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  • 2022-02-11 发布

2020小升初数学总复习课件--比和比例、单位“1”的换算

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2020 小升初数学复习课件 (一) 比和比例 (二)分数百分数应用题 - 单位 “1” 的转换 (一)比和比例 小学数学总复习就是注重帮助学生把分散在各年级、各章节中有关的数学知识 上下串联 , 左右沟通 起来。其过程就是把学生的内容、知识,不断 重组 ,并形成良好的 认知结构 的过程。 比 和 比 例 比的认识 比例的认识 比例的应用 意义 性质 求比值 化简比 意义 性质 正比例 反比例 解比例 用比例解决问题 比例尺 图形的放大和缩小 比的应用 第一部分:复习内容要点 第二部分:复习目标 第三部分:复习重、难点 第四部分:复习内容分析 第五部分:复习课时安排 第六部分:复习设想及措施 一、复习内容要点 ● 比和比例的意义 ● 基本性质 ● 解比例 ● 按比例分配问题 ● 比例尺 ● 正比例和反比例的概念 ● 用比和比例知识解答的应用题 二、教学目标   ● 分清 比和比例、正比例和反比例概念间的 联系 和 区别 。 ● 掌握 用比和比例的知识解答应用题的 方法 。 ● 理清 应用题与比和比例知识之间的 联系 。 ● 培养 学生综合运用数学知识和灵活解题的 能力 。 三、教学重点 、 难点   重点: 用 比和比例知识 解答应用题。 难点: 用 不同方法 灵活解答应用题。 四、复习内容分析 加强 基本概念 —— 使学生 加深基本概念的认识 通过 比较 , 沟通 联系, 明确 区别 —— 以防止 知识的混淆 突出 解题思路 —— 以使学生掌握 方法 , 提高解题 能力。 利用 知识之间的联系 —— 帮助学生掌握 不同的解题方法 。 四、复习内容分析 1 、 比的概念 ● 比的意义 两个数 相除 又叫做两个数的 比 。 ● 比值的概念 比的前项 除以 后项所得的 商 ,叫做 比值 。 例如 : 5÷6 可记作 5∶6 。 例如: 5÷6 = → 就是 5:6 的比值。 —— 是借助于 除法的概念 建立的。 比 —— 表示两个数量之间的关系而且是 相除 关系。 生活中比赛得分 2 :1 是不是 比 ? 它不是比,它没有一种 相除 关系在里面,所以它可以用 0 :0 来表示,而比是不能用 0 作为 后项 。 例: 一个平行四边形花坛,底是 6 米,高是 4 米, 6÷4 表示( ),这一关系还可以用( )来表示。 6 : 4 四、复习内容分析 引导学生思考并归纳 比 与 除法 和 分数 的关系 a :b = a÷b = (b≠0) 比的 前项 相当于分数的 分子 和除式中的 被除数 ; 比的 后项 相当于分数的 分母 和除式中的 除数 ; 比值 相当于分数的 分数值 和除式中的 商 联系 区别 比 6 : 3=2 前 项 比 号 后 项 比 值 除法 6 ÷ 3 = 2 分数 = 2 比、除法和分数的关系 一种 关系 被除数 分子 除号 分数线 除数 分母 商 分 数 值 一种 运算 一个数 比值的意义: 同类数量 的比值: 不同类数量 的比值: 能加单位 不能加单位 例: 两辆汽车在公路上行驶,甲车行了 75 千米,耗油 10 升,乙车行了 60 千米,耗油 9 升。 75 千米 : 10 升 =7.5 千米 / 升 表示甲车每升汽油能行 7.5 千米。 60 千米 : 75 千米 = ,表示乙车行的路程是甲车的 。 —— 产生新的量。 表示倍数关系或几分之几。 四、复习内容分析 2 、比基本性质: 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数 (0 除外 ) ,比值不变,这叫做 比的基本性质 。 作用: 1 、化简比 —— 能让 复杂的比 依据 比的基本性质 化简成简单整数比。