六年级下册数学试题-奥数：行程之接送问题、发车间隔、电梯问题 9页

第四讲行程之接送问题、发车间隔、电梯问题教学目标行程问题中的几种数学模型，在具体情境中还可以表现为接送问题、发车间隔、电梯问题。我们透过具体情境，发现它仍然是行程问题中基本数学模型的变型。行程问题是研究速度、时间和路程三量之间关系的问题，它是小学数学应用题的难点，是升学试卷中常见的压轴题。行程问题常与分数、比例等知识结合在一起，综合性强，且运用形式多变，解答时应注意以下几点：1.尽可能采用作线段图的方法，正确反映数量之间变化关系,帮助分析思考。2.行程问题常结合分数应用题，解答时要巧妙地假设单位“l”使问题简单化，有时还可以联系整数知识，把路程理解为若干份。3.复杂行程问题经常运用到比例知识。速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比。4.碰到综合性问题可先把综合问题分解成几个单一问题，然后逐个解决。　　　　甲，乙二人分别从A，B两地同时相向出发，往返于A，B之间，第一次相遇在距A地30公里处，第二次相遇地点在距A地40公里处。求（1）A，B两地距离。（2）甲，乙的速度比。想挑战吗　？分析：甲乙两人从出发到第一次相遇合走了一个全程，第一次相遇到第二次相遇合走了两个全程，所以第二段时间间隔是第一段时间间隔的二倍，甲第一段时间共走了30公里，所以第二段时间走了60公里，而乙第二段时间走了30+40=70公里，所以第一段时间走了35公里，A、B两地之间的距离为30+35=65公里，两人的速度比为6：7. 你还记得吗？【例1】（奥林匹克数学竞赛试题）甲、乙二人骑车分别从A、B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的。二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回。已知二人第二次相遇的地点相距第一次相遇的地点120千米，求A、B两地相距多少千米？分析：根据题意，在相同时间内，甲、乙所行的路程的比是，就是说，如果把全程看作有5份路，那么甲行3份，乙行了2份，这样，可以画出线段图，并标出第一次相遇的地点。根据题意，两人从第一次相遇到第二次相遇，其间共需行进两个单程，也就是说甲行进了（3＋3）＝6份路程，乙行进了（2＋2）＝4份路程，这样，又可以画出线段图，并标出第二次相遇的地点。结合图示，很容易看出：两次相遇点间的距离120千米，正好相当于全程的，所以A、B两地间路程可求：120÷＝300（千米）专题精讲题型一：接送问题【例1】甲乙两人同时从学校出发去距离33千米外的公园，甲步行的速度是每小时4千米，乙步行的速度是每小时3千米。他们有一辆自行车，它的速度是每小时5千米，这辆车只能载一个人，所以先让其中一人先骑车到中途，然后把车放下之后继续前进，等另一个人赶到放车的位置后再骑车赶去，这样使两人同时到达公园。那么放车的位置距出发点多少千米？分析：根据两人到达公园所花时间相等这一等量关系可列出方程，设放车的位置距出发点x千米，如果甲先骑车,方程为：，如果乙先骑车,方程为：，两条方程分别解得x=9和x=24，所以有9千米和24千米两种答案. 【例1】甲班与乙班学生同时从学校出发去相距170千米的公园，甲乙两班的步行的速度都是每小时4千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离是多少千米？分析：由于两班速度相同，所以要使时间最少，必须同时出发，同时到达，而且行走的路程要相同（教师可以用最大最小问题来解释），画图如下：在某一班行走BC的时间内，车行走的路程就是C----A------B,即CB+AB+BA,这样得出AD：BA=1：5.5，所以总路程分成1+5.5+1=7.5份，所以每份=170÷7.5=千米，所以每班走一份=千米【例2】甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少千米？分析：不妨设乙班学生先步行，汽车将甲班学生送至A地后返回，在B处接到乙班学生，最后汽车与乙班学生同时到达公园，如图：：=1：12，：=1：16。乙班从C至B时，汽车从C~A~B，则两者路程之比为1：16，不妨设CB=1，则C~A~B=16，CA=（1＋16）÷2=8.5，则有CB：BA=1：7.5；类似设AD=1，分析可得AD：BA=1：5.5，综合得CB：BA：AD=22：165：30，说明甲乙两班步行的距离之比是15：11。若设甲班先步行，结果同上。［点评］一定要学生抓住的点是这种接送问题只分析最后的结果，不分析行走的路程，要不整个题目会显得很乱。