小学五年级奥数教案：数的整除(讲师版) 15页

数的整除 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与 定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很 重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。 本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性， 在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性 的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点是将数字的整除性上升到字 母和代数式的整除性上，这个对与学生的代数思维是一个良好的训练也是一个 不小的挑战。 知识梳理 1.常见数字的整除判定方法 （1）. 一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除； 一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除； 一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除； （2）. 一各位数数字和能被 3 整除，这个数就能比 9 整除； 一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除； （3）. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除. （4）. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11 或 13 整除. 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 注： 在给学生讲解常见数字的判定性质时，要分系列来讲，例如有 2 系列，5 系列，3 系列和 7,11,13 系列，便于记忆。对于 11 的单独判定特性需要重点讲解。 2.整除性质 性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除．即如果 c︱a， c︱b，那么 c︱(a±b)． 注： 在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被 c 整除，这两个数不一定能被 c 整除．如 5 ︱(26+24)，但 5 26，5 24． 可以引入下面的问题 2∣12，12∣36．2 能否整除 36？显然，回答是肯定的．这是因为 36 是 12 的倍数，12 又是 2 的倍数，那么 36 一定是 2 的倍数．由此我们又可以得出： 性质 2 如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即如果 b∣a， c∣b，那么 c∣a． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质 3 如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除．即如果 bc∣a，那 么 b∣a，c∣a． 性质 4 如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b 与 c 的乘积整除．即如果 b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么 bc∣a． 例如：如果 3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质 5 如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除．如果 b｜a，那么 bm｜am（m 为 非 0 整数）； 性质 6 如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 bd 也能被 ac 整除．如果 b｜ a ，且 d｜c ，那么 ac｜bd； 3．重点难点解析 （1）.常见数字的整除判定性质 （2）．将不具有整除判定性质的数字进行分解判定其整除性 （3）．代数式之间整除性的判断，代数思想的应用 （4）．试除法的理解和应用 4.竞赛考点挖掘 （1）.与数字谜或算式迷结合的整除判断特性题目 （2）.代数式之间的整除性问题 例题精讲 【试题来源】 【题目】 已知道六位数 20□279 是 13 的倍数，求□中的数字是几？ 【答案】1 【解析】 本题为基础题型，利用 13 的整除判定特征即可知道方格中填 1。 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 173□是个四位数字。数学老师说：“我在这个□中先后填人 3 个数字，所得到的 3 个四位 数，依次可被 9、11、6 整除。”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少？ 【答案】19 【解析】 方法一： 利用整除判定特征，逐个分析易知这三种情况下填入方格的数字和为 7+8+4=19． 方法二：采用试除法 （本讲的重点方法） 用 1730 试除，1730÷9=192……2，1730÷1l=157……3，1730÷6=288……2． 所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4 后得到的 1737、1738、1734 依次能被 9、 11、6 整除． 所以，这三种情况下填入口内的数字的和为 7+8+4=19． 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 某个七位数 1993□□□能够同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，那么它的最后三位数字 依次是多少？ 