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- 2022-02-10 发布
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学科培优 数学
“排列组合初步”
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知识定位
理解加乘原理的根本,分辨何时使用加法原理、何时使用乘法原理
知识梳理
一、乘法原理:
我们在完成一件事时往往要分为多个步骤,每个步骤又有多种方法,当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.
乘法原理:一般地,如果完成一件事需要n个步骤,其中,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法 ,…,做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
乘法原理运用的范围:这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为:“乘法分步,步步相关”.
二、加法原理:
无论自然界还是学习生活中,事物的组成往往是分门别类的,例如解决一件问题的往往不只一类途径,每一类途径往往又包含多种方法,如果要想知道一共有多少种解决方法,就需要用到加法原理.
加法原理:一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有m2种不同做法 ,…,第k类方法中有mk种不同的做法,则完成这件事共有N= m1 + m2 +…+mk 种不同的方法.
加法原理运用的范围:完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决.我们可以简记为:“加法分类,类类独立”.
加乘原理的区别:
加法原理运用的范围:完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决.我们可以简记为:“加法分类,类类独立”.
乘法原理运用的范围:这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为:“乘法分步,步步相关。”
例题精讲
【试题来源】
【题目】用2、4、5、7这4个不同数字可以组成24个互不相同的四位数,将它们从小到大排列,那么7254是第多少个数?
【试题来源】
【题目】用0、1、2、3、4这5个数字,组成各位数字互不相同的四位数,例如1023、2341等,求全体这样的四位数之和。
【试题来源】
【题目】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读,那么共有多少种不同的选择?
【试题来源】
【题目】有5个标签分别对应着5个药瓶,恰好贴错3个标签的可能情况共有多少种?
【试题来源】
【题目】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。问:⑴如果4个舞蹈节目要排在一起,有多少种不同的安排顺序?⑵如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目,一共有多少种不同的安排顺序?
【试题来源】
【题目】某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成。现有钳工3人、电工3人,另有1人钳工、电工都会。从7人中挑选4人完成这项工作,共有多少种方法?
【试题来源】
【题目】在下图的街道示意图中,有几处街区有积水不能通行,那么从A到B的最短路线有多少种?
【试题来源】
我
们
学
习
好
们
学
习
好
玩
学
习
好
玩
的
习
好
玩
的
数
好
玩
的
数
学
【题目】如下表,请读出“我们学习好玩的数学”这9个字,要求你选择的9个字里能连续
(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻),这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法。
【试题来源】
【题目】①有5个人排成一排照相,有多少种排法?
②5个人排成两排照相,前排2人,后排3人,共有多少种排法?
③5个人排成一排照相,如果某人必须站在中间,有多少种排法?
④5个人排成一排照相,某人必须站在两头,共有多少种排法
【试题来源】1.迎春杯决赛2. 兴趣杯少年数学邀请赛决赛
【题目】(1)如右图(1)是中国象棋盘,如果双方准备各放一个棋子,要求它们不在同一行,也不在同一列,那么总共有多少种不同的放置方法?
(2)在右图(2)中放四个棋子“兵”,使得每一列有一个“兵”,每一行至多有一个“兵”.有多少种不同的放法?
【试题来源】
【题目】有10块糖,每天至少吃一块,吃完为止。问:共有多少种不同的吃法?
【试题来源】
【题目】计算机上编程序打印出前10000个正整数:1、2、3、……、10000时,不幸打印机有毛病,每次打印数字3时,它都打印出x,问其中被错误打印的共有多少个数?
【试题来源】
【题目】一楼梯共10级,规定每步只能跨上一级或两级,要登上第10级,共有多少种不同走法?
【试题来源】
【题目】有一堆火柴共12根,如果规定每次取1~3根,那么取完这堆火柴共有多少种不同取法?
【试题来源】
【题目】在1000到9999之间,千位数字与十位数字之差(大减小)为2,并且4个数字各不相同的四位数有多少个?
【试题来源】
【题目】大林和小林共有小人书不超过50本,他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况?
【试题来源】
【题目】(1)如右图(1),从学校到少年宫的最短路线有多少条?
(2)小君家到学校的道路如右图(2)所示。从小君家到学校的最短路线有多少种不同的走法?
【试题来源】
【题目】某沿海城市管辖7个县,这7个县的位置如下图.现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给下图染色,要求任意相邻的两个县染不同颜色.共有_____种不同的染色方法.
【试题来源】
【题目】用1~9可以组成______个不含重复数字的三位数:如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1,那么可以组成______个满足要求的三位数.
【试题来源】
【题目】数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和,如3,1+2,2+1,1+1+1。问:1999表示为1个或几个正整数的和的方法有多少种?
习题演练
【试题来源】
【题目】阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书,第一天他们从学校直接去图书馆;第二天他们先去公园再去图书馆;第三天公园修路不能通行.问:这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法?
【试题来源】
【题目】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里,允许有的盘子空着。请问一共有多少种不同的放法?
【试题来源】
【题目】小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法?
(1)七个人排成一排;
(2)七个人排成一排,小新必须站在中间.
(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间.
(4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边.
(5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上.
(6)七个人战成两排,前排三人,后排四人.
(7)七个人战成两排,前排三人,后排四人. 小新、阿呆不在同一排.
【试题来源】
【题目】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分?平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分?
【试题来源】
【题目】.一个六位数能被11整除,它的各位数字非零且互不相同的.将这个六位数的6个数字重新排列,最少还能排出多少个能被11整除的六位数?
【试题来源】
【题目】下图是一个道路图。A处有一大群孩子,这群孩子向东或向北走,在从A开始的每个路口,都有一半人向北走,另一半人向东走,如果先后有60个孩子到过路口B,那么先后共有多少个孩子到过路口C?
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