2020小升初数学总复习课件--比和比例、单位“1”的换算 136页

2020 小升初数学复习课件 （一） 比和比例 （二）分数百分数应用题 - 单位 “1” 的转换 （一）比和比例 小学数学总复习就是注重帮助学生把分散在各年级、各章节中有关的数学知识 上下串联 ， 左右沟通 起来。其过程就是把学生的内容、知识，不断 重组 ，并形成良好的 认知结构 的过程。 比 和 比 例 比的认识 比例的认识 比例的应用 意义 性质 求比值 化简比 意义 性质 正比例 反比例 解比例 用比例解决问题 比例尺 图形的放大和缩小 比的应用 第一部分：复习内容要点 第二部分：复习目标 第三部分：复习重、难点 第四部分：复习内容分析 第五部分：复习课时安排 第六部分：复习设想及措施 一、复习内容要点 ● 比和比例的意义 ● 基本性质 ● 解比例 ● 按比例分配问题 ● 比例尺 ● 正比例和反比例的概念 ● 用比和比例知识解答的应用题 二、教学目标 　　● 分清 比和比例、正比例和反比例概念间的 联系 和 区别 。 ● 掌握 用比和比例的知识解答应用题的 方法 。 ● 理清 应用题与比和比例知识之间的 联系 。 ● 培养 学生综合运用数学知识和灵活解题的 能力 。 三、教学重点 、 难点 　　重点： 用 比和比例知识 解答应用题。 难点： 用 不同方法 灵活解答应用题。 四、复习内容分析 加强 基本概念 —— 使学生 加深基本概念的认识 通过 比较 ， 沟通 联系， 明确 区别 —— 以防止 知识的混淆 突出 解题思路 —— 以使学生掌握 方法 ， 提高解题 能力。 利用 知识之间的联系 —— 帮助学生掌握 不同的解题方法 。 四、复习内容分析 1 、 比的概念 ● 比的意义 两个数 相除 又叫做两个数的 比 。 ● 比值的概念 比的前项 除以 后项所得的 商 ，叫做 比值 。 例如 : 5÷6 可记作 5∶6 。 例如： 5÷6 = → 就是 5:6 的比值。 —— 是借助于 除法的概念 建立的。 比 —— 表示两个数量之间的关系而且是 相除 关系。 生活中比赛得分 2 :1 是不是 比 ？ 它不是比，它没有一种 相除 关系在里面，所以它可以用 0 :0 来表示，而比是不能用 0 作为 后项 。 例： 一个平行四边形花坛，底是 6 米，高是 4 米， 6÷4 表示（ ），这一关系还可以用（ ）来表示。 6 ： 4 四、复习内容分析 引导学生思考并归纳 比 与 除法 和 分数 的关系 a :b = a÷b = (b≠0) 比的 前项 相当于分数的 分子 和除式中的 被除数 ； 比的 后项 相当于分数的 分母 和除式中的 除数 ； 比值 相当于分数的 分数值 和除式中的 商 联系 区别 比 6 : 3=2 前 项 比 号 后 项 比 值 除法 6 ÷ 3 = 2 分数 = 2 比、除法和分数的关系 一种 关系 被除数 分子 除号 分数线 除数 分母 商 分 数 值 一种 运算 一个数 比值的意义： 同类数量 的比值： 不同类数量 的比值： 能加单位 不能加单位 例： 两辆汽车在公路上行驶，甲车行了 75 千米，耗油 10 升，乙车行了 60 千米，耗油 9 升。 75 千米 ： 10 升 =7.5 千米 / 升 表示甲车每升汽油能行 7.5 千米。 60 千米 ： 75 千米 = ，表示乙车行的路程是甲车的 。 —— 产生新的量。 表示倍数关系或几分之几。 四、复习内容分析 2 、比基本性质： 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数 (0 除外 ) ，比值不变，这叫做 比的基本性质 。 作用： 1 、化简比 —— 能让 复杂的比 依据 比的基本性质 化简成简单整数比。如 0.314 ： 1.256=1:2, 也为后面图形的放大和缩小做铺垫。 2 、求比值 —— 有时候比除法计算简单。 四、复习内容分析 求比值和化简比 学生容易混淆发生错误 列表对比 引导弄清 一般方法 结果 求比值 化简比 求比值和化简比的区别 　　根据 比的意义 ，用前项除以后项。 　　是一个 数 ，可以是整数、小数或分数。 　　根据 比的基本性质 ，把比的前项和后项同时乘或除以相同的数（ 0 除外）。 　　是一个 比 ，它的前项和后项是互质数（两个互质的整数比）。 四、复习内容分析 应用比的知识 计算按比例分配问题 引导学生思考按比例分配应用题的解题依据、解题思路和方法。 3 、按比例分配问题： 四、复习内容分析 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做 按比例分配 。 ● 特点： 已知总量和部分量的比，求各部分量是多少。 ● 解题方法： 先求总份数，再求个部分量占总量的几分之几，最后用总量乘以这个几分之几，求出个部分量。 例 : 周长 32 厘米，长和宽的比是 5 ： 3 ，面积多少平方厘米？ 2 ： 3 3 ： 7 例： 将这 两种浓缩液混在一起 制成 新的清洁液 ，那么这种 新的清洁液 中 浓缩液 是 清洁液 的百分之几 ？ （百分号前保留一位小数） 250ml 500ml 2 ： 3 3 ： 7 250ml 500ml 浓缩液 是 清洁液 的百分之几 ？ 250 x + 500 x =150(ml) 150÷750×100% ≈ 33.3% 250+500=750(ml) （百分号前保留一位小数） 例： 3 克的蚂蚁能搬动 45 克的物体 ； 3 吨的大象能拉动 4.5 吨的物体， 蚂蚁和大象 谁的力气大 ？（ 要求：用学过的知识说明你的观点，回答要全面 ） 从物体的重量与动物本身的重量的比或比值看是蚂蚁的力气大，但是如果从动物驮的物体的重量来看是大象 的 力 气 大 。 3 ： 45 =1:15 或 45:3=15 3:4.5 =1:1.5 4.5:3=1.5 黄金比 我的上半身的高度是 65cm ，下半身高度是 98cm 。 当一个人上半身的高度与下半身的比是 0.618 ： 1 时，这个人身材看上去就很美。 四、复习内容分析 4 、比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。 与图形的放大和缩小联系比较紧密，图形放大和缩小的结果，就组成了比例。能组成比例的两个图形， 形状相同 ， 大小不同 。 例： 将上题中的平行四边形按照一定比例缩小，画在平面图上，量得图上平行四边形的底是 3 厘米，高是 2 厘米。那么图上平行四边形的底与实际底的比是（ ），我们把这个比叫做（ ）；这个比还和（ ）和（ ）的比相等，组成的比例是（ ）。 1.2m 0.8m 1:40 比例尺 图上的高 实际的高 3:120=2:80 注意变量和常量 : 例： 将一个平行四边形往外拉，如下图所示，在变化过程中，下列说法正确的有（ ）。 ①平行四边形的周长是常量。 ②平行四边形的底和高是变量，底随着高的减少而增加。 ③平行四边形的面积和高是变量，面积随着高的减少而减少。 ④长方形的底和高都是常量。 与图形结合 两个长方形重叠在一起，（如右图），重叠部分 的面积是大长方形面积的 ，是小长方形面积的 ，那么 大长方形的面积 S1 和小长方形面积 S2 的比是（ ） 长方形面积 的 = 小长方形面积 的 S1× = S2 × S1:S2 =12:5 12:5 例： 一个三角形分成两个小三角形（如右图，单位：厘米）， 其中甲的底为 8 厘米，那么乙的底为（ ）厘米。 甲 28cm 2 乙 63cm 2 8cm ？ cm 比与速度时间结合 1 、 甲、乙两人都从 A 地出发到 B 地，所用时间的比是 4 ： 5 ，则速度的比是（ ）。 2 、 甲乙两人步行的速度比是 2 ： 3 ，从 A 地到 B 地，甲走了 21 分钟，乙走了（ ）分钟 . A.31.5 B.28 C.14 D.10.5 比例和方程和等式之间的联系。 例： 在① 4×5=20 ，② 4+x=30 ，③ 4:6= a:9 ，④ 5+b ＞ 7 这些子中，是等式的有（ ），是方程的有（ ），是比例的有（ ）。（填序号） ①②③ ②③ ③ 5 、比例的基本性质 四、复习内容分析 在比例里， 两个外项的积 等于 两个内项的积 。这叫做比例的基本性质。 提供了一种解比例的方法，原来用除法也可以解决。 例： 25:7=X:35           = 0.8:1.2 解比例的 方法 就是应用 比例的基本性质 。 四、复习内容分析 比例尺 数值比例尺 线段比例尺 比的形式 分数形式 图上距离 实际距离 = 1 :100 （ ） 0 100 200 300 千米 实质上是一种比，是图上距离与实际距离的比。 5 、比例尺 比例尺的类型题 线段比例尺改写成数值比例尺 利用已知条件求比例尺 已知比例尺求图上距离或实际距离 应用比例尺画图 １．确定比例尺 ２．根据比例尺求出图上距离 ３．画图 ４．标出实际距离和比例尺 （ 1 ）画出下图中三角形按 1 ： 3 的比缩小后的图形； （ 2 ）画出下图中平行四边形形按 2 ： 1 的比放大后的图形。 图形的放大与缩小 1 、 图形的放大与缩小的特点： 形状相同，大小不同 2 、 图形的放大或缩小的方法： 一看，二算，三画 四、复习内容分析 6 、正比例和反比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示 y/x=k( 一定） 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示 x×y=k( 一定 ) 判断下面各题中的两种量是不是成比例．