小学数学精讲教案2_3_3 列不定方程解应用题 教师版 12页

列不定方程解应用题 教学目标 1、 熟练掌握不定方程的解题技巧 2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程 3、 学会解不定方程的经典例题 知识精讲 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．‎ 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。‎ 二、运用不定方程解应用题步骤 ‎1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 ‎2、根据解不定方程方法解方程 ‎3、找到符合条件的解 模块一、不定方程与数论 【例 1】 把拆成两个正整数的和，一个是的倍数（要尽量小），一个是的倍数（要尽量大），求这两个数．‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为和，则有：，要让取最小值，取最大值．‎ 可把式子变形为：，可见是整数，满足这一条件的最小为7，且当时，．‎ 则拆成的两个数分别是和．‎ ‎【答案】则拆成的两个数分别是和．‎ 【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是的倍数，乙搬的砖数是的倍数，两人共搬了块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设甲搬的是块，乙搬的是块．那么．观察发现和都是的倍数，所以也是的倍数．由于，所以只能为6或12．‎ 时，得到；‎ 时，此时不是整数，矛盾．‎ 所以甲搬了块，乙搬了块，甲比乙搬得多，多块．‎ ‎【答案】甲比乙搬得多，多块 【巩固】 现有足够多的角和角的邮票，用来付元的邮资，问角的邮票需要多少张？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设角和角的邮票分别有张和张，那么就有等量关系：．‎ 尝试的取值，当取时，能取得整数，当再增大，取大于等于的数时，没有自然数解．所以角的邮票需要张．‎ ‎【答案】角的邮票需要张 【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】北大附中，资优博雅杯 【解析】 若是四位数，则，矛盾，四位以上的自然数也不可能。‎ ‎ 若是两位数，则，也不可能，故只有三位数.‎ ‎ ，化简得.由于，‎ ‎ 所以或.时，，，或，；时，，.‎ ‎ 所以所有自然数之和为.‎ ‎【答案】所有满足条件的自然数之和为 模块二、不定方程与应用题 【例 3】 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装千克油，小的能装千克油，千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设有大油桶个，小油桶个．由题意得：‎ 可知，所以．由于、必须为整数，所以相应的将的所有可能值代入方程，可得时，这一组整数解．‎ 所以大油桶有个，小油桶有个．‎ 小结：这道题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解.‎ ‎【答案】大油桶有个，小油桶有个 【例 4】 在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以，让冬冬把自己命中的次数乘以，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设丁丁和冬冬分别命中了次和次，则：．可见除以4的余数为3，而且不能超过6，所以，．即丁丁命中了次，冬冬命中了次．‎ ‎【答案】丁丁命中了次，冬冬命中了次 【巩固】 某人打靶，发共打了环，全部命中在环、环和环上．问：他命中环、环和环各几发？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 假设命中10环发，7环发，5环发，则由⑵可知除以5的余数为3，所以、9……如果为9，则，所以只能为4，代入原方程组可解得，．所以他命中环发，环发，环发．‎ ‎【答案】命中环发，环发，环发 【例 2】 某次聚餐，每一位男宾付元，每一位女宾付元，每带一个孩子付元，现在有的成人各带一个孩子，总共收了元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设参加的男宾有人，女宾有人，则由题意得方程：，即，化简得．这个方程有四组解：，，和，‎ 但是由于有的成人带着孩子，所以能被整除，检验可知只有后两组满足．‎ 所以，这个活动共有人或人参加．‎ ‎【答案】这个活动共有人或人参加 【巩固】 单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种棵树，女职工每人种棵树，每个孩子都种棵树，他们一共种了棵树，那么其中有多少名男职工？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 因为有的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是的倍数．设男职工有人，女职工有人．‎ 则职工总人数是人，孩子是人．得到方程：，化简得：．