图形与几何1数与代数(1) 5页

1 数与代数(1) 一、我们学过的数 1.整数 (1)整数的范围:整数包括自然数和负整数．．．．．．．,或者说整数由 正整数、．．．．0．和负整数组成。．．．．．．． (2)整数的意义:像-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的 数统称为整数。 2.自然数 (1)自然数的意义:像 0 和 1、2、3、4、5、6、7、8…… 这些用来表示物体个数的数都是自然数。 (2)自然数的基本单位:任何一个非零自然数都是由若干 个 1 组成的,1．是自然数的基本单位。．．．．．．．．．． (3)自然数有“基数”“序数”两种意义。 3.正数和负数。 (1)正数的定义:像+4、40、+8844.43……这样的数叫作 正数。 (2)负数的定义:像-4、-14、-392、-155……这样的数叫 作负数,“-”叫负号。 4.分数。 (1)分数的意义:把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份 或者几份的数,叫作分数。 (2)分数单位:把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的 数,叫作这个分数的分数单位。 (3)分数的分类 真分数 分子比分母小的分数叫作真分数。 假分数 分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫作假分数。 ( 带分数是假分数的另一种表现形式 )5.百分数。 百分数表示一个数是另一个数的百分之几,百分数也叫 百分率或百分比。百分数通常用百分号“%”表示,例如:54%。 6.小数。 (1)小数的意义:像 0.7、0.45、0.025、0.107……这样用 来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数,叫作小数。 (2)小数的分类。 有限小数 小数部分的位数是有限．．．．．．．．．．的小数叫作有限小 数。 无限小数 小数部分的位数是无限．．．．．．．．．．的小数叫作无限小 数。 无限小数又可以分为无限不循环小数和循环小数两类．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。 循环小数 一个无限小数,从小数部分的某一位起,一个 数字或几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫作循环 小数。 循环节 一个循环小数的小数部分依次不断地重复出．．．．．．．． 现的数字．．．．,叫作这个循环小数的循环节。 循环小数的简便记法 写循环小数的时候,为了简便,一 整数的个数是无限的。没． 有最小的整数．．．．．．,．也没有最大的．．．．．． 整数。．．．自然数是整数的一部 分。 “0”的含义:0 是最小的 自然数,它通常表示一个物体 也没有,在计数中起占位作用, 表示这个数位上没有计数单 位。“．0．”．也表示起点、分界．．．．．．．． 点等。．．． 整数与自然数的联系与 区别:自然数都是整数,整数不 都是自然数,整数还包括负整 数。 温馨提示: 小数还可以按它的整数 部分是否是 0 分为纯小数和 带小数。整数部分是 0 的小数 叫作纯小数;整数部分不是 0 的小数叫作带小数。 般只写出它的第一个循环节,如果循环节只有一位数字,就在 这个数字上点一个圆点。如果循环节有一位以上的数字,就在 循环节的首位和末尾数字．．．．．．．上各点一个小圆点。 二、数与数之间的联系 1.整数可以看作分母是 1 的分数。 2.小数可以看作分母是 10、100、1000……的分数。 3.百分数是一种特殊的分数。 三、数的性质 1.分数的基本性质。 (1)分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相 同的数(0 除外),分数的大小不变。 (2)分数的基本性质是通分和约分的依据。．．．．．．．．．．．．．．．．． 2.小数的性质。 (1)小数的性质:小数的末尾添上 0 或者去掉 0,小数的大 小不变。 (2)小数的性质与分数的基本性质的关系:小数的性质与 分数的基本性质是一致的。 四、数的大小比较 1.整数大小的比较。 比较两个整数的大小时,位数多的数比较大;位数相同 的,要从高位依次看相同数位上的数字,最高位上数字大的那 个数就大,如果最高位上的数字相同,就比较下一位……以此 类推,直到比出大小为止。 2.小数大小的比较。 比较两个小数的大小,先看它们的整数部分,整数部分大 的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就 大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就 大……依此类推,直到比较出大小为止。 3.分数的大小比较。 (1)分母相同的两个分数,分子大的分数比较大,分子小的 分数比较小;分子相同的两个分数,分母小的分数比较大,分 母大的分数比较小。 (2)分子、分母都不相同的两个分数,先通分,化成分母相 同的分数再比较。 (3)整数部分相同的带分数,分数部分大的就大;整数部分 不同的带分数,整数部分大的就大。 五、数的改写 1.把较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数的方法: (1)把较大的数改写成用“万”作单位的数,先找到万位,在 万位的右下角点上小数点,同时在数的后面加写“万”字。 (2)把较大的数改写成用“亿”作单位的数,先找到亿位,在 亿位的右下角点上小数点,同时在数的后面加写“亿”字。 2.把多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数和省略某一位 后面的尾数的方法: 结果 得到精确值 得到近似值 与原数 的关系 与原数相等,用 “=”连接 与原数近似 相等,用“≈” 连接 相同点 都是改变原数的计数单位,根 据要求用“亿”或“万”作单位 循环节从小数点右面第 一位开始循环的,叫纯循环小．．．． 数．;循环节不是从小数点右面 第一位开始循环的,叫混循环．．． 小数．．。 分子、分母是互质数的分 数叫作最简分数。 小数的基本性质和分数 的基本性质是一致的。 0.7=0.70=0.700 ↓↓↓ 7 10 = 70 100 = 700 1000 温馨提示: 比较不同类型的数的大 小,通常化为相同类型的数之．．．．．．． 后．再作比较。 方法技巧: 在比较小数、分数和百分 数的大小时,通常把分数和百 分数化为小数,把小数的相同 数位的数依次比较大小,按最． 后的排序结果排列原数。．．．．．．．．．．． 特别注意: ①改写后小数末尾的“0” 应去掉。②遇到有单位名称 时,还要写上单位名称。③改 写后,如果小数位数比较多,可 3.数的省略。 (1)省略万位后面的尾数求近似数的方法:先找到万位,再 把千位上的数四舍五入,同时在后面加写“万”字。 (2)省略亿位后面的尾数求近似数的方法:先找到亿位,再 把千万位上的数四舍五入,同时在后面加写“亿”字。 (3)“四舍五入法”:求一个数的近似数,要看所省略的尾数 的左起第一位上的数是不是满“5”,如果不满“5”,就把尾数都舍 去;如果满“5”,把尾数舍去后,要在它的前一位上加“1”,这种求 近似数的方法叫作“四舍五入法”。 (4)求小数的近似数。 求一个小数的近似数,通常用“四舍五入法”。 六、因数、倍数;质数、合数;奇数、偶数 1.因数、倍数的意义。 (1)因数和倍数的关系 ①两个非零自然数相乘,两个因数都是积的因数,而积是 两个因数的倍数。例如:4×9=36,我们就说 4 和 9 都是 36 的 因数,36 是 4 和 9 的倍数。 ②在整除的算式中:商和除数都是被除数的因数,被除数 是商和除数的倍数。 例如:6÷2=3,我们就说 2 和 3 都是 6 的因数,6 是 2 和 3 的倍数。 (2)0 的特殊性。 在自然数中,0乘任何一个数都得0,所以0是任何一个非 零自然数的倍数,任何非零自然数都是 0 的因数。 (3)因数和倍数的特征。 一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是 1,最 大的因数是它本身;一个数的倍数的个数是无限的,其中最小 的倍数是它本身,没有最大的倍数。 一个非．．．0．的自然数．．．．,．既是它本身的倍数．．．．．．．．,．又是它本身的因．．．．．．． 数。．． 1．是所有非零自然数的因数．．．．．．．．．．．,．所有非零自然数都．．．．．．．．是．1．的倍．． 数。．． 2. 2、3、5 的倍数特征。 (1)2 的倍数特征:个位上是．．．．0．,．2．,．4．,．6．,．8．的数．．,都是 2 的倍 数。如 36、48,因为 36 的个位上是 6,所以 36 是 2 的倍数; 因为 48 的个位上是 8,所以 48 是 2 的倍数。 (2)5 的倍数特征:个位上是．．．．0．或．5．的数．．,都是 5 的倍数。 如 135,因为 135 的个位上是 5,所以 135 是 5 的倍数。 (3)3 的倍数特征:一个数,如果各个数位上的数字的和．．．．．．．．．．是． 3．的倍数．．．,这个数就是 3 的倍数。如 102,因为 1+0+2=3,3÷3=1,所以 102 是 3 的倍数。 (4)既是 2 的倍数,又是 5 的倍数特征:个位上是．．．．0．的数．．, 既是 2 的倍数,又是 5 的倍数。 3.偶数和奇数。 自然数按能否被 2 整除可分为偶数和奇数．．．．．。 (1)偶数:能被．．2．整除的数．．．．,叫作偶数。如 0、2、4、6、8、 10……都是偶数。 (2)奇数:不能被．．．2．整除的数．．．．,叫作奇数。如 1、3、5、7、 9……都是奇数。 以根据需要保留前几位小数。 ④改写用．．．“．=．”．,．保留用．．．“．≈．”．。． 改写整数 省略尾 数 方 法 把多 位数 改写 成用 “万”或 “亿”作 单位 的数, 先把 原数 的小 数点 向左 移动 4 位或 8 位(若 小数 部分 末尾 有 0 要 画掉), 再在 数的 后面 加写 “万”或 “亿” 字。 先用 “四 舍” 或 “五 入” 法省 略指 定数 位后 面的 尾 数, 再在 后面 加写 相应 的计 数单 位如 “万” 字或 “亿” 字 温馨提示: 改写与省略的区别．．．．．．．．