全国通用--小升初数学专题--计算模块--裂项法、换元法（含答案） (1) 21页

1 裂项法、换元法 【教学目标】 认识裂项法，能够掌握裂项法的几种形式 掌握换元法的技巧与应用。 1. “裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项 分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或 差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具 有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去 的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 ①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 a b 形式的，这里我们把较小的数写在前 面，即 a b ，那么有 1 1 1 1( )a b b a a b    ②对于分母上为 3 个或 4 个自然数乘积形式的分数，我们有： 1 1 1 1[ ]( ) ( 2 ) 2 ( ) ( )( 2 )n n k n k k n n k n k n k          1 1 1 1[ ]( ) ( 2 ) ( 3 ) 3 ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 3 )n n k n k n k k n n k n k n k n k n k                 ③对于分子不是 1 的情况我们有：       knnknn k 11 )(   1 1h h n n k k n n k               2 1 1 2 2 k n n k n k n n k n k n k                  3 1 1 2 3 2 2 3 k n n k n k n k n n k n k n k n k n k                  1 1 2 2 2 h h n n k n k k n n k n k n k          2            1 1 2 3 3 2 2 3 h h n n k n k n k k n n k n k n k n k n k                  22 1 1 112 1 2 1 2 2 1 2 1 n n n n n          2. 裂差型裂项的三大关键特征： ①分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数) 的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。 ②分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” ③分母上几个因数间的差是一个定值。 3.复杂整数裂项型运算 复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积 相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向 前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加 1 的乘积。 整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸， 差数除以 N。N 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。 需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于 0 时，可以取负数，当然是积 为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后 面的结果再加上第一项的结果。 此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。 4. “裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： ① 1 1a b a b a b a b a b b a        ② 2 2 2 2a b a b a b a b a b a b b a        裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两 两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 裂项法 例 1： 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 6 7 8 9 7 8 9 10                    3 例 2：计算： 5 7 19 1 2 3 2 3 4 8 9 10          ． 例 3： 1 2 3 4 9 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 10               例 4：1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 100           例 5： 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1            . 4 例 6： 1 11 3 19992 1 1 1 1 1 11 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )2 2 3 2 3 1999                换元法 例 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ) ( )5 7 9 11 7 9 11 13 5 7 9 11 13 7 9 11               （ ） （ 例 2.计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5                                         基础演练 1. 3 3 3......1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20            5 2.计算： 5 7 17 191155 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11            （ ） 3.计算： 3 4 5 12 1 2 4 5 2 3 5 6 3 4 6 7 10 11 13 14                4. 2 3 4 50 1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 49) (1 2 3 50)                           5. 2 3 4 100 1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 99) (1 2 100)                         6 6. 2 3 101 1 1 2 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 9) (1 2 3 10)                    （ ） 7.计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 7 15 1 2 2 3 3 4 7 8        8. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 21 31 41 21 31 41 51 11 21 31 41 51 21 31 41                                     巩固提高 9.计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1 3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1               ． 7 10.计算： 2 2 2 21 2 3 50 1 3 3 5 5 7 99 101         ． 11. 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11             12.计算： 1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 2007        13. 1 1 1 1 3 3 5 3 5 7 3 5 7 21            8 14.1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 50 2 2 3 2 3 4 2 3 50                     15. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 26 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 26                   16. 21 2 3 9 1 2 3 9 1 1 2 9 2 3 912 3 4 10 2 3 4 10 2 2 3 10 3 4 10                                            1.               222222 1021 1 21 1 1 1 2120 1 54 1 32 124   2.