如果 成比例，成什么比例． 1 、收入一定，支出和结余。 2 、出米率一定，稻谷的重量和大米的重量。 3 、圆柱的侧面积一定，它的底面周长和高。 不成比例 成正比例 成反比例 y=8x = 8 如果 y=8x ， x 和 y 成（ ）比例。 如果 ＝ 和 成 （ ） 比例 8 y= Xy=8 四、复习内容分析 6 、正比例和反比例 描述的是两种 相关联 的变量，他们的变化符合某种规律。 正比例符合两种变量的 比值 一定，反比例符合两种变量的 积 一定。 正比例和反比例的 概念 成为用比例知识解答应用题的 基础 。 小明带了 60 元钱去买笔记本， 不同笔记本 的单价和数量情况如下： 数量（本） 30 20 15 12 单价（元） 2 3 4 5 种 类 A B C D 其中 广博这种笔记本 的数量和总价如下： 数量（本） 10 20 40 60 总价（元） 40 80 160 240 从上表中可以知道：当钱数一定时，笔记本的单价和数量和成（ ）；当购买同一种笔记本时，总价和数量成（ ），小明最终选择了买广博笔记本，你觉得是 ABCD 中的（ ）种。 反比例 正比例 C 四、复习内容分析 7 、正比例和反比例应用题。 用比例知识解答应用题的 关键 ，是判断题中的数量 是不是成比例 ， 成什么比例 。根据题中的 比例关系 ，找出 等量关系 ，再把其中未知数用 x 代替，列出方程解答。 四、复习内容分析 8 、不同的知识灵活地解答应用题。 。 根据 比与除法、分数 之间的关系，再把 比 转化成 分数 或 倍数 来表示， 沟通 知识间的联系 。根据它们之间的关系可以用 不同的方法解 答应用题，引导学生灵活运用知识解答应用题。 用不同的知识灵活地解答应用题 例 1 ： 少先队员在山坡上栽种松树和柏树，一共栽种了 120 棵， 松树的棵数 是 柏树 的 4 倍。松树和柏树各栽多少棵？ （ 1 ）因为：松树的棵数＋柏树的棵数＝ 120 棵 　　所以：我们可以根据这个等式列方程解应用题． 　　解：设柏树种了 X 棵，列方程得： 　　 　　 120 － 24 ＝ 96( 棵 ) 　　 解：设松树种了 棵，列方程得： 　　 　　 120 － 96 ＝ 24 （棵） 答：柏树种了 24 棵，松树种了 96 棵． 松树： 柏树： X 棵 X 棵 120 棵 （ 2 ）因为松树的棵树是柏树的 4 倍，所以松树和 柏树棵树的比是 4∶1 ．所以根据转化的比的关系， 可以用 按比分配的知识 来解答． 　　 4 ＋ 1 ＝ 5 　　 120× ＝ 96 （棵） 　　 120× ＝ 24 （棵） 　　 答：柏树种了 24 棵，松树种了 96 棵． （ 3 ）因为松树的棵树是柏树的 4 倍，所以松树和柏树棵树的和是柏树棵树的 5 倍， 根据倍数的数量关系可以运用算术方法解题． 　　 120÷ （ 4 ＋ 1 ）＝ 24 （棵） 　　 120 － 24 ＝ 96 （棵） 　　答：柏树种了 24 棵，松树种了 96 棵． 松树： 柏树： “1” 120 棵 120 棵 根据 倍数的数量关系 可以运用 算术方法 解题． 　　 120÷ （ 1 ＋ ） （ 4 ）因为松树的棵树是柏树的 4 倍，所以柏树的棵数 就是松树棵树的 。 如果把松树的棵数看作单位 1 ，那么， 120 棵对应的率就是 1 ＋ 根据 倍数的数量关系 可以运用 算术方法 解题． 　　 120÷ （ 1 ＋ ）＝ 96 （棵） 　　 120 － 24 ＝ 96 （棵） 　　答：柏树种了 24 棵，松树种了 96 棵． （ 5 ）因为松树的棵树是柏树的 4 倍，所以松树和柏树棵树的 比是 4∶1 ，松树和松树、柏树棵树和的比是 1∶5 ，所以根据 转化的比 的关系，我可以用比例的知识来解答． 　　解：设柏树有 X 棵。 棵． 　　 X∶120 ＝ 1∶5 　　 5X=120 ×1 X=24 ＝ 120 　　 　　 120 － 24 ＝ 96 （棵） 　　答：柏树种了 24 棵，松树种了 96 棵． 4 ．请你以小组为单位，讨论、交流你最喜欢那种方法． 为什么？ 5 、提问：若把 “ 4 倍 ” 改写成 “ 1/4 ”“ 25% ”“ 0.25 ” 的计算方 法会是怎样呢？ 让学生自己发现数字发生改变，数量关系不变，所以 计算方法还是一样的。 　　 在我们解应用题时，一道应用题的数量关系，可以转 化成不同解决形式．在解答时，我们选择我们熟练、简便 的方法进行解答． 五、复习课时的安排 ● 比的意义和基本性质。