五年级下册数学试题-计算综合（三）（含答案解析）全国通用 7页

计算问题练习题 一． 夯实基础：‎ a c b d ‎25 40‎ = ad + bc ，求 ‎1.‎ 我们规定：‎ 的值．‎ ‎16‎ ‎21‎ 对于数a,b, c, d ，规定< a,b,c, d >= 2ab - c + d ．已知< 1,3,5, x > = 7 ，求 x 的值．‎ ‎2.‎ ‎“ ”表示一种新的运算符号，已知： 2 3 = 2 + 3 + 4 ； 7 2 = 7 + 8 ；‎ ‎3 5 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 ，„„按此规则，如果n ⊙ 8 = 68 ，那么， n = .‎ ‎3.‎ 若规定a * b = a + b ¸ a ,那么(1* 2) *3 = ．‎ ‎4.‎ 二． 拓展提高：‎ ‎5. 有一个数学运算符号 ，使下列算式成立：‎ ‎1 2 = 3 ， 4 7 = 11 ， 5 1 = 6‎ ‎，求 4 的值 .‎ ‎11 5‎ ‎3‎ ‎2 3 6‎ ‎5 9 45 6 7 42‎ ‎1‎ 对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算* ：a * b = a(a +1)(a + 2)‎ b 表示自然数.如果(x *3) * 2 = 3660 ，那么 x 等于几？‎ ‎(a + b -1) ，其中a 、‎ ‎6.‎ ‎7. 对于数a 、b 规定运算“ D ”为aDb = (a +1)(b -1), 若等式：‎ ‎(aDa)D(a +1) = (a -1)D(aDa) +1 成立，求a 的值 三． 超常挑战 ‎8. 对于任意自然数 x ，y ，定义运算☆如下：如果同奇同偶，则 x☆y = (x + y) ¸ 2 ；如果 x ，‎ y 奇偶性不同，则 x☆y = (x + y +1) ¸ 2 .‎ 求：① (1994☆1995)☆(1995☆1996)☆(1996☆1997)☆ ☆(1999☆2000)‎ ‎②1994☆1994☆1998☆2000☆2001‎ ab 定义一种新运算* ，对于任何两个正数a 和b ， a * b = ‎①说明运算* 具有结合律，即： (a * b) * c = a * (b * c)‎ ‎②计算： 20 * 20 *10 * 5‎ ‎③计算： 2 * 4 *8*16 *16‎ ‎④计算： 2 *16 * 4 *8*16‎ ‎9.‎ ‎。‎ a + b ‎10. 如有 a #b 新运算， a #b 表示 a 、b 中较大的数除以较小数后的余数.例如； 2#7 = 1 ，‎ ‎8#3 = 2 ， 9#16 = 7 ， 21#2 =1.如21#(21# x) = 5 ，则 x 可以是 （ x 小于50 ）.‎ ‎2‎ ‎11. 规定 x * y = ax + y ， 5* 6 = 6 *5 ，求(3* 2) ´ (1*10) 的值.‎ xy = = mx + ny ， x △ y ‎12.‎ x 、 y 表示两个数，规定新运算“★”及“△”如下： x ★ y kxy ，‎ 其中m、n k 均为非零自然数，已知 1 ★ 2 = 5 ， (2 ★ 3) △ 4 = 64 ，求(1 △ 2) ★ 3 的值.‎ 四. 杯赛演练：‎ ‎13. （学而思杯）‎ 一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗？‎ 小偷= 警察 小偷= 小偷 规定：警察 ‎， 警察 ‎(山羊 白菜) = ．‎ 那么：(猎人 小兔)‎ ‎14. (希望杯二试)‎ 用 {x} 表示数 x 的小数部分， [x] 表示 x 的整数部分. 如 {2.3} = 0.3 ， [2.3] = 2 . 若 a + [b] = 15.3 ， {a} + b = 7.8 ，则a = ， b = .‎ ‎15. （希望杯二试）‎ 国际统一书号 ISBN 由10 个数字组成，前面9 个数字分成3 组，分别用来表示区域、出 ‎3‎ 版社和书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9 个数字按照一定的顺序算得。如：某书的书号是 ISBN7 -107 -17543 - 2 ，它的核检码的计算顺序是：‎ ‎① 7 ´10 +1´ 9 + 0´8 + 7 ´ 7 +1´ 6 + 7 ´5 + 5´ 4 + 4´3 + 3´ 2 = 207 ；‎ ‎② 207 ¸11 =18‎ ‎9 ；‎ ‎③11- 9 = 2 。这里的2 就是该书号的核检码。