因为男职工与女职工的人数都是整数，所以当时，；当时，；当，．其中只有是的倍数，符合题意，所以其中有12名男职工．‎ ‎【答案】其中有12名男职工 【例 3】 张师傅每天能缝制件上衣，或者件裙裤，李师傅每天能缝制件上衣，或者件裙裤，两人天共缝制上衣和裙裤件，那么其中上衣是多少件？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 如果天都缝制上衣，共可缝制件，实际上比这多缝制了件，这就要把上衣换成裙裤，张师傅每天可多换件，李师傅每天可多换件，设张师傅缝制裙裤天，李师傅缝制裙裤天，则：，整数解只有，．‎ 因此共缝制裙裤件，上衣共件．‎ ‎【答案】上衣共件 【巩固】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这天内它们共叫了声．问：波斯猫至少叫了多少声？ ‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 早晨见面小花狗和波斯猫共叫声，晚上见面共叫声．设在这15天内早晨见面次，晚上见面 次．根据题意有：(，)．‎ 可以凑出，当时，；当时，；当时，．‎ 因为小花狗共叫了 声，那么越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少，所以当，时波斯猫叫得最少，共叫了(声)．‎ ‎【答案】叫了声 【例 1】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个配件与一个配件组成．甲每天生产300个配件，或生产150个配件；乙每天生产120个配件，或生产48个配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 假设甲、乙分别有天和天在生产配件，则他们生产配件所用的时间分别为天和天，那么10天内共生产了配件个，共生产了配件 个．要将它们配成套，配件与配件的数量应相等，即，得到，则．‎ 此时生产的产品的套数为，要使生产的产品最多，就要使得最大，而最大为10，所以最多能生产出套产品．‎ ‎【答案】最多能生产出套产品 【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为天和天，则他们用于生产裤子的天数分别为天和天，那么总共生产了上衣件，‎ 生产了裤子件．‎ 根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以，即，即．那么共生产了套衣服．‎ 要使生产的衣服最多，就要使得最小，则应最大，而最大为21，此时．故最多可以生产出套衣服．‎ ‎【答案】最多可以生产出套衣服 【例 2】 有一项工程，甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，丙单独做需要天完成，现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了 天．‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设完成这项工程用了天，其间丙休息了天．‎ 根据题意可知：，，化简得．‎ 由上式，因为与都是的倍数，所以必须是的倍数，所以是的倍数，在 的条件下，只有，一组解，即丙休息了天．‎ ‎【答案】丙休息了天 【例 3】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共人恰好坐满了辆大巴车和辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在人到人之间，求每辆大巴车的载客人数．‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为人和人，那么有：．由于知道中巴车的载客人数，也就是知道了的取值范围，所以应该从入手．显然被除所得的余数与被除所得的余数相等，从个位数上来考虑，的个位数字只能为1或6，那么当的个位数是或时成立．由于 的值在20与25之间，所以满足条件的，继而求得，所以大巴车的载客人数为人．‎ ‎【答案】大巴车的载客人数为人 【巩固】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共人恰好坐满了辆大巴车和辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在人到人之间，求每辆大巴车的载客人数．‎ 【解析】 设大巴车和中巴车的载客人数分别为人和人，那么有：．‎ 考虑等式两边除以7的余数，由于被除余，所以被除余，符合条件的有：、、、，所以，继而求得，所以大巴车的载客人数为人．‎ ‎【答案】大巴车的载客人数为人 【巩固】 每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人．现有378人，要使每个人都上车且每辆车都装满，需要大、小汽车各几辆？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设需要大、小汽车分别为辆、辆，则有：，可化为．‎ 可以看出是3的倍数，又不超过10，所以可以为0、3、6或9，将、3、6、9分别代入可知有四组解：；或；或；或 即需大汽车1辆，小汽车9辆；或大汽车3辆，小汽车6辆；或大汽车5辆，小汽车3辆；或大汽车7辆．