按比例分配（ 1 课时） ● 比例的意义和基本性质，解比例、比例尺 （ 1 课时） ● 正比例和反比例的概念和正、反比例应用题 （ 1 课时） ● 用不同知识灵活解答应用题 （ 1 课时） 六、教学设想及措施 1 、突出概念和性质的比较，拓宽学生的基础知识。 在复习比和比例的知识时，要突出比和比例意义的本质属性。 比 比例 意义 各部分名称 举例： 名称： 举例： 名称： 基本性质 性质作用 １ 、 比和比例的意义和基本性质 两个 数 相除，又叫做两个数的比。 表示两个 比 相等的式子，叫做比例。 0.9 ： 0.6 = 1.5 前项 后项 比值 5 ： 6 = 20 ： 24 内项 外项 比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（ 0 除外 ） , 比值不变 . 在比例里，两个外项的 积等于两个内项的积 . 化简比 解比例 正、反比例的联系与区别 两种相关联的量 一种量增加（减少）另一种量也随着增加（减少） 比值（一定） 相同点 不同点 结果 关系式 正比例 反比例 一种量增加（减少）另一种量也随着减少（增加） 积（一定） xy=k( 一定 ) =k( 一定 ) y x 六、教学设想及措施 2 、突出知识的 联系 和 区别 ，完善学生的 认知结构 。 在重视知识纵向、横向联系的同时，还要注意各类知识的不同点，让学生通过比较加以区别，以防混淆。 例如： ▲ 比 和 分数、除法 之间的联系和区别 ▲ 用 比 和 比例知识 以及 其他知识解应用题方法 的联系和区别 ▲ 数值比例尺 和 线段比例尺 的联系和区别 六、教学设想及措施 3 、突出解题方法的对比训练，培养学生的分析能力。 复习课，重在学生对 解决数学问题的方法 掌握，而不在于大量的习题练习。 ▲ 反比例 和 归总应用题 的解题方法对比。 ▲ 化简比 和 求比值 的方法对比 ▲ 判断正比例 和 反比例 的方法对比 ▲ 求 比例尺里三种类型问题 的解题方法对比 ▲ 正比例应用题 和 归一应用题 的解题方法对比 六、教学设想及措施 4 、突出习题的变式训练，提高学生的应用能力。 我们要善于分析教材中的习题，练习时既要依据教材，又要跳出教材，设计新颖有趣的变式习题，加强知识在实际情境和生活中的应用。 一种药水是由药液和水按 1 ： 150 配制而成，那么药液与药水的比是多少？水与药水的比是多少？ 六、教学设想及措施 4 、突出习题的变式训练，提高学生的应用能力。 如果有 1510 克药液，需要多少克水来配制？可配制这种药水多少克？ 如果有 1510 克水，需要多少克药液来配制？可配制这种药水多少克？ 如果配制 1510 克这种药水，需水和药液各多少克？ 药液 ：水 = 1 :150 1 150 药水： 151 如果有 1510 克药液 ，需要 多少克水 来配制？可配制这种药水多少克？ 1510 克 X 克 药液 ：水 = 1 :150 1 150 药水： 151 X 克 1510 克 如果有 1510 克水 ，需要 多少克药液 来配制？可配制这种药水多少克？ 药液 ：水 = 1 :150 1 150 药水： 151 1510 克 如果配制 1510 克这种药水 ，需水和药液各多少克？ ① 男生人数与女生人数比是（ ） ﹕ （ ） ②男生人数与女生人数比是（ ） ﹕ （ ） ③男生人数是女生人数的几分之几？ ④女生人数是男生人数的几分之几？ ⑤男生人数是男、女生总人数的几分之几？ ⑥女生人数是男、女生总人数的几分之几？ ⑦男生人数比女生人数少几分之几？ ⑧女生人数比男生人数多（ ）％ 分率转化的变式练习： 如果男生人数的 40﹪ 与女生人数的 3 ／ 5 相等，那么 4 、突出习题的变式训练，提高学生的应用能力。 六、教学设想及措施 六、教学设想及措施 5 、突出一题多解的训练，加深学生对数量关系的认识。 一题多解，既能加深学生对数量关系的认识，进一步理解和掌握数学知识，又能促进学生更好地把握知识之间的联系，使之融为一体。 六、教学设想及措施 5 、突出一题多解的训练，加深学生对数量关系的认识。 李庄要筑一条 1200 米的道路，前 3 天完成了 40﹪ 。照这样计算，筑这条路一共要用多少天？ 解法一： 1÷ （ 40﹪÷3 ）＝ 7.5 （天） 解法二： 3÷40﹪ ＝ 7.5 （天） 解法三： 3 ﹕40﹪ ＝ x ﹕ 1 x ＝ 7.5 （天） 解法四： 1200÷ （ 1200×40﹪÷3 ）＝ 7.5 （天） 解法五： 1200× （ 1 － 40﹪ ） ÷ （ 1200×40﹪÷3 ）＋ 3 ＝ 7.5 （天） “ 1 ” 1200 米 40% 已修米数 工效一定 “ 1 ” （总天数） 40% （已修 3 天） 工效一定 要有正确的复习理念 讲究复习的策略 但愿我们的复习课， 充满着生长的力量！ （二）分数百分数应用题 ----- 单位 “1” 转换 知识点梳 理 基本步骤 ： 1 、确定单位 “1”， 2 、准确找出“量”与“率”之间的对应关系 ， 3 、确定乘除法 ， 4 、统一单位 “1” 。 在题目中常常出现几个不同的单位“ 1 ”，这时需要将它们转 化 为统一的单位 “1”， 以便于比较和发现数量关系 。 典型例题精 讲 例 1. 妈妈买来一桶油，第一次倒出全部 的 3 ，第二次倒出 余 1 4 下 的 1 ，还剩下 6 千克，求这桶油原来共有多少千克 ？ 解 析 即是全部 的 3 × 4 = 6 2 1 1 1 2 1 3 的 4 1 3 4 整体对应式 ：6 千克 + 第一次倒 的 1 + 余下 的 1 → “1” 第一次倒 出 3 ，单位 “1” 是这桶 油 第二次倒出余下 的 4 ，单位 “1” 是 (1- 3 )= 1 1 1 1 解 ：6÷[1－ 3 －（1－ 3 ）× 4 ]=12（ 千克 ） 答：这桶油原来 12 千克 。 4 5 例 2. 甲校人数是乙校人数 的 5 ，乙校人数是丙校人数 的 7 ， 甲 校比丙校少 450 人，求三校各有多少人 ？ 解 析 统一单位“ 1 ”，抓住中间量“乙” 。 4 甲校人数是乙校人数 的 5 ， 单位 “1” 是“乙 ”， 7 可以转化为，丙是乙 的 乙校人数是丙校人数 的 5 ，单位 “1” 是“丙 ”， 5 7 。 7 4 4 乙 ：450÷（ 5 － 5 ）=750（ 人 ） 甲 ：750× 5 =600（ 人 ） 丙 ：750× 7 =1050（ 人 ） 5 4 2 例 3. 商店运来白菜和土豆共 630 千克，运来白菜 的 11 与土豆 的 5 一样多，商店运来白菜、土豆各多少千克 ？ 解 析 方法一 ：按比分配解 决 白菜 × 白 菜 : 土豆 =11 : 10 白菜 ：630÷（11+10)×11= 330（ 千克 ） 土豆 ：630-330=300（ 千克 ） 白菜 × 4 = 土豆 × 11 4 1 1 4 × 11 = 土豆 × 5 × 4 2 1 1 2 5 方法二 ：统一单位“ 1 ” 答：运来白菜 330 千克，土豆 300 千克 。 = 11 4 2 10 以白菜为单位 “1”， 土豆是白菜 的 11 ÷ 5 630÷（1+ 11 ）=330（ 千克 ） 630 -330=300（ 千克 ） 10 例 6 . 兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半， 老 二修了另外三人总数 的 1 ，老三修了另外三人总数 的 1 ，老 四 3 4 修了 91 米，问这条路长多少米 ？ 解 析 统一单位：以总路程为单位“ 1 ” 老大修了总路程 的 老二修了总路程 的 老三修了总路程 的 答：这条路长 420 米 。 1  1 1  2 3 1  1 1  3 4 1  1 1  4 5 1 ） =420（ 千米 ） 3 4 5 1 1 9 1  （ 1 - - - 例 7. 哥哥和弟弟共有人民 币 10．8 元，哥哥用去自 己 钱数的 75 ％，弟弟用去 自 己钱数的 80 ％，两人所 剩 的钱正好相等，哥哥原 来 有多少钱 ？ 解 析 哥哥的钱 × （ 1 - 75 %） = 弟弟的钱 × （ 1 - 80 % ） 哥哥的钱 ×25%= 弟弟的钱 ×20% 哥哥的钱：弟弟的钱 =4:5 哥哥： 10.8÷ （ 4 + 5 ） × 4 =4.8 （元 ） 弟弟 ： 10.8-4.8=6（ 元 ） 答：哥哥原来有 4.8 元钱 。 解决分数百分数应用题的基本步 骤 要找准单位 “1” 是要看所给“量” 要决定乘除法 是乘法知道“ 1 ” 要除法求出“ 1 ” 是“量”“率”要对应 特别提示：画线段图是解题的关键，画图时，要先画单位“ 1 ” 典型例题精 讲 例 1 . 小强和小明各有图书若干本。已知小强的图书本数占两人图书 总 数的 60 %，当小强借给小明 20 本后，小强和小明图书本数的比是 2： 3 。两人一共有图书多少本 ？ 解 析 小强借给小明 20 本之前 ； 小强和两人图书的本数比是 : 60 % =3:5 小强借给小明 20 本之后 ； 小强和两人图书的本数比是 : 2 + 3 = 5 2:5 20÷（3-2）=20（ 本 ） 共有书 ：20×5=100（ 本 ） 例 2. 一批葡萄运进仓库时的质量是100千克，测得 含水量为99%，过一段时间，测得含水量为 98%， 这时葡萄的质量是多少千克？ 