计算： 3 3 3 3 3 3 3 31 3 5 7 9 11 13 15       9 3.1 3 2 4 3 5 9 11       4.计算：1 2 3 2 3 4 3 4 5 8 9 10            5.计算： 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 11 3 3 3 3 3 3       6. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 ) ( )2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4                10 1. 2 2 2 1 1 11 1 12 1 3 1 99 1                        2.计算： 2 2 2 2 2 2 2 3 99 2 1 3 1 99 1       3.计算： 2 2 2 2 2 2 1 2 99 1 100 5000 2 200 5000 99 9900 5000          11 参考答案 裂项法 例 1： 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 6 7 8 9 7 8 9 10                    原式 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 7 8 9 8 9 10                       1 1 1 3 1 2 3 8 9 10          119 2160  例 2：计算： 5 7 19 1 2 3 2 3 4 8 9 10          ． 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但 是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为 2．相比较于 2， 4，6，……这一公差为 2 的等差数列(该数列的第 n 个数恰好为 n 的 2 倍)，原式 中分子所成的等差数列每一项都比其大 3，所以可以先把原式中每一项的分子 都分成 3 与另一个的和再进行计算． 原式 3 2 3 4 3 16 1 2 3 2 3 4 8 9 10            1 1 1 1 2 83 21 2 3 2 3 4 8 9 10 1 2 3 2 3 4 8 9 10                                1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 22 1 2 2 3 2 3 3 4 8 9 9 10 2 3 3 4 9 10                                 3 1 1 1 1 1 1 1 122 1 2 9 10 2 3 3 4 9 10                      3 1 1 1 122 2 90 2 10                7 1 1 4 60 5    23 15  也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为 2 3n  ， 所 以             2 3 2 3 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n n n              ， 再 将 每 一 项 的     2 1 2n n   与     3 1 2n n n    分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的 方法相同． 例 3： 1 2 3 4 9 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 10               12 原式 1 2 3 4 9 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 10                2 1 3 1 4 1 10 1 2 2 3 2 3 4 2 3 4 10               1 1 1 1 1 1 11 2 2 2 3 2 3 2 3 4 2 3 4 9 2 3 4 9 10                      1 36287991 2 3 4 9 10 3628800       例 4：1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 100           本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类 问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始， 对 分 母 进 行 等 差 数 列 求 和 运 算 公 式 的 代 入 有 1 1 2 (1 1) 11 1 2 2     ， 1 1 2 (1 2) 21 2 2 3 2     ，……， 原式 2 2 2 2 1 200 992 (1 ) 11 2 2 3 3 4 100 101 101 101 101              例 5： 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1            . 这题是利用平方差公式进行裂项： 2 2 ( ) ( )a b a b a b     ， 原式 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14            1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 2              1 1 1 3( )2 14 2 14     例 6： 1 11 3 19992 1 1 1 1 1 11 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )2 2 3 2 3 1999                1 1 2 1 11 1 2 ( )1 1 1 2 ( 1)( 2) 1 2(1 ) (1 ) (1 )2 3 1 2 n n n n n n n n                 原式＝ 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 22 3 3 4 4 5 1999 2000             ＝ 1000 999 1000 11  13 换元法 例 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ) ( )5 7 9 11 7 9 11 13 5 7 9 11 13 7 9 11               （ ） （ 【解析】设 1 1 1 1 5 7 9 11 A    ， 1 1 1 7 9 11 B   ， 原式 1 1 13 13A B A B               1 1 13 13A B A A B B       1 13 A B  1 1 1 13 5 65    例 2.计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5                                         【解析】设 1 1 1 11 2 3 4 5 A     ， 1 1 1 1 2 3 4 5 B    原式  1 1 6 6A B A B               1 1 6 6A B A A B B        1 1 6 6A B   1 6   ( A B ) 1 6  基础演练 1. 3 3 3......1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20            原式 1 1 1 1 1 1 13 [ ( ... )]3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20                     1 1 3 19 20 1 1139 1 2 3 18 19 20 18 19 20 6840            2.计算： 5 7 17 191155 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11            （ ） 本题的重点在于计算括号内的算式： 5 7 17 19 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11            ．这 个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列， 而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适 当的变形，使之转化成我们熟悉的形式． 14 观察可知5 2 3  ，7 3 4  ，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和， 所以 5 7 17 19 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11            2 3 3 4 9 10 2 3 4 3 4 5 9 10 11            1 1 1 1 1 1 3 4 2 4 4 5 3 5 10 11 9 11             1 1 1 1 1 1 3 4 4 5 10 11 2 4 3 5 9 11                        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 4 5 10 11 2 2 4 3 5 4 6 8 10 9 11                              1 1 1 1 1 1 1 3 11 2 2 10 3 11                 8 1 2 8 33 2 5 33        31 55  所以原式 311155 65155    ． 