2020年绍兴市中考数学试题及答案 29页

2020 年绍兴市中考数学试题及答案 1．实数 2，0，﹣2， 2 中，为负数的是（ ） A．2 B．0 C．﹣2 D． 2 2．某自动控制器的芯片，可植入 2020000000 粒晶体管，这个数字 2020000000 用科学 记数法可表示为（ ） A．0.202×1010 B．2.02×109 C．20.2×108 D．2.02×108 3．将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．如图．点 A，B，C，D，E 均在⊙O 上．∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD 的度数为（ ） A．45° B．60° C．75° D．90° 5．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为 2：5，且三角板 的一边长为 8cm．则投影三角板的对应边长为（ ） A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm 6．如图，小球从 A 入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相 等．则小球从 E 出口落出的概率是（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 6 7．长度分别为 2，3，3，4 的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接， 但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，点 O 为矩形 ABCD 的对称中心，点 E 从点 A 出发沿 AB 向点 B 运动，移动到 点 B 停止，延长 EO 交 CD 于点 F，则四边形 AECF 形状的变化依次为（ ） A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 9．如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将 BC 绕点 B 顺时针旋转 θ（0°＜θ＜90°），得到 BP，连结 CP，过点 A 作 AH⊥CP 交 CP 的延长线于点 H，连 结 AP，则∠PAH 的度数（ ） A．随着θ的增大而增大 B．随着θ的增大而减小 C．不变 D．随着θ的增大，先增大后减小 10．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶 210km．它们各自单独行驶并返回 的最远距离是 105km．现在它们都从 A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽 一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回 A 地，而乙车继续行驶，到 B 地后再行驶返回 A 地．则 B 地最远可距离 A 地（ ） A．120km B．140km C．160km D．180km 11．分解因式：1﹣x2= ． 12．若关于 x，y 的二元一次方程组 2 0 x y A     的解为 1 1 x y    ，则多项式 A 可以是_____ （写出一个即可）． 13．如图 1，直角三角形纸片的一条直角边长为 2，剪四块这样的直角三角形纸片，把 它们按图 2 放入一个边长为 3 的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图 2 中 阴影部分面积为_____． 14．如图，已知边长为 2 的等边三角形 ABC 中，分别以点 A，C 为圆心，m 为半径作弧， 两弧交于点 D，连结 BD．若 BD 的长为 2 3 ，则 m 的值为_____． 15．有两种消费券：A 券，满 60 元减 20 元，B 券，满 90 元减 30 元，即一次购物大于 等于 60 元、90 元，付款时分别减 20 元，30 元．小敏有一张 A 券，小聪有一张 B 券， 他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款 150 元， 则所购商品的标价是_____元． 16．将两条邻边长分别为 2 ，1 的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各 种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的_____（填 序号）． ① 2 ，②1，③ 2 ﹣1，④ 3 2 ，⑤ 3 ． 17．（1）计算： 8 ﹣4cos45°+（﹣1）2020． （2）化简：（x+y）2﹣x（x+2y）． 18．如图，点 E 是▱ ABCD 的边 CD 的中点，连结 AE 并延长，交 BC 的延长线于点 F． （1）若 AD 的长为 2．求 CF 的长． （2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F 的度数． 19．一只羽毛球的重量合格标准是 5.0 克～5.2 克（含 5.0 克，不含 5.2 克），某厂对 4 月份生产的羽毛球重量进行抽样检验．并将所得数据绘制成如图统计图表． 