2020九年级数学下册 第1章 二次函数本章总结提升练习 （新版）湘教版 12页

二次函数 本章总结提升 问题1　抛物线的平移 抛物线y＝ax2经过怎样的平移可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k?‎ 例1 将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，则得到的抛物线的函数表达式为(　　)‎ A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3‎ C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3‎ ‎【归纳总结】 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如下：‎ 12‎ 图1－T－1‎ 问题2　二次函数的图象和性质 结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方向、顶点坐标，说明二次函数在什么情况下取得最大(小)值．‎ 例2 已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求出抛物线的顶点坐标与对称轴；‎ ‎(3)若点A(，y1)，B(4，y2)，C(0，y3)都在该抛物线上，试比较y1，y2，y3的大小．‎ ‎【归纳总结】二次函数的图象与性质：‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是，对称轴为直线x＝－，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象具有如下性质：‎ ‎(1)当a＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)开口向上，x＜－时，y随x的增大而减小；x＞－时，y随x的增大而增大；x＝－时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．‎ 12‎ ‎(2)当a＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)开口向下，x＜－时，y随x的增大而增大；x＞－时，y随x的增大而减小；x＝－时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．‎ ‎(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可由抛物线y＝ax2向右或向左平移个单位，再向上或向下平移个单位得到．‎ 例3 图1－T－2是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分，对称轴为直线x＝，且图象经过点(2，0)．下列说法：①abc<0；②a＋b＝0；③4a＋2b＋c<0；④若(－2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.其中说法正确的是(　　)‎ 图1－T－2‎ A．①②④ B．③④‎ C．①③④ D．①②‎ ‎【归纳总结】‎ y＝ax2＋bx＋‎ c(a≠0)‎ 字母的符号 图象的特征 a a＞0‎ 开口向上 a＜0‎ 开口向下 b b＝0‎ 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号)‎ 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a与b异号)‎ 对称轴在y轴右侧 c c＝0‎ 经过原点 c＞0‎ 与y轴正半轴相交 c＜0‎ 与y轴负半轴相交 b2－‎‎4ac b2－‎4ac＝0‎ 与x轴有两个相同的 交点(顶点)‎ b2－‎4ac＞0‎ 与x轴有两个不同的交点 b2－‎4ac＜0‎ 与x轴没有交点 特殊关系 当x＝1时，y＝a＋b＋c；‎ 当x＝－1时，y＝a－b＋c；‎ 若a＋b＋c＞0，则当x＝1时，y＞0；‎ 若a－b＋c＞0，则当x＝－1时，y＞0‎ 12‎ 问题3　用待定系数法求二次函数的表达式 例4 根据下列条件分别求二次函数的表达式：‎ ‎(1)已知二次函数的图象经过点A(－1，－6)，B(1，－2)，C(2，3)；‎ ‎(2)已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－3)，且与y轴的交点坐标为(0，－5)；‎ ‎(3)已知二次函数的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(1，0)，且经过点M(0，1)．‎ ‎【归纳总结】用待定系数法求二次函数表达式的方法：‎ ‎(1)已知图象过三点，设y＝ax2＋bx＋c，代入三点坐标得三元一次方程组求解；‎ ‎(2)已知图象的顶点及图象上另一点，设y＝a(x－h)2＋k，将另一点的坐标代入求解；‎ ‎(3)已知抛物线与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，且过另一点，设y＝a(x－x1)(x－x2)，将另一点的坐标代入求解．‎ 问题4　二次函数与一元二次方程的关系 结合抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系，说明一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况．‎ 例5 已知抛物线y＝(m－1)x2－m2x＋m的对称轴是直线x＝2.‎ ‎(1)求m的值，并判断抛物线的开口方向；‎ ‎(2)抛物线是否与x轴相交？如果相交，试求出其交点的坐标．‎ ‎【归纳总结】判断函数图象与x轴是否相交，先要从函数类型上分情况考虑：‎ ‎(1)一次函数的图象必与x轴相交．‎ ‎(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的相交情况与对应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ有关．