3.计算： 3 4 5 12 1 2 4 5 2 3 5 6 3 4 6 7 10 11 13 14                观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 5 个连续自然数的 乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即： 原式 2 2 2 23 4 5 12 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14                     现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、 分母的对称性，可以用平方差公式： 23 1 5 4   ， 24 2 6 4   ， 25 3 7 4   …… 原式 2 2 2 23 4 5 12 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14                     1 5 4 2 6 4 3 7 4 10 14 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14                            1 1 1 1 2 3 4 3 4 5 4 5 6 11 12 13 4 4 4 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14                                         1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 3 4 4 5 11 12 12 13 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 6 10 11 12 13 11 12 13 14                                              15 1 1 1 1 1 2 2 3 12 13 1 2 3 4 11 12 13 14                      1 1 1 1 12 2 12 13 24 11 12 13 14         1 77 1 8 11 12 13 14      1 1 8 2 11 14     1 1 75 8 308 616    4. 2 3 4 50 1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 49) (1 2 3 50)                           原式＝ 2 1 3 ＋ 3 3 6 ＋ 4 6 10 ＋ 5 10 15 ＋…＋ 50 1225 1275 ＝（1 1  1 3 ）＋（ 1 3  1 6 ）＋（ 1 6  1 10 ）＋（ 1 1225  1 1275 ）＝1274 1275 5. 2 3 4 100 1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 99) (1 2 100)                         2 1 1 1 (1 2) 1 1 2     ， 3 1 1 (1 2) (1 2 3) 1 2 1 2 3         ，……， 100 1 1 (1 2 99) (1 2 100) 1 2 99 1 2 100                  ，所以 原式 11 1 2 100      1 50491 5050 5050    6. 2 3 101 1 1 2 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 9) (1 2 3 10)                    （ ） 原式 2 3 4 101 ( )1 3 3 6 6 10 45 55          1 1 1 1 1 1 11 1 3 3 6 6 10 45 55              11 1 55       1 55  7.计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 7 15 1 2 2 3 3 4 7 8        原式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 4 3 8 7 1 2 2 3 3 4 7 8            2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 7 8          16 2 11 8   63 64  8. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 21 31 41 21 31 41 51 11 21 31 41 51 21 31 41                                     【解析】设 1 1 1 1 11 21 31 41 a    ， 1 1 1 21 31 41 b   ， 原式 1 1 51 51a b a b               1 1 51 51ab a ab b    1 ( )51 a b  1 1 1 51 11 561    巩固提升 9.计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1 3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1               ． 原式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 13 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1                                           2 2 2997 2 4 4 6 1994 1996           1 1 1 1 1 1997 2 4 4 6 1994 1996            1 1997 2 1996       9979971996  10.计算： 2 2 2 21 2 3 50 1 3 3 5 5 7 99 101         ． 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平 方差公式分别变为 22 1 ， 24 1 ， 26 1 ，……， 2100 1 ，可以发现如果分母都 加上 1，那么恰好都是分子的 4 倍，所以可以先将原式乘以 4 后进行计算，得 出结果后除以 4 就得到原式的值了． 原式 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 6 100 4 2 1 4 1 6 1 100 1              2 2 2 2 1 1 1 1 11 1 1 14 2 1 4 1 6 1 100 1                 1 1 1 1 1504 1 3 3 5 5 7 99 101              17 1 1 1 1 1 1 1 1 150 14 2 3 3 5 5 7 99 101                    1 1 150 14 2 101            1 50504 101   6312101  11. 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11             （法 1）：可先找通项 2 2 2 1 11 11 1 ( 1) ( 1)n na n n n n          原式 1 1 1 1 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )1 3 3 5 5 7 7 9 9 11               1 1 5 55 (1 ) 5 52 11 11 11        （法 2）：原式 2 8 8 18 18 32 32 50 50(2 ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 5 5 7 7 9 9 11           6 10 14 18 50 6 52 10 4 53 5 7 9 11 11 11          12.计算： 1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 2007        先找通项公式 1 2 1 12( )1 2 ( 1) 1na n n n n n         原式 1 1 11 2 (2 1) 3 (3 1) 2007 (2007 1) 2 2 2           2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 2007 2008         20072 2008   2007 1004  13. 