解 析 刚进来时 ，100 千克葡萄含水量 99% ，葡萄干的含量 是 1-99%=1%， 100×1%=1（ 千克 ） 过一段时间后，测得含水量 为 98%， 葡萄干的含量 是 1-98%=2%， 葡萄干的质量不变 ，1÷2%=50（ 千克 ） 答：这时葡萄的质量是 50 千克 。 例 3. 某校六年级上学期男生占总人数的54％，本学 期转进3名女生，转走3名男生，这时女生占总人 数的48％。现在有男生多少人？ 解 析 方法一 ： 男生人数和女生人数都在变，只有六年级的总 人 数不变 ， 本学期转进 3 名女生，转走 3 名男生之前，男生占总人 数 的 54%， 转走之后男生占总人数的 1-48%=52% 总人数 ： 3÷（54%-52%）=150（ 人 ） 现在男生 ：150×52%=78（ 人 ） 解 析 方法二 ： 用比例解 决 解设：六年级有学生 X 人，男生54% X , 女生46% X . (54%X-3）：（46%X+3）=52%：48% 200 X =3000 0 X=150 现在有男生 ：150×52%=78（ 人 ） 解答行程问题的基础，在于 正确理解并掌握速度、时间、路程三种 量 之间的如下关系： 路程 = 速度×时间 时间 = 路程÷速度 速度 = 路程÷时间 S= VT T=S÷V V =S÷T 相遇问题是行程问题中的一 种类型，解答相遇问题要紧紧抓住“速 度 和”这个关键条件。相遇问题的基本关系是： 速度和×相遇时间 = 路程 路程÷ 速度和 = 相遇时间 路程÷ 相遇时间 =速度和 速度和一甲速度 =乙速度 例 1. 甲、乙两列火车从相距 824 千米的两城相向出发 ，6 小时 以 后还相差 200 千米没相遇，甲车每小时行 48 千米，求乙车 每 小时行多少千米 ？ 解： 824 - 200 = 624 （千米） 624÷6 = 104（ 千米） 104-48 = 56（ 千米） 答：乙车每小时行 56 千米。 例 2. 甲、乙两辆汽车同时从 A 、 B 两地相向开出，甲车每小时行 56 千米，乙车每小时行 48 千米，两车在距中点 32 千米处相遇 , 求 A、 B 两地间的距离是多少千米 ？ 甲、乙两车的速度差 ：56-48=8（ 千米 ） 甲、乙两车的路程差 ：32×2=64（ 千米 ） 甲、乙两车的相遇时间 ：64÷8=8（ 小时 ） A 、B两地间的距离：（56+48）×8=832（千米 ） 答 ：A 、 B 两地间的距离是 832 千米 。 例 5. A 、 B 是圆的直径的两端点，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行， 他 们在 C 点第一次相遇 ，C 点离 A 点 有 80 米，在 D 点第二次相遇 ，D 点离 B 点有 60 米，求这个圆的周长 ? 甲、乙二人走半个圆时，第一次相遇，甲走 8 0 米，相遇后，又走一个圆，二次相遇，共走 3 个半圆，甲走 80×3=240 米，走了一个半 圆多 60 米，所以半圆长 240 - 60 = 180 米，圆 周长 180×2=360 米 例 7. 甲、乙、丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走 90 米，乙 走 75 米，丙走 60 米。甲、丙从某长街的西头、乙从该长街的 东 头同时出发相向而行，甲、乙相遇后恰好 4 分钟乙、丙相遇 ， 那麽这条长街的长度是多少米 ？ 甲、丙的路程差 ： （60+75）×4=540 米 甲、丙速度差 ： 90-60=30 米 甲乙相遇时间 ： 540÷30=18 分 全长 ：（90+75）×18=2970 米 知识点梳 理 运动的物体或人同向而不同时出发，或不同地点出发，后出发 的 速度快，经过一段时间追上先出发者。这样的问题叫做追及问题 。 追及问题的三要素：“追及路程”、“速度差”和追及时间 。 追及问题的基本关系是 ： 追及路程 ÷ 速度差＝追及时 间 速度差 × 追及时间＝追及路 程 追及路程 ÷ 追及时间＝速度 差 典型例题精 讲 例 1. 妹妹以每分钟 40 米的速度从家步行去学校，哥哥比 她 晚 8 分钟骑自行车从家出发去追妹妹，哥哥每分钟骑 行 200 米，哥哥几分钟可以追上妹妹 ？ 解 析 路程差 ：40×8＝320（ 米 ） 速度差 ： 200-40=160（ 米/分钟 ） 解： 320 ÷ （ 200 - 40 ）＝ 2 （分钟 ） 答：哥哥 2 分钟可以追上妹妹 。 例 2. A 、 B 两地相距 1200 米。甲、乙两个人分别从两地同时出发 。 若相向而行 ，8 分钟相遇；若同向行走 ，60 分钟甲可以追 上 乙。甲从 A 地走到 B 地要用多长时间 ？ 解 析 例 5 . 