四年级上册数学苏教版知识要点 25页

一 升 和 毫 升 一、认识容量 1.容器中所能容纳物体的多少就是它的容量。像茶杯、笔筒、 热水壶等能盛装其他物体的物体都是容器,其中茶杯和热水壶都 能盛水,而这些物体能盛水的多少就是它们的容量。 2.容器的容量是有大小的。．．．．．．．．．．． 3.为了准确测量或计量容器的容量,要使用统一的单位。 二、认识升 1.计量水、油、饮料等液体的多少,通常用升作单位。升可以 用字母“L”表示。 2.棱长是 1分米的正方体容器(不计壁厚),容量是 1升。 3.计量固体的体积．．．．．．．,．不能用升作单位。．．．．．．．． 三、认识毫升 1.毫升也是容量单位,可以用字母“mL(ml)”表示。 2.棱长是 1厘米的正方体容器(不计壁厚),容量是 1毫升。 3填写单位时．．．．．,．要根据实际情况选择合适的单位．．．．．．．．．．．．．．,．而不能仅仅．．．．． 根据所给数的大小进行选择。．．．．．．．．．．．．． 四、升与毫升之间的换算 1.升与毫升之间的进率是．．．．．．．．．．1000．．．．,．即 1升=1000 毫升或 1 L=1000 mL。 2.升与毫升之间的换算与其他单位之间的换算方法一样,把 高级单位换算成低级单位,乘进率;把低级单位换算成高级单位,除 以进率。 五、解决问题的方法 1.运用比较法解决问题。．．．．．．．．．．(基本方法) 比较法是通过观察、分析,找出研究对象的异同点,从而发现 解决问题途径的一种方法。 2.运用综合法解决．．．．．．．“．注水．．”．问题。．．．(能力点) 解决此类问题的关键是分清水管关好前、后每分钟的注水量, 并根据注水量求出相应的时间。 3.运用转化法解决．．．．．．．“．漏水．．”．问题。．．．(能力点) 解决此类问题的关键是利用所给数量之间的倍数关系。 4.运用分析法解决．．．．．．．“．溢水．．”．问题。．．．(能力点) 可以通过观察、操作 等方法比较几个容器容 量的大小。 易错点:误以为所有 容器的计量单位都是升。 举例: 在括号里填上合适 的单位。 一瓶饮料的净含量 为 500( )。 错解:升 正解:毫升 易错点:误以为升与 毫升之间的进率是 10。 ( ) 举例 1: 判断:升与毫升之间 的进率是 1000。 错解:(✕) 正解:(√) 举例 2: 在( )里填上“升” 或“毫升”。 一桶豆油大约有 2.5( )。 一瓶果汁大约有 500( )。 一汤勺水大约有 10( )。 解题技巧:解决此类 题目,要运用比较法,先观 察所给物体的大小,然后 与1升、1毫升进行比较、 分析, 后得出结论。 答案:升 毫升 毫 升 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第1页 解决生活中的实际问题时,要从实际情况入手,深入解读题目 中的已知条件,理解题意, 后得出结论。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第2页 二 两、三位数除以两位数 一、除数是整十数,商是一位数的口算和笔算 1.整十数除以整十数的计算方法: 求一个数里含有几个另一个数,用除法计算。 教材例 1,通过认真看图、读题、理解题意可知,60 副陆 战棋,每 20 副打一包,求要打几包,就是求 60 里面有几个 20, 用除法计算,列式为 60÷20。 探究 60÷20 的计算方法: 可以采用两种方法,口算法:根据乘、除法的互逆关系或 表内除法计算:20×3=60→60÷20=3。 笔算法:可以借助小棒图理解算理。 从图 中可知:60 里面有 3个 20,即 60÷20=3。 (1)口算方法: ①根据乘、除法的互逆关系,想乘法算除法; ②利用表内除法计算。 利用表内除法计算,渗透了类比．．的思想方法。类比的思想 方法是指根据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对 象的性质迁移到另一类数学对象上去。 (2)笔算方法:被除数里面有几个除数,商就是几,商要写 在个位上。用竖式计算时,商要与被除数的相同数位对齐。 2.两位数除以整十数的笔算方法: (1)算法分析:两位数除以整十数,用被除数的前两位除以 除数,被除数里面含有几个除数,商就是几,商必须写在被除数 的个位上。有余数时,余数要比除数小．．．．．．．。 (2)可采用试商的方法确定商的大小。 (3)验算:根据“．商．×．除数．．+．余数．．=．被除数．．．”．来验算有余数的除．．．．．．．． 法。．． 3.三位数除以整十数,商是一位数的笔算方法: (1)算法分析:因为除数是两位数,所以要先看被除数的前 两位,被除数的前两位如果不够除,就要看被除数的前三位,商 要与被除数的个位对齐。 (2)可采用试商的方法确定商的大小。 举例: 口算:80÷40= (1)根据乘、除法的互逆 关系,想乘法算除法: 40×2=80→80÷40=2 (2)利用表内除法计算: 8÷4=2→80÷40=2 易错点:误以为余数可以 比除数大。 举例:85÷20= 用竖式计算时,商的 4要 与被除数 85 个位上的 5对 齐。 验算:20×4+5=85 举例:120÷30= 用竖式计算时,被除数 120 的前两位 12 除以 30,不 够除,就用120除以30,商的4 要与被除数120的个位对齐。 验算:30×4=120 要点提示:计算三位数除 以整十数的除法时,一定要注 意商的书写位置。计算时一定 要细心,不能漏写或少写。