4 月份生产的羽毛球重量统计表 组别 重量 x（克） 数量（只） A x＜5.0 m B 5.0≤x＜5.1 400 C 5.1≤x＜5.2 550 D x≥5.2 30 （1）求表中 m 的值及图中 B 组扇形的圆心角的度数． （2）问这些抽样检验的羽毛球中，合格率是多少？如果购得 4 月份生产的羽毛球 10 筒 （每筒 12 只），估计所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有多少只？ 20．我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图 1，可以用秤砣到秤 纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距 离为 x（厘米）时，秤钩所挂物重为 y（斤），则 y 是 x 的一次函数．下表中为若干次称 重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 4 7 11 12 y（斤） 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 （1）在上表 x，y 的数据中，发现有一对数据记录错误．在图 2 中，通过描点的方法， 观察判断哪一对是错误的？ （2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 16 厘米时，秤钩所挂物重 是多少？ 21．如图 1 为搭建在地面上的遮阳棚，图 2、图 3 是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架 由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块 E，H 可分别沿等长的立柱 AB，DC 上下 移动，AF＝EF＝FG＝1m． （1）若移动滑块使 AE＝EF，求∠AFE 的度数和棚宽 BC 的长． （2）当∠AFE 由 60°变为 74°时，问棚宽 BC 是增加还是减少？增加或减少了多少？ （结果精确到 0.1m．参考数据： 3 ≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 22．问题：如图，在△ABD 中，BA＝BD．在 BD 的延长线上取点 E，C，作△AEC，使 EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC 的度数． 答案：∠DAC＝45° 思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗？说明理由； （2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为 “∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC 的度数． 23．如图 1，排球场长为 18m，宽为 9m，网高为 2.24m．队员站在底线 O 点处发球，球 从点 O 的正上方 1.9m 的 C 点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点 A 时，高度为 2.88m．即 BA＝2.88m．这时水平距离 OB＝7m，以直线 OB 为 x 轴，直线 OC 为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图 2． （1）若球向正前方运动（即 x 轴垂直于底线），求球运动的高度 y（m）与水平距离 x （m）之间的函数关系式（不必写出 x 取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？ 说明理由； （2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点 P（如图 1，点 P 距底线 1m，边线 0.5m）， 问发球点 O 在底线上的哪个位置？（参考数据： 2 取 1.4） 24．如图 1，矩形 DEFG 中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB ＝2，FG，BC 的延长线相交于点 O，且 FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．将△ABC 绕点 O 逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′． （1）当α＝30°时，求点 C′到直线 OF 的距离． （2）在图 1 中，取 A′B′的中点 P，连结 C′P，如图 2． ①当 C′P 与矩形 DEFG 的一条边平行时，求点 C′到直线 DE 的距离． ②当线段 A′P 与矩形 DEFG 的边有且只有一个交点时，求该交点到直线 DG 的距离的 取值范围． 参考答案 1．C 【解析】 【分析】 根据负数定义可得答案． 【详解】 解：实数 2，0，-2， 2 中，为负数的是-2， 故选：C． 【点睛】 本题考查正数与负数，解题的关键是熟悉其概念，本题属于基础题型． 2．B 【解析】 【分析】 先将原数表示成形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为把原数变成 a 时，小数点向左移 动的位数． 