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  • 2022-02-11 发布

小学六年级奥数教案:计数方法(学生版)

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计数方法 知识定位 本讲力求让学生懂得并运用加法乘法原理来解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方法来解决问题 知识梳理 排列 ‎ 最简单的计数问题,只需一一列举就可以;复杂的计数问题则需要借助排列与组合的相关知识予以解决.‎ 一般地,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个排列.我们主要来研究满足某种条件的排列的个数.相同的排列应满足:‎ 它们所含的元素均相同;‎ 它们的顺序也一样. ‎ 一般地,从n个不同元素中取出m个元素的排列的个数称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作:(m≤n).‎ 从n个元素中取出m个元素排成一排,有多少种排法,是从n个元素中取出m个元素的排列数.这个问题可以看成有m个位置,从n个元素中取m个元素放到m个位置中,可分m个步骤:‎ 第①步:第1个位置有n种选择;‎ 第②步:第2个位置有n-1种选择;‎ 第③步:第3个位置有n-2种选择;‎ ‎……‎ 第m步:第m个位置有n-m+1种选择.‎ 由乘法原理: n×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1).——乘积中共有m项 特别地,当m=n时,叫做n个元素的全排列数.‎ ‎1×2×3×…×n称为n的阶乘,记作n!因此 (m≤n).‎ 排列数乘积形式的公式: =n×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1).‎ 排列数阶乘形式的公式: (m≤n).‎ 组合 有时我们只需从若干元素中取出一些就可以了,这种问题称为组合问题,组合问题与排列问题的区别就是:组合问题是将元素取出即可,不需排序,而排列问题是取出后要进行排序.‎ 一般地,从n个不同元素中任取m(m≤n)个不同的元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出,n个元素的组合.‎ 从n个不同元素中,每次取出m个元素的组合总数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作 (m≤n).从n个元素中取出m个元素的排列问题可以看成分两步完成:‎ 第①步:从n个元素中取出m个元素,这时有多少种取法?实际上就是从n个元素中取出m个元素的组合数;‎ 第②步:对取出的m个元素进行排列,排法数就是.‎ 由乘法原理可知:,因此,.‎ 将排列数公式代人得:或 ‎ 常用的计数方法有:分类枚举、插板、整体、递推、排除、概率等等。‎ 例题精讲 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮,排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻,共有( )种不同的排法。‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个楼梯共有10级台阶,规定每步可以迈1级台阶或2级台阶,最多可以迈3级台阶.从地面到最上面1级台阶,一共可以有多少种不同的走法?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】将一些数字分别填入下列各表中,要求每个小格中填入一个数字,表中的每横行中从左到右数字由小到大,每一竖列中从上到小数字也由小到大排列。‎ ‎(1)将1至4填入表1中,方法有_________种;‎ ‎(2)将1至6填入表2中,方法有_________种;‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】从19,20,21,…,97,98,99这81个数中,选取两个不同的数,使其和为偶数的选法总数是多少?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】小明的两个衣服口袋中各有13张卡片,每张卡片上分别写着1,2,3,…,13.如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积,可以得到许多不相等的乘积.那么,其中能被6整除的乘积共有多少个?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24 ,那么从8时到9时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个圆上有12个点A1,A2,A3,…,A11,A12.以它们为顶点连三角形,使每个点恰好是一个三角形的顶点,且各个三角形的边都不相交.问共有多少种不同的连法?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个自然数,如果它顺着看和倒过来看都是一样的,那么称这个数为“回文数”.例如1331,7,202都是回文数,而220则不是回文数.问:从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第1996个数是多少?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】同时满足以下条件的分数共有多少个?‎ ‎ ①大于 ,并且小于 ;‎ ‎ ②分子和分母都是质数;‎ ‎ ③分母是两位数.‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】游乐园的门票1元1张,每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票,其中5个小朋友只有1元的钞票,另外5个小朋友只有2元的钞票,售票员没有准备零钱.问有多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】有些五位数的各位数字均取自1,2,3,4,5,并且任意相邻两位数字(大减小)的差都是1.问这样的五位数共有多少个?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】个正方形的内部有1996个点,以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点,将它剪成一些三角形.问:一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀,那么共需剪多少刀?‎ 习题演练 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】 在8×8的方格表中,取出一个如图33-1所示的由3个小方格组成的“L”形,一共有多少种不同的方法? ‎ ‎     ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】用1~9可以组成______个不含重复数字的三位数:如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1,那么可以组成______个满足要求的三位数 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】分子小于6,分母小于60的不可约真分数有多少个? ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个长方形把平面分成两部分,那么3个长方形最多把平面分成多少部分?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个六位数能被11整除,它的各位数字非零且互不相同的.将这个六位数的6个数字重新排列,最少还能排出多少个能被11整除的六位数?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】经理将要打印的信件交给秘书,每次给一封,且放在信封的最上面,秘书一有空就从最上面拿一封信来打.有一天共有9封信打,经理按第1封,第2封,…,第9封的顺序交给秘书.午饭时,秘书告诉同事,已把第8封信打印好了,但未透露上午工作的其他情况,这个同事很想知道是按什么顺序来打印.根据以上信息,下午打印的信的顺序有多少种可能?(没有要打的信也是一种可能)‎