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第3页 (3)验算:根据“．商．×．除数．．=．被除数．．．”．来验算没有余数的除法．．．．．．．．．．。． 二、除数是整十数,商是两位数的笔算 1.笔算三位数除以整十数的除法时,应先看被除数的前 两位,如果够除,那么先用被除数的前两位除以除数;如果被除 数的前两位不够商 1,那么再看被除数的前三位。 2.比较商是一位数和商是两位数的除法的异同: 相同点．．．:．(1)试除的顺序相同。 (2)除到被除数的哪一位,商就写在那一位的上面。 (3)每次除后余下的数都要比除数小。．．．．．．．．．．．．．．． 不同点．．．:．商是一位数——被除数的前两位不够除; 商是两位数——被除数的前两位够除。 3.被除数的前两位大于除数．．．．．．．．．．．,．商应该是两位数。．．．．．．．． 4.笔算除法时,一定要注意,除到哪一位不够商．．．1．时．,要在 那一位上商．0．占位．．。 三、把除数看作和它接近的整十数试商 1.方法:四舍五入法．．．．． (是用“四舍”法估除数,还是用“五入” 法估除数,要根据除数个位上的数进行判断)。 2.用“四舍”法估算除数:除数个位上的数小于．．5．时．,把个位 上的数舍去．．,把两位数看作和它接近的整十数。 3.用“五入”法估算除数:除数个位上的数大于或等于．．．．．5．时．, 把个位上的数舍去．．,．并向十位进．．．．．1．,把两位数看作和它接近的 整十数。 四、解决问题 1.用乘、除法的知识解决实际问题 (1)根据实际情况,可以运用乘、除法的知识列综合算式 解决实际问题。同一个问题,思考的角度不同,列出的算式也 不相同。 (2)检验解题方法和计算结果是否正确,可以把得数代入 原题进行检验。 知识巧记 除法笔算别烦恼, 关键三点要记好。 商的位置很重要, 除数要比余数小。 判断结果对与错, 验算千万不可少。 举例:320÷30= 错解:320÷30=1……20 正解:320÷30=10……20 举例:234÷32= 错解:234÷32=7……20 正解:234÷32=7……10 要点提示:笔算除法试商时,把 除数看作的整十数不参与运 算。 知识巧记 笔算除法莫为难, 试商应把除数看。 “四舍”试商商易大, 商减 1来准好办; “五入”试商商易小, 商再加 1解难关。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第4页 2.运用抓不变量法解决实际问题(能力点) 五、除数是两位数的除法(一) 1.运用 “．四舍．．”．法．试商,因为把除数看小了,所以初商易偏 大,造成商与除数的乘积大于被除数,需要将初商调小．．．．．．．。 2.运用 “．五入．．”．法．试商,因为把除数看大了,所以初商易偏 小,造成余数等于或大于除数,需要将初商调大．．．．．．．。 3.计算除数是两位数的除法的一般步骤: (1)定位．．——确定商应该写在什么位置上。 (2)试商．．——用除数去试除被除数的前几位,得到初商。 初商是否合适,还要看下面两步。 (3)乘减．．——用被除数的前几位,减去初商与除数的乘 积。如果乘积大于被除数的前几位,那么说明初商过大;如果 被除数的前几位减去初商与除数的乘积,所得的差大于除数, 那么初商过小。初商过大或过小,都必须改商。 (4)比．——把余数与除数进行比较。如果余数比除数小, 说明初商合适;如果余数比除数大,说明初商过小,需要改商。 4.验算,就是验证计算结果是否正确,因此要认真对待并 完成验算,才能及时发现计算过程中的错误。 5.解决除数是两位数的除法问题的方法．．．．．．．．．．．．．．．．:． (1)运用倒推法．．．解决问题:根据“被除数=商×除数+余数”中 给出的已知条件可以倒推出所求问题。 (2)运用推理法．．．解决除法竖式谜问题:根据已知条件确定 除数所求数位上的数是解决此类题目的关键。 六、解决问题 举例:156÷32= 错解:156÷32=5……4 正解:156÷32=4……28 要点提示:商与除数的乘 积一定不能大于被除数。 知识巧记 试商方法很多种, 灵活运用不马虎。 “四舍五入” 常用, 特殊数据看清楚。 同头无除商八九, 除数折半商四五。 举例:在 里填上合适 的数,使竖式成立。 解题技巧:根据已知条件 确定除数十位上的数是解决 此题的关键。由被除数百位上 的数是 8,商十位上的数是 3 可知,除数十位上的数可能是 1或 2。由 4和 5 的乘积是三 位数可知,除数十位上的数是 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第5页 1.运用比较法解决问题。．．．．．．．．．．(基本方法) 解决择优问题时,首先把所有的方案都列举出来,然后进 行比较筛选。 2.运用列举法解决竖式谜问题。．．．．．．．．．．．．．(能力点) 三位数除以两位数,如果商是两位数,那么被除数的前两 位一定大于或等于除数。 3.运用推理法解决求被除数的问题。．．．．．．．．．．．．．．．(能力点) 解答此类问题时,先把除法关系式列出来,再根据题意找 出对应的数量,进而求出未知的量。明确除法各部分之间的关 系是关键。 4.运用画图法解决求加数的问题。．．．．．．．．．．．．．．(能力点) 如果一个整数去掉末尾的一个 0等于另一个数,那么这 两个数中较大数是较小数的 10 倍。 七、探索商不变的规律 1.被除数和除数同时乘或除以一个相同的数．．．．．．．．．．．．．．．．．．(．0．除外．．),．商． 不变。．．． 2.被除数．．．乘．a．,．