2012年辽宁省朝阳市中考数学试题（含答案） 13页

‎2012年中考数学试题（辽宁朝阳卷）‎ ‎（本试卷满分150分，考试时间120分钟）‎ 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎1.有理数的绝对值为【 】‎ A. B. －5 C. D.5 ‎ ‎【答案】A。‎ ‎2.下列运算正确的是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C。‎ ‎3.如图，C、D分别EA、EB为的中点，∠E=300，∠1=1100，则∠2的度数为【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A。‎ ‎4.为鼓励大学生创业，我市为在开发区创业的每位大学生提供无息贷款125000元，‎ 这个数据用科学计数法表示为（保留两位有效数字）【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C。‎ ‎5.两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体 的俯视图是【 】‎ A.两个外离的圆 B. 两个相交的圆 C. 两个外切的圆 D. 两个内切的圆 ‎【答案】C。‎ ‎6.某市5月上旬的最高气温如下（单位：℃）：28、29、31、29、33，对这组数据，下列说法错误的是【 】‎ A.平均数是30 B. 众数是29 C. 中位数是31 D. 极差是5‎ ‎【答案】C。‎ ‎7.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】‎ ‎【答案】A。‎ ‎8.如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上，若点A 的坐标为（－2，－3），则k的值为【 】‎ A.1 B. －5 C. 4 D. 1或－5‎ ‎【答案】D。‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎9.函数中，自变量x的取值范围是 ▲ 。【答案】。‎ ‎10.分解因式 ▲ 。【答案】。‎ ‎11.如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙O的半径为 ▲ 。‎ ‎【答案】5。‎ ‎12.一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 ‎ ▲ 。‎ ‎【答案】a＜且a≠0。‎ ‎13.如图所示的折线ABC为甲地向乙地打长途电话需付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系，则通话8分钟应付电话费 ▲ 元。‎ ‎【答案】7.4。‎ ‎14.如图，△ABC三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1单位长度）的格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C的位置，且A′、B′仍落在格点上，则线段AC扫过的扇形所围成的圆锥体的底面半径是 ▲ 单位长度。‎ ‎【答案】。‎ ‎15.下列说法中正确的序号有 ▲ 。‎ ①在Rt△ABC中，∠C=900，CD为AB边上的中线，且CD=2，则AB=4；‎ ②八边形的内角和度数为10800；‎ ③2、3、4、3这组数据的方差为0.5；‎ ④分式方程的解为；‎ ⑤已知菱形的一个内角为600，一条对角线为，则另一对角线为2。‎ ‎【答案】①②③④。‎ ‎16.如图，在正方形ABCD内有一折线，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=4，EF=8，FC=12。则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为 ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ 三、解答题（共10小题，满分102分）‎ ‎17.计算（先化简，再求值）：，其中。‎ ‎【答案】解：原式=，‎ ‎ 当时，原式=。‎ ‎18.如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F点，AB=BF，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形ABCD为平行四边形，请证明。你添加的条件是 ▲ 。‎ ‎【答案】解：添加的条件是：∠F=∠CDE（答案不唯一）。理由如下：‎ ‎∵∠F=∠CDE，∴CD∥AF。‎ 在△DEC与△FEB中，∵∠DCE=∠EBF，CE=BE，∠CED=∠BEF，‎ ‎∴△DEC≌△FEB（AAS）。∴DC=BF。‎ ‎∵AB=BF，∴DC=AB，∴四边形ABCD为平行四边形。‎ ‎19.某中学为了解本校学生对球类运动的爱好情况，采用抽样的方法，从乒乓球、羽毛球、篮球和排球四个方面调查了若干名学生，在还没有绘制成功的“折线统计图”与“扇形统计图”中，请你根据已提供的部分信息解答下列问题。‎ ‎（1）在这次调查活动中，一共调查了 ▲ 名学生，并请补全统计图。‎ ‎（2）“羽毛球”所在的扇形的圆心角是 ▲ 度。‎ ‎（3）若该校有学生1200名，估计爱好乒乓球运动的约有多少名学生？