‎ 依照上面的顺序，求书号 ISBN7 - 303 - 07618 -ð的核检码。‎ ‎16. （希望杯二试）‎ 对于非零自然数 a ， b ， c ，规定 D 符号的含义： D(a,b, c) = a + b - c ， 那么 a ´ b ¸ c D(3,5, 7) = ‎。‎ D(4, 6,8)‎ 答案：‎ ‎25 40‎ = 25´ 21+ 40´16 = 525 + 640 = 1165 .‎ ‎1.‎ ‎16‎ ‎21‎ 根据定义，有2´1´ 3 - 5 + x = 7 ，解得 x = 6 ．‎ ‎2.‎ 因为从已知条件可归纳出运算规则： 表示几个连续自然数之和， 个加数， 后面的数表示加数的个数，于是 n + (n +1) + (n + 2) + 前面的数表示第一 + (n + 7) = 68 ，即 ‎3.‎ ‎(n + 3)+ (n + 4)= 68¸ ‎. n = 5 .‎ ‎4.‎ 用本题让学生对新运算的定义方法及此类问题的解法有初步的了解.‎ ‎1* 2 =1+ 2 ¸1 = 3 ， (1* 2) * 3 = 3* 3 = 3 + 3 ¸ 3 = 4 .‎ 观察得规律 a = a + c ，所以 ‎4 = 3 + 4‎ c ‎3‎ ‎7‎ = ‎5.‎ ‎11 5 11´5 55‎ b d bd ‎（方法一）：由题中所给定义可知， b 为多少，就有多少个乘数． 3660 = 60 ´ 61 ，即： 60 * 2 = 3660 ，则 x * 3 = 60 ； 60 = 3´ 4 ´ 5 ，即3* 3 = 60 ,所以 x = 3 ．‎ ‎（方法二）：先将 (x * 3) 看作整体 y ，则 y * 2 = 3660 ， y * 2 = y( y +1) = 3660 = 60´ 61,‎ 所以 y = 60 ，那么就有 x * 3 = 60 ， 60 = 3´ 4 ´ 5 ，即3* 3 = 60 ，所以 x = 3 ．‎ ‎6.‎ ‎4‎ ‎(aDa)D(a +1) = (a +1)(a -1)D(a +1) = (a2 -1)D(a +1) = (a2 -1+1)(a +1-1) = a3‎ ‎(a -1)D(aDa) +1 = (a -1)D[(a +1)(a -1)] +1 = (a -1)D(a2 -1) = (a -1+1)(a2 -1 -1) +1 = a3 - 2a +1‎ ‎7.‎ 所以a3 = a3 - 2a +1，解得a = 1 .‎ ‎2‎ ‎8.‎ ‎①‎ ‎(1994☆1995)☆(1995☆1996)☆(1996☆1997)☆‎ =1995☆1996☆1997☆1998☆1999☆2000‎ =1996☆1997☆1998☆1999☆2000‎ =1997☆1998☆1999☆2000‎ =1998☆1999☆2000‎ = 1999☆2000‎ = 2000‎ ‎☆(1999☆2000)‎ ‎1994☆1994☆1998☆2000☆2001‎ =1994☆1998☆2000☆2001‎ = 1996☆2000☆2001‎ = 1998 ☆2001‎ = 2000‎ ‎②‎ ab c ab abc abc a + b ‎① (a * b) * c = * c = = = ‎,‎ ‎9.‎ a + b ab ab + (a + b)c ab + ac + bc + c a + b bc a bc abc abc b + c a * (b * c) = a * = = = b + c bc b + c a(b + c) + bc ab + ac + bc a + 所以(a * b) * c = a * (b * c)‎ ‎② 20 * 20 *10 * 5 = 20 ´ 20 *10 * 5 = 10 *10 * 5 = 10 ´10 * 5 = 5 * 5 = 5 ´ 5 = 2.5‎ ‎20 + 20‎ ‎10 +10‎ ‎5 + 5‎ ‎③‎ ‎2 * 4 *8 *16 *16 = 2 * 4 *8 * 16 ´16 = 2 * 4 *8 *8 = 2 * 4 * 8 ´ 8 = 2 * 4 * 4 = 2 * 4 ´ 4 = 2 * 2 = 2 ´ 2 = 1‎ ‎16 +16‎ ‎8 + 8‎ ‎4 + 4‎ ‎2 + 2‎ ab ba ‎④ a * b = = = b * a ，所以运算* 具有交换律.‎ a + b b + a 因此2*16* 4*8*16 = 2* 4*8*16*16 =1‎ ‎10. 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.‎ 第一步先把(21# x) 看成一个整体 y .