除数除．．．以．b．,．商应．．乘．a．×．b．(．a．,．b．均为．．非．0．自然．． 数．)．。．(能力点) 3.被除数与除数同时扩大相同的倍数．．．．．．．．．．．．．．．,．商不变。．．．． 4. 运用商不变的规律解题: (1)可以把一些比较复杂的除法算式转化成简单的除法 算式,使计算简便。 (2)可以使解题过程更简洁明了。 5.解决问题的方法: (1)运用转化法．．．解决简便计算的问题。 (2)运用商不变的规律．．．．．．解决实际问题。 八、被除数和除数的末尾都有 0的除法的简便算法 1.被除数和除数的末尾都有．．．．．．．．．．．0．且没有余数的除法的简便．．．．．．．．．．． 2,即除数是 24。已知商和除 数,便可得出其他 里应填 的数。 答案: 要点提示: 1.被除数和除数的末尾 要同时划去相同个数的 0。 2.0 不能作除数。0乘任 何一个数都得 0,因此同时乘 或除以一个相同的数时,这个 数不能为 0。 举例: 600÷15 =(600÷3)÷(15÷3) =200÷5 =40 举例:简算 3500÷25= 答案: 3500÷25 =(3500×4)÷(25×4) =14000÷100 =140 举例: 用竖式计算:8400÷30= 错解:8400÷30=28 正解:8400÷30=280 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第6页 算法．．:． (1)将被除数和除数的末尾同时划去相同个数的 0,再计 算。 (2)当被除数和除数的末尾的 0的个数不同时,同时划去 的 0的个数应以末尾 0的个数较少的数为准。任何数中间．．．．．的． 0．都不能划去。．．．．．． 2.被除数和除数的末尾都有．．．．．．．．．．．0．且有余数的除法的简便算．．．．．．．．．．． 法．:．被除数和除数的末尾同时划去几个 0,就在余数的末尾添 上几个 0。 3.运用假设法和列表法解决问题 遇到没有对被除数和除数提出明确要求的题目时,可以 先通过假设来确定其中一个符合条件的数,进而根据除数和 其他条件确定被除数,列出相应的算式,解决问题。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第7页 实 践 活 动 一、简单的周期 1.认识周期现象 周期现象的概念．．．．．．．:同一事物依次重复出现就叫做周期现 象。 2.周期问题的解题方法．．．．．．．．．:． (1)找出排列规律,确定排列周期。 (2)确定排列周期后,用总数除以周期。 ①如果没有余数．．．．．．,．正好有整数个周期．．．．．．．．,．那么结果为周期里．．．．．．．． 的 后一个。．．．．．． ②如果有余数．．．．．,．即比整数个周期多．．．．．．．．n．个．,．那么结果为下一．．．．．．． 个周期的第．．．．．n．个。．． 二、运动与身体变化 1.提出问题:适量的运动可以使我们变得更健康,那么你 知道运动后,身体会发生哪些变化吗? 身上会出汗 脉搏会加快 呼吸会加快 2.实验过程: (1)测出运动前 1分钟脉搏的跳动次数。 (2)原地高抬腿跑 30 秒后,立即测出 1分钟脉搏的次数, 并作记录。 (3)休息 2分钟后,再测出 1分钟脉搏的次数,并作记录。 (4)计算每组数据的平均数,根据“总数量．．．÷．总个数．．．=．平均．． 数．”来计算,并将结果填在记录表中。 (5)分析每个人的三项数据及全组的三个平均数,看运动 对脉搏的影响。 (6)得出结论:运动可以使脉搏加快．．．．．．．．．,．休息后脉搏逐渐恢．．．．．．．． 复。．． 三、怎样滚得远 1.提出问题．．．．:在日常生活中,我们常看到物体在斜坡上向 下滚。那么,斜坡与地面成什么角度时,物体滚得远一些呢? 1.解决周期问题的关键 是明确事物的排列规律．．．．．．．．．。 2.解决周期问题时,如果 结果有余数,那么余数中的物 体要按原规律排列。 1.运动前后不要大量饮 水或吃冷饮;体弱或生病期间 不要做剧烈运动;身上不要佩 戴坚硬或带尖的物品…… 2.运动时间的长短和运 动方式的不同都会引起脉搏 的变化,变化的结果也是不同 的。 斜面是 简单的机械之 一。 1.物体从斜坡上滚下的 距离,不仅与斜坡的长度有关, 还与斜坡和地面所成的角度 有关。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第8页 2.实验操作．．．．: (1)选择不同的具有代表性的角度进行实验,记录每次实 验的结果。(如选择斜坡与地面成 30°,45°,60°角度进行实验) (2)认真统计实验数据。 选择斜坡与地面所成的角度(如 30°角)进行实验,记录实 验结果,计算出每次物体在地面上滚动的距离的平均数,然后 换一个角度(如 45°角),再次计算出平均数。这样多换几个角 度,测量并记录每次物体在地面上滚动的距离,求出它们的平 均数。 (3)得出实验结论．．．．．．:比较每次求得的平均数,从而得出斜坡 与地面成什么角度时,物体滚得远一些。 2.实验操作需要科学和 严谨,否则结果将会失之毫厘, 差之千里。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第9页 三 观 察 物 体 一、观察物体:我们观察像冰箱、柜子等有门的物体时, 一般把有门的这一面称为前面。如果没有门,那么把物体正对 着我们的一面称为前面．．,在我们右侧的面称为右面．．,物体顶部 的面称为上面．．。 二、从不同方向观察同一物体 1.观察物体时,视线要垂直于．．．