如 0.314 : 1.256=1:2, 也为后面图形的放大和缩小做铺垫。 2 、求比值 —— 有时候比除法计算简单。 四、复习内容分析 求比值和化简比 学生容易混淆发生错误 列表对比 引导弄清 一般方法 结果 求比值 化简比 求比值和化简比的区别   根据 比的意义 ,用前项除以后项。   是一个 数 ,可以是整数、小数或分数。   根据 比的基本性质 ,把比的前项和后项同时乘或除以相同的数( 0 除外)。   是一个 比 ,它的前项和后项是互质数(两个互质的整数比)。 四、复习内容分析 应用比的知识 计算按比例分配问题 引导学生思考按比例分配应用题的解题依据、解题思路和方法。 3 、按比例分配问题: 四、复习内容分析 在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做 按比例分配 。 ● 特点: 已知总量和部分量的比,求各部分量是多少。 ● 解题方法: 先求总份数,再求个部分量占总量的几分之几,最后用总量乘以这个几分之几,求出个部分量。 例 : 周长 32 厘米,长和宽的比是 5 : 3 ,面积多少平方厘米? 2 : 3 3 : 7 例: 将这 两种浓缩液混在一起 制成 新的清洁液 ,那么这种 新的清洁液 中 浓缩液 是 清洁液 的百分之几 ? (百分号前保留一位小数) 250ml 500ml 2 : 3 3 : 7 250ml 500ml 浓缩液 是 清洁液 的百分之几 ? 250 x + 500 x =150(ml) 150÷750×100% ≈ 33.3% 250+500=750(ml) (百分号前保留一位小数) 例: 3 克的蚂蚁能搬动 45 克的物体 ; 3 吨的大象能拉动 4.5 吨的物体, 蚂蚁和大象 谁的力气大 ?( 要求:用学过的知识说明你的观点,回答要全面 ) 从物体的重量与动物本身的重量的比或比值看是蚂蚁的力气大,但是如果从动物驮的物体的重量来看是大象 的 力 气 大 。 3 : 45 =1:15 或 45:3=15 3:4.5 =1:1.5 4.5:3=1.5 黄金比 我的上半身的高度是 65cm ,下半身高度是 98cm 。 当一个人上半身的高度与下半身的比是 0.618 : 1 时,这个人身材看上去就很美。 四、复习内容分析 4 、比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。 与图形的放大和缩小联系比较紧密,图形放大和缩小的结果,就组成了比例。能组成比例的两个图形, 形状相同 , 大小不同 。 例: 将上题中的平行四边形按照一定比例缩小,画在平面图上,量得图上平行四边形的底是 3 厘米,高是 2 厘米。那么图上平行四边形的底与实际底的比是( ),我们把这个比叫做( );这个比还和( )和( )的比相等,组成的比例是( )。 1.2m 0.8m 1:40 比例尺 图上的高 实际的高 3:120=2:80 注意变量和常量 : 例: 将一个平行四边形往外拉,如下图所示,在变化过程中,下列说法正确的有( )。 ①平行四边形的周长是常量。 ②平行四边形的底和高是变量,底随着高的减少而增加。 ③平行四边形的面积和高是变量,面积随着高的减少而减少。 ④长方形的底和高都是常量。 与图形结合 两个长方形重叠在一起,(如右图),重叠部分 的面积是大长方形面积的 ,是小长方形面积的 ,那么 大长方形的面积 S1 和小长方形面积 S2 的比是( ) 长方形面积 的 = 小长方形面积 的 S1× = S2 × S1:S2 =12:5 12:5 例: 一个三角形分成两个小三角形(如右图,单位:厘米), 其中甲的底为 8 厘米,那么乙的底为( )厘米。 甲 28cm 2 乙 63cm 2 8cm ? cm 比与速度时间结合 1 、 甲、乙两人都从 A 地出发到 B 地,所用时间的比是 4 : 5 ,则速度的比是( )。 2 、 甲乙两人步行的速度比是 2 : 3 ,从 A 地到 B 地,甲走了 21 分钟,乙走了( )分钟 . A.31.5 B.28 C.14 D.10.5 比例和方程和等式之间的联系。 