【答案】320 【解析】 本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐。采用试除法比较方便，若使得 7 位数能够同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，只要让七位数是 2，3，4，5，6，7，8， 9 最小公倍数的倍数即可。【2，3，4，5，6，7，8，9】=2520. 用 1993000 试除，1993000÷2520=790……2200，余 2200 可以看成不足 2520-2200=320，所 以在末三位的方格内填入 320 即可． 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 由 1，3，4，5，7，8 这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最大的数是多少？ 【答案】875413 【解析】 根据 11 的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要为 11 的 倍 数 ， 我 们 不 妨 设 奇 数 位 上 的 数 和 为 a ， 偶 数 位 上 的 数 和 为 b ， 那 么 有 a+b=1+3+4+5+7+8=28,同时有 a-b=0 或 a-b=11 或 a-b=22…等情况，根据奇偶性分析自 然数 a 与 b 的和为偶数，那么差也必须为偶数，但是 a-b 不可能为 22，所以 a-b=0， 解得 a=b=14，则容易排列出最大数 875413. 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使 它能被 3、5、7、13 整除，这个数最大是多少？ 【答案】94185 【解析】 本题采用试除法。 因为 3，5，7，13 的最小公倍数为 1365，在 100000 之内最大的 1365 的倍数为 99645 (100000÷1365=73……355，100000-355=99645)，但是不符合数字各不相同的条件， 于是继续减 1365 依次寻找第二大，第三大的数，看是否符合即可。 有 99645-1365=98280，98280-1365=96915．96915-1365=95550．95550-1365=94185． 所以，满足题意的 5 位数最大为 94185． 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 修改 31743 的某一个数字，可以得到 823 的倍数。问修改后的这个数是几？ 【答案】3 【解析】 本题采用试除法。 823 是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于是 31743 除以 823 可以看成余 469 也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新 数比原来大 354 或 354+823n 也是满足题意的改动． 有 n=1 时，354+823：1177，n=2 时，354+823×2=2000，所以当千位增加 2，即改为 3 时， 有修改后的五位数 33743 为 823 的倍数． 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 在下面的方框中各填一个数字，使六位数 11□□11 能被 17 和 19 整除，那么方框中的两位 数是多少？ 【答案】5,3 【解析】本题采用试除法。 如果一个数能同时被 17 和 19 整除，那么一定能被 323 整除． 110011÷323=340……191，余 191 也可以看成不足(323-191=)132． 所以当 132+323n 是 100 的倍数时，才能保证在只改动 110011 的千位、百位数字，而得到 323 的倍数．所以有 323n 的末位只能是 10-2=8，所以 n 只能是 6，16，26，… 验证有 n=16 时，132+323×16=5300，所以原题的方框中填入 5，3 得到的 115311 满足题意． 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 已知四十一位数 55…5□99…9（其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，那么中间方格内的数 字是多少？ 【答案】6 【解析】 我们知道 abcabc 这样的六位数一定能整除 7、11、13 原 41 位数中从高位数起共有 20 个 5，从低位数起共有 20 个 9，那么我们可以分别从低位 和高位选出 555555，和 999999，从算式的结构上将就是进行加法的分拆，即： 555555×10…00(35 个 0)+555555×10…00(29 个 0)+…+55□99+999999×10…00(12 个 0)+…+999999. 这个算式的和就是原来的 41 位数，我们可以发现每一组含有 555555 或 999999 因数的部分 都已经是 7 的倍数，唯独剩余 55□99 待定，那么只要令 55□99 是 7 的倍数即可。 利用 7 的整除判定特征我们容易得到□应填的数字为 6. 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 某个自然数既能写成 9 个连续自然数的和，还同时可以写成 10 个连续自然数的和，也能写 成 11 个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？ 【答案】495 【解析】 本题所体现的是一个常用小结论，即任意奇数个连续自然数的和必定是这个奇数的倍数。 任意偶数个连续自然数的和必定是这个偶数的一半的倍数，并且除以这个偶数的一半后所 得的商为一个奇数。