【详解】 解：2020000000＝2.02×109， 故答案为 B． 【点睛】 本题考查了科学记数法，即将原数表示成形式为 a×10n 的形式时，确定 a 和 n 的值是解答本 题的关键． 3．D 【解析】 【分析】 根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断. 【详解】 A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】 此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部 分能够完全重合. 4．D 【解析】 【分析】 首先连接 BE,由圆周角定理即可得∠BEC 的度数，继而求得∠BED 的度数,然后由圆周角定 理,求得∠BOD 的度数. 【详解】 解：连接 BE, ∵∠BEC＝∠BAC＝15°,∠CED＝30°, ∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°, ∴∠BOD＝2∠BED＝90°. 故选:D. 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理的应用,做题的时候分清楚每一个角是解此类题的关键. 5．A 【解析】 【分析】 根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解. 【详解】 解：设投影三角尺的对应边长为 xcm, ∵三角尺与投影三角尺相似, ∴8：x＝2：5, 解得 x＝20. 故选:A. 【点睛】 本题主要考查了位似变换的应用. 6．C 【解析】 【分析】 根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点 B、C、D 处都是 等可能情况，从而得到在四个出口 E、F、G、H 也都是等可能情况，然后概率的意义列式 即可得解． 【详解】 解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等， 小球最终落出的点共有 E、F、G、H 四个， 所以小球从 E 出口落出的概率是： 1 4 ； 故选：C． 【点睛】 此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键． 7．B 【解析】 【分析】 利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论. 【详解】 ①长度分别为 5、3、4，能构成三角形，且最长边为 5； ②长度分别为 2、6、4，不能构成三角形； ③长度分别为 2、7、3，不能构成三角形； ④长度分别为 6、3、3，不能构成三角形； 综上所述，得到三角形的最长边长为 5． 故选：B. 【点睛】 此题考查构成三角形的条件，三角形的三边关系，解题中运用不同情形进行讨论的方法，注 意避免遗漏构成的情况. 8．B 【解析】 【分析】 根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形 AECF 形状的变化情况． 【详解】 解：观察图形可知，四边形 AECF 形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：B． 【点睛】 考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据 EF 与 AC 的 位置关系即可求解． 9．C 【解析】 【分析】 由旋转的性质可得 BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求 ∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解． 【详解】 解：∵将 BC 绕点 B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到 BP， ∴BC＝BP＝BA， ∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP， ∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°， ∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA， ∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°， ∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°， ∴∠PAH 的度数是定值， 故选：C． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问 题是本题的关键． 10．B 【解析】 【分析】 设甲行驶到 C 地时返回，到达 A 地燃料用完，乙行驶到 B 地再返回 A 地时燃料用完，然后 画出图形、确定等量关系、列出关于 x 和 y 的二元一次方程组并求解即可． 