小学五年级奥数教案：不定方程与整数拆分(讲师版) 13页

不定方程与整数拆分 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 不定方程，简单地说，可以用一句话概括，即方程的数量小于未知数的数 量。严格地说，不定方程是对解有一定限制的方程，属于数论的范畴，更 准确地说法是数论的分支。与现实联系比较密切，经常应用于各种优化方 案中。也是数学领域研究的重要课题之一。整数拆分方法和方式也有很多，哪 一种是符合条件的数在题目中再具体研究。 知识梳理 1、解不定方程的 4 个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解 2、重点难点解析 （1）.判断不定方程何时有解。 （2）.不定方程解的个数。 （3）.解不定方程及不定方程组。 （4）.整数拆分的方法和技巧。 3、竞赛考点挖掘 因其题型的局限性，解题技巧更是类似于余数整除问题，因此近两年来，杯赛 很少涉及,因此对于杯赛来讲，不做重点讲解。整数拆分的思路和想法经常运用 到小升初考试、杯赛中。重点讲解！ 例题精讲 【试题来源】 【题目】 装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装 11 个，小盒每盒装 8 个，要把 89 个产品装入 盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？ 【答案】大盒 3 个，小盒子 7 个 【解析】 设需要大盒 x 个，小盒 y 个，可列方程得 11 8 89x y  因为盒子的数量只能为自然数， 所以解得 3 7 x y    即需要大盒 3 个，小盒子 7 个。 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 有 100 个同学去操场踢足球、打排球和打篮球，每个足球场地 22 人，每个排球场地 12 人， 每个篮球场地 10 人，他们共占了 8 个场地。问：其中足球场、排球场和篮球场各几个？ 【答案】足球场 1 个，排球场 4 个，篮球场 3 个 【解析】 设足球场 x 个，排球场 y 个，篮球场 z 个，可列方程得 8 22 12 10 100 x y z x y z        解得 1 4 3 x y z      所以足球场 1 个，排球场 4 个，篮球场 3 个。 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 某地收取电费的标准是：若每月用电不超过 50 千瓦时，则每千瓦时收 5 角；若超过 50 千瓦 时，则超出部分按每千瓦时 8 角收费。某月甲用户比乙用户多交 3 元 3 角电费，这个月甲、 乙各用了多少千瓦时电？ 【答案】51，45 【解析】 根据题意可知，因为 3 元 3 角既不是 5 角的整数倍，也不是 8 角的整数倍。所以甲用的电 超过 50 千瓦时，乙用的电没有超过 50 千瓦时，设甲用的电超过 50 千瓦时的部分为 x 千瓦 时电，乙用的电与 50 千瓦时相差 y 千瓦时电，可列方程得8 5 33x y  解得 1 5 x y    所以甲用了 50+1=51（千瓦时）的电，乙用了 50-5=45（千万时）的电。 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 某次数学竞赛准备了 22 支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每 人发 6 支，二等奖每人发 3 支，三等奖每人发 2 支。后来又改为一等奖每人发 9 支，二等奖 每人发 4 支，三等奖每人发 1 支。问：获一、二、三等奖的学生各几人？ 【答案】一等奖 1 人，二等奖 2 人，三等奖 5 人 【解析】 根据题意，设一等奖 x 人，二等奖 y 人，三等奖 z 人，可列方程得 6 3 2 22 9 4 22 x y z x y z        解得 1 2 5 x y z      所以，一等奖 1 人，二等奖 2 人，三等奖 5 人。 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 新发行的一套邮票共 3 枚，面值分别为 20 分、40 分和 50 分，小明花 5.00 元买了 15 张。 问：其中三种面值的邮票各多少张？ 【答案】20 分的 6 张，40 分的 7 张，50 分的 2 张 【解析】 根据题意，设面值 20 分的 x 张，面值 40 分的 y 张，面值 50 分的 z 张，可列方程得 15 20 40 50 500 x y z x y z        解得 6 7 2 x y z      所以 20 分的 6 张，40 分的 7 张，50 分的 2 张。 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 工程队要铺设 78 米长的地下排水管道，仓库中有 3 米和 5 米长的两种管子。问：可以有多 少种不同取法？ 【答案】6 种 【解析】 根据题意，设 3 米管子 x 根，5 米管子 y 根，可列方程得3 5 78x y  解得 26 0 x y    或 21 3 x y    或 16 6 x y    或 11 9 x y    或 6 12 x y    或 1 15 x y    所以共有 6 种取法。 