1 1 1 1 3 3 5 3 5 7 3 5 7 21            先找通项：       1 1 1 13 5 2 1 22 1 32 na n n nn n           ， 原式 1 1 1 1 1 1 1 3 2 4 3 5 4 6 9 11 10 12             1 1 1 1 1 1 1 3 3 5 9 11 2 4 4 6 10 12                        1 1 1 1 1 1 2 1 11 2 2 12                175 264  14.1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 50 2 2 3 2 3 4 2 3 50                     18 找通项 (1 ) ( 1)2 (1 ) ( 1) 212 n n n n na n n n n          原式 2 3 3 4 4 5 5 6 2 3 3 4 4 5 5 6 4 10 18 28 1 4 2 5 3 6 4 7                     ， 通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项， 所以有 原式 2 3 3 4 4 5 5 6 48 49 49 50 50 51 1 4 2 5 3 6 4 7 47 50 48 51 49 52                     3 50 2321 52 26    15. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 26 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 26                   2 2 2 2 23 3 3 ( 1) (2 1) 1 2 2 2 1 2 1 16 ( )( 1)1 2 3 ( 1) 3 1 4 n n n n n na n nn n n n n                   原式= 2 1 1 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( ) ( )]3 1 2 2 3 3 4 26 27         = 2 1 52(1 )3 27 81    16. 21 2 3 9 1 2 3 9 1 1 2 9 2 3 912 3 4 10 2 3 4 10 2 2 3 10 3 4 10                                            【解析】设 1 2 3 9 2 3 4 10t      ，则有 2 2 21 1 1 1 1(1 )2 2 2 2 2 2 tt t t t t t t t                     1.               222222 1021 1 21 1 1 1 2120 1 54 1 32 124   虽然很容易看出 32 1  ＝ 3 1 2 1  ， 54 1  ＝ 5 1 4 1  ……可是再仔细一看，并没有什么 效果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一 项 的 分 母 容 易 让 我 们 想 到 公 式 ， 于 是 我 们 又 有 )12()1( 6 321 1 2222  nnnn ＝  ．．减号前面括号里的式子有 10 项，减 号后面括号里的式子也恰好有 10 项，是不是“一个对一个”呢？               222222 1021 1 21 1 1 1 2120 1 54 1 32 124   19 ＝            211110 1 532 1 321 162120 1 54 1 32 124  ＝            212220 1 564 1 342 1242120 1 54 1 32 124  ＝                     212220 1 2120 1 564 1 54 1 342 1 32 124  ＝       2220 1 64 1 42 124  ＝       1110 1 32 1 21 16  ＝       11 116 ＝ 11 60 ． 2.计算： 3 3 3 3 3 3 3 31 3 5 7 9 11 13 15       【解析】原式  3 3 3 3 3 3 3 3 31 2 3 4 14 15 2 4 14                22 3 3 315 15 1 8 1 2 74        2 257600 2 7 84     8128 3.1 3 2 4 3 5 9 11       【解析】原式         2 1 2 1 3 1 3 1 10 1 10 1                    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 10 1 2 3 10 9 1 2 3 10 10 10 11 21 10 3756                          4.计算：1 2 3 2 3 4 3 4 5 8 9 10            【解析】原式        2 2 2 22 2 1 3 3 1 4 4 1 9 9 1              3 3 3 32 3 4 9 2 3 4 9              21 2 3 9 1 2 3 4 9            245 45 1980   5.计算： 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 11 3 3 3 3 3 3       【解析】法一：利用等比数列求和公式。 20 原式 711 1 3 11 3           71 3 2641 13 2 729            法二：错位相减法． 设 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 11 3 3 3 3 3 3S        则 2 3 4 5 1 1 1 1 13 3 1 3 3 3 3 3S        ， 6 13 3 3S S   ，整理可得 3641729S  ． 法三：本题与例 3 相比，式子中各项都是成等比数列，但是例 3 中的分子为 3，与 公比 4 差 1， 所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去” 的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差 1．由于公比为 3，要把分子变为 2，可以先将每一项都乘以 2 进行算，最后再将所得的结果除以 2 即得到原式的 值．由题设， 2 3 4 5 6 2 2 2 2 2 22 2 3 3 3 3 3 3S        ，则运用“借来还去”的方法可得到 6 12 33S   ，整理得到 3641729S  ． 6. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) (1 ) ( )2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4                【解析】设 1 1 1 2 3 4a    ，则原式化简为： 1 1 11 (15 5 5a a a a( + )( + )- + )= 1. 2 2 2 1 1 11 1 12 1 3 1 99 1                        2 2 2 2 1 ( 1) ( 1)1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 2)n n na n n n n           原式 2 2 3 3 98 98 99 99 (2 1) (2 1) (3 1) (3 1) (98 1) (98 1) (99 1) (99 1)                    2 2 3 3 4 4 5 5 98 98 99 99 2 99 4913 1 4 2 5 3 6 4 99 97 100 98 1 100 50                     2.计算： 2 2 2 2 2 2 2 3 99 2 1 3 1 99 1       21 通项公式：          2 21 1 1 1 1 1 2n n na n n n n        ， 原 式 2 2 3 3 4 4 98 98 99 99 (2 1) (2 1) (3 1) (3 1) (4 1) (4 1) (98 1) (98 1) (99 1) ( 99 1)                         2 2 3 3 4 4 5 5 98 98 99 99 3 1 4 2 5 3 6 4 99 97 100 98                  2 2 3 3 4 4 98 98 99 99 1 3 2 4 3 5 97 99 98 100            2 99 99 1 100 50    3.计算： 2 2 2 2 2 2 1 2 99 1 100 5000 2 200 5000 99 9900 5000          本题的通项公式为 2 2 100 5000 n n n  ，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母      2 100 5000 5000 100 5000 100 100 100n n n n n n            ，可以看出如果把 n 换成100 n 的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最 后单独剩下一个 2 2 50 50 5000 5000  ．将项数和为 100 的两项相加，得        2 222 2 22 2 2 100 100 2 200 10000 2100 5000 100 5000 100 5000100 100 100 5000 n n nn n n n n n n n nn n                 ， 所以原式 2 49 1 99    ．（或者，可得原式中 99 项的平均数为 1，所以原式 1 99 99   ）