小学数学精讲教案7_8_2 几何计数（二） 学生版 10页

7-8-2.几何计数（二） 教学目标 1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数． 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用 容斥原理的计数思想． 知识要点 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图 分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些 处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 212 2 3 ( 2)2n n n      …… 个部分；n 个圆最多分平面的部分数为 n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成 3n(n-1)+2 部分；n 个四边形将平面最多分成 4n(n-1)+2 部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、 综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先 后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有 n+1 个点(包括两个端点)（或含有 n 个“基本线段”），那么这 n+1 个点把这条 线段一共分成的线段总数为 n+(n-1)+…+2+1 条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为 DE 上有 15 条线段，每条线段的 两端点与点 A 相连，可构成一个三角形，共有 15 个三角形，同样一边在 BC 上的三角形也有 15 个，所以图 中共有 30 个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有 n 条线段， 纵边上共有 m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个． 例题精讲 模块二、复杂的几何计数 【例 1】如下图在钉子板上有 16 个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得 到 个正方形． 【考点】复杂的几何计数 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，2 年级，第 4 题 【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到 9 4 1 14   个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到 4 个正方形，如下图⑶可以得到 2 个正方形．这样一共可以得到14 4 2 20   个正方形． ⑴ ⑵ ⑶ <考点> 图形计数 【答案】 20 个 【巩固】如图， 4 4 的方格纸上放了 16 枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个． 【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)． 1 1 的正方形：9 个； 2 2 的正方形：4 个； 3 3 的正方形：1 个； 以1 1 正方形对角线为边长的正方形：4 个；以1 2 长方形对角线为边长的正方形：2 个． 故可以组成 9 4 1 4 2 20     (个)正方形． 【巩固】下图是 3×3 点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为 1。以点阵中的三个点为顶点构成三角形，其中 面积为 1 的形状不同的三角形有 种。 【考点】复杂的几何计数 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 11 题 【解析】在本题中，三角形的面积是 1，底和高只能一个是 1，一个是 2，可以有以下三种情况： 【答案】 【例 2】一块木板上有 13 枚钉子（如左下图）。用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形， 梯形，等等（如右下图）。请回答：可以构成多少个正方形？ 【考点】复杂的几何计数 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，试题，第 2 题 【解析】如下图所示，可以将正方形分为四类，分别有 5 个、1 个、4 个、1 个，共 11 个。 【答案】11个 【例 3】在 3×3 的方格纸上（如图 1），用铅笔涂其中的 5 个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都 是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。 例如图 2 和图 3 是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第 10 题，10 分 【解析】不同类型的涂法有 3 种，如下图 A 说明：①所涂 5 个阴影方格分布在 3 行中，只有一行涂有 3 个阴影方格．同样，仅有一列涂有 3 个 阴影方格．②所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有 3 个阴影方格，有这种性质的方格称为“特 征阴影方格”．“特征阴影方格”在 3×3 正方格纸中的位置，就唯一地决定了 3×3 的方格纸的涂法．