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  • 2021-11-12 发布

中考九年级数学学练测91圆的有关性质

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第九单元 圆 圆的有关性质 1 . [2017· 广州 ] 如图 29 - 1 ,在 ⊙ O 中, AB 是直径, CD 是弦, AB ⊥ CD ,垂足为 E ,连结 CO , AD ,∠ BAD = 20° ,则下列说法中正确的是 (    ) A . AD = 2 OB B . CE = EO C .∠ OCE = 40° D .∠ BOC = 2∠ BAD 小题热身 D 图 29 - 1 2 .在圆内接四边形 ABCD 中,已知 ∠ A = 70° ,则 ∠ C = (    ) A . 20° B . 30° C . 70° D . 110° D 3 . [2017· 眉山 ] 如图 29 - 2 , AB 是 ⊙ O 的弦,半径 OC ⊥ AB 于点 D ,且 AB = 8 cm , DC = 2 cm ,则 OC = ___cm. 图 29 - 2 5 第 3 题答图 4 . [2017· 重庆 A 卷 ] 如图 29 - 3 , BC 是 ⊙ O 的直径,点 A 在圆上,连结 AO , AC ,∠ AOB = 64° ,则 ∠ ACB = ____ . 【 解析 】 ∵ AO = OC ,∴∠ ACB = ∠ OAC ,∵∠ AOB = 64° ,∴∠ ACB +∠ OAC = 64° ,∴∠ ACB = 64°÷2 = 32°. 图 29 - 3 32 ° 一、必知 8 知识点 1 . 圆的有关概念 定义:在同一平面内,线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 P 所经过的封闭曲线叫做圆,定点 O 叫做 _____ ,线段 OP 叫做 __________ . 圆的集合定义:圆是到定点的距离等于 _____ 的点的集合. 考点管理 圆心 圆的半径 定长 圆的有关概念:连结圆上任意两点的线段叫做 ____ ;经过圆心的弦叫做 _____ ;圆上任意两点间的部分叫做 ____ ;大于半圆的弧叫做 _____ ;小于半圆的弧叫做 _____ ;圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做 ____ . 2 . 点和圆的位置关系 如果圆的半径是 r ,点到圆心的距离为 d ,那么: (1) 点在圆外 ⇔____ ; (2) 点在圆上 ⇔_____ ; (3) 点在圆内 ⇔____ . 弦 直径 弧 优弧 劣弧 半圆 d > r d = r d < r 3 . 确定圆的条件 确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定 ____ 个圆. 三角形的外接圆:经过三角形各个顶点的圆; 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心,三角形叫做圆的内接三角形. 一 【 智慧锦囊 】 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,锐角三角形的外心在三角形的 _____ ,直角三角形的外心是 _______________ _______ ,钝角三角形的外心在三角形的 _____ . 内部 直角三角形斜边 外部 的中点 4 . 圆的对称性 圆既是一个轴对称图形又是一个 _____ 对称图形,圆还具有旋转不变性. 5 . 垂径定理及其推论 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的 ____ . 推论: (1) 平分弦 ( 非直径 ) 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2) 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 中心 弧 【 智慧锦囊 】 用垂径定理进行计算或证明时,常常连结半径或作出弦心距,构造出直角三角形求解 . 6 . 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 _____ ,所对的弦 _____ . 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等. 7 . 圆周角 圆周角:顶点在圆上,它的两边都和圆相交的角; 圆周角定理:圆周角的度数等于它所对的弧上圆心角度数的 _____ . 相等 相等 一半 推论: (1) 半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是 ____ 角; (2)90° 的圆周角所对的弦是 _____ ; (3) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧 _____ . 8 . 圆内接四边形 圆内接四边形:如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上,那么这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆. 性质:圆内接四边形的对角互补. 直 直径 相等 二、必会 2 方法 1 . 添加辅助线 (1) 有关弦的问题,常作其弦心距,构造直角三角形,如图 29 - 4 ; (2) 有关直径的问题,常作直径所对的圆周角,如图 29 - 5. 