【例3】A、B两个连队同时分别从两个营地出发前往一个目的地进行演习，A连有卡车可以装载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时尽快到达目的地，A连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接B连的士兵，两营的士兵恰好同时到达目的地，已知营地与目的地之间的距离为32千米，士兵行军速度为8千米/小时，卡车行驶速度为40千米每小时，求两营士兵到达目的地一共要多少时间？分析：由于卡车的速度为士兵行军速度的5倍，因此卡车折回时已走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的3倍，而卡车折回所走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的2倍，卡车接到B连士兵后，还要行走3倍B连士兵遇到卡车时已走路程才能追上A连士兵，此时他们已经到达了目的地，因此总路程相当于4倍B连士兵遇到卡车时已走路程，B连士兵遇到卡车时已走路程为8千米，而卡车的总行程为（3+2+3）×8=64千米，这一段路，卡车行驶了64÷40=8/5小时，这也是两营士兵到达目的地所花的时间 题型二：发车问题【例1】从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？［前铺］老师先讲解火车和行人相遇和追及的基本原理，即火车和行人相遇和追及的路程和与差都是一个火车长。教师最好用图解的方法来求解。分析：这类问题一般要求两个基本量：相邻两电车间距离、电车的速度。甲与电车属于相遇问题，他们的路程和即为相邻两车间距离，根据公式得，类似可得，那么，即，解得米/分，代入上述公式可得米，因此发车间隔为9020÷820=11分钟。[拓展]根据学生的理解能力，引入参照物和相对速度的概念：1.参照物：观察或测量物体运动的平台.2.相对速度：顾名思义一个物体相对于另一个物体运动的速度.乘客在火车车厢中行走（从车尾走向车头）的速度为1米/秒，这是乘客相对于车厢（或火车）的速度（其中车厢或火车为参照物），但在火车以外的的人看来，他以21米/秒的速度运动（参照物为车厢以外的人或地面等），这样即可得到火车行驶的速度（参照物为地面）为20米/秒3.我们通常所说的速度一般以地面为参照物.如果两个物体相对于地面的运动方向相同，那么其中一个物体相对于另一个物体的运动速度等于它们相对于地面运动速度之差.4.运动是相对的，静止时相对的(哲学层面).用参照物和相对速度的思想来理解发车问题比较容易一些，事实上在追及问题中，两个物体的速度差就是其中一个物体相对于另一个物体的相对速度，而相遇问题中，两个物体的速度和即是其中一个物体相对于另一个物体的相对速度.发车问题中将公交车群视作参照物，观察人以相对于公交车的速度运动，则可得到公式：公交车间隔距离=观察人（行人、自行车等）×相对速度相遇（或追及）间隔时间.教师在讲述以下各题时尽量提点参照物和相对速度的概念.【例2】 某人以匀速行走在一条公路上,公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车.他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上他；每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过.问公共汽车每隔多少分钟发车一辆?分析1：这类问题一般要求两个基本量：相邻两电车间距离、电车的速度。是人与电车的相遇与追及问题，他们的路程和（差）即为相邻两车间距离，设两车之间相距S，根据公式得，，那么，解得，所以发车间隔T=分析2：反正发车时间和间隔是相等的，这样我们可以假设人先过去，这样每15分钟后面有一辆车追上他，再马上回来时，正好是每10分钟前面有一辆车和他迎面相遇，所以我们假设两地之间走要花【15、10】=30分钟，这样过去的时间里有30÷15=2辆车追上他，同理回来的30÷10＝3辆车和他迎面相遇，这样在这30+30=60分钟里，总共有2+3=5辆车发出，所以发车间隔为60÷5=12分钟。［总结］要求学生懂得方法一、方法二只能适用一个题型，最重要的是把基础点弄清楚！【例1】一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？分析：要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？　　由题可知：相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人，这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用6分钟才能追上步行人，汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。　　对于骑车人可作同样的分析.