【详解】 解：设甲行驶到 C 地时返回，到达 A 地燃料用完，乙行驶到 B 地再返回 A 地时燃料用完， 如图： 设 AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得： 2 2 210 2 210 x y x y x        ， 解得： 140 70 x y    ． ∴乙在 C 地时加注行驶 70km 的燃料，则 AB 的最大长度是 140km． 故答案为 B． 【点睛】 本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，弄清题意、确定等量关系、列出方程组是 解答本题的关键． 11．（1+x）（1﹣x）． 【解析】 试题分析：直接应用平方差公式即可：1﹣x2=（1+x）（1﹣x）． 12．答案不唯一，如 x﹣y． 【解析】 【分析】 根据方程组的解的定义， 1 1 x y    应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕 1 1 x y    列一组算式，然后用 x，y 代换即可. 【详解】 ∵关于 x，y 的二元一次方程组 2 0 x y A     的解为 1 1 x y    ， 而 1﹣1＝0， ∴多项式 A 可以是答案不唯一，如 x﹣y． 故答案为：答案不唯一，如 x﹣y. 【点睛】 此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的 关系是解题的关键. 13．4 5 ． 【解析】 【分析】 根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三 角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后 代入数据计算即可. 【详解】 解：由题意可得， 直角三角形的斜边长为 3，一条直角边长为 2， 故直角三角形的另一条直角边长为： 2 23 2 5  ， 故阴影部分的面积是： 2 5 4 4 52    ， 故答案为：4 5 . 【点睛】 此题考查勾股定理解三角形，正方形的性质，正确理解正方形的边长 3 与直角三角形的关系 是解题的关键. 14．2 或 2 7 ． 【解析】 【分析】 由作图知，点 D 在 AC 的垂直平分线上，得到点 B 在 AC 的垂直平分线上，求得 BD 垂直平 分 AC，设垂足为 E，得到 BE＝ 3 ，当点 D、B 在 AC 的两侧时，如图，证出 BE＝DE，即 可求出 m；当点 D、B 在 AC 的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论． 【详解】 解：由作图知，点 D 在 AC 的垂直平分线上， ∵△ABC 是等边三角形， ∴点 B 在 AC 的垂直平分线上， ∴BD 垂直平分 AC， 设垂足为 E， ∵AC＝AB＝2， ∴BE＝AB·sin60°= 3 ， 当点 D、B 在 AC 的两侧时，如图， ∵BD＝2 3 ， ∴BE＝DE， ∴AD＝AB＝2， ∴m＝2； 当点 D、B 在 AC 的同侧时，如图， ∵ BD ＝2 3 ， ∴ D E ＝3 3 ， ∴ AD ＝ 2 2(3 3) 1 ＝2 7 ， ∴m＝2 7 ， 综上所述，m 的值为 2 或 2 7 ， 故答案为：2 或 2 7 ． 【点睛】 此题考查的是等边三角形的性质、垂直平分线的性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握等边 三角形的性质、垂直平分线的性质、分类讨论的数学思想、锐角三角函数和勾股定理是解决 此题的关键． 15．100 或 85． 【解析】 【分析】 设所购商品的标价是 x 元，然后根据两人共付款 150 元的等量关系，分所购商品的标价小于 90 元和大于 90 元两种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】 解：设所购商品的标价是 x 元，则 ①所购商品的标价小于 90 元， x﹣20+x＝150， 解得 x＝85； ②所购商品的标价大于 90 元， x﹣20+x﹣30＝150， 解得 x＝100． 故所购商品的标价是 100 或 85 元． 故答案为 100 或 85． 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键． 16．①②③④． 【解析】 【分析】 首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解． 【详解】 解：如下图所示：在 BC 上截取 BE=1，连接 AE ∴△ABE 为等腰直角三角形，AB=BE=1，AE= 2 2 2AB BE  ，CE=BC－BE= 2 1 ∴∠BAE=45°，∠EAD=90°－∠BAE=45° 在 AE 上截取 AF=1，连接 DF、CF ∴EF=AE－AF= 2 1 =CE ∴△EFC 为等腰三角形，腰长为 2 1 过点 F 作 FG⊥AD 于 G ∴AG=AF·cos∠FAG= 2 2 ∴DG=AD－AG= 2 2 ∴FG 垂直平分 AD ∴AF=FD=1 ∴△AFD 为等腰三角形，腰长为 1 △DFC 为等腰三角形，腰长为 1； 如下图所示：在 AD 上截取 DF=1，连接 BF ∴△DFC 为等腰直角三角形，腰长为 1，AF=AD－DF= 2 1 根据勾股定理可得 CF= 2 2 2DF DC  ∴△CBF 为等腰三角形，腰长为 2 在 AB 上截取 AE= 2 1 =AF ∴△AEF 为等腰直角三角形，腰长为 2 1 ，BE=AB－AE= 2 2 根据勾股定理可得 EF= 2 2 2 2AE AF   =BE ∴△EBF 为等腰三角形，腰长为 2 2 ； 如下图所示：连接 AC、BD 交于点 E 易知△EAB、△EBC、△ECD 和△EAD 均为等腰三角形 利用勾股定理 AC= 2 2 3AB BC  ∴AE=BE=CE=DE= 1 3 2 2AC  ． 