四年级下册数学试题-春季培优：06抽屉原理与最不利原则（解析版）全国通用 5页

原理 1 把多于 n个的物体放到 n 个抽屉中，则至少有一个抽屉中有 2 个或 2 个以上的物体。 原理 2 把多于 mn ( m 乘以 n )个的物体放到 n个抽屉中，则至少有一个抽屉中有 1m 个 或多于 1m 个的物体。  构造“抽屉”、找出“物体”及物体的放法是应用抽屉原理解决问题的关键。 常见的构造抽屉的方法有：数的分组法；剩余类法；图形分割法；染色法。  当问题中出现“保证”二字，就要求我们必须利用“最不利”原则情况分析问题。 最不利原则就是从“极端倒霉”的情况考虑问题，将所有不利的情况都考虑进来。 我们可以用如下方法，解决简单抽屉原理的问题： 将 n 个物品放到 m 个抽屉中，如果 amn  ，那么一定有一个抽屉中至少有 a 个物品； 如果 bamn  （ 0b ），那么一定有一个抽屉中至少有 1a 个物品。 四年（1）班一共有 42 名学生，那么一定有至少几名学生的属相相同？ 解：中国属相有 12 个，即有 12 个“抽屉”，42 名学生为“物体”。 631242  ，则至少有 413  （名）。 难度系数：A 盒子中装有红、白、黑三种颜色的小球各 20 个，这些小球摸起来手感都一样。 14 个小朋友闭着眼睛玩摸球游戏，每个小朋友一次只能摸出一个小球。那么一次至少有几 个小朋友摸出的小球颜色相同？ 解： 4314  ……2，则至少有 514  （个）。 难度系数：A 有 3 个不同的自然数，至少有两个数的和是偶数，为什么？ 解析：自然数只有奇数和偶数两种情况，所以 3 个不同的自然数必定有两个同样是奇 数或同样是偶数。因为“奇数+奇数=偶数”，“偶数+偶数=偶数”，所以至少有两个数的和是 偶数。 答案：因为：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数。3 个不同自然数中至少有两个同是 奇数或同是偶数。所以至少有两个数的和是偶数。 难度系数：A 4 个连续自然数分别被 3 除后，必有两个余数相同，为什么？ 解析：一个自然数除以 3，余数只有三种情况 0、1、2。4 个连续自然数中取 3 个连续 自然数分别除以 3 后，三种余数必定全部出现，第四个数再去除以 3 所得的余数肯定和之 前的某个余数是相同的。 答案：因任意自然数被 3 除余数只可能是 0、1、2。 4÷3=1……1,1+1=2.所以 4 个连续自然数分别被 3 除后，必有两个余数相同。 难度系数：A 布袋中有 60 块大小、形状都相同的木块，每 15 块涂上相同的颜色，一次至少 取出多少块才能保证其中至少有 3 块颜色相同？ 解析：要保证取出的木块有 3 块颜色是相同的，那么必须算出共有 60÷15=4（种）不 同的颜色。要保证取出 3 块木块颜色是相同的，那最不利的情况就是每种颜色都先出现两 次，需要取出 4×2=8（块）。这时候无论再取出一块是什么颜色的，总有一种颜色出现了 3 次。 答案：60÷15×2+1=9（块） 难度系数：B 一副扑克牌一共有 54 张，至少从中取出多少张才能保证： （1）至少有 4 张牌的花色相同； （2）4 种花色的牌都有； （3）至少有 4 张牌是黑桃。 答案：（1）3×4+1+2=15（张） （2）13×3+1+2=42(张) （3）13×3+4+2=45（张） 难度系数：B 2012 名冬令营营员去游览长城、颐和园、天坛，规定每人最少去一处，最多 去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同？ 解析：首先要考虑游览不同的景点有几种不同的情况，由于最少去一处最多去两处。 所以只有去一处景点和去两种景点这两种不同的情况。去一处景点有 3 种不同情况，去两 处景点也有 3 种不同的情况，所以共有 6 种不同的游览情况。用 2012 去除以 6 可以算出平 均每种游览情况有 335 人同时去，还剩余 2 人，所以至少有 335+1=336（人）游览的地方完 全相同。 