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 袋子里有三种球，分别标有数字 2，3 和 5，小明从中摸出几个球，它们的数字之和是 43。 问：小明最多摸出几个标有数字 2 的球？ 【答案】20 【解析】 根据题意，设摸出标有数字 2 的 x 个，摸出标有数字 3 的 y 个，摸出标有数字 5 的 z 个， 可列方程得 2 3 5 43x y z   x 最大为所求。 解得 20 1 0 x y z      所以，摸出标有数字 2 的最多为 20 个。 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。若是早晨见面， 小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声。细心的小娟 对它们的叫声统计了 15 天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这 15 天内它们共叫了 61 声。问：波斯猫至少叫了多少声？ 【答案】37 【解析】 根据题意，设白天见面的次数为 x ，晚上见面的次数为 y ，可列方程得 3 5 61x y  白天见面最多时，波斯猫叫声最少。即 x 最大为所求。 解得 12 5 x y    所以，波斯猫至少叫12 5 3 27   （声）。 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 篮子里有煮蛋、茶蛋和皮蛋共 30 个，价值 24 元，已知煮蛋每个 0.6 元，茶蛋每个 1.00 元， 皮蛋每个 1.20 元。问：篮子中最多有几个皮蛋？ 【答案】10 【解析】 根据题意，设煮蛋 x 个，茶蛋 y 个，皮蛋 z 个，可列方程得 30 0.6 1.2 24 x y z x y z        z 最大为所求。 解得 20 0 10 x y z      所以最多有 10 个皮蛋。 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 用 1 分、2 分和 5 分硬币凑成 1 元钱，共有多少种不同的凑法？ 【答案】541 【解析】 根据题意，设 5 分有 x 个，2 分有 y 个，1 分有 z 个，可列方程得 5 2 100x y z   5 分取 20 个，有 1 种。 5 分取 19 个，2 分有 3 种取法（2 个、1 个、0 个），共 3 种。 5 分取 18 个，共 6 种。（同上） 5 分取 17 个，共 8 种。 5 分取 16 个，共 11 种。 。。。。。。 根据规律不难求出共有 1+3+6+8+11+13+16+18+21+23+26+28+31+33+36+38+41+43+46+48+51 =18+58+98+138+178+51 =490+51 =541 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 小华和小强各用 6 角 4 分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是 5 分一支和 7 分一支的两 种，而且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔＿＿支． 【答案】2 【解析】 设买 5 分一支的铅笔ｍ支，7 分一支的铅笔 n 支。则：5×ｍ+7×ｎ=64， 64—7×n 是 5 的 倍数．用 n=0，1，2，3，4，5，6，7，8 代入检验，只有 n=2，7 满足这一要求，得出相应 的ｍ=10，3．即小华买铅笔 lO+2＝12 支，小强买铅笔 7+3=10 支，小华比小强多买 2 支． 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 小萌在邮局寄了 3 种信，平信每封 8 分，航空信每封 1 角，挂号信每封 2 角，她共用了 1 元 2 角 2 分。那么小萌寄的这 3 种信的总和最少是多少封？ 【答案】9 【解析】 平信每封 8 分，航空信分封 1 角=10 分，挂号信每封 2 角=20 分。共用了 1 元 2 角 2 分=122 分。设小萌发了平信 X 封，航空信 Y 封，挂号信 Z 封。得方程：8X+10Y+20Z=122，要使这 3 种信的总和最少，则挂号信应最多；再则航空信也尽可能多。因总钱数的个位是 2，则平信 最少是 4 封。8×4=32 分。其余信的总钱数为 122-32=90 分。90/20=4……10。则挂号信 4 封，航空信 10/10=1 封。4+4+1=9 封。 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 某校师生为贫困地区捐款 1995 元．这个学校共有 35 名教师，14 个教学班．各班学生人数 相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？ 【答案】3 【解析】 设 每 班 有 a(30 ＜ a ≤ 45) 名 学 生 ， 每 人 平 均 捐 款 x 元 (x 是 整 数 ) ， 依 题 意 有 ： x(14a+35)=1995．于是 14a+35|1995．