证明方法很简单，以连续 9 个奇数为例子： 我们可以令连续 9 个奇数为：a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4 则他们的和为 9a，即 为 9 的倍数。对于连续 10 个自然数，可以为 a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4，a+5 则它们的和为 10a+5=5（2a+1），即是 5 的倍数且除以 5 后商是奇数。 所以本题中要求的数是 5，9，11 的最小公倍数的倍数即 495 的倍数，最小值即 495. 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】 【试题来源】 【题目】 用数字 6，7，8 各两个，组成一个六位数，使它能被 168 整除。这个六位数是多少？ 【答案】768768 【解析】 因为 168=8×3×7，所以组成的六位数可以被 8、3、7 整除． 能够被 8 整除的数的特征是末三位组成的数一定是 8 的倍数，末两位组成的数一定是 4 的 倍数，末位为偶数．在题中条件下，验证只有 688、768 是 8 的倍数，所以末三位只能是 688 或 768，而又要求是 7 的倍数，由例 8 知 abcabc 形式的数一定是 7、11、13 的倍数，所以 768768 一定是 7 的倍数，□□□688 的□不管怎么填都得不到 7 的倍数． 至于能否被 3 整除可以不验证，因为整除 3 的数的规律是数字和为 3 的倍数，在题中给定 的条件下，不管怎么填数字和都是定值。 所以 768768 能被 168 整除，且验证没有其他满足条件的六位数． 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 将数字 4，5，6，7，8，9 各使用一次，组成一个被 667 整除的 6 位数，那么，这个 6 位数 除以 667 的结果是多少？ 【答案】1434 【解析】 本题考察对数字 667 的特殊认识，即 667×3=2001。 本题要求用 4，5，6，7，8，9 组成一个 667 的倍数，其实发现 4，5，6，7，8，9 组合出 的数一定是 3 的倍数，那么只要考虑组成一个 2001 的倍数即可，而 2001 的六位数倍数具 有明显的特征，即后三位是前三位的一半，那么我们可以发现前三位一定是 900 多的数字， 后三位是 400 多，很容易得到 956478。那么 956478÷667=1434。 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 在 1、2、3、4……2007 这 2007 个数中有多少个自然数 a 能使 2008+a 能被 2007-a 整除。 【答案】7 【解析】 本题考察代数知识的综合技巧，是一道难度较大的题目。 要使得 2008+a 能被 2007-a 整除，我们可以将条件等价的转化为只要让 a a   2007 2008 是一个整 数即可。下面是一个比较难的技巧，我们知道若 a 可以使得 a a   2007 2008 是一个整数，那么 a 也同样可以使得 aa aa a a    2007 4015 2007 2007200812007 2008 是一个整数，这样只要 2007-a 是 4015 的约数即可，将 4015 分解可知其共有 8 个因数，其中 4015 是最大的一个， 但是显然没有可以让 2007-a 等于 4015 的 a 的值，其余的 7 个均可以有对应的 a 的值，所 以满足条件的 a 的取值共有 7 个。 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5 【试题来源】 【题目】 有 8 个盒子，各盒内分别装有奶糖 9，17，24，28，30，31，33，44 块．甲先取走一盒，其 余各盒被乙、丙、丁 3 人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的 2 倍．问：甲取 走的一盒中有多少块奶糖? 【答案】31 【解析】 我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的 5 倍． 八盒糖总块数为 9+17+24+28+30+31+33+44=216． 从 216 减去 5 的倍数，所得差的个位数字只能是 1 或 6． 观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是 6 的，只有一个个位数字是 1 的数 31． 因此甲取走的一盒中有 3l 块奶糖． 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 请求出最大的七位数，使得它能被 3、5、7、11、13 整除，且各位数字互不相同，这个七 位数是多少？ 【答案】7402395 【解析】 解法一： 因为 7×11×13＝1001，999×1001＝999999 不是七位数，这个七位数是 1001×abcd＝ abcd000＋abcd，如果 c 不是 9，那么 b 就会重复，所以 c＝9，因为是 5 的倍数，所以 d＝ 5，要使最大，先假设 a＝8 时，b 取 8，5，2 都不符合要求，当 a＝7 时，b 取 9，6，3，0 中 3 符合要求，所以最大的是 7402395 分析题意知，这个七位数是 7×11×13＝1001 的倍 数，根据 1001 的特点， 解法二: 假设这个七位数是 abcdefg，满足 abcd－efg＝n00n，很容易得出 c＝0，f＝9，b 和 e 相差 1，如果 g＝0，那么 a＝d，所以 g＝5。假设 a＝8，那么 d＝3，b 和 e 就是 2，1 或者 7，6， 经检验都不符合要求。假设 a＝7，那么 d＝2，b 和 e 就是 4，3，经检验刚好可以。这个七 位数是 7402395 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 由 1，3，4，5，7，8 这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最大的数是多少？ 