答案：2012÷（3+3）=335（人）……2(人)，335+1=336（人） 难度系数：B 某班组织全班 45 人进行体育比赛，项目有 A、B、C 三种，规定每人至少参加 一项，最多参加三项，至少有几人参加的项目是相同的？ 答案：45÷（3+3+1）=6（人）……3(人) 6+1=7（人） 难度系数：B 从 1、2、3、…，2011 这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两 个数的差不等于 4？ 解析：去 1 的话不包括 5，取 2 的话不取 6，取 3 的话不取 7，去 4 的话不取 8；那么自然 数把这些数四个一组：（1,2,3,4），（5,6,7,8），（9,10,11,12），…，（2005,2006,2007,2008）， （2009,2010,2011,2012），共分成了“2011÷4=502……3(个)”502 组，最后一组就是余下的 3 个数，然后取奇数组的 4 个数，舍去偶数组的 4 个数，共可取 4×（502÷2）+3=1007（个） 数。 答案：2011÷4=502（组）……3（个），4×（502÷2）+3=1007（个） 难度系数：C 从 1 至 2011 这 2011 个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两个数都 不连续且差不等于 4？ 解析：由于任意两个数都不连续，且差不等于 4，和前一题一样，取 1 的话 5 不能取，但是 同样 2 也不能取；接下去只能取 3，则 4 和 7 不能取；取 6 则 10 不能取。我们不妨将这些 自然数排列出来看看有没有一定的规律：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，…从 这列数中我们不难看出 1~5 可以组成一组，6~10 可以组成一组，以此类推。每组数可以取 到 2 个数。因此 2011 共可分成 2011÷5=402……1,共 402 组，由于每组的最后一个数是舍 去的，所以多出的这一个数是要取中的。 答案：2011÷5=402（组）……1(个)，402×2+1=805（个） 难度系数：C 某班有 16 名学生，每个月教师把学生分成两个小组。问：最少要经过几个月，才能使该班 的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里？ 答案:第一个月：16÷2=8（人），至少有 8 人同组； 第二个月：8÷2=4（人），至少有 4 人还同组； 第三个月：4÷2=2（人），至少有 2 人还同组； 第四个月：2÷2=1（人），至此把同组的全部分开了。 答：至少要经过 4 个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里。 难度系数：C 什么是莫比乌斯带 莫比乌斯带是拓扑学家们的杰作之一。它使人感到古怪的是：只有一侧的曲面。 它的制作是极为简单的。我们把一个双侧环带随意在一处剪开，然后扭转一半，即 180°。 再粘合到一起来形成封闭的环，就得到了莫比乌斯带。 但如果描述为没有“另一侧”，这是很难理解和想象的。但做起来却很容易，你可随意 从一处开始涂色（不离开这面）最终你将会发现莫比乌斯带都被你涂上了颜色，也就说明 这的确是一个单侧面的带子。 莫比乌斯具有各种意想不到的性质，有人称之为“魔术般的变化”。如果我们把莫比乌 斯带沿中线剪开，出乎意料地得到了一条双侧袋子而不是两条。数学家对这种奇妙的现象 解释为:一条莫比乌斯带只有一条边，剪开却使它增加了第二条边与另一侧。如果把莫比乌 斯带沿三等分线剪开将使你又获新奇之感。剪刀将环绕纸带子走整整两圈，但只是一次连 续的剪开，剪的结果是两条卷绕在一起的纸条，其中的一条是双侧纸圈，另一条则是新的 莫比乌斯带。你看，这真是一个奇妙的带子。 【教师备用题】 用递等式计算：（能简便的要简便） （1）9.4+26.35+4.65 （2）18.76－6.37+1.24－3.73 （3）43－28.123－11.875 用小数表示下列各数。 808 克=（ ）千克 8 角=（ ）元 88 厘米=（ ）米 8008 米=（ ）千米 88 角=（ ）元 18 分米 8 厘米=（ ）米 添括号，使所有的得数都等于 50. 