被观察物体的表面。 2.从不同方向观察同一物体,看到的形状可能是不同的．．．．．．。 三、观察几何体:观察由若干个大小相同的正方体组成的 物体时,要弄清从每一面能看到几个正方形,是怎样排列的。 1.观察时应在正对着．．．几何体的一面进行观察。 2.从不同方向观察同一个几何体,看到的形状可能是不．．．． 同的．．。 四、辨认从不同方向观察简单物体所得到的图形 辨认从不同方向观察简单物体所得到的图形时,应从观 察者的角度,从不同方向观察物体,把观察到的图形和题目中 的图形对照,从而得到正确答案。 五、辨认从不同方向观察稍复杂的物体所得到的图形 1.辨认从不同方向观察稍复杂的物体所得到的图形时, 可以先从不同方向观察物体,描述出看到的图形,再与已知图 形对比,判断出已给图形是从哪个方向观察得到的。 2.从同一方向观察不同的物体时．．．．．．．．．．．．．,．看到的图形可能是相．．．．．．．．． 同的．．,．也可能是不同的。．．．．．．．． 六、根据指定的视图摆放物体 根据指定的视图摆放物体时,先思考这个视图是从哪个 方向观察得到的,再根据视图的特点摆出物体。 七、解决问题 1.运用观察法．．．和分析法．．．解决组合立体图形的问题 (1)运用观察法解决组合立体图形的问题 ①判断组合立体图形的形状,应弄清各个立体图形合并 时的位置和每个立体图形中含有的正方体的个数。 要点提示:观察物体时,要 确定观察者的位置,才能正确 判断观察到的直观图的排列 方式。 举例: 判断:任何一个物体从不 同的方向观察,看到的形状都 不相同。 ( ) 错解:(√) 正解:(✕) 解题技巧:单独的一个正 方体,无论从什么方向观察,看 到的形状都是正方形。 要点提示:要通过实际操 作、观察、想象,才能正确判 断。 易错点:仅凭从某一方向 看到的图形来确定组成立体 图形的正方体的个数。 举例:填一填下面的图形 中各有多少个小正方体。 ( )个 ( )个 错解:5 3 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第10页 ②观察时也可以通过从前面和上面,或从上面和右面看 到的图形来确定摆放的层数、行数和每行的个数。 (2)运用分析法解决根据视图摆立体图形的问题 综合所有的条件进行判断是解答此类问题的关键。 2.运用排除法．．．解决猜正方体上相对面上的数字的问题 用排除法时,我们可以从出现次数 多的数字入手。 3.运用转化法．．．解决观察物体的问题 用正方体搭物体,搭法不同,但是从同一方向观察到的图形可 能相同。 正解:6 4 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第11页 四 统计表和条形统计图(一) 一、统计表和条形统计图 1.由教材例1中可以发现,统计张丽华所在班的同学 喜 欢的电视节目的人数蕴含着统计的思想方法。所谓统计的数．．．． 学思想．．．,是指在生产、生活和科学研究时,人们通常需要有目 的地调查和分析一些问题,这时把收集到的一些原始数据加 以整理,从而方便研究的一种思想。要清楚地表示收集到的数 据和结果,就需要认识统计表和统计图,用统计表或统计图来 表示收集到的数据。 2.统计表．．． (1)根据调查的相关数据填写统计表,在对应栏里填上对 应的数据。 (2)合计．．是各个分类事物的统计数据之和。 3.条形统计图．．．．． (1)制作条形统计图时,可以根据数量的多少确定 1格代 表多少个单位,确定好横轴、纵轴。 (2)特点．．:．条形统计图可以直观．．．．．．．．．、．形象地反映数量的多少．．．．．．．．．．。． (3)绘制条形统计图应注意的问题: ①绘制条形统计图时,直条宽窄相等意味着把相应数量 放在同一标准下进行比较。若直条宽窄不等,则意味着比较的 标准不同。 ②绘制条形统计图时,其组成部分一个都不能少,如标． 题、制图时间、单位、直条、数据、统计对象等．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。 4.横向条形统计图．．．．．．．:．用纵轴表示统计对象的名称,横轴表 示统计的数据,这样的条形统计图叫作横向条形统计图。 5.统计表和条形统计图都能清楚地看出统计的结果。统 计表用表格呈现数据,条形统计图用直条呈现数据。 二、数据的分段整理和统计 1.完整的统计表要有: (1)反映统计内容的标题 和日期; (2)和收集数据相对应的 统计项目; (3)表示的数据。 2.统计表除了每个项目 要根据整理出的数据正确填 写外,一般还要计算合计数,它 表示各项目的数据相加是多 少。 要点提示: 1.制作统计表和统计图 时,一定要注明统计表(图)的 名称和制表(图)日期。 2.在条形统计图上表示 数据,一要看清各类项目的位 置,在对应的位置上表示相应 的数据;二要根据每格表示几 确定直条画多高,准确表示数 据;三要在直条的上部标出表 示的数量。 要点提示: 1.整理数据时,要按编号 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第12页 1. 收集、整理数据时,可以根据实际情况,对一组数据进 行分段整理。 2.分段整理数据的步骤．．．．．．．．．:． (1)收集数据; (2)分段整理(可以用画“正”字的方法); (3)制作统计表; (4)分析数据,解决问题。 三、运用对应法解决合并统计表的问题(能力点) 在合并两个统计表时,相同的项目要对应好,复式统计表 一般要有两个栏目。 四、平均数 1.平均数的意义．．．．．．