△EB1C1是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1=∠B1C1E=45°,证出∠B1C1E+∠M1C1N1=180°,得出E、C1、N1,三点共线,由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1=EM1,∠1=∠2,得出EM1=M1N1,由等腰三角形的性质得出∠3=∠4,证出∠1=∠2=∠5,得出∠5+∠6=90°,即可得出结论. 此题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识;本题综合性强,熟练掌握正方形的性质,通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键.‎ ‎28.【答案】解:(1)由二次函数交点式表达式得:y=a(x+3)(x-4)=a(x2-x-12), 即:-12a=4,解得:a=-‎1‎‎3‎, 则抛物线的表达式为y=-‎1‎‎3‎x2+‎1‎‎3‎x+4; (2)存在,理由: 点A、B、C的坐标分别为(-3,0)、(4,0)、(0,4), 则AC=5,AB=7,BC=4‎2‎,∠OAB=∠OBA=45°, 将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:y=-x+4…①, 同理可得直线AC的表达式为:y=‎4‎‎3‎x+4, 设直线AC的中点为M(-‎3‎‎2‎,4),过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为-‎3‎‎4‎, ‎ 同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为:y=-‎3‎‎4‎x+‎7‎‎8‎…②, ①当AC=AQ时,如图1, 则AC=AQ=5, 设:QM=MB=n,则AM=7-n, 由勾股定理得:(7-n)2+n2=25,解得:n=3或4(舍去4), 故点Q(1,3); ②当AC=CQ时,如图1, CQ=5,则BQ=BC-CQ=4‎2‎-5, 则QM=MB=‎8-5‎‎2‎‎2‎, 故点Q(‎5‎‎2‎‎2‎,‎8-5‎‎2‎‎2‎); ③当CQ=AQ时, 联立①②并解得:x=‎25‎‎2‎(舍去); 故点Q的坐标为:Q(1,3)或(‎5‎‎2‎‎2‎,‎8-5‎‎2‎‎2‎); (3)设点P(m,-‎1‎‎3‎m2+‎1‎‎3‎m+4),则点Q(m,-m+4), ∵OB=OC,∴∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN, PN=PQsin∠PQN=‎2‎‎2‎(-‎1‎‎3‎m2+‎1‎‎3‎m+4+m-4)=-‎2‎‎6‎m2+‎7‎‎2‎‎6‎m, ∵-‎2‎‎6‎<0,∴PN有最大值, 当m=‎7‎‎2‎时,PN的最大值为:‎49‎‎2‎‎24‎. 【解析】‎ ‎ (1)由二次函数交点式表达式,即可求解; (2)分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三种情况,分别求解即可; (3)由PN=PQsin∠PQN=(-m2+m+4+m-4)即可求解. 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综 合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.‎