又 3l＜a≤45，所以 469＜14a+35≤665，而 1995=3 ×5×7×19，在 469 与 665 之间它的约数仅有 665，故 14a+35=665，x=3，平均每人捐款 3 元． 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是 18 的倍数，乙搬的砖数是 23 的倍数，两人共搬了 300 块砖。 问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？ 【答案】甲比乙多 24 块 【解析】 设甲搬的是 18x 块，乙搬的是 23y 块，那么 18x+23y=300，观察发现 18x 和 300 都是 6 的倍 数，所以 y 也是 6 的倍数，y=6 时 18x=162 x=9，y=12 时 18x=24 x=4/3 矛盾，所以甲搬 了 162 块，乙搬了 138 块，甲比乙多 24 块。 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参 加．男职工每人种 13 棵树，女职工每人种 10 棵树，每个孩子种 6 棵树，他们一共种了 216 棵树．那么其中有多少名男职工? 【答案】12 【解析】 设男职工 x 人，孩子 y 人，则女职工 3 y - x 人(注意，为何设孩子数为 y 人，而不是设女 职工为 y 人)， 那么有  13 10 3 6x y x y   =216，化简为3 36x y =216，即 12x y =72． 有 12 24 36 48 60 5 4 3 2 1 x x x x x y y y y y                     . 但是，女职工人数为3y x 必须是自然数，所以只有 12 5 x y    时，3 3y x  满足． 那么男职工数只能为 12 名 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 设 A 和 B 都是自然数，并且满足 17 11 3 33 A B  ,那么 A+B 等于多少? 【答案】3 【解析】 将等式两边通分，有 3A+llB=17,显然有 B=l，A=2 时满足，此时 A+B=2+1=3． 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 一居民要装修房屋，买来长 0.7 米和 O.8 米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一 些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4 米，0.7+0.8=1.5 米．那么在 3.6 米、3.8 米、3.4 米、3.9 米、3.7 米这 5 种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当 拼接而实现的? 【答案】3.4 【解析】 设 0.7 米，0.8 米两种木条分别 x ， y 根，则 0.7 x +0.8 y =3.4 3.6，即 7 x +8 y =34，36，37，38，39。将系数，常数对 7 取模，有 y ≡6，l，2，3，4(mod 7)，于是 y 最小分别取 6,1,2，3，4．但是当 y 取 6 时，8×6=48 超过 34， x 无法取值． 所以 3.4 米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的． 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 有三堆砝码，第一堆中每个砝码重 3 克，第二堆中每个砝码重 5 克，第三堆中每个砝码重 7 克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为 130 克．那么共需要多少个砝码?其中 3 克、5 克和 7 克的砝码各有几个? 【答案】有 3 克、5 克和 7 克的砝码各 2、1、17 个 【解析】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取 7 克的砝码．130÷7：18…4，所以 3 克、5 克的砝 码应组合为 4 克，或 4+7k 克重． 设 3 克的砝码 x 个，5 克的砝码 y 个，则3 5 4 7x y k   ． 当 k =0 时，有3 5 4x y  ，无自然数解； 当 k =1 时，有3 5 11x y  ，有 x =2， y =1，此时 7 克的砝码取 17 个，所以共 需 2+1+17=21 个砝码，有 3 克、5 克和 7 克的砝码各 2、1、17 个． 当 k >1 时，7 克的砝码取得较少，而 3、5 克的砝码却取得较多，不是最少的取 砝码情形．所以共需 2+1+17=20 个砝码，有 3 克、5 克和 7 克的砝码各 2、1、17 个． 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 (1)将 50 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少? (2)将 60 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多 少? 