:一组数据的和除以这组数据的个数,所 得的商就是平均数。 2.平均数的特点:平均数是描述一组数据集中趋势的特 征量。它是一组数据的代表值,能较好地反映一组数据的整体 水平,常用来进行几组数据间的比较。 3.平均数的求法: (1)移多补少法．．．．．:在总量不变的前提下,在几个(或若干个) 不相同的数中,从多的数中拿出一部分给少的数,使它们变成 相同的数,这个相同的数就是这组数据的平均数。 特点:数量较小时使用比较方便。 (2)计算法．．．:先求出一组数据的总数量,再除以这组数据的 总个数,就可以求出这组数据的平均数,即“平均数．．．=．总数量．．．÷．总． 个数．．”。 (3)根据“平均数=总数量÷总个数”可以推导出“总数量=平 均数×总个数”,也就是已知几个数的平均数,可以求出它们的 总数量。(能力点) 4.平均数的判定:几个数的平均数不一定小于其中每一 个数,也不一定大于其中每一个数,也不一定等于其中每一个 数,它在 大数和 小数之间．．．．．．．．．．。 顺序逐个进行整理,避免重复 或遗漏。 2.在进行数据的统计时, 划分合理的数据段很重要。 3.在分段整理之后,将各 段的个数相加,看是否与条件 中的总数相等,是验证统计结 果的基本方法,且分段要做到 不重不漏。 易混点:分段整理数据时, 除了用画“正”字的方法外,还 可以用数数法、画“ ”法、用 不同符号记录法…… 平均数能较好地反应一 组数据的整体水平。 易错点:平均数不是实际 数量,它是一个虚拟的数。 要点提示: 1.求平均数的过程中蕴 含着统计的数学思想。 2.移多补少,一般都是通 过实际操作来求平均数,用实 物替代数据的实际数量,相互 移补求得平均数,原来每个数 据的数量都可能发生变化。 举例: 判断:几个数的平均数一 定大于其中每一个数。 ( ) 错解:(√) 正解:(✕) 要点提示:求平均数必须 要清楚谁是总数量,谁是总份 数(总个数)。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第13页 5.求平均数必须知道的两个条件．．．．: (1)被平均分的事物的总数; (2)要平均分成的个数或份数,即平均数=总数量÷总个数 (或总份数)。对于这三个量,知道任意两个量,就可以求出第三 个量。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第14页 五 解决问题的策略 一、用列表法解决问题 1.用列表法解决问题．．．．．．．．。(基本方法) (1)用列表法解决归一问题:“归一问题．．．．”是指每份数量不 变,解题时要先求出每份是多少。 (2)用列表法解决归总问题:“归总问题”是指总数不变,解 题时要先求出总数是多少。 2.用列表法解决实际问题的基本步骤．．．．．．．．．．．．．．．:． (1)弄清题意,明确已知条件和所求问题; (2)列表整理相关信息; (3)分析数量关系; (4)解决问题; (5)检验。 3.分析实际问题中数量关系的方法．．．．．．．．．．．．．．:．可以从已知条件入 手,通过列表或画线段图等方法进行分析;也可以从所求问题 入手,通过列表或画线段图等方法进行分析。 4.运用假设法和列表法解决问题．．．．．．．．．．．．．。(能力点) 用列表的方法整理题目中的已知条件和所求问题,从已 知条件和所求问题出发,分析两积(商)之和(差)问题的数量关 系,总结解决实际问题的办法。 二、用多种策略解决问题 1.运用多种策略解决问题．．．．．．．．．．。(基本方法) (1)从条件出发,先找出有联系的两个信息,求出两个中间 问题,然后求出题目中的问题。 (2)从问题出发,思考解决这个问题需要知道哪些条件,然 后去找与这些条件相关的信息。 2.运用假设法解决实际问题．．．．．．．．．．．。(能力点) 假设法是解应用题常用的一种思维方法。在一些应用题 中,要求两个或两个以上的未知量,可以先假设要求的两个或 几个未知数相等,然后按题中的已知条件进行推算,并对照已 知条件,把数量上出现的矛盾加以适当的调整,找到答案。假 1.分析数量关系可以从 条件入手,也可以从问题入 手。 2.解决问题时,要先认真 审题,明确题目中的数量关系, 再列式。 3.列表法有利于发现数 量之间的关系,容易找到解决 问题的策略。 4.用列表法解决问题时, 要选取相关的条件和问题。 举例: 买 2 根棒棒糖用 10 元, 买 5 根同样的棒棒糖用多少 元?列式为( ) A.10÷5×2 B.10÷2×5 C.10÷2÷5 错解:A 正解:B 解题技巧:解决问题时,要 对题目中的信息进行准确、有 序地排列,避免弄混。 根据题中所给的数量关系多 角度思考,运用不同的方法解 决问题。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第15页 设法通常应用于鸡兔同笼、租船等问题中。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第16页 六 可 能 性 一、事件发生的不确定性和确定性 从教材例 1的图中我们观察到,图中有一个口袋,口袋里 放有 1个红球和 1个黄球,一名蒙着眼睛的同学正在摸球。口 袋里的球除了颜色不同外,大小、质地完全相同。根据题意可 知,要求小组合作,从口袋里任意摸出1个球,摸后放回,一共摸 10 次,记录每次摸出球的颜色。 1.通过分析,我们知道每次摸出的可能是红球,也可能是 黄球,即每个球都有可能被摸出。这个事件的发生是不确定 的。 2.如果把口袋里的2个球都换成是红色的,那么无论怎么 摸,摸出的一定是红球。