:．改写．． 是求精确值．．．．．,．省略是用．．．．“．四舍．． 五入法．．．”．求近似值。．．．．． 方法技巧: 保留整数,表示精确到个 位,先找到个位,再把十分位上 的数四舍五入;保留一位小数, 表示精确到十分位,先找到十 分位,再把百分位上的数四舍 五入;保留两位小数,表示精确 到百分位,先找到百分位,再把 千分位上的数四舍五入;保留 三位小数,表示精确到千分位, 先找到千分位,再把万分位上 的数四舍五入……依此类推。 特别提示: 4.质数和合数。 (1)非零自然数按因数个数的多少可分为质数和合数。 (2)质因数、分解质因数。 ①质因数 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式, 其中每个质数叫作这个合数的质因数。如 6=2×3(2 和 3 是 6 的质因数),28=2×2×7(2 和 7 是 28 的质因数),30=2×3×5(2、 3、5 是 30 的质因数)。 ②分解质因数 把一个合数用质数相乘的形式表示出 来,叫作分解质因数。 ③通常采用短除法分解质因数 分解质因数时先书写 短除符号“∟”,再把要分解的合数写在短除符号里,最后用能整 除这个合数的质数去除,通常从最小的质数开始试除。如果商 是合数,继续往下除,直到除得的商是质数为止,最后把各除 数和最后的商写成连乘的形式。 例如:把 42 分解质因数。 5.公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数。 (1)公因数和最大公因数的意义。 ①几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。如 12 和 18 的公因数有 1,2,3,6。 ②几个数的公因数中最大的一个叫作这几个数的最大 公因数。如 12 和 18 的最大公因数是 6。 ③只有公因数 1 的两个数叫作互质数。如 5 和 7 是互质 数;7 和 9 是互质数;8 和 9 是互质数。 (2)求两个数的最大公因数的方法。 ①短除法 一般先用这两个数公有的质数连续去除,一 直除到所得的商是互质数为止,再把所有的除数连乘起来。 ②分解质因数法 (3)公倍数和最小公倍数的意义。 ①几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。如 90、 180、270……都是 12 和 18 的公倍数。 ②几个数的公倍数中最小的一个叫作这几个数的最小 公倍 ③几个数的公倍数的个数是无限的,没有最大的公倍数。 ④求两个数的最小公倍数常用的方法有两种: a:短除法; b:分解质因数法。 如求 18 和 30 的最小公倍数。 方法一:短除法 用短除法求两个数的最小公倍数,先用这两个数公有的 质因数连续去除(一般从最小的开始),一直除到所得的商是 互质数为止,再把所有的除数和最后的商连乘起来。 因数和倍数是相互依存．．．．．．．．．． 的．,．不能单独说某个数是因数, 也不能单独说某个数是倍数。 温馨提示: 在研究因数和倍数时,我 们所说的数,一般是指不包括 0 的自然数,也就是说在非零．．． 自然数的范围内探索因数和．．．．．．．．．．．． 倍数．．。 4 的倍数特征: 一个数的末两位数是．．．．．4． 的倍数．．．,这个数就是 4 的倍数。 9 的倍数特征: 一个数,如果各个数位上．．．．． 的数字之和是．．．．．．9．的倍数．．．,这个 数就是 9 的倍数。 温馨提示: 最小的偶数是 0,最小的 奇数是 1,没有最大的偶数,也 没有最大的奇数。 特别提示: 最小的质数是．．．．．．2．,．最小的．．． 合数是．．．4．,．没有最大的质数．．．．．．．,．也． 没有最大的合数．．．．．．．。．除了 0 和 2 以外,所有的偶数都是合数,2． 是唯一的偶质数。．．．．．．．． 易错举例: 错例: 判断:自然数可以分为质 数与合数。 (√) 错因分析:这种分类方法 漏掉了 1,1 既不是质数也不是 合数。 正确答案:✕ 100 以内的质数有 25 个, 18 和 30 的最小公倍数是 2×3×3×5=90。 方法二:分解质因数法 18 和 30 的最小公倍数是 2×3×3×5=90。 特殊情况下求两个数的最大公因数和最小公倍数: ①两个数是倍数关系时,最大公因数是较小数,最小公倍 数是较大数;如 6 和 12 的最大公因数是 6;6 和 12 的最小公 倍数是 12。 ②两个数是互质数时,最大公因数是 1,最小公倍数是这 两个数的积。如 5 和 7 的最大公因数是 1;5 和 7 的最小公倍 数是 5×7=35。 它们是 2、3、5、7、11、13、 17、19、23、29、31、37、 41、43、47、53、59、61、 67、71、73、79、83、89、 97。 易错提示: 用短除法分解质因数,要 保证每一步的除数必须是质 数,最后得出的商也是质数。 温馨提示: 用短除法求两个数的最 大公因数时不要把商乘进去, 因为商表示每个数独有的因 数。 数。如 12 和 18 的最小 公倍数是 36。 特别提醒: 分解质因数法求最大公 因数,就是把公有的质因数相 乘;求最小公倍数就是把所有 的质因数(公有的只乘一次．．．．．．．)相 乘。