小学数学精讲教案4_3_3 任意四边形、梯形与相似模型（一） 教师版 7页

任意四边形、梯形与相似模型 例题精讲 板块一 任意四边形模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：‎ ‎①或者②‎ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．‎ 【例 1】 图中的四边形土地的总面积是‎52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是‎6公顷和‎7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？‎ ‎ ‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 在，中有，所以， 的面积比为．同理有，的面积比为．所以有×=×，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即=，所以有与的面积比为，=公顷，=公顷． ‎ 显然，最大的三角形的面积为‎21公顷．‎ ‎【答案】21‎ 【例 2】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答 ‎【关键词】小数报 【解析】 根据蝴蝶定理求得平方千米，公园四边形的面积是平方千米，所以人工湖的面积是平方千米 ‎【答案】0.58‎ 【例 1】 一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第7题 【解析】 黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50％，而绿色三角形面积占矩形面积的15％，所以黄色三角形面积占矩形面积的50％－15％＝35％已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以矩形面积等于21÷35％＝60(平方厘米)‎ ‎【答案】60‎ ‎【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形的面积；⑵？‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 ‎⑴根据蝴蝶定理，，那么；‎ ‎⑵根据蝴蝶定理，．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍．‎ ‎ ‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．‎ 解法一：∵，∴，∴．‎ 解法二：作于，于．‎ ‎∵，∴，∴，∴，∴，‎ ‎∴．‎ ‎【答案】2倍 【例 3】 如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求的面积；⑵求的面积．‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；‎ ‎⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，‎ 根据蝴蝶定理，，所以，‎ 那么．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．‎ ‎ ‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】清华附中，入学测试题 【解析】 连接、、．则可根据格点面积公式，可以得到的面积为：，的面积为：，的面积为：．所以，所以．‎ ‎【答案】‎ ‎【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形的面积．‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 因为，且∥，所以，．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 如图，边长为1的正方形中，，，求三角形的面积．‎ ‎ ‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】人大附中考题 【解析】 连接．‎ 因为，，所以．‎ 因为，根据蝴蝶定理，，‎ 所以．‎ 所以，‎ 即三角形的面积是．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．‎ ‎ ‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接，．‎ 因为，，所以．‎ 因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米．‎ ‎【答案】72‎ 【例 2】 如图，已知正方形的边长为‎10厘米，为中点，为中点，为中点，求三角形的面积．‎ ‎ ‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设与的交点为，连接、．‎ 由蝴蝶定理可知，而，，所以，故．‎ ‎ 由于为中点，所以，故，．‎ 由蝴蝶定理可知，所以，‎ 那么（平方厘米）．‎ ‎【答案】6.25‎ 【例 1】 如图，在中，已知、分别在边、上，与相交于,若、和的面积分别是3、2、1，则的面积是 ．‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．‎ 根据蝴蝶定理得 ‎ 设，根据共边定理我们可以得 ‎，，解得．‎ ‎【答案】22.5‎ 【例 2】 正六边形的面积是2009平方厘米，分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．‎ ‎ ‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，6年级。初赛 【解析】 如图，设与的交点为，则图中空白部分由个与一样大小的三角形组成，只要求出了的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积．‎ 连接、、．‎ 设的面积为”“，则面积为”“，面积为”“，那么面积为的倍，为”“，梯形的面积为，的面积为”“，的面积为．‎ 根据蝴蝶定理，，故，‎ 所以，即的面积为梯形面积的，故为六边形面积的，那么空白部分的面积为正六边形面积的，所以阴影部分面积为(平方厘米)．‎ ‎【答案】1148‎ 【例 3】 如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点．如果△ASM、△MTB与△DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为 ．‎ ‎ ‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】5星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，高年级组，决赛，12题 【解析】 连接、、．‎ 由于是的中点，所以与的面积相等，而比的面积大1，所以比的面积大1；又由于是的中点，所以的面积与的面积相等，那么的面积比的面积大1，所以的面积为9．‎ 假设的面积为，则的面积为．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知的面积为，的面积为．‎ 要使这两个三角形的面积为整数，可以为1，3或7．‎ 由于的面积为面积的一半，的面积为面积的一半，所以与的面积之和为四边形面积的一半，所以与的面积之和等于四边形的面积，即：‎ ‎，得．‎ 将、3、7分别代入检验，只有时等式成立，所以的面积为7，、、的面积分别为8、6、9．‎ 四边形ABCD的面积为．‎ 小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．‎ ‎【答案】60‎ 【例 1】 已知是平行四边形，，三角形的面积为平方厘米。则阴影部分的面积是 平方厘米。‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯，6年级，第五题 【解析】 连接。由于是平行四边形，，所以，根据梯形蝴蝶定理，，所以（平方厘米），（平方厘米），又（平方厘米），阴影部分面积为（平方厘米）。‎ ‎【答案】21‎ 【例 2】 正方形ABCD边长为‎6厘米，AE＝AC，CF＝BC。三角形DEF的面积为 平方厘米。‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，五年级，初赛，第13题 【解析】 为,所以三角形的面积为三角形的，即正方形 的。因为，，所以三角形的面积为三角形面积的，所以四边形的面积是三角形面积的，即正方形面积的，因为，所以三角形的面积是正方形面积的，所以三角形的面积是正方形面积的，即（平方厘米）。‎ ‎【答案】10‎ 【例 1】 如图4，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89、28、26，那么三角形DBE的面积是 。‎ ‎【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，六年级，复赛，第8题，5分 【解析】 根据题意可知，，所以，那么，故．‎ ‎【答案】‎