这个事件的发生是确定的。 像这样,在一定的条件下．．．．．．．,．一些事件的结果是不可预知的．．．．．．．．．．．．．,． 具有不确定性．．．．．．;．一些事件的结果是可以预知的．．．．．．．．．．．．．,．具有确定性。．．．．．． 二、判断事件发生的可能性大小的方法 1.教材例 2中把 4张都是红桃的扑克牌:红桃 A、红桃 2、 红桃 3和红桃 4放在桌上,要求任意摸出 1张,判断摸出的这 张牌可能是哪张。 通过分析,我们知道每张牌都有可能被摸出,摸之前不能 确定,摸出的可能是红桃 A,也可能是红桃 2、红桃 3或红桃 4,一共有 4种不同的可能。 2.如果把“红桃 4”换成“黑桃 4”,从中任意摸出 1张,那么摸 出的扑克牌是红桃的可能性大,还是黑桃的可能性大? (1)我们分析调换后的扑克牌,有黑桃和红桃两种花色,但 数量不等,红桃有 3张,黑桃有 1张。根据每种花色扑克牌的 数量确定摸出两种花色扑克牌的可能性的大小: 任意摸出 1张扑克牌,可能发生 2种结果 摸出的是红桃; 摸出的是黑桃。 (2)我们猜测摸出红桃的可能性大 根据每种花色扑克牌的数量进行判断:红桃有 3张,黑桃 有 1张,红桃多,黑桃少,因此摸出红桃的可能性大。 三、解决问题的方法 1.运用列举法解决可能性问题．．．．．．．．．．．． 解决这类问题,要先列举出所有可能发生的情况,再进行 判断。 2.运用列表法解决鸽笼问题．．．．．．．．．．． 随机思想是认识随机现 象和统计规律的重要思想。 像摸球、抽签表演节目等 游戏中都蕴含着随机思想．．．．。 在一定的条件下,某些现 象的结果是可以预知的,即总 是确定的,这类现象称为确定．． 现象．．;另一类现象的结果是无 法预知的,即在一定的条件下, 出现哪种结果是无法事先确 定的,这类现象称为随机现象．．．． 或不确定现象．．．．．．。 要点提示:可能性的大小 与数量有关,在总数量中所占 数量越多,可能性就越大;所占 数量越少,可能性就越小。可 以用“一定．．”“不一定．．．”“可能．．”来描 述事件发生的可能性。 易错提示:理论上事件发 生的可能性相等,而实际操作 中存在偶然性,可能会与理论 上的可能性不符。 举例: 判断:将一枚硬币连续抛 10 次,一定是 5次正面朝上。 ( ) 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第17页 列表时要列出每种进法的可能情况。假定每个鸽笼都只 飞进 1只鸽子,那么有几个鸽笼,就能飞进几只鸽子。如果有 多于鸽笼数的鸽子,那么多出鸽笼数的鸽子必定要飞入已经 有鸽子的鸽笼里,也就是说,至少有 1个鸽笼要飞进 2只甚至 更多的鸽子。 错解:(√) 正解:(✕) 易错提示:生活中一些事件发 生的确定性和不确定性要根 据客观事实进行判断,与个人 的意愿无关。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第18页 七 整数四则混合运算 一、不含括号的混合运算 不含括号的混合运算的运算顺序: 1.在没有括号的算式里．．．．．．．．,既有乘、除法,又有加、减法,要 先算乘、除法,再算加、减法。若加号或减号两边同时有乘、 除法,则乘、除法可以同时计算。 2.正确计算混合运算的关键:一看、二想、三算、四查。 一看．．:看清算式中含有哪几级运算;二想．．:想运算顺序,确定先 算什么,再算什么;三算．．:认真计算;四查．．:检查是否算错,运算符 号和数字是否抄错。 3.加号两边的乘法或除法同属于第二级运算,可以同时 计算,既符合运算顺序,又可以使书写过程简便。 4.解决问题的方法 (1)运用尝试法解决填运算符号使等式成立的问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(能力 点) 在相同的数组成的算式中,运用不同的运算符号,一般可 以得到不同的结果。 (2)运用替换法解决将几个算式改写成综合算式的问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． (能力点) 用算式替换算式中的数是解决此类问题的关键。 二、含有小括号的混合运算 1.含有小括号的混合运算．．．．．．．．．．:在一个算式里,有小括号的要 先算小括号里面的,再算小括号外面的。小括号里面的也要先 算乘、除法,后算加、减法。 2.解决问题的方法: 运用综合法解决利用括号改变算式结果的问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(能力点) 利用小括号来改变运算顺序,使结果发生改变。 三、含有中括号的混合运算 要点提示: 1.只有同一级运算的算 式,要按照从左到右．．．．的顺序计 算。 2.计算小括号里面的算 式时,小括号外面的部分要照 写下来。小括号里面的算式都 算完,才能去掉小括号。 易混点:计算时,不要混淆 小括号和中括号的运算顺序。 举例: 计算:280÷[(4+3)×4] 错解:280÷[(4+3)×4] =280÷[7×4] =40×4 =160 正解:280÷[(4+3)×4] =280÷[7×4] =280÷28 =10 解题技巧:混合运算中含 有中括号的,一定要把中括号．．．．．．． 内的算式全部算完才能去掉．．．．．．．．．．．． 中括号．．．,．否则运算顺序就会发 生改变,结果也可能发生改 变。 知识巧记 混合算式要计算, 明确顺序是关键。 同级运算 好办, 从左到右依次算。 