对于21# y = 5 ，这个式子，一方面可把 21 当作被除 ‎5‎ 数，则 y 等于21- 5 = 16 的大于 5 的约数，有两个解 8 与 16；另一方面可把 21 作除数， 这样满足要求的数为 26，47„，即形如21N + 5 这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由 y 所代表的式子(21# x) 运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于 21 的那些 y 的值都需要舍去.现在只剩下 8 与 16.‎ 第二步求：21# x = 8 与21# x =16 .对于21# x = 8 可分别解得，把21 当作被除数时：x = 13 ，‎ 把 21 当作除数时为： x = 29,50,‎ 形如21N + 8 的整数（ N 是正整数）.‎ 对于21# x =16 ，把 ‎21 当作被除数无解，21 当作除数时同理可得： x = 37,58, 所有形 如 21N +16 这样的整数.（ N 是正整数）. 所以符合条件的答案是 13,29,37．‎ ‎11. 因为5* 6 = 6 *5 ，所以 5a + 6 = 6a + 5 ，解得a = 1，‎ ‎5 ´ 6 6 ´ 5‎ 求出(3* 2) ´ (1*10) = 3 + 2 ´ 1 +10 = 5 ´ 11 = 11‎ ‎3´ 2 1´10 6 10 12‎ ‎12. 用分析法，从要求的问题入手，题目要求（1△2）★3 的值，首先我们要计算 1△2，根据“△”的定义，1△2 = k ´1´ 2 = 2k ，由于 k 的值不知道，所以首先要计算出 k 的值，‎ k 值求出后，1△2 的值也就计算出来了，我们设 1△2 = a ．（‎ ‎1△2）★3 = a ★3，按“★”‎ 的定义： a ★3 = ma + 3n ，在只有求出m、n 时，我们才能计算a ★3 的值.因此要计算 ‎（1△2）★ 3 的值，我们就要先求出 k、m、n、的值．通过 1★2 = 5 可以求出m、n 的值，通过（ 2★ 3）△ 4=64 求出 k 的值． 因为 1★ 2 = m´1+ n ´ 2 = m + 2n ， 所以有 ìm = 1‎ ìm = 3‎ m + 2n = 5 ．又因为m、n 均为非零自然数，所以解出：‎ í 或 í ‎.‎ n = 2 n = 1‎ î î ‎① m = 1, n = 2 时：（2★3）△4 =（1´ 2 + 2 ´ 3）△4 = 8△4 = k ´8´ 4 = 32k ，有 ‎32k = 64，解出k = 2‎ 当m = 3, n = 1 时：（2★3）△4 =（3´ 2 +1´ 3）△4 = 9△4 = k ´ 9´ 4 = 36k ，有 36‎ k = 64，解出k = 1 7‎ ‎9‎ 这与k 是自然数矛盾，因此m = 3, n = 1, k = 1 7 这组值应该舍去，‎ ‎9‎ ‎②‎ ‎1△2）★3 =（2´1´ 2）★3 = 4★3 =（1´ 4 + 2 ´ 3）= 10‎ 所以m = 1, n = 2, k = 2 ．（‎ 在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时， 严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些 性质之前，不能运用这些运算律来解题．‎ ‎13. 可以看出手枪指向右边等于左边的人，指向左边等于右边的人，所以答案为白菜．‎ ‎14. 因为[b] 是一个整数，且 a + [b] = 15.3 ，所以 a 的小数部分是 0.3 ，即{a} = 0.3.又由于 ‎{a} + b = 7.8 ，即0.3 + b = 7.8 ，求出b = 7.5 .于是[b] = 7 ， a =15.3 - 7 = 8.3 .‎ ‎15. 依照上面的顺序计算：‎ ‎① 7 ´10 + 3´ 9 + 0´8 + 3´ 7 + 0´ 6 + 7 ´5 + 6´ 4 +1´3 + 8´ 2 =196 ；‎ ‎6‎ ‎②196 ¸11 =17‎ ‎③11- 9 = 2 .‎ 该书号的核检码即为2 .‎ ‎9 ；‎ ‎16. D(3,5, 7) = 3 + 5 - 7 = = ； D(4, 6,8) = 4 + 6 - 8 = 2‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎3´ 5 ¸ 7 15 ¸ 7 15‎ ‎4 ´ 6 ¸ 8 3‎ 所以 D(3,5, 7) = 7‎ ¸ 2 = .‎ ‎7‎ D(4, 6,8) 15 3 10‎ ‎7‎