Δ>0，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；Δ＝0，二次函数的图象与x轴有两个相同的交点；Δ<0，二次函数的图象与x轴没有交点．‎ 问题5　二次函数与几何的综合 例6 如图1－T－3所示，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)三点．‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式．‎ ‎(2)M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使由A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 12‎ ‎ 图1－T－3‎ ‎【归纳总结】二次函数与几何图形的综合：‎ 二次函数常常与三角形、四边形、圆等几何图形综合，考查以下几类问题：‎ ‎(1)线段数量关系、最值问题；‎ ‎(2)面积数量关系、最值问题；‎ ‎(3)存在性问题：包含特殊三角形、特殊四边形等．‎ 问题6　二次函数的实际应用 在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归纳为求二次函数的最大值或最小值问题．请举例说明如何分析、解决这样的问题．‎ 例7 2017·本溪近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择．本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数y(辆)与每辆车每天的租金x(元)满足关系式y＝－x＋36(500≤x≤1800，且x为50的整数倍)，公司每天为每辆租出的车支出各种费用共200元，设租车公司每天的利润为w元．‎ ‎(1)求w与x的函数表达式；(利润＝租金－支出)‎ ‎(2)公司在十一黄金周的前3天每天都获得了最大利润，但是后4天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过800元．请确定这7天公司获得的总利润最多为多少元？‎ ‎【归纳总结】二次函数的实际应用：‎ 12‎ 常见类型 步骤 抛物线形状类 ‎①建立平面直角坐标系；②利用点的坐标确定抛物线的函数表达式；③利用二次函数的性质解决实际问题 商品销售类 ‎①读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系；②确定函数表达式；③确定二次函数的最值，解决实际问题 几何类 ‎①根据几何知识探求图形的几何(面积、长度等)关系式；②根据几何关系式确定函数表达式；③确定二次函数的最值，解决问题 注意：(1)当题目中没有给出坐标系时，选取的坐标系不同，所得函数表达式也不同；‎ ‎(2)在求二次函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响；‎ ‎(3)建立函数模型解决实际问题时，若题目中没有明确函数类型，要对求出的函数表达式进行验证，以防出现错解．‎ 12‎ 教师详解详析 ‎【整合提升】‎ 例1　A 例2　解：(1)∵抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)，∴－2＝a(1－3)2＋2，解得a＝－1.‎ ‎(2)由抛物线y＝a(x－3)2＋2可知抛物线的顶点坐标是(3，2)，对称轴是直线x＝3.‎ ‎(3)∵a＝－1，∴抛物线开口向下．∵抛物线的对称轴是直线x＝3，且|4－3|＜|3－|＜|3－0|，∴点B(4，y2)到对称轴的距离最近，点C(0，y3)到对称轴的距离最远，∴y3＜y1＜y2.‎ 例3　A 例4　[解析] 根据已知条件，(1)选用一般式比较方便；(2)选用顶点式比较方便；(3)选用交点式比较方便．‎ 解：(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ 将(－1，－6)，(1，－2)，(2，3)分别代入，得 解得 ‎∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5.‎ ‎(2)∵二次函数图象的顶点坐标为(－1，－3)，‎ ‎∴设其函数表达式为y＝a(x＋1)2－3.‎ 将(0，－5)代入，得－5＝a(0＋1)2－3，‎ ‎∴a＝－2，‎ ‎∴所求二次函数的表达式为y＝－2(x＋1)2－3，‎ 即y＝－2x2－4x－5.‎ ‎(3)已知二次函数的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(1，0)，‎ ‎∴设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．‎ 将M(0，1)代入上式，得1＝a(0＋1)×(0－1)，‎ ‎∴a＝－1，‎ ‎∴二次函数的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，‎ 即y＝－x2＋1.‎ 例5　[解析] (1)在y＝(m－1)x2－m2x＋m中，a＝m－1，b＝－m2，c＝m.根据二次函数的图象的对称轴是直线x＝－可求得m；(2)求得表达式后，令y＝0，解关于x的一元二次方程可知有没有交点，若有，则方程的解为交点的横坐标．‎ 解：(1)∵抛物线的对称轴是直线x＝2，‎ ‎∴－＝2，即m2－4m＋4＝0，‎ 解得m＝2，‎ 经检验m＝2是分式方程的根，且m－1≠0，‎ ‎∴m＝2符合题意．‎ ‎∵m－1>0，‎ ‎∴抛物线开口向上．‎ 12‎ ‎(2)将m＝2代入y＝(m－1)x2－m2x＋m，‎ 得y＝x2－4x＋3.‎ 令y＝0，得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3.‎ ‎∴抛物线与x轴相交，交点坐标分别为(1，0)，(3，0)．