因此，如果我们把汽车的速度记作V汽，骑车人的速度为V自，步行人的速度为V人（单位都是米/分钟），则：　　间隔距离=（V汽-V人）×6（米），　　间隔距离=（V汽-V自）×10（米），　　V自=3V人。　　综合上面的三个式子，可得：V汽=6V人，即V人=1/6V汽，则：　　间隔距离=（V汽-1/6V汽）×6=5V汽（米）　　所以，汽车的发车时间间隔就等于：间隔距离÷V汽=5V汽（米）÷V汽（米/分钟）=5（分钟）。【例2】 小乐骑自行车到朋友家聚会，一路上他注意到每隔12分钟就有一辆公交车从后边追上小乐，小乐骑着骑着突然车胎爆了，小乐只好以原来骑车三分之一的速度推着车往回走，这时他发现公交车以每隔4分钟一辆的频率迎面开过来，公交车站发车的间隔时间到底为多少？分析：设公交车之间的间距为一个单位距离，设自行车的速度为x，汽车的速度为y，根据汽车空间和时间间距与车辆速度的关系得到关系式：12×（y-x）=4×（y+1x/3），化简为3y=5x.即y/x=5/3，而公交车与自行车的速度差为1/12，由此可得到公交车的速度为5/24，自行车的速度为1/8，因此公交车站发车的时间间隔为24/5=4.8分钟.题型三：电梯问题【例1】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？分析：因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼上所用时间相同，在这段时间中，自动扶梯向上运行了（80-40）÷2＝20（级）所以扶梯可见部分有80-20＝60（级）。［点评］电梯问题其实是复杂行程问题中的一类。有两点需要注意，一是“总行程＝电梯可见部分级数±电梯运行级数”，二是在同一个人上下往返的情况下，符合流水行程的速度关系，（注意，其总行程仍然是电梯可见部分级数±电梯运行级数）对于本题而言，我们知道两人所用时间相等，则知道了在总行程中的电梯运行级数相等，所以我们得到一个“和差关系”，即80＝电梯可见部分级数＋电梯运行级数40＝电梯可见部分级数－电梯运行级数因此，完全可以直接求出电梯可见部分级数为（80+40）÷2＝60。［拓展］商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的3倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？分析：男孩与女孩走完电梯的时间比为︰＝2︰3所以有80＝电梯可见部分级数＋2×电梯运行速度40＝电梯可见部分级数－3×电梯运行速度解得电梯运行速度＝8（级）所以电梯可见部分级数为80-2×8＝64（级）［点评］本题的关键是求出男孩和女孩走完电梯的时间比，另外结合二元一次方程比较容易理解数量关系。请对比原例题，体会其中的数量关系。 【例1】小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走36级。如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端(很危险哦，不要效仿!)，需要用下楼时5倍的速度走60级才能走到上端。请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级?分析：小淘气上楼走60级的时间，下楼只能走60÷5=12(级)。而下楼走了36级，所以下楼用的时间是上楼时间的36÷12=3(倍).设小淘气上楼的时间自动扶梯走了x级，根据自动扶梯的级数可列方程：36+3x=60-x.解得x=6(级)，自动扶梯有60-x=54(级)【例2】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯。小强想逆行从上到下，如果每秒向下迈两级台阶，那么他走过100级台阶后到达站台；如果每秒向下迈三级台阶，那么走过75级台阶到达站台。自动扶梯有多少级台阶?分析：设50秒扶梯向上走x级，则25秒走级。由扶梯长度可得100一X=75一，解得x=50。扶梯长100—50=50(级)。【例3】小志与小刚两个孩子比赛登电梯，他俩攀登电梯上的速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼登上二楼，分别用时28秒和20秒，那么如果小志攀登静止的电梯需要用时多少秒？分析：小志和小刚顺向攀登运行的电梯分别都攀登了28×2=56级和20×3=60级，小刚比小志多走了60-56=4级，这4级台阶实际上是小志多走的8秒钟内，电梯“缩”进去的，因此电梯的运行速度为每秒半个台阶，那么在小刚登梯的20秒内，电梯也缩了10级，所以电梯所能见到的部分是60+10=70级，所以，小志攀登静止的电梯分别需要用时70÷2=35秒[点评]这道题的解法实际上与牛吃草问题很类似，以不同速度爬楼梯的孩子和台阶数量的关系实际上可以看作不同数量牛与草量的关系.