综上：其中一个等腰三角形的腰长可以是① 2 ，②1，③ 2 ﹣1，④ 3 2 ，不可以是 3 ． 故答案为：①②③④． 【点睛】 此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定及性质和锐角三角函数，掌握矩形的性质、等 腰三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键． 17．（1）1；（2）y2． 【解析】 【分析】 （1）先利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简，然后再计算即可； （2）利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】 解：（1）原式＝2 2 ﹣4× 2 2 +1 ＝2 2 ﹣2 2 +1 ＝1； （2）（x+y）2﹣x（x+2y） ＝x2+2xy+y2﹣x2﹣2xy ＝y2． 【点睛】 本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数以及整式的混合运算，掌握相关运算法则是解答 本题的关键． 18．（1）2；（2）当∠B＝60°时，∠F＝30°（答案不唯一）． 【解析】 【分析】 （1）由平行四边形的性质得出 AD∥CF，则∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，由点 E 是 CD 的中点，得出 DE＝CE，由 AAS 证得△ADE≌△FCE，即可得出结果； （2）添加一个条件当∠B＝60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）． 【详解】 解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CF， ∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE， ∵点 E 是 CD 的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE 和△FCE 中， DAE CFE ADE FCE DE CE         ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴CF＝AD＝2； （2）∵∠BAF＝90°， 添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°-60°＝30°（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定 理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 19．（1）m＝20，144°；（2）这次抽样检验的合格率是 95%，所购得的羽毛球中，非合格 品的羽毛球有 6 只． 【解析】 【分析】 （1）图表中“C 组”的频数为 550 只，占抽查总数的 55%，可求出抽查总数，进而求出“A 组”的频数，即 m 的值；求出“B 组”所占总数的百分比，即可求出相应的圆心角的度数； （2）计算“B 组”“C 组”的频率的和即为合格率，求出“不合格”所占的百分比，即可 求出不合格的数量． 【详解】 解：（1）550÷55%＝1000（只），1000﹣400﹣550﹣30＝20（只） 即：m＝20， 360°× 400 1000 ＝144°， 答：表中 m 的值为 20，图中 B 组扇形的圆心角的度数为 144°； （2） 400 1000 + 550 1000 ＝ 950 1000 ＝95%， 12×10×(1﹣95%)＝120×5%＝6（只）， 答：这次抽样检验的合格率是 95%，所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有 6 只． 【点睛】 本题考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法，理解图表中的数量和数量之间的关系，是 正确计算的前提． 20．（1）x＝7，y＝2.75 这组数据错误；（2）秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 16 厘米时，秤 钩所挂物重是 4.5 斤． 【解析】 【分析】 （1）利用描点法画出图形即可判断． （2）设函数关系式为 y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可. 【详解】 解：（1）观察图象可知：x＝7，y＝2.75 这组数据错误． （2）设 y＝kx+b，把 x＝1，y＝0.75，x＝2，y＝1 代入可得 0.75 2 1 k b k b      ， 解得 1 4 1 2 k b     ， ∴ 1 1 4 2y x  ， 当 x＝16 时，y＝4.5， 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 16 厘米时，秤钩所挂物重是 4.5 斤. 