六年级下册数学试题-奥数：数论之同余定理、个位律 (2)（解析版）全国通用 9页

第六讲数论之同余定理、个位律教学目标学习与研究小学奥数，余数和同余定理是重镇.(1)熟练掌握余数定理在多位数除法以及高次冥末尾数字求解中的基本运用.(2)同余性质是解决同余问题的重要依据,学会灵活运用同余性质解决同余问题.(3)能用凑同余的办法解决一个数除以多个数，得不同余数的问题，会运用中国剩余定理解决这一类问题.射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题吗？　　想挑战吗　？分析：这道题翻译为白话即：一些东西不知道有多少，如果3个3个地数，那么最后还剩2个，如果5个5个地数，那么最后还剩3个，如果7个7个地数，那么还剩2个，求这些物体到底有多少个（最少）.黄蓉给出的解法是：“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知”，意思就是用被3除得到的余数乘以70，加上被5除的余数乘以21，再加上被7除得的余数乘以15，所得的和不断得减去105即可得到答案,实际上就是中国剩余定理的解法.你还记得吗？【例1】一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。分析：这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。得余数为41，所以被除数减去41就能被这个两位数整除，且这个除数应该大于41，210=2×3×5×7，210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。 【例1】用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？分析：∵被除数=除数×商+余数，　　即被除数=除数×40+16。　　由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，　　∴（除数×40+16）+除数=877，　　∴除数×41=877-16，　　除数=861÷41，　　除数=21，　　∴被除数=21×40+16=856。专题精讲题型一、余数规律余数定理：a：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。实例：7÷3=…1，5÷3=…2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。b:两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。实例：8÷3=…2，4÷3=…1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。如果是（7-5）÷3呢?会出什么问题？c:两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。实例：7÷3=…1，5÷3=…2，这样（7×5）÷3的余数就等于1×2=2，所以余2。性质：带余除法：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r当r=0时，我们称a能被b整除。当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r＜b【例1】2007+2008×444444的个位数为多少？分析：任何数乘方的尾数都是4个数一周期（教师务必讲解这个！），7是7、9、3、1循环，因为2007÷4=。。。。3，所以2007尾数是3，8是8、4、2、6循环，因为2008能被4整除，所以2008尾数是6，4是4、6、4、6循环，因为98÷4=……....2，所以444444尾数是6，所以原式的尾数为3+6×6=39，尾数是9. [前铺]43211234+12344321的个位数字是多少？分析：任何数的乘方的尾数都是4个数一周期，（教师务必讲解这个！）个位是1的数无论多少次方个位数都是1，个位是4的数4、6、4、6循环，所以个位是12344321的个位数为4，所以原式的个位数字是5【例1】除以10所得的余数为多少？分析：求结果除以10的余数即求其个位数。从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对于一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把每个加数的个位数按20个一组，则不同组中对应的数字应该是一样的。首先计算的个位数字，为4。2005个加数中有100组另5个数，100组的个位数是的个位数即0，另外5个数为、、、、，它们和的个位数字是的个位数3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3[拓展]试求25310×1685的末两位数。分析：分别考虑这两个幂除以4和25所得的余数。首先考虑4，253除以4余数是1，所以25310除以4的余数仍是1；168是4的倍数，它的5次方仍是4的倍数，即除以4的余数为0，则原数除以4的余数也是0。再考虑25，253除以25余3，则只需看310除以25的余数，又310=27×27×27×3则310除以25的余数为2×2×2×3=24；168除以25余18，则只需看185=324×324×18除以25的余数，可知余数为18；又24×18=432除以25的余数为7，所以原式除以25的余数即为7。两位数中，能被4整除，除以25余7的数只有32，则原式的末两位即为32。【例2】有一串数列是这样的：“1、1、1、3、5、9、17、31、57、105……”这串数中第2008个数被3除的余数是多少？分析：这串数的规律是：从第四个数起，每个数都等于前三个数的和，这串数转换为被3除的余数：1、1、1、0、2、0、2、1、0、0、1、1、2、1、1、1……从第14、15、16项开始，都与第1、2、3项分别相等，2008=13×154……6，所以第2008个数被3除的余数是0.[前铺]著名的裴波那契数列是这样的“1、1、2、3、5、8、13、21……”这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？分析：将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期，所以第2008项被3除所得的余数为0. 题型二、余数定理、性质的运用同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm)（*）同余式（*）意味着（我们假设a≥b）a－b=mk，k是整数，即m|(a-b)若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除这条性质非常有用，一定要熟练掌握。下面是一些和同余有关的题目，这些题型都是考试经常出的，一定要掌握。