‎ ‎【答案】大汽车1辆，小汽车9辆；或大汽车3辆，小汽车6辆；或大汽车5辆，小汽车3辆；或大汽车7辆 【巩固】 小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共条腿．”那么小峰养了多少兔和鸡？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 这是一道鸡兔同笼问题，但由于已知鸡兔腿的总数，而不是鸡兔腿数的差，所以用不定方程求解．‎ 设小峰养了只兔子和只鸡，由题意得：‎ ‎ ‎ 即：，‎ 这是一个不定方程，其可能整数解如下表所示：‎ 由题意，且，均不为，所以，，也就是兔有只，鸡有只．‎ ‎【答案】兔有只，鸡有只 【例 2】 一个家具店在1998年总共卖了213张床．起初他们每个月卖出25张床，之后每个月卖出16张床，最后他们每个月卖出20张床．问：他们共有多少个月是卖出25张床？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】香港保良局亚洲区城市小学数学邀请赛 【解析】 设卖出25、16、20张床的月份分别为、、个月，则：‎ 由⑴得，代入⑵得．‎ 显然这个方程的正整数解只有，．‎ 所以只有1个月是卖出25张床的．‎ ‎【答案】只有1个月是卖出25张床的 【例 1】 五年级一班共有人，每人参加一个兴趣小组，共有、、、、五个小组．若参加组的有人，参加组的人数仅次于组，参加组、组的人数相同，参加组的人数最少，只有人．那么，参加组的有_______人．‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】希望杯，二试 【解析】 设参加组的有人，参加组、组的有人，则，‎ 由题知，整理得；‎ 由于，若，得，满足题意；若，则，与矛盾；‎ 所以只有，符合条件，故参加组的有人．‎ ‎【答案】参加组的有人 【例 2】 将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组．已知甲乙丙的平均年龄分为，，.甲乙两组人合起来的平均年龄为；乙丙两组人合起来的平均年龄为．则这一群人的平均年龄为 .‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】我爱数学夏令营 【解析】 设甲乙丙三组分别有人，依提议有：‎ ‎⑴⑵‎ ‎ ‎ ‎ 由⑴化简可得，由⑵化简可得，所以；‎ ‎ 因此，这一群人的平均年龄为．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 个大、中、小号钢珠共重克，大号钢珠每个重克，中号钢珠每个重克，小号钢珠每个重克．问：大、中、小号钢珠各有多少个？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设大、中、小号钢珠分别有个，个和个，则： ，得．可见是3的倍数，又是7的倍数，且小于30，所以只能为21，故，代入得，．所以大、中、小号钢珠分别有3个、3个和8个．‎ ‎【答案】大、中、小号钢珠分别有3个、3个和8个 【巩固】 袋子里有三种球，分别标有数字，和，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是．问：小明最多摸出几个标有数字的球？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设小明摸出标有数字，和的球分别为，，个，于是有 ‎ ‎ 由，得，‎ 由于，都是正整数，因此在⑶中，取时．取最大值，‎ 所以小明最多摸出5个标有数字2的球．‎ ‎【答案】最多摸出5个标有数字2的球 【例 1】 公鸡1只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100，买鸡100只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设买公鸡、母鸡、小鸡各、、只，根据题意，得方程组 由②①，得，即：，因为、为正整数，所以不难得出应为的倍数，故只能为、、，从而相应的值分别为、、，相应的值分别为、、．所以，方程组的特殊解为，，，所以公鸡、母鸡、小鸡应分别买只、只、只或只、只、只或只、只、只．‎ ‎【答案】公鸡、母鸡、小鸡应分别买只、只、只或只、只、只或只、只、只 【巩固】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得分，套中小猴得分，套中小狗得分．小明共套了次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套次共得分．问：小明至多套中小鸡几次？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设套中小鸡次，套中小猴次，则套中小狗()次．根据得分可列方程：，化简后得．显然越小，越大． 将代入得，无整数解；若，，解得，所以小明至多套中小鸡次．‎ ‎【答案】小明至多套中小鸡次 【例 2】 开学前，宁宁拿着妈妈给的元钱去买笔，文具店里的圆珠笔每支元，铅笔每支元．宁宁买完两种笔后把钱花完．请问：她一共买了几支笔？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎ (法一)由于题中圆珠笔与铅笔的数量都不知道，但总费用已知，所以可以根据不定方程分析两种笔的数量，进而得解．