六年级下册数学试题-小升初专题培优：数的整除之四大方法综合应用（含答案）全国通用 6页

数的整除之四大方法综合应用 一、整除的定义： ‎ 当两个整数a和b(b≠0)，a被b除的余数为零时(商为整数)，则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a， ‎ 二、数的整除性质： ‎ ‎⑴对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。‎ 记作：a|b，b|a，则a＝b。‎ ‎⑵传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。‎ 记作：若a|b，b|c，则a|c。 ‎ ‎⑶若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。 ‎ 记作：若a|b，a|c，则a|(b－c)。 ‎ ‎⑷若a|b，m≠0，则am|bm。 ‎ ‎⑸若am|bm，m≠0，则a|b。‎ ‎ ‎ 三、整除特征 ‎⑴1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a。 0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a|0。 ‎ ‎⑵看末位 若一个整数的末位能被2和5，则这个数能被2和5整除。‎ 若一个整数的末尾两位数能被4和25整除，则这个数能被4和25整除。 若一个整数的未尾三位数能被8和125整除，则这个数能被8和125整除。‎ ‎⑶看数字和 若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。‎ 若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。‎ ‎⑷看奇数位与偶数位的差 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。 ‎ ‎⑸后三位截断法 若一个数的末尾三位与前面其余数位的差分别是7、11或13整除，则这个数能被7、11、13整除 例1‎ 求满足下面各小题条件的a： ‎ ‎⑴5|‎ ‎⑵9|‎ 例2‎ 求满足下面各小题条件的整数a： ‎ ‎⑴8|‎ ‎⑵9|‎ ‎⑶11|‎ 例3‎ ‎62□是一个三位数，在□中依次填入一个数字，使所组成的三位数，能被6整除，这个数是_____。 ‎ 例3拓 ‎(2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛五年级决赛)731□是一个四位数，在□中依次填入三个数字，使所组成的三个四位数，依次能被9、11、6整除，这三个数之和是_____。 ‎ 例4‎ ‎(2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛个人赛)有一个五位数可同时被9和11整除。若将这个五位数的第一位、第三位与第五位数码移除，则可得到一个两位数35；若将这个五位数的前三位数码移除，则剩下的两位数可被9整除；若将这个五位数的末三位数码移除，则剩下的两位数也可以被9整除，请问这个五位数是什么？ ‎ 例4拓 在( )内填上合适的数字，使六位19( )88( )能被35整除。 ‎ 例5‎ ‎(第七届《小数报》数学竞赛初赛)用六位数可以表示日期，例如，960310表示1996年3月10日。在表示1996年3月份和4月份日期的61个六位数中，能被3整除的六位数共有_______个。 ‎ 例6‎ ‎(第七届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题)如果十位数1995xy5991能被99整除，其中x，y是未知数，求x和y。‎ 测试题 ‎1．(1992 年小学数学奥林匹克初赛)如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是________ 。‎ ‎2．若能被11整除，求满足条件的整数a。‎ ‎3．173□是个四位数。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3‎ 个四位数。依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？‎ ‎4．如果六位数1992□□ 能被95整除，那么，它的最后两位数是______ 。‎ ‎ ‎ ‎5．将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是______ 。‎ ‎6．(浙江省数学竞赛)在724的左边添加一个数码a，右边添加一个数码b，组成一个五位数。如果这个五位数是12的倍数，求a ×b的最大值。‎ 答案 ‎1．答案：199300÷105 ＝1898……10，所以199300－10＝199290能被105整除，所以最后两位数是90。‎ ‎2．答案：根据11的倍数的特征，奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则有10－3a是11的倍数，3a－6＝0或3a－6＝1，可见a＝2‎ ‎3．答案：设这个四位数为173a，当这个数被9整除时，9(1＋7＋3＋a)，所以a＝7；当这个数被11整除时，11(7＋a－1－3)，所以a＝8；当这个数被6整除时，a是偶数，且各位数字和是3的倍数，即3(1＋7＋3＋a)，所以a＝4。那么填入的这三个数字的和是7＋8＋4＝19。‎ ‎4．答案：设这个六位数为，199300÷95＝2097……85。所以199300－85＝99215能被95整除。这个六位数最后两位数是15‎ ‎5．答案：23和19互质，所以它们的最小公倍数是23×19＝437。1996÷437＝4……248。也就是说我们最小要加上437－248＝189，才能使它们的和能被23与19整除。‎ ‎6．答案：因为这个五位数是12 的倍数，所以它被3和4 整除。根据性质， 4b 被4 整除。b可取0、4、8，所以b最大可以取8。另一方面，a＋7＋2＋4＋8＝a＋21被3整除，所以a被3整除，a最大可以取9。当b＝ 0或4，a都不能取到8。因此a ×b的最大值为8×9＝72。‎