【答案】875413 【解析】 根据能被 11 整除的性质，奇数位数字和与偶数位的数字和的差为 11 的倍数，可以得 知：奇数位为：8，5，1；偶数位上为：3，4，7 那么满足条件的六位数为：875413. 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 算式：2×□□□＝□□□，把 2.3.4.5.6.7 这六个数字分别填入□里，使算式之积能被 13 整除，积是多少？ 【答案】546 【解析】 根据整除性可知：2×273＝546 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 从 1，2，3，4，...，2007 中取 N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被 15 整除。N 最大为多少？ 【答案】134 【解析】 因为任意三个数的和都是 15 的倍数，所以每个数除以 15 的余数是 5，最小数是 0×15 ＋5，最大数是 15×133＋5＝2000，所以 N 最大为 133＋1＝134 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5 【试题来源】 【题目】 在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且数字和为 13 的数，共有多少个？ 【答案】18 【解析】 这个数奇数位的数字和与偶数位的数字和的差 d 为 11 的倍数，而它们的数字和又为 13，因此，d 只能为 11 的奇数倍。 这个数最多为四位数，所以奇数位数字和与偶数位数字和都小于 9，即小于 18，所以 d=11，奇偶位的数字和为 12，1 或者 1，12。.所以，这个数至少是三位数，如果是三 位数，那么它可以是 913，814，715，616，517，418，319 这 7 个。 如果是四位数，那么它可以是 1903，1804，1705，1606，1507，1408，1309，3190， 3091，4180，4081，一共 11 个 这样，一共有 7+11=18 个。 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5 【试题来源】 【题目】 已知 4283 bca  是 891 的倍数，其中 a,b,c 各代表一个数字，那么三位数 abc代表的是多 少？ 【答案】757 【解析】 891=9×9×11，说明，3 8 2 4a bc和 都是 9 的倍数，并且其中有一个是 11 的倍数，综合分析 可以知道：a=7，b=5，c=7，所以 abc为 757 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 各位数字是 0，1 或 2，且能被 225 整除的最小自然数是多少？ 【答案】1222200 【解析】 225=9×25，能被 25 整除的数满足末两位能被 25 整除就可以了，那么所求数的末两位 一定为 00，又它因为能被 9 整除，满足数的各位数字的和为 9 的倍数，数字和最小为 9，9=1+2+2+2+2，所以满足条件的最小的自然数为 1222200 【知识点】数的整除 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 习题演练 【试题来源】 【题目】六位数 20□□08 能被 49 整除，□□中的数是多少？ 【答案】05 【解析】05 【知识点】数的整除 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】如果六位数 1992□□能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少？ 【答案】90 【解析】90 【知识点】数的整除 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 已知3939...39中39一共重复了 20 次.那么这个数被 37 除得的余数是多少？ 【答案】17 【解析】17 【知识点】数的整除 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】有些数既能表示成 3 个连续自然数的和，又能表示成 4 个连续自然数的和，还能 表示成 5 个连续自然数的和。请找出 700 到 1000 之间，所有满足上述条件的自然数。 【答案】750，810，870，930，990 【解析】750，810，870，930，990 【知识点】数的整除 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 找出 4 个不同的非零自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们 的差整除．如果要求这 4 个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这 4 个数里 中间两个数的和是多少? 【答案】7 【解析】7 【知识点】数的整除 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 l 号到 15 号．1 号同学写了一个自然数， 2 号说：“这个数能被 2 整除”，3 号说：“这个数能被 3 整除”，……，依次下去，每位同学 都说，这个数能被他的编号数整除．1 号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对， 其余同学都对．那么： (1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数? (2)如果告诉你，1 号写的数是五位数，请求出这个数． 【答案】 (1)8，9 （2）60060 【解析】(1)8，9 （2）60060 【知识点】数的整除 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4