设她买了支圆珠笔，支铅笔，由题意列方程：，所以，因为均为整数，所以应该能被整除，又因为，所以或，当时，，，当时，，，宁宁共买了支笔或支笔．‎ ‎(法二)换个角考虑：将“一支圆珠笔和一支铅笔”看成一对，分析宁宁可能买了几对笔，不妨设为对，余下的一定是圆珠笔与铅笔中的唯一一种．一对笔的售价为“元，由题意可知，，又为整数 （1） 当时，余款为，不能被或整除，这种情况不可能；‎ （2） 当时，余款为，能被整除，也就是说配对后，余下支圆珠笔．此时，宁宁买了支圆珠笔，支铅笔，共支笔．‎ （3） 当时，余款为，能被整除，也就是说配对后，余下支圆珠笔．此时，宁宁买了支圆珠笔，支铅笔，共支笔．‎ （4） 当时，余款为，不能被或整除，这种情况不可能，由上面的分析可知，宁宁共买了支笔或支笔．‎ ‎【答案】宁宁共买了支笔或支笔 【巩固】 小华和小强各用角分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是分一支和分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔多少支．‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】迎春杯，预赛 【解析】 设买分一支的铅笔支，分一支的铅笔支．则：，是的倍数．用，，，，，，，，代入检验，只有，满足这一要求，得出相应的，．即小华买铅笔支，小强买铅笔支，小华比小强多买支．‎ ‎【答案】小华比小强多买支 【例 1】 蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有名男、女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确定了参加决赛的人选．已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的；参加决赛的女选手的人数，占初赛的女选手人数的，而且比参加初赛的男选手的人数多．参加决赛的男、女选手各有多少人？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 由于参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的；参加决赛的女选手的人数，占初赛时女选手人数的，所以参加初赛的男选手人数应是的倍数，参加初赛的女选手的人数应是的倍数．‎ 设参加初赛的男生为人，参加初赛的女生为人．‎ 根据题意可列方程：．‎ 解得，或．‎ 又因为参加决赛的女选手的人数，比参加决赛的男选手的人数多，也就是要比大，所以第一组解不合适，只有，满足．‎ 故参加决赛的男选手为人，女选手为人．‎ ‎【答案】男选手为人，女选手为人 【巩固】 今有桃个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有是坏的，其他是好的；乙班分到的桃有是坏的，其他是好的．甲、乙两班分到的好桃共有几个？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 甲班分到的桃是的倍数，乙班分到的桃是的倍数，假设甲班分到桃个，乙班分到桃个．于是：，解得，，即甲班分到桃(个)，乙班分到桃(个)．所以，两班共分到好桃 (个)．‎ ‎【答案】两班共分到好桃个 【例 2】 甲、乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的倍．甲、乙两人共有多少粒糖？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设甲、乙原有糖分别为粒、粒，甲给乙的数量为粒，则依题意有：‎ ‎，且．整理得 由⑴得，代入⑵得，即．‎ 因，故或．‎ 若，则，，不合题意．‎ 因而，对应方程组有唯一解，，．则甲、乙共有糖粒．‎ ‎【答案】甲、乙共有糖粒 【巩固】 有两小堆砖头，如果从第一堆中取出块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍．如果相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么第一堆将是第二堆的倍．问：第一堆中的砖头最少有多少块？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设第一堆砖有块，则根据第一个条件可得第二堆砖有块．‎ 再设从第二堆中取出块放在第一堆后，第一堆将是第二堆的倍，可列方程：‎ ‎，化简得，‎ 那么．‎ 因为是整数，与互质，所以应是的倍数，最小是，推知最小是，所以，第一堆中的砖头最少有块．‎ ‎【答案】第一堆中的砖头最少有块 【例 1】 甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有人捐册，有人各捐册，其余都各捐册，乙班有人捐册，人各捐册，其余各捐册；丙班有人各卷册，人各捐册，其余各捐册。已知甲班捐书总数比乙班多册，乙班比丙班多册，各班捐书总数在册与册之间，问各班各有多少人？