【答案】最大质数为 31；最大的质数为 7 【解析】 (1)首先确定这 10 个质数或其中的几个质数可以相等，不然 10 个互不相等的质数和最小为 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于 50． 所以，其中一定可以有某几个质数相等． 欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为 2，且最多可有 9 个 2，那么最大质数不超过 50—2×9=32，而不超过 32 的最大质数为 31． 又有 8 2 50 2 2 2 2 3 31       个 ，所以满足条件的最大质数为 31． (2)最大的质数必大于 5，否则 10 个质数的之和将不大于 50． 所以最大的质数最小为 7，为使和为 60，所以尽可能的含有多个 7． 60÷7=8……4， 8 7 60=7+7+7+ +7+4 个 ，而 4=2+2，恰好有 8 7 60=7+7+7+ +7+2+2 个 ．即 8 个 7 与 2 个 2 的和为 60，显然其中最大的质数最小为 7． 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 小明买红、蓝两支笔，共用了 17 元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强 打算用 35 元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把 35 元恰好 用完．那么红笔的单价是多少元? 【答案】13 【解析】如下表 先枚举出所有可能的单价如表 1． 再依次考虑： 首先，不能出现 35 的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完 35 元，所以含有 7，5，1 的 组合不可能．然后，也不能出现 35—17=18 的约数．否则先各买一支需 17 元，那么再买这 种笔就可以花去 18 元，一共花 35 元．所以含有 9，6，3，2 的组合也不可能． 所以，只有 13+4 的组合可能，经检验 13x+4y=35 这个不定方程确实无自然数解．所以红笔 的单价为 13 元． 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 习题演练 【试题来源】 【题目】有 150 个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装 12 个，小盒装 7 个。问：需要大、 小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？ 【答案】大盒 9 个 小盒 6 个 【解析】大盒 9 个 小盒 6 个 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】14 个大、中、小号钢珠共重 100 克，大号钢珠每个重 12 克，中号每个重 8 克，小 号 每个重 5 克。问：大、中、小号钢珠各多少个？ 【答案】大号钢珠 3 个，中号钢珠 3 个，小号钢珠 8 个 【解析】大号钢珠 3 个，中号钢珠 3 个，小号钢珠 8 个 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】一批布长 36 米，用此布做一套成人衣服用布 3 米，做一套儿童衣服用布 1.6 米。 要把这批布刚好用完且成人衣服和儿童衣服都要做，应做多少套成人衣服？多少套儿童衣 服？ 【答案】成人衣服 4 套， 儿童衣服 15 套。 【解析】成人衣服 4 套， 儿童衣服 15 套 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知 7 个大和尚每天共吃 41 个馒头，29 个 小和尚每天共吃 11 个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。问：庙里至少有多少个和 尚？ 【答案】至少 556 个和尚。 【解析】至少 556 个和尚 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】商店里的白糖有 4 千克、3 千克和 1 千克三种不同包装，一位顾客要买 15 千克白 糖。问：售货员给这位顾客白糖可以用多少种不同方法？ 【答案】15 种。 【解析】15 种 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是 M 月 N 日，2 人都不知道张老师的 生日是下列 10 组中的哪一天，张老师把 M 值告诉了小明，把 N 值告诉了小强，张老师问他 们知道他的生日是哪一天吗？ 3 月 4 日、3 月 5 日 、3 月 8 日 、6 月 4 日、6 月 7 日 、9 月 1 日 、9 月 5 日 、12 月 1 日 、12 月 2 日、 12 月 8 日 ； 小明说：如果我不知道的话，小强肯定也不知道 小强说：本来我也不知道，但是现在我知 道了 小明说：哦，那我也知道了 请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天？ 【答案】9 月 1 日。 【解析】9 月 1 日 【知识点】不定方程与整数拆分 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】5