‎ 例6　解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c.‎ 根据题意，得解得 ‎∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－.‎ ‎(2)存在．理由如下：‎ ‎①当点N在x轴的下方时，如图所示．‎ ‎∵四边形ACNM是平行四边形，‎ ‎∴CN∥x轴，‎ ‎∴点C与点N关于对称轴直线x＝2对称．‎ ‎∵点C的坐标为(0，－)，‎ ‎∴点N的坐标为(4，－)．‎ ‎②当点N′在x轴上方时，如图所示，过点N′作N′H⊥x轴于点H.‎ ‎∵四边形ACM′N′是平行四边形，‎ ‎∴AC＝M′N′，∠CAO＝∠N′M′H，‎ ‎∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H，‎ ‎∴N′H＝OC.‎ ‎∵点C的坐标为(0，－)，∴N′H＝，‎ 即点N′的纵坐标为，‎ 令x2－2x－＝，‎ 解得x1＝2＋，x2＝2－，‎ ‎∴点N′的坐标为(2－，)或(2＋，)．‎ 综上所述，满足题目条件的点N共有三个，其坐标分别为(4，－)，(2－，)和(2＋ 12‎ ‎，)．‎ 例7　解：(1)由题意，得w＝(x－200)y＝(x－200)(－x＋36)＝－x2＋40x－7200(500≤x≤1800，且x为50的整数倍)．‎ ‎(2)w＝－x2＋40x－7200＝－(x－1000)2＋12800(500≤x≤1800，且x为50的整数倍)．∵－＜0，w有最大值，∴当x＝1000时，w的最大值为12800.由题可得，后4天时500≤x≤800.∵当x＜1000时，w随着x的增大而增大，∴当x＝800时，w的最大值为12000，∴获得的总利润为3×12800＋4×12000＝86400(元)．‎ 答：这7天公司获得的总利润最多为86400元．‎ ‎【专题阅读】‎ 二次函数的最值 一、从鸡舍问题谈起 某饲养场有20米长的一段木栅栏，现在要用它来围一个矩形的鸡圈，一边可利用房屋的墙，问应该怎样围，方可使鸡圈的面积最大？‎ 若设垂直于墙的一边长为x米，则它的邻边长为(20－2x)米(如图1)，于是鸡圈的面积为y＝x(20－2x)＝(－2x2＋20x)平方米．‎ 图1‎ 问题归结为x取何值时，y取最大值．‎ 一般来说，对于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，①‎ 求它的最大值和最小值，在数学中是经常碰到的．我们用配方法把二次函数写成②的形式并画出图象如图2.‎ y＝a＋.②‎ 由(a)的图象可以看出：‎ 图2‎ 若a＞0，则当x＝－时，y取最小值，而无最大值，记最小值为ymin＝；‎ 由(b)的图象可以看出：若a＜0，则当x＝－时，y取最大值，而无最小值，记最大值为ymax＝.‎ 利用上述结论即可求出鸡圈面积的最大值．在表示鸡圈问题的二次函数表达式中，a＝－2，b 12‎ ‎＝20，c＝0.因为a＜0，所以当x＝－＝－＝5时，面积y取最大值，ymax＝＝＝50，这时鸡圈垂直于墙的边长为5米，与其相邻的另一边长为10米，面积为50平方米．‎ 二、例题选讲 例1　金苹果商场的某种商品价格下降x成，则销售量增加px成(p为正数)．‎ ‎(1)当p＝时，应该降价几成，才能使售出的总金额最大？‎ ‎(2)若适当降价，则p的取值范围是多少时，才能使售出的总金额增加？‎ 解：设现在每件定价为m元，售出n件，价格下降x成后，售出的总金额为y＝m·n＝[－px2＋10(p－1)x＋100]．‎ ‎(1)当p＝时，y＝.因为－5＜0，所以当x＝－＝2时，y取最大值，即降价2成(俗称打8折)时，售出的总金额最大．‎ ‎(2)由y＝[－px2＋10( p－1)x＋100]，‎ 得当x＝＝时，y的值最大．‎ 因为当x＝0时，y的值就是原销售金额，并且当－p＜0且0≤x≤时，y随x的增大而增大，所以应该满足的条件是 解得p＞1，即要使售出金额增加，p的值必须满足p＞1.‎ 图3‎ 例2　在周长为400米且两端为半圆形的跑道上(如图3)，要使内部矩形操场的面积最大，直线跑道AB的长应为多少米？‎ 解：设图中直线跑道AB的长为x米，则半圆直径为d＝(400－2x)米，矩形ABCD的面积为y＝(400－2x)·x＝(－x2＋200x)(0＜x＜200)．‎ 因为－1＜0，‎ 所以当x＝－＝100时，矩形的面积最大．‎ 可见，当直线跑道的长为100米时，内部矩形的面积最大，这正是我们看到的每个400米跑道的田径场的直线跑道都恰为100米的原因．‎ 12‎ 三、中考的常见题型 求二次函数的最值是中考试题中常见的题型，通常与几何、函数或实际问题相结合以压轴题的形式出现．‎ 例3　如图4，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，P是AD边上的一动点(点P异于点A，D)，Q是BC边上的任意一点，连接AQ，DQ，过点P作PE∥DQ交AQ于点E，作PF∥AQ交QD于点F.‎ ‎(1)求证：△APE∽△ADQ；‎ ‎(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数表达式，并求出当点P在何处时，S△PEF取得最大值，最大值为多少；‎ ‎(3)当点Q在何处时，△ADQ的周长最小？(需给出确定点Q在何处的过程或方法，不必给出证明)‎ 图4‎ 解：(1) 证明：∵PE∥DQ，‎ ‎∴△APE∽△ADQ.‎ ‎(2)∵S△ADQ＝AD·AB＝×3×2＝3.‎ 又由(1)知△APE∽△ADQ，‎ ‎∴＝＝()2，‎ ‎∴S△APE＝·S△ADQ＝×3＝x2.‎ 而△APE与△PEF同底不同高，过点A作△AQD的高AH，AH交PE于点G，‎ 则＝＝，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴S△PEF＝·S△APE＝·x2，‎ ‎∴S△PEF＝ ‎＝－(x2－3x)‎ ‎＝－ ‎＝－＋.‎ 当x＝，即P为AD的中点时，S△PEF最大，最大值为.‎ 12‎ ‎(3)作点D关于直线BC的对称点D′， 连接AD′交BC于点Q，此时，Q为BC的中点，同时△ADQ的周长最小．‎ 12‎