【点睛】 此题考查画一次函数的图象的方法，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的实际应用， 正确计算是解此题的关键. 21．（1）6.9m；（2）当∠AFE 由 60°变为 74°时，棚宽 BC 是减少了，减少了 0.5m． 【解析】 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得到∠AFE＝60°,连接 MF 并延长交 AE 于 K，则 FM＝2FK， 求得 2 2 3 2FK AF AK   ,于是得到结论; （2）解直角三角形即可得到结论. 【详解】 解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1, ∴△AEF 是等边三角形, ∴∠AFE＝60°, 连接 MF 并延长交 AE 于 K，则 FM＝2FK, ∵△AEF 是等边三角形, ∴AK＝ 1 2 , ∴ 2 2 3 2FK AF AK   , ∴FM＝2FK＝ 3 , ∴BC＝4FM＝4 3 ≈6.92≈6.9（m）; （2）∵∠AFE＝74°, ∴∠AFK＝37°, ∴KF＝AF•cos37°≈0.80, ∴FM＝2FK＝1.60, ∴BC＝4FM＝6.40＜6.92, 6.92﹣6.40＝0.5, 答：当∠AFE 由 60°变为 74°时,棚宽 BC 是减少了，减少了 0.5m. 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用,观察图形,发现直角三角形是解题的关键. 22．（1）∠DAC 的度数不会改变，值为 45°；（2） 1 2 n°． 【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°-∠BAD＝90°- （45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论； （2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：（1）∠DAC 的度数不会改变； ∵EA＝EC， ∴∠AED＝2∠C，① ∵∠BAE＝90°， ∴∠BAD＝ 1 2 [180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C， ∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，② 由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°； （2）设∠ABC＝m°， 则∠BAD＝ 1 2 （180°﹣m°）＝90°﹣ 1 2 m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°， ∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+ 1 2 m°， ∵EA＝EC， ∴∠CAE＝ 1 2 ∠AEB＝90°﹣ 1 2 n°﹣ 1 2 m°， ∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+ 1 2 m°+90°﹣ 1 2 n°﹣ 1 2 m°＝ 1 2 n°． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键． 23．（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点 O 在底线上且距右边线 0.1 米处． 【解析】 【分析】 （1）求出抛物线表达式，再确定 x＝9 和 x＝18 时，对应函数的值即可求解； （2）当 y＝0 时，y＝﹣ 1 50 （x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19 或﹣5（舍去﹣5），求出 PQ＝ 6 2 ＝8.4，即可求解． 【详解】 （1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88， 将 x＝0，y＝1.9 代入上式并解得：a＝﹣ 1 50 ， 故抛物线的表达式为：y＝﹣ 1 50 （x﹣7）2+2.88； 当 x＝9 时，y＝﹣ 1 50 （x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24， 当 x＝18 时，y＝﹣ 1 50 （x﹣7）2+2.88＝0.64＞0， 故这次发球过网，但是出界了； （2）如图，分别过点作底线、边线的平行线 PQ、OQ 交于点 Q， 在 Rt△OPQ 中，OQ＝18﹣1＝17， 当 y＝0 时，y＝﹣ 1 50 （x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19 或﹣5（舍去﹣5）， ∴OP＝19，而 OQ＝17， 故 PQ＝6 2 ＝8.4， ∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1， ∴发球点 O 在底线上且距右边线 0.1 米处. 