小学五年级奥数教案：发车和接送问题(学生版) 8页

‎ 学科培优 数学 ‎ ‎“发车和接送问题”‎ 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 行程问题中的几种数学模型，在具体情境中还可以表现为接送问题、发车间隔、电梯问题。我们透过具体情境，发现它仍然是行程问题中基本数学模型的变型。‎ 行程问题是研究速度、时间和路程三量之间关系的问题，它是小学数学应用题的难点，是升学试卷中常见的压轴题。行程问题常与分数、比例等知识结合在一起，综合性强，且运用形式多变，解答时应注意以下几点： ‎ ‎ 1.尽可能采用作线段图的方法，正确反映数量之间变化关系,帮助分析思考。 ‎ ‎ 2.行程问题常结合分数应用题，解答时要巧妙地假设单位“l”使问题简单化，有时还可以联系整数知识，把路程理解为若干份。 ‎ ‎ 3.复杂行程问题经常运用到比例知识。速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比。‎ ‎ 4.碰到综合性问题可先把综合问题分解成几个单一问题，然后逐个解决。‎ ‎【授课批注】‎ 在行程问题中这节是较难的问题，综合了比例和方程知识。发车问题要注意的是两车之间的距离是不变的。可以用线等距离连一些小物体来体会进车队的等距离前进。还要理解参照物的概念有助于解题。接送问题关键注意每队行走的总时间和总路程，是寻找比例和解题的关键。‎ 知识梳理 一、常见发车问题解题方法 间隔发车问题。空间理解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助。一旦掌握了3个基本公式，一般问题都可以迎刃而解。 （1）在班车里。即柳卡问题。不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。 ‎ 例题：A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路。每天上午8点到11点从A、B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从A站到B站单程需要105分钟，从B站到A站单程需要80分钟。问8：30、9：00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车？ （2）在班车外。联立3个基本公式好使。 汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔------1 汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔------2 汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔------3 1、2合并理解，即 汽车间距=相对速度×时间间隔 分为2个小题型：1、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答；2、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。标准方法是：画图-尽可能多的列3个好使公式-结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。‎ 二、常见接送问题解题方法 校车问题。就是这样一类题：队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地（即到达目的地的最短时间，不要求证明）分4种小题型：根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类。 （1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见） （2）车速不变-班速不变-班数多个 （3）车速不变-班速变-班数2个 （4）车速变-班速不变-班数2个 标准解法：画图-列3个式子：1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。最后会得到几个路程段的比值，再根据所求代数即可。‎ 此类问题可以得到几个公式，但公式无法记忆，因为相对复杂，只能理解，才能掌握知识的真谛！‎ ‎【授课批注】‎ 对于本节较难的的两个题型的，理解为主，不要认为公式可以万能，理解运动过程，抓住变化规律，有步骤，有节奏才能解决好此类问题。‎ 例题精讲 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】甲乙两人同时从学校出发去距离33千米外的公园，甲步行的速度是每小时4千米，乙步行的速度是每小时3千米。他们有一辆自行车，它的速度是每小时5千米，这辆车只能载一个人，所以先让其中一人先骑车到中途，然后把车放下之后继续前进，等另一个人赶到放车的位置后再骑车赶去，这样使两人同时到达公园。那么放车的位置距出发点多少千米？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少千米？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生步行，乙丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，此时甲、乙两班也恰好赶到终点，已知学生步行的速度为5千米/小时，大巴车的行驶速度为55千米/小时，出发地到终点之间的距离为8千米，求这些学生到达终点一共所花的时间.‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ A、B两个连队同时分别从两个营地出发前往一个目的地进行演习，A连有卡车可以装载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时尽快到达目的地，A连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接B连的士兵，两营的士兵恰好同时到达目的地，已知营地与目的地之间的距离为32千米，士兵行军速度为8千米/小时，卡车行驶速度为40千米每小时，求两营士兵到达目的地一共要多少时间？ ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】某人以匀速行走在一条公路上,公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车.他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上他；每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过.问公共汽车每隔多少分钟发车一辆?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，每隔10分钟有一辆公共汽车超过行人，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人．如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔多少分钟发一辆公共汽车？ ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】甲城的车站总是以20分钟的时间间隔向乙城发车，甲乙两城之间既有平路又有上坡和下坡，车辆（包括自行车）上坡和下坡的速度分别是平路上的80%和120%，有一名学生从乙城骑车去甲城，已知该学生平路上的骑车速度是汽车在平路上速度的四分之一，那么这位学生骑车的学生在平路、上坡、下坡时每隔多少分钟遇到一辆汽车？ ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】小峰骑自行车去小宝家聚会，一路上小峰注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从后方超越小峰，小峰骑车到半路，车坏了，小峰只好打的去小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰骑车速度的5倍，那么如果公交车的发车时间间隔和行驶速度固定的话，公交车的发车时间间隔为多少分钟？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】小明骑自行车到朋友家聚会，一路上他注意到每隔12分钟就有一辆公交车从后边追上小乐，小明骑着骑着突然车胎爆了，小明只好以原来骑车三分之一的速度推着车往回走，这时他发现公交车以每隔4分钟一辆的频率迎面开过来，公交车站发车的间隔时间到底为多少？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫，学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时40公里，空车时车速为每小时50公里．问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生要步行全程的几分之几？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】三个人同时前往相距30千米的甲地，已知三人行走的速度相同，都是5千米每小时；现在还有一辆自行车，但只能一个人骑，已知骑车的速度为10千米每小时。现先让其中一人先骑车，到中途某地后放车放下，继续前进；第二个人到达后骑上再行驶一段后有放下让最后那人骑行，自己继续前进，这样三人同时到达甲地。问，三人花的时间各为多少？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路。每天上午8点到11点从A，B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从A站到B站单程需105分，从B站到A站单程需80分。问：‎ ‎（1）8：30、9：00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车？ （2）从A站发车的司机最少能看到几辆从B站开来的汽车？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】某沙漠通讯班接到紧急命令，让他们火速将一份情报送过沙漠。现在已知沙漠通讯班成员只有靠步行穿过沙漠，每个人步行穿过沙漠的时间均为12天，而每个人最多只能带8天的食物，请问，在假定每个人饭量大小相同，且所能带的食物相同的情况下，沙漠通讯班能否完成任务？如果能，那么最少需要几人才能将情报送过沙漠，怎么送？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个旅游者于是10时15分从旅游基地乘小艇出发，务必在不迟于当日13时返回。已知河水速度为1.4千米/小时，小艇在静水中的速度为3千米/小时，如果旅游者每过30分钟就休息15分钟，不靠岸，只能在某次休息后才返回，那么他从旅游基地出发乘艇走过的最大距离是＿＿＿＿千米。‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】某人乘坐观光游船沿顺流方向从A港到B港。发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船，每隔20分钟就会有一艘货船迎面开过，已知A、B两港间货船的发船间隔时间相同，且船在净水中的速度相同，均是水速的7倍，那么货船发出的时间间隔是__________分钟。‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场?‎ 习题演练 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】某人沿电车线路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来．假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔．‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】甲乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处前进20千米，已知每人最多只能带一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，问其中一个人最远可深入沙漠多少千米？ ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】两辆同一型号的汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带20桶汽油（连同油箱内的油）。每桶汽油可以使一辆汽车前进60千米，两车都必须返回出发地点，两辆车均可借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，那么这辆车最远可达到离出发点多少千米远的地方？ ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】甲、乙两地是电车的始发站，每隔一定的时间两地同时各自发一辆电车，小张和小王分 别骑车同时从甲、乙两地出发，相向而行，每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的电车，小 张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车。已知 电车行完全程要用56分钟，求小张和小王相遇时走了多少分钟？ ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】兄弟两人骑马进城，全程51千米。马每时行12千米，但只能由一个人骑。哥哥每时步行5千米，弟弟每时步行4千米。两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马的时间忽略不计），然后独自步行。而步行者到达此地，再上马前进。若他们早晨6点动身，则何时能同时到达城里？ ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】在一个沙漠地带，汽车每天行驶200千米，每辆汽车载运可行驶24天的汽油．现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿原路返回．为了让甲车尽可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他的油给甲车．求甲车所能开行的最远距离．‎