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】华杯赛，复赛 【解析】 我们设甲班有人，乙班有人，丙班有人，那么三个班的捐书数目分别为：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 根据题意有：，即有 又因为各班的捐书数目都在到之间，因此我们知道：捐书最多的甲班有，而捐书最少的丙班有，从而有 ‎，于是有，所以有或。经检验，当时，不是整数，而当时，有，也就是说，甲乙丙三班人数分别为，，。‎ ‎【答案】甲乙丙三班人数分别为，，‎ 【例 2】 在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应分、分和分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中分才能获奖，要想获奖至少需要投中 　 次飞镖．‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】迎春杯，高年级组，复赛 【解析】 假设投中17分、11分、4分的次数分别为次、次和次，那么投中飞镖的总次数为次，而总得分为分，要想获奖，必须．‎ 由于，得到．当的值一定后，要使最小，必须使尽可能大．‎ 若，得到，此时无整数解；‎ 若，得到，此时，，；‎ 若，得到，此时最大为4，当时，这种情况下；‎ 若，得到，此时，，；‎ 若，得到，此时最大为6，当时，这种情况下；‎ 若，得到，此时最大为9，当时，这种情况下；‎ 若，得到，此时最大为8，当时，这种情况下．‎ 经过比较可知的值最小为10，所以至少需要投中10次飞镖才能获奖．‎ ‎【答案】至少需要投中10次飞镖才能获奖 模块三、不定方程与生活中的应用题 【例 1】 某地用电收费的标准是：若每月用电不超过度，则每度收角；若超过度，则超出部分按每度角收费．某月甲用户比乙用户多交元角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎3元3角即33角，因为既不是的倍数又不是的倍数，所以甲、乙两用户用电的情况一定是一个超过了50度，另一个则没有超过．由于甲用户用电更多，所以甲用户用电超过度，乙用户用电不足度．设这个月甲用电度，乙用电度．因为甲比乙多交角电费，所以有．容易看出，，可知甲用电度，乙用电度．‎ ‎【答案】甲用电度，乙用电度 【巩固】 某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过度的部分，按每度元收费；超过度而不超过度的部分，按每度元收费；超过度的部分按每度元收费．某月甲用户比乙用户多交电费元，乙用户比丙用户多交元，那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元？(用电都按整度数收费)‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 由于丙交的电费最少，而且是求甲、乙电费的关键，先分析一下他的用电度数．因为乙用户比丙用户多交元，所以二者中必有一个用电度数小于度(否则差中不会出现元)，丙用电少，所以丙用电度数小于度，乙用电度数大于度，但是不会超过度(否则甲、乙用电均超过度，其电费差应为的整数倍，而不会是元)．‎ 设丙用电()度，乙用电()度，由题意得：‎ 所以是的倍数，又均为整数，且都大于小于 所以，‎ 所以丙用电度，交电费元；乙交电费元，甲交电费元，三户共交电费元．‎ ‎【答案】三户共交电费元 【例 2】 马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金元，乙公司每月付给他薪金元．年终，马小富从两家公司共获薪金元．他在甲公司打工 个月，在乙公司兼职 个月．‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设马小富在甲公司打工月，在乙公司兼职月(，、都是不大于的自然数)，则有，化简得．若为偶数，则的末位数字为，从而的末位数字必为，这时．但时，不是整数，不合题意，所以必为奇数．为奇数时，的末位数字为，从而的末位数字为，或．但时容易看出，与矛盾．所以，，代入得．‎ 于是马小富在甲公司打工个月，在乙公司兼职个月．‎ ‎【答案】在甲公司打工个月，在乙公司兼职个月 【例 3】 甲、乙、丙、丁、戊五人接受了满分为分(成绩都是整数)的测验．已知：甲得了分，乙得了最高分，丙的成绩与甲、丁的平均分相等，丁的成绩刚好等于五人的平均分，戊比丙多分．求乙、丙、丁、戊的成绩．‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 法一：方程法． 设丁的分数为分，乙的分数为分，那么丙的分数为分，戊的分数为 分，根据“丁的成绩刚好等于五人的平均分”，有，所以．因为，所以，，得到，故，代入得．所以丁得分，丙得分，戊得分，乙得分．‎ 法二：推理法．因为丁为五人的平均分，所以丁不是成绩最低的；丙的成绩与甲、丁的平均分相等，所以丙在甲与丁之间；又因为戊和乙都比丙的成绩高，所以乙、丙、丁、戊都不是最低分，那么甲的成绩是最低的．因为甲是分，所以丁可能是分或分(由丙的成绩与甲、丁的平均分相等知丁的得分是偶数)，经检验丁得分时与题意不符，所以丁得分，则丙得分，戊得分，乙得分．‎ ‎【答案】丁得分，则丙得分，戊得分，乙得分 【巩固】 有两个学生参加4次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数．他们又参加了第5次测验，这样5次的平均分数都提高到了90分．