【例1】一个大于1的自然数去除300，243，205时，得到相同的余数，则这个自然数是______分析：余数相同，我们可以利用余数定理，这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是300-243=57的约数,又是243-205=38的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的最大公约数是19,所以这个自然数是19。[拓展]：有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少？分析：由于这三个数除以这个自然数后所得的余数和为25，所以63、90、130的和除以这个自然数后所得的余数为25，所以63+90+130-25=258能被这个自然数整除.258=2×3×43,显然当除数M为2、3、6时，3个余数的和最大为3×（2-1）=3，3×（3-1）=6，3×（6-1）=15，所以均不能满足条件.当除数为43×2、43×3、43×6时，它除63的余数均是63，所以也不满足.那么除数只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足.显然这3个余数中最大的为20【例2】一个大于1的数去除300，245，210时，得余数为a，a+2，a+5，则这个自然数为？分析：观察余数，发现余数多2和5，正好是比前一题中被除数多的，所以方法同上，答案同上！ [拓展]甲、乙、丙三数分别为603，939，393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？分析：设这个数为M，则603÷M=A1…r1939÷M=A2…r2393÷M=A3…r3r1=2×r2,r2=×r3,要消去余数r1,r2,r3,我们只能先把把余数处理成相同的，再两数相减。这样我们先把第二个式子乘以2，这样被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4。这样我们可以得到下面的式子：603÷M=A1…r1（939×2）÷M=2A2…（r2×2）（393×4）÷M=4A3…（r3×4）这样余数就处理成相同的。最后两两相减消去余数，意味着能被M整除。939×2-603=1275，393×4-603=969（1275，306）=51=3×17.603，939，393这三个数有公约数3.51÷3=17。则A等于17.题型三、一个数除以多个数，得不同余数一般解题步骤:①凑“多”相同，即把余数处理成相同条件：余数与除数的和相同②凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同条件：除数与余数的差相同③先考虑上面两种，如果都不行，则用“中国剩余定理”【例1】一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为____.分析：根据总结，我们发现三个数中两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8，这样我们可以把余数都处理成余8，所以[5、7、9]=315，所以这个数就是315+8=323。[拓展]一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？分析：仔细分析可以发现3×2+1=5+2=7，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，[3、5、11]=165，所以这个数最小是165+7=172.【例2】一个大于2的数，除以3余1，除以5余3，除以7余5，问满足条件的最小自然数是____.分析：我们发现差都相等，所以把他们都处理成都缺2能被整除，这样得[3、5、7]-2=103[前铺]一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？分析：根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于11-8=13-10=3， 观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除,所以[11、13]=143，所以这个数是143-3=140【例1】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数____.　分析：根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以我们只能用最普遍的“中国剩余定理”：3、5的公倍数3、7的公倍数5、7的公倍数15213530427045631056084140………找出除以7余4的除以5余3除以3余2可以找出分别是：606335可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为：158-105=53。【例2】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数：分析：将3、5、7、11这4个数3个3个分别计算公倍数，如表：5、7、11公倍数3、7、11公倍数3、5、11公倍数3、5、7公倍数3852311651057704623302101155693495315……………………除3余2的最小数是770除5余3的最小值是693除7余4的最小值是1653、5、7公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1，所以210×5=1050被11除余5，由此可知770+693+165+1050=2678是符合条件的一个值，又3、5、7、11的最小公倍数是770，所以2678-770×3=368是符合条件的最小值.题型四：余数和应用题相结合。【例3】在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？分析：因为表中9个质数之和恰为100，被3除余1，经过每一次操作，总和增加3的倍数，所以表中9个数之和除以3总是余1。如果表中9个数变为相等，那么9个数的总和应能被3整除，这就得出矛盾！所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为9个相同的数。 （法二）运用反正法和奇偶分析，由于九个数当中只有2是偶数，所以，如果能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数，那么第一行共同加上的数一定与第二、三行加上的数的奇偶性相反，否则经过所有操作后第一列的3个数的奇偶性质一定不同，同理，第一列共同加上的数一定与第二、三列加上的数的奇偶性相反，由此得到，第二、三行，二、三列的四个数（即原来的11、7、19、23）被加上的所有数和的奇偶性与第一行第一列（即原来的2）被加上的所有数和的奇偶性相等.