‎ ‎【答案】解：（1）200。‎ ‎∵喜欢篮球的人数：200×20%=40（人），喜欢羽毛球的人数：200-80-20-40=60（人）；‎ 喜欢排球的20人，应占，‎ 喜欢羽毛球的应占统计图的1－20%－40%－10%=30%。‎ ‎∴根据以上数据补全统计图：‎ ‎（2）108°。‎ ‎（3）该校1200名学生中估计爱好乒乓球运动的约有：40%×1200=480（人）。‎ ‎20.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一动点（不与B、C重合）。连接AE，过点E作EF⊥AE，交DC于点F。‎ ‎（1）求证：△ABE∽△ECF；‎ ‎（2）连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE=∠EAF，请证明你的结论。‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°。‎ ‎ ∴∠BAE+∠BEA=90°。‎ ‎∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°。‎ ‎∴∠BEA+∠FEC=90°。∴∠BAE=∠FEC。‎ ‎∴△ABE∽△ECF。‎ ‎（2）E是中点时，∠BAE=∠EAF。证明如下：‎ ‎ 连接AF，延长AE于DC的延长线相交于点H，‎ ‎∵E为BC中点，∴BE=CE。‎ ‎∵AB∥DH，∴∠B=∠ECH。‎ ‎∵∠AEB=∠CEH，∴△ABE≌△HCE（AAS）。∴AE=EH。‎ ‎∵EF⊥AH，∴△AFH是等腰三角形。∴∠EAF=∠H。‎ ‎∵AB∥DH，∴∠H=∠BAE。∴∠BAE=∠EAF。‎ ‎∴当点E在BC中点位置时，∠BAE=∠EAF。‎ ‎21．在不透明的箱子里放有4个乒乓球。每个乒乓球上分别写有数字1、2、3、4，从箱子中摸出一个球记下数字后放回箱中，摇匀后再摸出一个球记下数字。若将第一次摸出的球上的数字记为点的横坐标，第二次摸出的球上的数字记为点的纵坐标。‎ ‎（1）请用列表法或树状图法写出两次摸球后所有可能的结果；‎ ‎（2）求这样的点落在如图所示的圆中的概率（注：图中圆心在直角坐标系中的第一象限内，并且分别与x轴、y轴切于点（2，0和（0，2））两点 ）。‎ ‎【答案】解：（1）列表得： ‎ ‎ 第一次 第二次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎（1，1）‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎（4，1）‎ ‎2‎ ‎（1，2）‎ ‎（2，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎（4，2）‎ ‎3‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（3，3）‎ ‎（4，3）‎ ‎4‎ ‎（1，4）‎ ‎（2，4）‎ ‎（3，4）‎ ‎（4，4）‎ ‎∴共有16种等可能的结果。‎ ‎（2）∵这样的点落在如图所示的圆内的有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）9点（如图）， ‎ ‎∴这样的点落在如图所示的圆内的概率为：。‎ ‎22．如图已知P为⊙O外一点。PA为⊙O的切线，B为⊙O上一点，且PA=PB，C为优弧上任意一点（不与A、B重合），连接OP、AB，AB与OP相交于点D，连接AC、BC。‎ ‎ （1）求证：PB为⊙O的切线；‎ ‎（2）若，⊙O的半径为，求弦AB的长。‎ ‎【答案】解：（1）证明：如图，连接OA，OB， ‎ ‎∵AP为圆O的切线，∴OA⊥AP，即∠OAP=90°。‎ 在△OAP和△OBP中，‎ ‎∵AP=BP(已知)，OA=OB(半径相等)，OP=OP(公共边)，‎ ‎∴△OAP≌△OBP（SSS）。∴∠OAP=∠OBP=90°。‎ ‎∴OB⊥BP，即BP为圆O的切线。‎ ‎（2）延长线段BO，与圆O交于E点，连接AE，‎ ‎∵BE为圆O的直径，∴∠BAE=90°。‎ ‎∵∠AEB和∠ACB都对，∴∠AEB=∠ACB。‎ ‎∴。‎ 设AB=2x，则AE=3x，‎ 在Rt△AEB中，BE=，根据勾股定理得：。‎ 解得：x=2或x=－2（舍去）。‎ ‎∴AB=2x=4。‎ ‎23．为支持抗震救灾，我市A、B两地分别的赈灾物资100吨和180吨。需全部运往重灾区C、D两县，根据灾区的情况，这批赈灾物资运往C县的数量比运往D县的数量的2倍少80吨。‎ ‎ （1）求这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是多少吨？‎ ‎ （2）设A地运往C县的赈灾物资为x吨（x为整数），若要B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，且要求B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨，则A、B两地的赈灾物资运往C、D两县的方案有几种？‎ ‎【答案】解：（1）设运往C县的物资是a吨，D县的物资是b吨，根据题意得，‎ ‎ ，解得。‎ 答：这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是160吨，120吨。