“特 征阴影方格”在方格纸的角上（图 A 左边）、外边中间的方格（图 A 中间）和中心的方格（图 A 右边） 三个位置确定了只有 3 种类型的涂法． 【答案】 3种 【例 4】在下面的图中，包含苹果的正方形一共有 个． 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，1 年级，第 4 题 【解析】包含 1 个基本正方形的带苹果正方形有 1 个，包含 4 个基本正方形的带苹果正方形有 4 个，包含 9 个基本正方形的带苹果正方形有 6 个，包含 16 个基本正方形的带苹果正方形有 2 个，所以共有 1 4 6 2 13    (个)． <考点> 图形的计数方法之——分类计数 【答案】13 个 【巩固】图中，不含“A”的正方形有 个。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】面积为 1 的有 15 个，面积为 4 的有 7 个，面积为 3 的有 2 个，共 24 个. 【答案】 24 【巩固】图中，不含“A”的正方形有____________个。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 10 题 【解析】面积为 1 的有 15 个，面积为 4 的有 5 个，面积为 9 的没有，所以不含 A 的有 20 个. 【答案】 20 个 【例 5】在下图中，不包含☆的长方形有________个． 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】学而思杯，4 年级，第 4 题 【解析】【解析】根据乘法原理，所有长方形总数为(1+2+3+4+5+6)×(1+2+3+4+5+6)=441(个)，包含☆的长方形有 3×3×4×4=144(个)，所以不包含☆的长方形有 2 2 7 7 9 16 21 21 9 16 441 144 297C C          (个)． 【答案】 297 个 【例 6】如图，其中同时包括两个☆的长方形有 个． 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】先找出同时包括两个☆的最小长方形，然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长方 形．根据乘法原理 2×2×2×3=24（种）不同的长方形． 【答案】 24 个 【例 7】图中含有“※”的长方形总共有________个． ※ ※ 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】根据本题特点，可采用分类的方法计数．按长方形的宽分类，数出含※号的长方形的个数． 含有左上※号的长方形有： 6 6 6 18   个， 其中，宽为 1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6 个； 宽为 2(即高度为两层)的含※号的长方形为：6 个； 宽为 3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6 个； 含有右上※号的长方形有： 6 6 2 6 24    个， 其中，宽为 1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6 个； 宽为 2(即高度为两层)的含※号的长方形为： 6 2 个； 宽为 3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6 个； 同时含有两个※号的重复计算了，应减去，同时含有两个※号的长方形有： 4 4 8  个， 其中，宽为 2(即高度为两层)的含※号的长方形为：4 个； 宽为 3(即高度为三层)的含※号的长方形为：4 个； 所以，含有※号的长方形总共有：18 24 8 34   个． 【答案】 34 个 【例 8】在图中，包含 A 的三角形一共有 个。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，2 年级，第 5 题 【解析】包含五角星的三角形中含一个基本三角形的有1个；含四个基本三角形的有 4 个；含9 个基本三角形 的有 3个；含16 个基本三角形的有1个。这样包含五角星的三角形一共有1 4 3 1 9    （个）。 【答案】 9 【例 9】右图中有 个正方形， 个三角形，包含★的三角形有 个． ★ 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，2 年级，第 7 题 【解析】正方形：正着的方块有 4 个小的，1 个大的，斜的方块有 4 个小的，1 个大的；以正方形共有 10 个。 三角形：小号的三角形有 16 个，其中有 1 个包含★ 中号的三角形有 16 个，其中有 2 个包含★ 大号的三角形有 8 个，其中有 3 个包含★ 特大号的三角形有 4 个，其中有 2 个包含★ 所以三角形有 44 个，包含★的有 8 个 【答案】正方形10 个，三角形 44 个，包含★的有 8 个 【例 10】 下图是 5×5 的方格纸，小方格为边长 1 厘米的正方形，图中共有_______个正方形，所有这些正 方形的面积之和为_______。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 14 题 【解析】图中面积为 1、4、9、16、25 平方厘米的正方形分别有 25、16、9、4、1 个，共有 55 个小正方形， 所有小正方形的面积和为 259. 【答案】 55 个，面积和为 259 【例 11】 由 20 个边长为 1 的小正方形拼成一个 4 5 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形 （含正方形）共有 个，它们的面积总和是 ． 