7×14－6－6=50 185+15÷5+10=50 160－5×3+19=50 应用题 王师傅要加工 4800 只零件，原计划 16 天完成。由于改进技术，实际提前 4 天完成任务。 实际每天比原来多加工多少个零件？ 把 1,2,3,……，29,30，这 30 个数任意分成 10 组，每组 3 个数，证明其中必有一组中的 3 个数的和大于 46. 答案： 1、40.4、9.9、3.002 2、0.808、0.8、0.88、8.008、8.8、1.88 3、7×（14－6）－6=50；（185+15）÷5+10=50；160－5×（3+9）=50 4、4800÷（16－4）－4800÷16=100（个） 5 、 分 析 ： 将 10 组 看 作 10 个 “ 抽 屉 ”， 如 果 先 算 出 30 个 数 字 的 总 和 ： 45630321   ，将 465 分配到 10 个抽屉里面，如果是每个抽屉里面的数字 之和尽可能接近，能保证抽屉里数字之和最大的那个最小。那么只要 30 个抽屉里数字之和 最大的那个数字大于 46，本题就可到证明。 解：∵ 45630321   又∵ 51046465  根据抽屉原理 2,10 个抽屉里至少有一个抽屉里面的数字之和不小于 47146  即证得必有一组中的 3 个数字的和大于 46. 某小学四（1）班有 46 名同学，至少有几个同学在同一个月过生日？ 解析：一年有 12 个月，这里最不利的情况是先有 12 个同学的生日是在不同的 12 个月。再 有 12 个同学的生日在不同的 12 个月，可以得到 46÷12=3（个）……10(个)，表示有 3 个 同学是在同一个月过生日。多出的 10 个同学最不利的情况是 10 个人又都不在相同的月份， 所以至少有 3+1=4（个）同学在同一个月过生日。 答案：46÷12=3（个）……10（个） 3+1=4（个） 难度系数：A 某小学有 369 位 1996 年出生的学生，那么至少有几个同学的生日是在同一天？ 解析：1996 是闰年，有 366 天，要至少至少有几个学生的生日是同一天，则要考虑最不利 的情况，即有 366 位同学的生日都不相同，那么剩下的 3 为同学的生日也不相同，但是必 定和之前的 366 为同学中的 1 位同一天生日。所以至少有 2 个同学的生日是在同一天。 答案：369 初 366=1（个）……3（个） 难度系数：A 35 名同学参加数学考试，试卷中有 2 道选择题，每题有 A、B、C、D 四个选项。每位 同学都写出的答案，那么一定有至少几名同学的答案是相同的。 解：构造抽屉，2 道选择题答案的所有可能性如下， 同一种选项：（A，A）、（B，B）、（C，C）、（D，D），4 种； 不同种选项：（A，B）、（A，C）、（A，D）、（B，C）、（B，D）、（C，D）、（B，A）、（C， A）、（D，A）、（C，B）、（D，B）、（D，C）， 1226  种； 一共 16124  （种）不同答案，即有 16 个“抽屉”，将 33 名同学看成 33 个“物品”， 利用原理， 21635  ……3，则必有一个抽屉中至少有 312  个“物品”，即至少有 3 名同学的答案相同。 难度系数：B 一个不透明的袋子里有红色、黄色、黑色袜子各 20 只。至少要拿几只袜子，才能保证 其中至少有 2 双颜色不相同的袜子。（底稿） 解：两双是 4 只，最不利情况是其中一种颜色取完了，另外两种颜色一样一只，这时取了 22 只，但是没有不同色的两双，然后只要再任取一只就可以了。所以至少要取 231220  （只）。 难度系数：A 从 2、4、6、…、30 这 15 个偶数中，任取 9 个数，说明其中一定有两个数之和是 34。 （底稿） 解：制造出 7 个抽屉，即               18,1620,1422,1224,1026,828,630,42 、、、、、、、 。 先从每个抽屉各取出一个数，共 8 个，再任取一个，必有 2 个数取自同一抽屉。 取自同一抽屉的 2 个数字之和必为 34。 难度系数：B