‎ ‎（2）∵A地运往C县的赈灾物资数量为x吨，∴B地运往C县的物资是（160－x）吨，A地运往D县的物资是（100－x）吨，B地运往D县的物资是120－（100－x）=（20＋x）吨，根据题意得，‎ ‎ ，解得。∴不等式组的解集是40＜x≤43。‎ ‎∵x是整数，∴x取41、42、43。‎ ‎∴方案共有3种，分别为：‎ 方案一：A地运往C县的赈灾物资数量为41吨，则B地运往C县的物资是119吨，‎ A地运往D县的物资是59吨，B地运往D县的物资是61吨；‎ 方案二：A地运往C县的赈灾物资数量为42吨，则B地运往C县的物资是118吨，‎ A地运往D县的物资是58吨，B地运往D县的物资是62吨；‎ 方案三：A地运往C县的赈灾物资数量为43吨，则B地运往C县的物资是117吨，‎ A地运往D县的物资是57吨，B地运往D县的物资是63吨。‎ ‎24．一轮船在P处测得灯塔A在正北方向，灯塔B在南偏东24.50方向，轮船向正东航行了2400m，到达Q处，测得A位于北偏西490方向，B位于南偏西410方向。‎ ‎ （1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；‎ ‎ （2）求A、B间的距离（参考数据cos410=0.75）。‎ ‎【答案】解：（1）线段BQ与PQ相等。理由如下：‎ ‎∵∠PQB=90°－41°=49°，∠BPQ=90°－24.5°=65.5°，‎ ‎∴∠PBQ=180°－49°－65.5°=65.5°。‎ ‎∴∠BPQ=∠PBQ。∴BQ=PQ。‎ ‎（2）∵∠AQB=180°－49°－41°=90°，∠PQA=90°－49°=41°，‎ ‎∴。‎ ‎∵BQ=PQ=2400，∴。‎ 答：A、B的距离为4000m。‎ ‎25．某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元。已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现。销量w（kg）随销售单价x（元/ kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示 销售单价x（元/ kg）‎ ‎……‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎……‎ 销售量w（kg）‎ ‎……‎ ‎100‎ ‎90‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎60‎ ‎……‎ ‎ 设该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量－成本－投资）。‎ ‎ （1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；‎ ‎（2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？‎ ‎（3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700，那么第二个月时里应该确定销售单价为多少元？‎ ‎【答案】解：（1）w=－2x＋240。‎ ‎（2）y与x的关系式为：‎ ‎∵，‎ ‎∴当x=85时，y的值最大为2450元。‎ ‎（3）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为2450元，‎ ‎∴第1个月还有3000－2450=550元的投资成本没有收回。‎ 则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，‎ 可得方程，解得x1=75，x2=95。‎ 根据题意，x2=95不合题意应舍去。‎ 答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第 二个月的利润达到1700元。‎ ‎26．已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；‎ ‎（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；‎ ‎（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）∵A（0，2），B（－1，0），∴OA=2，OB=1。‎ ‎ 由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴，即，解得OC=4。‎ ‎ ∴点C的坐标为（4，0）。‎ ‎ （2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为，‎ ‎ 将A（0，2）代入，得，解得。‎ ‎ ∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即。‎ ‎ ∵，∴抛物线的对称轴为。‎ ‎ （3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。‎ ‎ ∵点P（m，n）在上，‎ ‎ ∴P。‎ ‎ ∴，‎ ‎ ，。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ ∵，∴当时，S最大。‎ 当时，。∴点P的坐标为（2，3）。‎ ‎（4）存在。点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）。‎