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】走美杯，6 年级，决赛，10 题 【解析】根据鼠标法，☆左上角共有 6 个点，右下角有 8 个点，所以共有长方形有 6 8 48  （个） 面积总和为: (1 2 2 3 3 4 4 5) (1 2 2 3 3 4) 360              ． 【答案】长方形 48 个，面积和为 360 【例 12】 图中内部有阴影的正方形共有 个。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第 10 题 【解析】面积为 1 的正方形有 8 个，面积为 4 的正方形有 8 个，面积为 9 的正方形有 8 个，面积为 16 的正方 形有 2 个，共计 26 个. 【答案】 26 个 【例 13】 在图中(单位：厘米)： ①一共有几个长方形? ②所有这些长方形面积的和是多少? 【考点】简单的几何计数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】①一共有 (4 3 2 1) (4 3 2 1) 100        (个)长方形； ②所求的和是     5 12 8 1 (5 12) (12 8) (8 1) (5 12 8) (12 8 1) (5 12 8 1) 2 4 7 3 (2 4) (4 7) (7 3) (2 4 7) (4 7 3) (2 4 7 3)                                        144 86 12384   (平方厘米)． 【答案】（1）100 ，（2）12384 【巩固】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为 5 厘米、7 厘米、9 厘米、 2 厘米和 4 厘米、6 厘米、5 厘米、1 厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和． 【考点】简单的几何计数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有 n 条线段，纵边上共有 m 条线段，则图中共有长方形（平行四 边 形 ） nm 个 ， 所 以 有    4 3 2 1 4 3 2 1 100        （ 个 ）， 这 些 长 方 形 的 面 积 和 为 ： （5+7+9+2+12+16+11+21+18+23） （4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=124×86=10664（平方厘米）． 【答案】长方形共有：100 ，面积和为10664 【例 14】 如图是由 18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大 的正三角形若干个．那么，图中包含“ A ”号的大、小正三角形一共有______个． 【考点】复杂的几何计数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】分三类进行计数(设小正三角形边长为 1)包含*的三角形中， 边长为 1 的正三角形有 1 个； 边长为 2 的正三角形有 4 个； 边长为 3 的正三角形有 1 个； 因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1 4 1 6   (个)． 【答案】 6 个 【例 15】 图中共有多少个三角形？ 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为 6 类 （1）最大的三角形 1 个(即△ABC)， （2）第二大的三角形有 3 个 （3）第三大的三角形有 6 个 （4）第四大的三角形有 10 个 （5）第五大的三角形有 15 个 （6）最小的三角形有 24 个 所以尖向上的三角形共有 1+3+6+10+15+24=59（个） 图中共有三角形 2×59=118（个）． 【答案】118 个 【例 16】 图 3，由边长为 1 的小三角形拼成，其中边长为 4 的三角形有_____个。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯五年级一试第 16 题，5 分) 【解析】1+2+3=6 【答案】 6 个 【例 17】 右图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰直角三角形，图中，正方形有 个， 三角形有 个。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第 7 题 【解析】正方形 10 个,角形 18+15+4+4+1=42 【答案】正方形10 个，三角形 42 个 【例 18】 如图，连接一个正六边形的各顶点．问图中共有多少个等腰三角形(包括等边三角形)？ ① ② ③ 【考点】复杂的几何计数 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】【解析】本题需要分类进行讨论． ⑴先考虑其中的等边三角形． 图①中，六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点，而且，每个小号等边三角形，有且仅有 一个顶点是六边形的一个顶点，既然六边形有6个顶点，所以图中有6个小号三角形； 图②中，六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边，而且，每个中号等边三角形有且仅有 一条边是六边形的一条边，既然六边形有6条边，所以图中有6个中号等边三角形； 图③中，大号等边三角形有2个； ⑵再考虑其中非等边的等腰三角形． 