- 281.33 KB
- 2021-12-23 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
学科培优 数学
“几何计数”
学生姓名
授课日期
教师姓名
授课时长
知识定位
在数学竞赛试题中,经常出现一些几何计数问题,所谓几何计数是指
计算满足一定条件的图形的个数.它的内容比较新颖有趣,为了准确计数,必须要有一套计数的方法,否则越数头绪越杂乱,很难得出准确的结果.本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法.学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法,更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用,如数形结合思想、分类讨论思想和转化的思想,分类讨论思想在这里尤其突出,我们所使用的所有计数方法都离不开分类.
知识梳理
一、数 线 段
如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)(或含有n个“基本线段”),那么
这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条
二、数 角
数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边。
以OA为一条边的角有: E D
∠AOB ∠AOC ∠AOD ∠AOE共4个 C
同样还有:
∠BOC,∠BOD,∠BOE共3个 B
∠COD ,∠COE共2个 A
∠DOE共1个
合计有4+3+2+1=10(个)
三、 数三角形
可用数线段的方法数如图所示的三角形(对应法)
因为DE上有15条线段,每条线段的两端点
与点A相连,可构成一个三角形,共有15个
三角形,同样一边在BC上的三角形也有15
个,所以图中共有30个三角形。
四、 数长方形、平行四边形和正方形
A
M D
E
P F
G
Q H
B M C
线段AM与AE对应着长方形AMPE,
AM与AG对应着长方形AMQG,
AM与AB对应着长方形AMNB
AM与EG对应着长方形EPQG,
AM与EB对应着长方形EPNB, AM与GB对应着长方形GQNB.
就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形,共6个长方形
AD边上共有3条线段,其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形,
所以共有3×6=18个长方形
一般的,类似于这样的长方形(平行四边形),若其横边上共有n条线段,
纵边上共有m条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mn个
五、 染色问题
在数学竞赛中很多问题要进行分类讨论,对所研究的对象进行“染色”,“染色”实质上是分类的一种形象化的表示,利用“染色”,可以将题中某些隐蔽的条件暴露出来,从而使问题得到简明的解答。
六、 图形计数,方阵计数
这类问题大多比较困难。图形计数包括,圆,三角,直线,平面分割,等之间的互相交叉题型。而方阵计数,棋盘中计数是现在考试的热点。
几个计算公式总结:
1.线段、角的计数公式:
2.长方形、平行四边形的计数公式:横边上共有n条线段,
纵边上共有m条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mn个
3.正方形的计数公式:如果一横行有m个小正方形,一竖行有n个(假设m≥n)小正方形,那么图中正方形的个数是
mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)
= mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)
例题精讲
【试题来源】
【题目】图中共有多少个长方形?
【试题来源】
【题目】从A到F一共有多少种不同走法?
A B C
D E F
【试题来源】
【题目】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形.如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成,那么一共要用多少根火柴?
【试题来源】
【题目】如图19—2,用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网,其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成,那么一共需用多少根火柴棍?
【试题来源】
【题目】如图,其中的每条线段都是水平的或竖直的,边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米.求图中长方形的个数,以及所有长方形面积的和.
【试题来源】
【题目】如图AB,CD,EF,MN互相平行,则图中梯形个数与三角形个数
的差是多少?
【试题来源】
【题目】如图,木板上钉着12枚钉子,排成三行四列的长方阵.那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形? ···
····
····
【试题来源】
【题目】图中共有多少个三角形?
【试题来源】
【题目】在8×8的方格棋盘中,取出一个由三个小方格组成的“L”形(如图),一共有多少种不同的方法?
【试题来源】
【题目】下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同
的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形。
在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?
【试题来源】
【题目】如果用四种颜色对下面三个图形的A,B,C,D,E五个区域染色,要求相邻的区域染不同的颜色,那么,对(1)(2)(3)图分别有 、 、 种染法。
A
B
D
E
C
A
B
C
D
E
A
B
C
E
D
【试题来源】
【题目】一条直线分一个平面为两部分.两条直线最多分这个平面为四部分.问5条直线最多分这个平面为多少部分?
【试题来源】
【题目】一个长方形把平面分成两部分,那么3个长方形最多把平面分成多少部分?
【试题来源】9902
【题目】在平面上画5个圆和1条直线,最多可把平面分成多少部分?
【试题来源】迎春杯试题
【题目】用5个1×2的小长方形去覆盖2×5的方格网,一共有__种不同的覆盖方法。
【试题来源】
【题目】用图1所示的1×2小长方形和1×3小长方形去覆盖如图2所示的填有数字的2×6方格表,共有多少种不同的盖法?
【试题来源】
【题目】小明有8张连在一起的电影票(如下图),他自己要留下四张连在一起的票,其余的送给别人.他留下的四张票可以有__种不同情况. (04试验中学入学测试题)
【试题来源】
【题目】将19枚棋子放入5*5的方格网内,每个方格最多只放一枚棋子,且每行每列的棋子数均为奇数个,那么共有_____________种不同的放法。
【试题来源】
【题目】
将5枚棋子放入右侧编号的4×4表格的格子中,每个格子最多放一枚,如果要求每行,每列都有棋子.那么共有 种不同放法.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
【试题来源】
【题目】一个圆上有12个点A1,A2,A3,…,A11,A12.以它们为顶点连三角形,使每个点恰好是一个三角形的顶点,且各个三角形的边都不相交.问共有多少种不同的连法?
习题演练
【试题来源】
【题目】如下图,工地上堆放了180块砖,这个砖堆有两面靠墙。如果要把这个砖堆的表面涂满白色,那么,被涂上白色的砖共有 块。
【试题来源】
【题目】在一个圆周上均匀分布10个点,以这些点为顶点,可以画出多少不同的钝角三角形?(补充知识:由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形,其中直径的边所对的角是直角,所以如果圆周上三点在同一段半圆周上,则这三点构成钝角三角形)
【试题来源】
【题目】格相同的均匀圆棒,每根划分成相同的5节,每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂。问可以得到多少种着色方式不同的圆棒?
【试题来源】
【题目】在8×8的棋盘上可以找到多少个形如右图所示的“凸”字形图形?
【试题来源】
【题目】如下图,八面体有12条棱,6个顶点。一只蚂蚁从顶点A出发,沿棱爬行,要求恰好经过每一个顶点一次。问共有多少种不同的走法?
相关文档
- 小学五年级奥数教案:第24讲 分解质2021-12-235页
- 小学五年级奥数教案:时钟问题(学生2021-12-235页
- 小学五年级奥数教案:余数问题(学生2021-12-2311页
- 小学五年级奥数教案:第7讲 一般应用2021-12-236页
- 小学五年级奥数教案:不定方程与整数2021-12-2313页
- 小学五年级奥数教案:行程之走走停停2021-12-2310页
- 小学五年级奥数教案:第9讲 一般应用2021-12-236页
- 小学五年级奥数教案:第15讲 长方体2021-12-236页
- 小学五年级奥数教案:最值问题(学生2021-12-238页
- 小学五年级奥数教案:数的整除(学生2021-12-238页