这样的话，第一行第一列最后所得的数与第二、三行，二、三列的数的奇偶性质相反.数值必不同.【例1】甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人，两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念，那么拍完最后一张照片后，照相机里的胶卷还可拍____张照片（每个胶卷可拍36张照片）。分析：每车坐36人，甲代表团余下的11人和乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车意味着乙代表团还剩下36-11=25人，这样我们可以知道甲团人数除以36余11，乙团人数除以36余25，现在甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念，意味着总共要拍的照片数目为：甲团人数×乙团人数，每个胶卷可拍36张，所以胶卷用了若干卷后还要拍：（甲团人数×乙团人数）÷36的余数，根据余数定理可知，（甲团人数×乙团人数）÷36的余数等于（11×25）÷36余23，这样总共还要拍23张，也就是说还要可以拍36-23=13张。【例2】在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图。小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔。他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔。他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？分析：设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号为2，3，4，…B孔的编号就是圆圈上的孔数。每隔2孔跳一步，跳在1，4，7，10，…上。最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1。同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A,就意味着总孔数是7的倍数。如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数。这个15的倍数加上1就等于孔数，而且能被7整除。注意：15被7除余1，所以15×6被7除余6，15的6倍加1正好被7整除。我们还可以看出，15的其他（小于7的）倍数加1都不能被7整除，而15×7=105已经大于100.7以上的倍数都不必考虑，因此，圆圈上总孔数是15×6+1=91。 [拓展]在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图.小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针或顺时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着沿逆时针每隔2孔、4孔都跳一步都只能跳到B孔.最后他顺时针每隔6孔跳一步，结果一圈后还是跳到了B孔，你知道圆周上一共有多少个孔吗？分析：分析如原题对孔进行逆向编号后，每隔2孔跳一步，跳在1、4、7……上，每隔4孔跳一步，跳在了1、6、11……,对原题进行顺向编号后，得到每隔6孔跳一步，跳在了1、8、15、22……上，可以判断出，圆周上的空数被3除余1、被5除余1，被7除余6，运用中国剩余定理：70+21+15×6=181是符合条件的孔数，由于孔数少于100，所以181-105=76是本题的最终答案.专题展望zhanwang1wzhanwang一定要熟练前面的三种基本题型，寒假班中我们将通过真题来巩固本节主要内容。练习六1、已知：a=问：a除以13所得余数是几?分析：199119911991被13整除.a有1991个1991.因为1991除以3余2.所以a除以13与19911991除以13，所得余数相同.19911991除以13余8.因此a除以13的余数也是8.2、有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，三个余数的和为25。这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少？分析：63＋90＋130－25应该能被这个自然数整除，即这个自然数是258的约数。而258＝2×3×43。由于6能整除90，而且这个自然数不能大于63。则这个自然数为43。可见余数最大的是63的余数：203、五(3)班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人.问上体育课的同学最少多少名?分析：[3，4，5，6]=60，60—1=59人4、将一些水果装盘(少于100)个，如果7个7个装盘则剩下2个不能装，如果11个11个装盘则剩下6个不能装盘，如果13个13个装盘，那么还剩下7个不能装盘，那么这些水果有多少个？分析：11×13的倍数：143、286、429……，其中被7除余2的有429；7×13的倍数：91，182，……，除11余6的有182；7×11的倍数：77，154，……除13余7的有462.182+462+429=1073是符合条件的数之一，由于水果数少于100，所以水果数有1073-1001=72个. 5、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。分析：“除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。　　[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。　　想：28+[5，6]×？之后能满足“7除余1”的条件？　　28+[5，6]×4=148，148=21×7+1，　　又148＜210=[5，6，7]　　所以，适合条件的最小的自然数是148。成长故事天堂与地狱哲理的故事一天，一位老板犯了错误，上帝为教育他，请他去参观两个地方。第一个地方，让他看了十分害怕，毛骨悚然。只见这里每个人都骨瘦如柴、饥寒交迫、痛苦万分、度日如年。他定睛一看，这些人在吃饭，每个人所用的筷子和勺都很长，是自己胳膊的三倍，因此，他们每个人不论怎样调整高度、调整角度，都无法把饭菜送到自己口里，于是每个人都挨饿受渴，经受痛苦折磨。上帝画龙点睛地说：“这就是地狱。我带你到另外一个地方看看。”这个地方的人也在吃饭：所用的家伙与地狱一样，但他们互相喂饭菜，所以人人满面红光，皆大欢喜，身体都十分健壮。上帝说：“你看到了，这就是天堂。天堂与地狱唯一的区别是他们的心，他们不是只为自己，而是先想到别人，即我为人人，人人为我。你看他们．想吃想喝都由别人充分满足他们，但他们是从‘我为人人’开始的。”