求第5次测验两人的得分．(每次测验满分为100分)‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设某一学生前4次的平均分为分，第5次的得分为分，则其5次总分为，于是．显然，故，解得．‎ 由于为整数，可能为88和89，而且这两个学生前4次的平均分不同，所以他们前4次的平均分分别为88分和89分，那么他们第5次的得分分别为：分；分．‎ ‎【答案】第5次的得分分别为：分；分 【例 2】 小明、小红和小军三人参加一次数学竞赛，一共有100道题，每个人各解出其中的60道题，有些题三人都解出来了，我们称之为“容易题”；有些题只有两人解出来，我们称之为“中等题”；有些题只有一人解出来，我们称之为“难题”．已知每个题都至少被他们中的一人解出，则难题比容易题多 道．‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】填空 ‎ 【解析】 设容易题、中等题和难题分别有道、道、道，则，由得，即，所以难题比容易题多20道．‎ ‎【答案】难题比容易题多20道 【例 3】 甲、乙两个同学在一次数学擂台赛中，试卷上有解答题、选择题、填空题各若干个，而且每个小题的分值都是自然数．结果公布后，已知甲做对了5道解答题，7道选择题，9道填空题，共得52分；乙做对了7道解答题，9道选择题，11道填空题，共得68分．问：解答题、选择题、填空题的每道小题各多少分？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设每道解答题为分，每道选择题为分，每道填空题为分，有，解得．因为、都是自然数，而且不为0，所以有，，或者，．分别代入原方程解得或者．所以解答题、选择题、填空题的每道小题的分数分别为4分、2分、2分或者3分、4分、1分．‎ ‎【答案】每道小题的分数分别为4分、2分、2分或者3分、4分、1分 【例 4】 甲乙丙三人参加一个共有个选择题的比赛，计分办法是在分的基础上，每答对一题加分，答错一题扣分，不答既不扣分也不加分．赛完后发现根据甲所得总分可以准确算出他答对的题数，乙、丙二人所得总分相同，仅比甲少分，但乙丙答对的题数却互不相同．由此可知，甲所得总分最多为 ．‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】我爱数学夏令营 【解析】 设乙做对道题，做错道题；丙做对道，做错道， 则有．，则有 ‎．要使得甲总分最高，由于乙丙仅比甲少1分，则乙丙也应尽可能总分最高，从而错题最少，其他的题全多．若，，则，，．此时乙得分为分，丙得分为分，甲得分为分．甲扣分，只能，别无其他方式，即只能错题空题．若，，则，，．此时乙得分为分，甲得分为分．这种得分不唯一，且得分不是最高，其他情况不可能超过分．综上所述，甲的总分为分．‎ ‎【答案】甲的总分为分 【例 1】 某男孩在年月日说：“我活过的月数以及我活过的年数之差，到今天为止正好就是．”请问：他是在哪一天出生的？‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设男孩的年龄为个年和个月，即个月，由此有方程式：，也就是，得到，由于而且是整数，所以，，，从年月日那天退回年又个月就是他的生日，为年月日．‎ ‎【答案】年月日 【例 2】 某次演讲比赛，原定一等奖人，二等奖人，现将一等奖中的最后人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了分，得一等奖的学生的平均分提高了分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多________分．‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设原来一等奖的平均分为分，二等奖的平均分为分，得：‎ ‎ ，整理得，即，‎ ‎ 所以原来一等奖平均分比二等奖平均分多分．‎ ‎【答案】一等奖平均分比二等奖平均分多分 【例 3】 某次数学竞赛准备了支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给支，二等奖每人发给支，三等奖每人发给支，后来改为一等奖每人发支，二等奖每人发支，三等奖每人发支．那么获二等奖的有 人．‎ ‎【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 法一：‎ 根据“后来改为一等奖每人发支”，可以确定获一等奖的人数小于．否则仅一等奖就要发不少于支铅笔，已超过支，这是不可能的．分别考虑一等奖有人或者人的情况：‎ ‎①获一等奖有人时，改变后这人共多得支，那么得二等奖和三等奖的共少得了14支铅笔．‎ 由于改变后二等奖多得1支，三等奖少得1支，所以三等奖应比二等奖多人，这样他们少得的铅笔数正好是一等奖多得的．但此时三等奖至少14人，他们的铅笔总数至少为，所以这种情况不可能发生．‎ ‎②获一等奖有1人时，类似前面情况的讨论，可以确定获三等奖的人数比二等奖多 人，所以获二等奖的有(人)．‎ 经检验，获一等奖人，获二等奖人，获三等奖人符合题目要求，所以有3人获二等奖．‎ 法二：‎ 设获一、二、三等奖的人数分别有人、人、人，则有方程组：‎ ‎ ‎ 由将消元，则有，即，显然该方程的正整数解只有，继而可得到．所以获二等奖的有3人．‎ ‎【答案】获二等奖的有3人