小学六年级奥数教案：计数方法(学生版) 4页

计数方法 知识定位 本讲力求让学生懂得并运用加法乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法来解决问题 知识梳理 排列 ‎ 最简单的计数问题，只需一一列举就可以；复杂的计数问题则需要借助排列与组合的相关知识予以解决．‎ 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个排列．我们主要来研究满足某种条件的排列的个数．相同的排列应满足：‎ 它们所含的元素均相同；‎ 它们的顺序也一样． ‎ 一般地，从n个不同元素中取出m个元素的排列的个数称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作：(m≤n)．‎ 从n个元素中取出m个元素排成一排，有多少种排法，是从n个元素中取出m个元素的排列数．这个问题可以看成有m个位置，从n个元素中取m个元素放到m个位置中，可分m个步骤：‎ 第①步：第1个位置有n种选择；‎ 第②步：第2个位置有n-1种选择；‎ 第③步：第3个位置有n-2种选择；‎ ‎……‎ 第m步：第m个位置有n-m+1种选择．‎ 由乘法原理： n×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1)．——乘积中共有m项 特别地，当m=n时，叫做n个元素的全排列数．‎ ‎1×2×3×…×n称为n的阶乘，记作n!因此 (m≤n)．‎ 排列数乘积形式的公式： =n×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1)．‎ 排列数阶乘形式的公式： (m≤n)．‎ 组合 有时我们只需从若干元素中取出一些就可以了，这种问题称为组合问题，组合问题与排列问题的区别就是：组合问题是将元素取出即可，不需排序，而排列问题是取出后要进行排序．‎ 一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个不同的元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出，n个元素的组合．‎ 从n个不同元素中，每次取出m个元素的组合总数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作 (m≤n)．从n个元素中取出m个元素的排列问题可以看成分两步完成：‎ 第①步：从n个元素中取出m个元素，这时有多少种取法?实际上就是从n个元素中取出m个元素的组合数；‎ 第②步：对取出的m个元素进行排列，排法数就是．‎ 由乘法原理可知：，因此，．‎ 将排列数公式代人得：或 ‎ 常用的计数方法有：分类枚举、插板、整体、递推、排除、概率等等。‎ 例题精讲 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（ ）种不同的排法。‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶．从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】将一些数字分别填入下列各表中，要求每个小格中填入一个数字，表中的每横行中从左到右数字由小到大，每一竖列中从上到小数字也由小到大排列。‎ ‎(1)将1至4填入表1中，方法有_________种；‎ ‎(2)将1至6填入表2中，方法有_________种；‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】从19，20，21，…，97，98，99这81个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，…，13．如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积．那么，其中能被6整除的乘积共有多少个?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24 ，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个圆上有12个点A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数．问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第1996个数是多少?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】同时满足以下条件的分数共有多少个?‎ ‎ ①大于 ，并且小于 ；‎ ‎ ②分子和分母都是质数；‎ ‎ ③分母是两位数．‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】游乐园的门票1元1张,每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票,其中5个小朋友只有1元的钞票,另外5个小朋友只有2元的钞票,售票员没有准备零钱.问有多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】有些五位数的各位数字均取自1，2，3，4，5，并且任意相邻两位数字(大减小)的差都是1．问这样的五位数共有多少个?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?‎ 习题演练 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】 在8×8的方格表中,取出一个如图33-1所示的由3个小方格组成的“L”形,一共有多少种不同的方法? ‎ ‎     ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】用1～9可以组成______个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成______个满足要求的三位数 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个? ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在信封的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打．有一天共有9封信打，经理按第1封，第2封，…，第9封的顺序交给秘书．午饭时，秘书告诉同事，已把第8封信打印好了，但未透露上午工作的其他情况，这个同事很想知道是按什么顺序来打印．根据以上信息，下午打印的信的顺序有多少种可能?(没有要打的信也是一种可能)‎