图中非等边的等腰三角形，按照面积大小分类有3种类型，见图④． ④ ⑤ ⑥ 其中小号的等腰三角形有6个，因为这类三角形均以六边形的一条边为其边长，并且，六边形的每一 条边只唯一对应一个小号等腰三角形，而正六边形有6条边，所以有6个小号等腰三角形； 中号的等腰三角形有12个，因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦，并且， 以非直径的弦为长边的三角形有2个，如图⑤，这样的弦共有6条，所以有12个中号等腰三角形； 大号的等腰三角形有6个，因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径，每条直径上都对 应有2个大号三角形，如图⑥，共有3条直径，所以有6个大号等腰三角形． 那么图中共有 6 6 2 6 12 6 38      个等腰三角形． 【答案】 38 个 【例 19】 图中有 个正方形，有 个三角形。 【考点】复杂的几何计数 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第 14 题 【解析】【解析】边线是水平或垂直方向的正方形共有 2 2 2 2 2 26 5 4 3 2 1 91      (个)，形如 的正方形有 4 个， 所以共有正方形 91 4 95  (个)． (如何保证没有其它的斜正方形了？如右图，擦去横线和竖线，只 留下斜线，就一目了然了．) 此题也可以计算不同面积的正方形各有多少个，以面积大小数正方形，记最小的正方形面积为 1； 则面积为 1 的正方形的个数为 36；面积为 2 的正方形的个数为 4；面积为 4 的正方形的个数为 25； 面积为 9 的正方形的个数为 16；面积为 16 的正方形的个数为 9；面积为 25 的正方形的个数为 4； 面积为 36 的正方形的个数为 1．所以，共有 36 4 25 16 9 4 1 95       (个)正方形． 第 2 问。方法 1：以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形： 只有 1 个基本图形单位的三角形共 72 个； 由 2 个基本图形单位组成的三角形共 37 个； 由 4 个基本图形单位组成的三角形共 30 个； 由 8 个基本图形单位组成的三角形共 4 个； 由 9 个基本图形单位组成的三角形共 10 个； 由 16 个基本图形单位组成的三角形共 2 个； 所以图中共有三角形 72+37+30+4+10+2=155（个）。 方法 2：依三角形的斜边的长度数三角形。 （1）斜边和水平线成 45 度角的三角形，记这类三角形最小的斜边的长度为 1： 长度为 3 的斜边共有：5 条；长度为 4 的斜边共有：1 条。 因为图中这类斜边每条带有 2 个三角形，所以共有 2×（36+15+5+1）=114（个）。 （2）斜边水平的三角形，从上向下： 斜边在第一条线有 2 个；斜边在第二条线有 4 个；斜边在第三条线有 4 个；斜边在第四条线有 5 个； 斜边在第五条线有 2 个；斜边在第六条线有 2 个；斜边在第七条线有 2 个； 所以这种类型的三角形共有 21 个。 （3）斜边为垂直线的三角形，从左向右：斜边在第一条线有 2 个；斜边在第二条线有 2 个；斜边在 第三条线有 5 个；斜边在第四条线有 3 个；斜边在第五条线有 3 个；斜边在第六条线有 4 个；斜边 在第七条线有 1 个，所以这种类型的三角形共有 20 个。共有 114+21+20=155（个）三角形。 【答案】 95 个正方形，155 个三角形 【例 20】 将右图中的 2007(即阴影部分)分成若干个 1×2 的小长方形，共有 种分法． 【考点】复杂的几何计数 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛，15 题 【解析】下图中用斜线标出的部分是只存在唯一分法的部分，也就是说，实际上只需要考虑未用斜线连接的 阴影部分，先把这些方框标记上字母，以便分析． 取 A 为出发点，此时有 2 种分法： AB 或者 AD ，应分别进行讨论： ⑴第一次划分 AB ，那么C 只能连 F ，进而可以唯一划分出 GH ， DE ，WX ，这个时候，方块 I 和 方块 S 又出现了 2 种划分方法，可以取 I 点继续分析：①首先划分 IJ ，进而可以唯一划分出 LK 、MN 、 OP 、UV ，剩下由 RSQT 组成的正方形没有划分，易知这样一个正方形有 2 种划分方法，所以 “ AB - IJ ”有 2 种划分方法；②然后划分 IV ，进而可以唯一划分出 JK 、LM 、NO ,剩下由 RSQTPU 组成的 3 2 的长方形，易知这样一个长方形有 3 种划分方法，所以“ AB - IV ”有 3 种划分方法； 所以划分 AB 共有 5 种划分方法； ⑵第一次划分 AD ，那么可以唯一确定WX ， AD 下面的 EBFC 也出现一个 2 2 的正方形可以有 2 种划分方法，然后，可以唯一确定 GH ，方块 I 又出现 2 种划分方法，与上面的分析类似，可知， 划分 AD 有5 2 10  种划分方法； 所以，一共有 5 10 15  种划分方法． 【答案】15 种 【例 21】 如右图是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？ 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，试题，第 3 题 【解析】把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如下图。平行四边形中棋孔数为 9×9＝81，每个小 三角形中有 10 个棋孔。所以棋孔的总数是 81＋10×4＝121(个) 答：共有 121 个棋孔 【答案】121 个棋孔