专题展望zhanwang1wzhanwang欲知行程在学校入学考试中的重要性，请关注寒假班！ 练习四1.（例7）一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，每隔10分钟有一辆公共汽车超过行人，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人．如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔多少分钟发一辆公共汽车？分析：紧邻两辆车间的距离不变，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公汽与步行人间的距离，就是汽车间隔距离．当一辆汽车超过行人时，下一辆汽车要用10分才能追上步行人．即追及距离=（汽车速度-步行速度）×10．对汽车超过骑车人的情形作同样分析，再由倍速关系可得汽车间隔时间等于汽车间隔距离除以5倍的步行速度．即：10×4×步行速度÷（5×步行速度）=8（分）2.（例11）甲步行上楼梯的速度是乙的2倍，一层到二层有一上行滚梯(自动扶梯)正在运行。二人从滚梯步行上楼，结果甲步行了10级到达楼上，乙步行了6级到达楼上。这个滚梯共有多少级?分析：与B卷第9题类似。因为甲的速度是乙的2倍，所以甲走10级的时间乙走5级，乙到达楼上所需时间是甲的(6÷5)=倍。设甲走10级的时间滚梯走x级，则乙走6级的时间滚梯走x级。根据滚梯长度可列方程：10+x=6+x，解得x=20(级)。滚梯共10+x=30(级)。3.（例1）三个人同时前往相距30千米的甲地，已知三人行走的速度相同，都是5千米每小时；现在还有一辆自行车，但只能一个人骑，已知骑车的速度为10千米每小时。现先让其中一人先骑车，到中途某地后放车放下，继续前进；第二个人到达后骑上再行驶一段后有放下让最后那人骑行，自己继续前进，这样三人同时到达甲地。问，三人花的时间为多少？分析：由于每人的速度相同，所以每人行走的路程相同，骑车的路程也要相同，这样每人骑车的距离都是1/3，所以时间就是20÷5+10÷10=5小时4.（例11）某城市火车站中，从候车室到大厅有一架向上的自动扶梯。小志想逆行从上到下，如果每秒向下迈两级台阶，那么他走过80级台阶后到达站台；如果每秒向下迈三级台阶，那么走过60级台阶到达站台。自动扶梯有多少级台阶?分析：设40秒扶梯向上走x级，则20秒走级。由扶梯长度可得80－X=60－，解得x=40。扶梯长80－40=40(级)。 1.（例2）有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫，学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时40公里，空车时车速为每小时50公里．问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生要步行全程的几分之几?(学生上下车时间不计)分析：由于两个班的同学都是一段路步行一段路乘车，而乘车的速度比步行快，中间又没有停留，因此要同时到达少年宫，两个班的同学步行的路程一定要一样长．如图所示，图中A是学校，B是少年宫，C是第一班学生下车的地点，D是第二班学生上车的地点．由上所述AD和CB一样长，设第一班同学下车时，第二班同学走到E处．由于载学生时车速为每小时40公里，而步行的速度为每小时4公里，是车速的1/10，因而AE是AC的1/10．在第一班学生下车后，汽车从C处迎着第二班学生开，车速是每小时50公里，而第二班学生从E处以每小时4公里的速度向前走，汽车和第二班学生在D点相遇．这是普通的行程问题，不难算出ED是EC的.由于EC是AC的1-=，可见ED是AC的．这样AD就是AC的．又AD=CB，AD就是AB的，故第一班学生步行了全程的．成长故事“信守的原则不变”美国第39任总统吉米-卡特在读中学的时候，朱莉娅-科尔曼小姐是他的班主任。她鼓励卡特学习音乐、美术，特别是文学，并为他开列了阅读书目。　　朱莉娅小姐关爱她班上的每一个学生。她告诉他们：“我们应该随着时代的变迁而调整自我，但是我们信守的原则是不变的。”长大以后，卡特对朱莉娅小姐的话有了更深的理解。朱莉娅小姐当年所要告诉学生们的是，我们应该时时分析新情况，然而无论是在选择相守终生的伴侣还是在艰难时刻、考验时刻或是遇到诱惑须做出困难的决定时，我们都不仅要适应这些新的挑战，还应该坚守我们所学到的某些原则，例如公平、正直、忠诚等。　　卡特永远也忘不了朱莉娅小姐的这番话，并始终坚守从朱莉娅小姐和父母那里所学到的基本原则。在总统就职演说中，他引用了朱莉娅小姐的话：“随着时代的变迁而调整自我，但信守不变的原则。无论我们面临着多么大的困难，我都决心让我自己和美国人民信守真正的正义与真理的信仰。”