图 29 - 4 图 29 - 5 2 . 分类讨论 在圆中,常涉及到分类讨论,如一条弦所对的弧有优弧和劣弧两种,则其所对的圆周角不一定相等;另外,有关于弦的问题也需要分类讨论,如有两条弦时,需要分在圆心同侧还是异侧等.此类问题是中考的热点. 点与圆的位置关系 [2018· 中考预测 ] 如图 29 - 6 ,在 Rt △ ABC 中,∠ ACB = 90° , AC = 3 , BC = 4 , CP , CM 分别是 AB 上的高线和中线, 如果 ⊙ A 是以点 A 为圆心,半径长为 2 的圆, 那么下列判断正确的是 (    ) C 图 29 - 6 A .点 P , M 均在 ⊙ A 内 B .点 P , M 均在 ⊙ A 外 C .点 P 在 ⊙ A 内,点 M 在 ⊙ A 外 D .点 P 在 ⊙ A 外,点 M 在 ⊙ A 内 【 点悟 】  点与圆的位置关系的判定,根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小作出判断. [2017· 枣庄 ] 如图 29 - 7 ,在网格 ( 每个小正方形的边长均为 1) 中选取 9 个格点 ( 格线的交点称为格点 ) .如果以 A 为圆心, r 为半径画圆,选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内,则 r 的取值范围为 (    ) B 图 29 - 7 变式跟进答图 圆心角、弧、弦之间的关系 [2016· 舟山 ] 把一张圆形纸片按如图 29 - 8 的方式折叠两次后展开 ( 图中的虚线表示折痕 ) ,则的度数是 (    ) A . 120 ° B . 135 ° C . 150 ° D . 165 ° 图 29 - 8 C 例 2 答图 【 点悟 】   (1) 在同圆 ( 或等圆 ) 中,圆心角 ( 或圆周角 ) 、弧、弦、弦心距中只要有一组量相等,则其他对应的各组量也分别相等.利用这个性质可以将问题互相转化,达到求解或证明的目的; (2) 注意圆中的隐含条件:半径相等; (3) 注意分类讨论思想的应用. 1 .如图 29 - 9 ,圆心角 ∠ AOB = 20° ,将旋转 n ° 得到,则的度数是 _____ 度. 20 图 29 - 9 2 .如图 29 - 10 , A , B 是 ⊙ O 上的两点,∠ AOB = 120° , C 是的中点. (1) 求证: AB 平分 ∠ OAC ; (2) 延长 OA 至点 P 使得 OA = AP ,连结 PC ,若 ⊙ O 的半径 R = 1 ,求 PC 的长. 图 29 - 10 变式跟进 2 答 图 【 解析 】 (1) 证得等边三角形 AOC 和等边三角形 OBC ,推出 OA = OB = BC = AC ; (2) 求出 AC = OA = AP ,∠ PCO = 90° ,∠ P = 30°. 解 : (1) 证明:如答图,连结 OC . ∵∠ AOB = 120° , C 是的中点, ∴∠ AOC = ∠ BOC = 60° , ∵ OA = OC ,∴△ ACO 是等边三角形, ∴ OA = AC . 同理, OB = BC , ∴ OA = AC = BC = OB . ∴四边形 AOBC 是菱形, ∴ AB 平分 ∠ OAC ; (2) 由 (1) 知 OA = AC ,又 ∵ OA = AP ,∴ AP = AC , ∵∠ PAC = 180° - ∠ OAC = 120° , ∴∠ P = ∠ ACP = 30° ,∴∠ PCO = 90° , 垂径定理及其推论 [2017· 金华 ] 如图 29 - 11 ,在半径为 13 cm 的圆形铁片上切下一块高为 8 cm 的弓形铁片,则弓形弦 AB 的长为 (    ) A . 10 cm B . 16 cm C . 24 cm D . 26 cm C 图 29 - 11 1 .一条排水管的截面如图 29 - 12 所示,已知 排水管的半径 OA = 1 m ,水面宽 AB = 1.2 m , 某天下雨后,水管水面上升了 0.2 m ,则此时 排水管水面宽 CD 等于 ____m. 【 解析 】 如答图,连结 OC ,作 OE ⊥ AB , 垂足为 E ,与 CD 交于 F 点, OA = 1 m , EA = 0.6 m , 根据勾股定理,得 OE = 0.8 m , EF = 0.2 m , 则 OF = 0.6 m ,在 △ OCF 中, OF = 0.6 m , OC = 1 m ,得 CF = 0.8 m ,∴ CD = 1.6 m ,故答案为 1.6 m. 图 29 - 12 变式跟进 1 答图 1.6 2 .赵州桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约 1 400 年,历经无数次洪水冲击和多次地震却安然无恙.如图 29 - 13 ,若桥跨度 AB 约为 40 m ,主拱高 CD 约 10 m ,则桥弧 AB 所在圆的半径 R = ______m. 25 图 29 - 13 3 . [2016· 绍兴 ] 如图 29 - 14① ,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,如图 ② 是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为 A , B , AB = 40 cm ,脸盆的最低点 C 到 AB 的距离为 10 cm ,则该脸盆的半径为 ______cm. 25 图 29 - 14 【 解析 】 如答图,设圆的圆心为 O ,连结 OA , OC , OC 与 AB 交于点 D ,设 ⊙ O 半径为 R ,在 Rt △ AOD 中利用勾股定理即可解决问题. 