【点睛】 此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形， 二次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解 题的方向是解答此题的关键. 24．（1）点 C′到直线 OF 的距离为 2 3 ；（2）①点 C′到直线 DE 的距离为 2 2 +2； ②2≤d≤ 22 ﹣2 或 d＝3． 【解析】 【分析】 （1）过点 C′作 C′H⊥OF 于 H．根据直角三角形的边角关系，解直角三角形求出 CH 即可． （2）①分两种情形：当 C′P∥OF 时，过点 C′作 C′M⊥OF 于 M；当 C′P∥DG 时，过点 C′ 作 C′N⊥FG 于 N．通过解直角三角形，分别求出 C′M，C′N 即可． ②设 d 为所求的距离．第一种情形：当点 A′落在 DE 上时，连接 OA′，延长 ED 交 OC 于 M．当 点 P 落在 DE 上时，连接 OP，过点 P 作 PQ⊥C′B′于 Q．结合图象可得结论． 第二种情形：当 A′P 与 FG 相交，不与 EF 相交时，当点 A′在 FG 上时，A′G＝2 5 ﹣2，即 d＝2 5 ﹣2；当点 P 落在 EF 上时，设 OF 交 A′B′于 Q，过点 P 作 PT⊥B′C′于 T，过点 P 作 PR∥OQ 交 OB′于 R，连接 OP．求出 QG 可得结论． 第三种情形：当 A′P 经过点 F 时，此时显然 d＝3．综上所述即可得结论． 【详解】 解：（1）如图， 过点 C′作 C′H⊥OF 于 H． ∵△A′B′C′是由△ABC 绕点 O 逆时针旋转得到， ∴C′O=CO=4， 在 Rt△HC′中， ∵∠HC′O＝α＝30°， ∴C′H＝C′O•cos30°＝2 3 ， ∴点 C′到直线 OF 的距离为 2 3 ． （2）①如图，当 C′P∥OF 时，过点 C′作 C′M⊥OF 于 M． ∵△A′B′C′为等腰直角三角形，P 为 A′B′的中点， ∴∠A′C′P=45°， ∵∠A′B′O=90°， ∴∠OC′P=135°. ∵C′P∥OF， ∴∠O＝180°﹣∠OC′P＝45°， ∴△OC′M 是等腰直角三角形， ∵OC′＝4， ∴C′M＝C′O•cos45°=4× 2 2 = 2 2 ， ∴点 C′到直线 DE 的距离为 2 2 ． 如图，当 C′P∥DG 时，过点 C′作 C′N⊥FG 于 N． 同法可证△OC′N 是等腰直角三角形， ∴C′N＝ 2 2 ， ∵GD=2， ∴点 C′到直线 DE 的距离为 2 2 2 ． ②设 d 为所求的距离． 第一种情形：如图，当点 A′落在 DE 上时，连接 OA′，延长 ED 交 OC 于 M． ∵OC=4，AC=2，∠ACO=90°， 2 2 16 4 2 5OA CO AC     ∵OM＝2，∠OMA′＝90°， ∴A′M＝ 2 2A O OM  ＝  2 22 5 2 ＝4， 又∵OG=2， ∴DM=2， ∴A′D＝A′M-DM=4-2=2， 即 d＝2， 如图，当点 P 落在 DE 上时，连接 OP，过点 P 作 PQ⊥C′B′于 Q． ∵P 为 A′B′的中点，∠A′C′B′=90°， ∴PQ∥A′C′， ∴ 1 2 B P CQ PQ B A B C A C          ∵B′C′=2 ∴PQ＝1，CQ=1， ∴Q 点为 B′C′的中点，也是旋转前 BC 的中点， ∴OQ=OC+CQ=5 ∴OP＝ 2 25 1 ＝ 26 ， ∴PM＝ 2 2 26 4 22OP OM    ， ∴PD＝ 22 2PM DM   ， ∴d＝ 22 ﹣2， ∴2≤d≤ 22 ﹣2． 第二种情形：当 A′P 与 FG 相交，不与 EF 相交时，当点 A′在 FG 上时，A′G＝2 5 ﹣2，即 d＝2 5 ﹣2， 如图，当点 P 落在 EF 上时，设 OF 交 A′B′于 Q，过点 P 作 PT⊥B′C′于 T，过点 P 作 PR∥OQ 交 OB′于 R，连接 OP． 由上可知 OP＝ 26 ，OF＝5， ∴FP＝ 2 2OP OF ＝ 26 25 ＝1， ∵OF＝OT，PF＝PT，∠F＝∠PTO＝90°， ∴Rt△OPF≌Rt△OPT（HL）， ∴∠FOP＝∠TOP， ∵PQ∥OQ， ∴∠OPR＝∠POF， ∴∠OPR＝∠POR， ∴OR＝PR， ∵PT2+TR2＝PR2， 2 2 21 5 PR PR （﹣ ）＝ ∴PR＝2.6，RT＝2.4， ∵△B′PR∽△B′QO， ∴ B R OB   ＝ PR QO ， ∴ 3.4 6 ＝ 2.6 OQ ， ∴OQ＝ 78 17 ， ∴QG＝OQ﹣OG＝ 44 17 ，即 d＝ 44 17 ∴2 5 ﹣2≤d＜ 44 17 ， 第三种情形：当 A′P 经过点 F 时，如图， 此时 FG=3，即 d＝3． 综上所述，2≤d≤ 22 ﹣2 或 d＝3． 【点睛】 （1）本题考查了通过解直角三角形求线段长，解决本题的关键是构建直角三角形，熟练掌 握直角三角形中边角关系. （2）①本题综合性较强，考查了平行线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是正确理 解题意，能够根据题目条件进行分类讨论，然后通过解直角三角形求出相应的线段长即可.② 本题综合性较强，考查了辅助线的作法，平行线的性质以及解直角三角形，解决本题的关键 是正确理解题意，能够根据情况对题目进行分类讨论，通过不同情形，能够作出辅助线，在 解决本题的过程中要求熟练掌握直角三角形中的边角关系.