从时针指向 4 点开始，在经过 多 少分钟时针正好与分针重合 ？ 看图分 析 行程问题--流水行 船 （一）基本概念 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶 逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行 船问题。古语：“逆水行舟不进则退” 船速：是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程 。 水速：是指水在单位时间里流过的路程 。 顺水速度和逆水速度：分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所 行的路程。 流水行船问题，是行程问题中的一种 。三个量（速度、时间、路程） 流水行船问题还有以下两个基本公式： 顺水速度=船速+水速 （1） 逆水速度=船速-水速 . （ 2 ） 由公式 （1） 得： 水速=顺水速度-船速，船速=顺水速度-水速 由公式（ 2 ）可以得到： 水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速 。 已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式 （1） 和公式 （2） 得到： 船速=（顺水速度+逆水速度）÷ 2 ，水速=（顺水速度-逆水速度）÷ 2 。 例 1. 甲、乙两港间的水路长 208 千米，一只船从甲港开往乙港 ， 顺水 8 小时到达，从乙港返回甲港，逆水 13 小时到达，求 船 在静水中的速度和水流速度 。 顺水速度 ：208÷8=26（ 千米/小时 ） 逆水速度： 208 ÷ 13 = 16 （千米/小时 ） 船速：（ 26 + 16 ） ÷ 2 = 21 （千米/小时 ） 水速 ：（26—16）÷2=5（ 千米/小时 ） 答： 船在静水中的速度和水流速度 。 例 2. 某船在静水中的速度是每小时 15 千米，它从上游甲地开往下 游 乙地共花去了 8 小时，水速每小时 3 千米，问从乙地返回甲地需 要 多少时间 ？ 解 ： 从甲地到乙地，顺水速度： 15 + 3 = 18 （千米 / 时） ， 甲乙两地路程 ：18×8=144（ 千米 ）， 从乙地到甲地的逆水速度： 15—3 = 12 （千米 / 小时） ， 返回时逆行用的时间 ：144÷12＝12（ 小时） 。 答：从乙地返回甲地需要 12 小时 。 车辆相遇问题：单位时间内路程和等于甲乙两车的速度和。 路程=时间×速度和 在河流中甲、乙两船速度和。 推导： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速） =甲船船速+乙船船速。 结论： 两船在水中的相遇问题与两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。 车辆同向：路程差=速度差×时间 两船同向：路程差=船速差×时间 推导： 甲船顺水速度-乙船顺水速度 如果两船逆向追赶时，也有： 甲船逆水速度 - 乙船逆水速度 = （甲船速 - 水速） - （乙船速 - 水速） = 甲船速 - 乙船速。 =（甲船速+水速）-（乙船速+水速） =甲船速-乙船速。 结论： 水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。 例 5. 甲、乙两船在静水中速度分别为 每 小时 24 千米和每小时 32 千米，两 船 从某河相距 336 千米的两港同时出 发 相向而行，几小时相遇？如果同 向 而行，甲船在前，乙船在后，几 小 时后乙船追上甲船 ？ 解 ：① 相遇时用的时 间 336÷（24+32） =336÷56 =6（ 小时） 。 ② 追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下 ） ： 336÷（32—24）＝42（ 小时） 。 1 、计算有关工程的工作总量、工作时间、工作效率的问题叫工程问题 。 2、工程问题中有整数应用题和分数应用题，它们讨论同样都是工作总量、工作时间、工 作 效率三者之间的关系 。 3 、分数工程问题的特点：一般没有具体的工作总量，工作总量通常用单位 “1” 表示 。 4 、工程问题的基本数量关系式 ： 工作效率×工作时间=工作总 量 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时 间 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效 率 例 1. 