如答图,设圆的圆心为 O ,连结 OA , OC , OC 与 AB 交于点 D ,设 ⊙ O 半径为 R , 在 Rt △ AOD 中,∵∠ ADO = 90° , ∴ OA 2 = OD 2 + AD 2 , ∴ R 2 = 20 2 + ( R - 10) 2 , 解得 R = 25 ,脸盆的半径为 25 cm. 变式跟进 3 答图 【 点悟 】  在已知直径与弦垂直的问题中,常连结半径构造直角三角形,其中斜边为圆的半径,两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离,进而运用勾股定理来计算. 圆周角定理及其推论 [2017· 台州 ] 如图 29 - 15 ,已知等腰直 角三角形 ABC ,点 P 是斜边 BC 上一点 ( 不 与 B , C 重合 ) , PE 是 △ ABP 的外接圆 ⊙ O 的直径. (1) 求证: △ APE 是等腰直角三角形; (2) 若 ⊙ O 的直径为 2 ,求 PC 2 + PB 2 的值. 图 29 - 15 解 : (1) 证明: ∵ AB = AC ,∠ BAC = 90° , ∴∠ C = ∠ ABC = 45° , ∴∠ AEP = ∠ ABP = 45° , ∵ PE 是直径,∴∠ PAE = 90° , ∴∠ APE = ∠ AEP = 45° , ∴ AP = AE ,∴△ APE 是等腰直角三角形; (2)∵∠ PAB + ∠ BAE = ∠ PAE = 90° , ∠ PAB + ∠ CAP = ∠ CAB = 90° , ∴∠ BAE = ∠ CAP , ∴△ BAE ≌△ CAP ( SAS ) ,∴ PC = EB ,∵ PE 为 ⊙ O 直径,∴∠ PBE = 90° , ∴ PE 2 = PB 2 + BE 2 , ∴ PC 2 + PB 2 = PE 2 = 4. 1 . [2017· 绍兴 ] 如图 29 - 16 ,一块含 45° 角的 直角三角板,它的一个锐角顶点 A 在 ⊙ O 上,边 AB , AC 分别与 ⊙ O 交于点 D , E , 则 ∠ DOE 的度数为 ______ . 图 29 - 16 90 ° 2 .如图 29 - 17 ,⊙ O 的半径为 1 , A , P , B , C 是 ⊙ O 上的四个点,∠ APC = ∠ CPB = 60°. (1) 判断 △ ABC 的形状,并说明理由; (2) 试探究线段 PA , PB , PC 之间的数量关系,并证明你的结论. 图 29 - 17 备用图 【 解析 】 (1) 利用圆周角定理,可得 ∠ BAC = ∠ CPB ,∠ ABC = ∠ APC ,而 ∠ APC = ∠ CPB = 60° ,∴∠ BAC = ∠ ABC = 60° ,从而可判断 △ ABC 的形状; (2) 如答图,在 PC 上截取 PD = AP ,则 △ APD 是等边三角形,然后证明 △ APB ≌△ ADC ,得出 BP = CD . 从而得到 PA , AB , PC 的数量关系. ∴∠ BAC = ∠ CPB ,∠ ABC = ∠ APC , 又 ∵ ∠ APC = ∠ CPB = 60° ,∴∠ ABC = ∠ BAC = 60° ,∴△ ABC 为等边三角形; (2) PC = PA + PB . 证明:如答图,在 PC 上截取 PD = AP ,连 结 AD . ∵∠ APC = 60° ,∴△ APD 是等边三角形, ∴ AD = AP = PD ,∠ ADP = 60° , 即 ∠ ADC = 120°. 又 ∵∠ APB = ∠ APC + ∠ BPC = 120° , ∴∠ ADC = ∠ APB , 变式跟进 2 答图 【 点悟 】   (1) 由圆周角与圆心角的关系可知:圆周角定理是建立在圆心角的基础上的,有了圆周角定理,就多了一种证明角相等关系或倍分关系的方法; (2) 直径所对圆周角为直角,反之亦成立,在圆的有关证明和计算中要创造条件,灵活运用,使问题简单化. 必明 3 易错点 1 .弦和弧的两个端点都在圆上,但弦是线段,弧是曲线. 2 .直径是圆中最长的弦,半径不是弦;半圆不是直径. 3 .应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时,前提条件是 “ 在同圆或等圆中 ” ,它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转化方法.如果没有 “ 在同圆或等圆中 ” 这个前提条件,在应用时推出的结论是错误的. 圆的计算中谨防漏解 [ 襄阳中考 ] 圆的半径为 13 cm ,两弦 AB ∥ CD , AB = 24 cm , CD = 10 cm ,则两弦 AB , CD 的距离是 (    ) A . 7 cm       B . 17 cm C . 12 cm       D . 7 cm 或 17 cm 【 错解 】 如答图 ① ,过点 O 作 OE ⊥ CD ,交 AB 于 F ,交 CD 于 E ,连结 OB , OD . ∵ CD = 10 cm , ∴ DE = 5 cm. ∵ OD = 13 cm , ∴ OE = 12 cm. 同理 OF = 5 cm ,∴ EF = 7 cm. 故选 A. 【 错因 】 当已知条件中没有明确的图时,要注意分类讨论,错解忽略这一点,造成丢解.此题可以分两种情况,即两弦在圆心的同一侧时和在两侧时,所以此题的答案有两个. 易错警示答图 ① 【 正解 】 第一种情况:两弦在圆心的一侧时, 即错解结论;第二种情况:如答图 ② ,两弦 在圆心的不同侧,此时 EF = OE + OF = 17 cm. 故选 D. 易错警示答图 ②