小学六年级奥数教案：排列组合综合(学生版) 4页

排列组合综合 知识定位 本讲主要讲授的是排列组合的几种基本方法。要求在熟练掌握乘法原理和加法原理的基础上，掌握几种基本的排列组合相关问题的方法：特殊位置特殊元素优先分析法、捆绑法、插空法、隔板法 知识梳理 乘法原理 我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.‎ 乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法 ，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．‎ 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.‎ 加法原理 无论自然界还是学习生活中，事物的组成往往是分门别类的，例如解决一件问题的往往不只一类途径，每一类途径往往又包含多种方法，如果要想知道一共有多少种解决方法，就需要用到加法原理.‎ 加法原理：一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法 ，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有N= m1 + m2 +…+mk 种不同的方法.‎ 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.‎ 特殊位置特殊元素优先分析法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。‎ 捆绑法 在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．‎ 插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。‎ 隔板法 隔板法就是在n个元素间插入（b-1）个板，即把n个元素分成b组的方法。‎ 例题精讲 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】①有5个人排成一排照相，有多少种排法？‎ ‎②5个人排成两排照相，前排2人，后排3人，共有多少种排法？‎ ‎③5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？‎ ‎④5个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法 ‎【试题来源】（1）（迎春杯决赛）（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）‎ ‎【题目】（1）如右图（1）是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？‎ ‎（2）在右图（2）中放四个棋子“兵”，使得每一列有一个“兵”，每一行至多有一个“兵”．有多少种不同的放法？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】大林和小林共有小人书不超过50本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】把13拆成三个数的和，请问有几种拆法？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】用数码0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】用1～9可以组成______个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成______个满足要求的三位数． ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1。问：1999表示为1个或几个正整数的和的方法有多少种？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ ‎ ‎（1）七个人排成一排； ‎ ‎（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.‎ ‎（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.‎ ‎（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.‎ ‎（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.‎ ‎（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.‎ ‎（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排.‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下，分别有多少种选法？‎ ‎（1） 恰有3名女生入选；‎ ‎（2） 至少有两名女生入选；‎ ‎（3） 某两名女生，某两名男生必须入选；‎ ‎（4） 某两名女生，某两名男生不能同时入选；‎ ‎（5） 某两名女生，某两名男生最多入选两人.‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？平面上1993个圆最多能将平面分割成多少个区域？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能生下雌雄一对小兔，此后每月生下一对小兔.如果养了初生的一对小兔，问满一年时共可得多少对兔子？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分?‎ 习题演练 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】 有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】 （1）如右图（1），从学校到少年宫的最短路线有多少条？‎ ‎（2）小君家到学校的道路如右图（2）所示。从小君家到学校的最短路线有多少种不同的走法？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】 某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如下图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给下图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色．共有_____种不同的染色方法．‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】 某小学有一支乒乓球队，有男、女小队员各8名，在进行男女混合双打时，这16名小队员可组成＿＿对不同的阵容. ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】 有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式。问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】下图是一个道路图。A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有60个孩子到过路口B，那么先后共有多少个孩子到过路口C？‎