生产一批零件，甲单独 做 需要 15 天，乙单独做需要 12 天，丙单独做需要 10 天， 如 果甲 、 乙、丙三人合做， 多 少天可以完成 ？ 把一批零件看成单位“ 1 ” 三人合做需要的天数： 答：甲、 乙、丙三人合做 4 天可以完成。 15 甲工作效率： 1  15  1 12 乙工作效率： 1  12  1 10 丙工作效率： 1  10  1 1  （ 1  1  1 ）  1  1  4 15 12 10 4 例 2. 一件工作，甲做 9 天可以 完 成，乙做 6 天可以完成。现 在 甲先做了 3 天，余下的工作 由 乙继续完成 。 乙需要做几 天 可以完成全部工作 ？ 甲工作效率 ： 乙工作效率 ： 甲做 3 天完成的工作量 ： 1  9  1 9 1 6 1  6  9 3 1  3  1 3 6 答：乙需要做 4 天可以完成全部工作 。 1 1 余下的由乙做需要的天数 ： （ 1- ）   4 （ 天 ） 如果这间房屋由甲队单独盖 ， 需要多少天完成 ？ 例 3. 一房屋由甲乙两个工程 队 合盖，需要 24 天完成，现 由 甲队先盖 6 天，再由乙队盖 2 天，共盖了这间房屋 的 20 ， 3 3 1 甲队的工作效 率 ：（ 20 - 12 ） ÷ （ 6-2 ） = 1 甲队单独盖所用的天数 ： 1÷ 60 =60 天 1 工效和 ： 1÷ 24= 24 1 1 合盖 2 天 ： 24 × 2= 12 1 60 例 4. 某工程先由甲单独做 40 天 ， 再由乙做 28 天就可以完成 。 现在甲乙合作 35 天就完成了 ， 如果先由甲单独做 30 天， 再 由乙接着做，乙还要工作 多 少天才能完成 ？ 乙的工作效率 ： 甲做 30 天完成的工作量 ： 35 甲乙工作效率和 ： 1  35  1 甲的工作效率 ： （ 1- 1  28 ）  （ 40 - 28 ）  1 35 60 1 - 1  1 1 2 60 35 60 84 1  30  剩下由乙做需要的天数 ： （ 1- 1 ）  1  42 （ 天） 2 84 答：乙还要工作 42 天才能完成 。 例 5. 一项工程甲单干 50 天完成 ， 乙单干 75 天完成，两人一 起 合作，中间乙休息了几天 ， 这样从开工到完成共用了 40 天，求乙休息了几天 ？ 甲的工作效率 ： 甲 40 天完成的工作量 ： 1 50 1  50  75 乙的工作效率 ： 1  75  1 4 5 1 50  40  乙完成的工作量 ： 1- 4  1 5 5 乙工作的天数 ： 1  1  1 （ 5 天） 5 75 乙休息的天数 ： 40-15=25 （ 天 ） 速算与巧算 --- 分数拆 分   加法：交换律 （ a  b  b  a ) ， 结合律：【 （ a  b ） + c  a  （ b  c ） 】  运算定 律  乘法：交换律（ a  b  b  a ) ， 结合律：【（ a  b ）  c  a  （ b  c ） 】  分配律【 （ a + b ）  c  a  c  b  c ） 】   减法：【a-b-c=a-(b+c)】  运算性 质  除法：【 a  b  c=a  (b  c) 】  和、差、积、商的变化规律 二、裂项求和的规律 ： 例 1. 1 1 1 1 1 1 1       1  2 2  3 3  4 4  5 5  6 6  7 7  8 8 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 1 1 1 1 1 1 1  7 8  1- 1  1- 1  1 - 1  1 - 1  1 - 1  1 - 1  1 - 1  1 - 1       1  2 2  3 3  4 4  5 5  6 6  7 7  8 例 2. 420 1 1 1  2 1  3 1  ......  20 2 6 12 2 1 2 0 2 1  210  210  (1  1 ) 1 1  2 1  3 1  ......  20 1 2 6 12 420  (1+2+3+…+20 ）  1  1  1    1 ） （ 2 6 12 420 例 3. 1 1 1 1 99  101  ......    1  3 3  5 5  7 99 101 2 1 1 1 1 99  101    ......  1  3 3  5 5  7 3 2 3 5 2 5 7 2  （ 1- 1 ）  1 101 2  50 101  （ 1- 1 ）  1  （ 1 - 1 ）  1  （ 1 - 1 ）  1    （ 1 - 1 ）  1