两级运算都出现, 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第19页 1.认识中括号．．．:中括号又叫方括号,用“[ ]”表示。在混合 运算中,如果使用小括号后仍需改变运算顺序,可以使用中括 号。 2.在一个算式里,既有小括号,又有中括号,要先算．．小括号 里面的,再算．．中括号里面的, 后算．．．中括号外面的。 3.如果在一个混合算式中含有两个或多个小括号,那么 这几个小括号里面的部分可以同时进行计算。 4.解决问题的方法: 运用等量代换法解决列综合算式的问题．．．．．．．．．．．．．．．．．(能力点) 根据每一步的运算顺序及结果与算式的联系,运用等量 代换法,便可推算出算式。 先算乘除后加减。 遇到括号怎么办? 先算里面再外面。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第20页 八 垂线与平行线 一、认识射线和直线 1.射线 (1)射线的定义:城市夜空中的灯光、手电筒射出的光线 都是从各自的发光点射出的,能射向很远的地方。这些灯射出 的光线都可以看作射线。 (2)射线的特点．．．．．:射线只有一个端点,可以向一端无限延 伸。 (3)射线与线段的关系:把线段的一端无限延长,就得到一 条射线。 2.直线．．:把线段的两端都无限延长,就得到一条直线。 3.线段、射线和直线的联系和区别: 名 称 图形 端点 个数 延伸情 况 长度 线 段 两个 不能向 两端延 伸 有限 长 射 线 一个 只能向 一端无 限延伸 无限 长 直 线 无 可以向 两端无 限延伸 无限 长 4.经过规定的点画射线和直线 (1)从一点出发可以画无数条射线。 (2)经过一点可以画无数条直线。 (3)经过两点只能画一条直线。 5.线段可以确定长度．．．．．．．．,．射线和直线都是无限长的。．．．．．．．．．．．． 6.两点间的距离 (1)连接两点间的线段的长度叫作这两点间的距离。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． (2)特点:两点之间．．．．,．线段 短．．．．。 7.角的认识 (1)角的定义:从一点引出的两条射线可以组成角．．．．．．．．．．．．．．．,．这一点．．． 叫做角的顶点．．．．．．,．这两条射线叫作角的边。．．．．．．．．．．． 要点提示:线段、射线都 是直线的一部分。 举例: 判断:直线比射线长。 ( ) 错解:(√) 正解:(✕) 易错点:直线与射线都是 无限长的,都是不可测量的,因 此无法比较它们的长短。 易错提示:无论是画射线 还是画直线,所画的线必须是 直的。射线必须以已知点为起 点,直线必须经过已知点。 要点提示:直线是可以向 两端无限延伸的,没有具体的 长度。 要点提示:两点之间,线段 短。 要点提示: 1.角有一个顶点和两条 边,两边可以无限延伸。 2.用符号化的语言来认 识角,蕴含着符号化思想．．．．．。符 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第21页 (2)角的各部分: (3)角的符号、记法和读法．．．．．．．．．．: 角通常用符号“∠”表示。 记作∠1,读作角一。 (4)画角的步骤．．．．．: ①确定顶点(在适当的地方画一个点); ②画角的两条边(从这一点向两个不同的方向画两条射 线)。 8.解决问题的方法 (1)运用画图法解决数线段的问题．．．．．．．．．．．．．(能力点) 解答数线段类型的题目,关键是画图分析,寻找规律,从而 发现线段数量等于“1+2+3+．．．．．．…．+．(．端点数．．．-1．．)．”这个规律。 (2)运用分析法解决数角的问题．．．．．．．．．．．．(能力点) 在由 n条射线构成的角中,角的总个数是 n．×．(．n-．．1．)．÷．2．个。 二、角的度量 1.统一角的计量单位及度量工具的重要性: (1)三角尺的角有大有小,用大小不同的角量指定的角,不 可能得到一致的结果。 (2)为了准确测量角的大小,要有统一的计量单位和度量 工具。 2.认识量角器: (1)量角器及其各部分的名称．．．．．．．．．．．:量角器是半圆形的,被平均 分成了 180 份,上面有很多刻度线,都指向量角器的中心。为 了使用方便,量角器上有两条 0°刻度线和两圈刻度。量角器 里面按逆时针方向表示的刻度叫做内圈刻度,外面按顺时针 方向表示的刻度叫做外圈刻度。 号化思想是用符号化的语言 (包括字母、数字、图形和各 种特定的符号)来描述数学内 容。 知识巧记 射线、直线与线段, 区别起来并不难。 射线只从一点起, 与角紧密相关联。 直线长长无端点, 两点一线应用全。 若问距离是多少, 线段帮你测量它。 量角器是半圆形的。把这 个半圆分成 180 等份,每一份 所对的角是 1度的角。内圈刻 度和外圈刻度分别按逆时针 和顺时针方向排列。 要点提示:“度”是角的计 量单位,用符号“°”表示。如 1 度记作 1°。符号“°”要写在数 的右上角。 用量角器度量角的基本 方法和操作要领可以概括为 “两个重合,一个注意”。两个重 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第22页 (2)角的计量单位和表示符号．．．．．．．．．．．:把半圆分成 180 等份,每一 份所对的角是 1度的角。 3.用量角器量角: (1)测量角的大小的基本方法．．．．．．．．．．．:． ①使量角器的中心与角的顶点重合; ②将量角器内圈刻度的 0°刻度线与角的一边重合; ③角的另一条边与量角器内圈刻度的30°刻度线重合,这 个角就是 30°。 (2)针对角的位置特点合理使用量角器．．．．．．．．．．．．．．．:．角的位置不同,量 角器的使用方法也不同,根据角与量角器 0°刻度线重合的边, 判断使用的是量角器的外圈刻度,还是内圈刻度。 三、角的分类和画法 1.角的分类及角之间的关系 (1)3 个特殊角的认识: ①直角:直角等于．．．．90．．°．。 ②平角:角的两边成一条直线时,这样的角叫做平角。平． 角等于．．．180．．．°．。 ③周角:一条射线绕它的端点旋转一周所形成的角叫作 周角。周角等于．．．．360．．．°．。 (2)各角之间的关系: ①锐角<直角<钝角<平角<周角 ② 直角等于 90° 平角等于 180° 周角等于 360° 1 个平角=2 个直角 1个周角=2 个平角=4 个直角 (3)锐角、钝角与直角、平角、周角的关系: 合分别是:①点点重合．．．．(量角 器的中心与角的顶点重 合);②线边重合．．．．(量角器的 0° 刻度线与角的一边重合,另一 条边所对应的刻度就是这个 角的度数)。一个注意:内圈刻 度与外圈刻度不能混用。 知识巧记 角的测量并不难, 度量方法要记全。 点点重合是关键, 线边重合记心间。 内圈外圈不能混, 读准度数才算完。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第23页 名 称 角 类 别 锐角 直角 钝角 平角 周角 图 形 特 点 小于 90° 等于 90° 大于 90°, 小于 180° 等于 180° 等于 360° 2.角的画法 (1)用量角器画角．．．．．． ①画出角的顶点和一条边,即先画一条射线; ②将量角器的中心与角的顶点重合,0°刻度线与角的这 条边重合; ③根据要画的角的度数在相应的刻度线处点一个点,从 顶点出发过这个点画一条射线,标出度数。 (2)用三角尺画特殊度数的角．．．．．．．．．．． ①30°,45°,60°,90°的角可以利用三角尺上对应度数的角 直接画出。 ②15°,75°,105°,120°,135°,150°,180°的角可以利用三 角尺上的两个角组合画出。 四、认识垂直 1.垂直的概念．．．．． 两条直线相交成直角时,这两条直线互相垂直,其中一条 直线是另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫作垂足。 2.画垂线的方法．．．．．． 过直线上或直线外一点画已知直线的垂线,都可以用三 角尺或量角器来完成。关键是所画直线不但要经过那一点, 而且要与已知直线相交成直角。 3.点到直线的距离．．．．．．． 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度,叫作 这点到直线的距离。 4.运用画示意图的方法解决画长方形的问题。(能力点) 在画图时,应注意垂线一定要画得标准。 五、认识平行 1.平行的概念．．．．． 同一平面内,不相交的两条直线互相平行,其中一条直线 是另一条直线的平行线。 巧记规律:开口向右的角 一般要看内圈刻度,开口向左 的角一般要看外圈刻度。确定 好内、外圈刻度是读准度数的 前提。 易错提示:1.平角不是直 线,而是两条边在同一条直线 上的角。 2.周角不是一条射线,而 是一个两条边重合在一起的 角。 巧记规律:角的一条边旋 转半周是 180°,旋转一周是 2 个 180°,正好是 360°。 要点提示:画角时一定要 标出角的符号。 画指定度数的角要按一 定的操作方法去画。画没有度 数要求的角用直尺等工具即 可。 举例:画 105°的角可以用 三角尺上 45°的角和 60°的角 组合画出。45°+60°=105°。 画 15°的角可以用三角 尺上 45°的角和 30°的角组合 画出。45°-30°=15°。 易错提示:垂直是两条直线 相交的特殊情况,两条直线的 垂直关系是相互的,不能单独 说哪条直线是垂线。 要点提示: 1.画垂线必须保证两条 直线相交成直角。 2.点到直线的距离是点 到直线的垂直线段的长度。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第24页 2.理解．．“．同一平面．．．．”． 是否在同一平面内是确定两条直线是否互相平行的前．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 提。．．如果两条直线不在同一平面内,即使两条直线不相交,也 不能称为互相平行。 3.平行线的画法．．．．．． (1)用方格纸、直尺等画平行线。 (2)用三角尺和直尺画平行线: ①固定三角尺,沿三角尺的一条直角边画一条直线; ②把直尺与三角尺的另一条直角边紧靠在一起并固定 直尺,沿着直尺向下平移三角尺; ③把三角尺平移一段距离后,沿①中所用三角尺的那一 条直角边再画一条直线。 4.平行线间垂直线段的长度就是平行线间的距离。平行 线间的距离处处相等。(能力点) 知识巧记 认识垂线并不难, 相交直角是关键。 垂线画法较简单, 画图工具可任选。 点到直线有距离, 垂直线段记心间。 要点提示: 1.在同一平面内的两条 直线的位置关系只有两种:相 交或平行。 2.判断两条直线是否互 相平行时,要抓住两个关键因 素:一是在同一平面内;二是不 相交。 知识巧记 一平面,两直线, 无非相交与平行。 平行线,处处见, 黑板对边斑马线。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第25页