例: 在① 4×5=20 ,② 4+x=30 ,③ 4:6= a:9 ,④ 5+b > 7 这些子中,是等式的有( ),是方程的有( ),是比例的有( )。(填序号) ①②③ ②③ ③ 5 、比例的基本性质 四、复习内容分析 在比例里, 两个外项的积 等于 两个内项的积 。这叫做比例的基本性质。 提供了一种解比例的方法,原来用除法也可以解决。 例: 25:7=X:35           = 0.8:1.2 解比例的 方法 就是应用 比例的基本性质 。 四、复习内容分析 比例尺 数值比例尺 线段比例尺 比的形式 分数形式 图上距离 实际距离 = 1 :100 ( ) 0 100 200 300 千米 实质上是一种比,是图上距离与实际距离的比。 5 、比例尺 比例尺的类型题 线段比例尺改写成数值比例尺 利用已知条件求比例尺 已知比例尺求图上距离或实际距离 应用比例尺画图 1.确定比例尺 2.根据比例尺求出图上距离 3.画图 4.标出实际距离和比例尺 ( 1 )画出下图中三角形按 1 : 3 的比缩小后的图形; ( 2 )画出下图中平行四边形形按 2 : 1 的比放大后的图形。 图形的放大与缩小 1 、 图形的放大与缩小的特点: 形状相同,大小不同 2 、 图形的放大或缩小的方法: 一看,二算,三画 四、复习内容分析 6 、正比例和反比例 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。用字母表示 y/x=k( 一定) 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。用字母表示 x×y=k( 一定 ) 判断下面各题中的两种量是不是成比例.如果 成比例,成什么比例. 1 、收入一定,支出和结余。 2 、出米率一定,稻谷的重量和大米的重量。 3 、圆柱的侧面积一定,它的底面周长和高。 不成比例 成正比例 成反比例 y=8x = 8 如果 y=8x , x 和 y 成( )比例。 如果 = 和 成 ( ) 比例 8 y= Xy=8 四、复习内容分析 6 、正比例和反比例 描述的是两种 相关联 的变量,他们的变化符合某种规律。 正比例符合两种变量的 比值 一定,反比例符合两种变量的 积 一定。 正比例和反比例的 概念 成为用比例知识解答应用题的 基础 。 小明带了 60 元钱去买笔记本, 不同笔记本 的单价和数量情况如下: 数量(本) 30 20 15 12 单价(元) 2 3 4 5 种 类 A B C D 其中 广博这种笔记本 的数量和总价如下: 数量(本) 10 20 40 60 总价(元) 40 80 160 240 从上表中可以知道:当钱数一定时,笔记本的单价和数量和成( );当购买同一种笔记本时,总价和数量成( ),小明最终选择了买广博笔记本,你觉得是 ABCD 中的( )种。 反比例 正比例 C 四、复习内容分析 7 、正比例和反比例应用题。 用比例知识解答应用题的 关键 ,是判断题中的数量 是不是成比例 , 成什么比例 。根据题中的 比例关系 ,找出 等量关系 ,再把其中未知数用 x 代替,列出方程解答。 四、复习内容分析 8 、不同的知识灵活地解答应用题。 。 根据 比与除法、分数 之间的关系,再把 比 转化成 分数 或 倍数 来表示, 沟通 知识间的联系 。根据它们之间的关系可以用 不同的方法解 答应用题,引导学生灵活运用知识解答应用题。 用不同的知识灵活地解答应用题 例 1 : 少先队员在山坡上栽种松树和柏树,一共栽种了 120 棵, 松树的棵数 是 柏树 的 4 倍。松树和柏树各栽多少棵? ( 1 )因为:松树的棵数+柏树的棵数= 120 棵   所以:我们可以根据这个等式列方程解应用题.   解:设柏树种了 X 棵,列方程得:       120 - 24 = 96( 棵 )    解:设松树种了 棵,列方程得:       120 - 96 = 24 (棵) 答:柏树种了 24 棵,松树种了 96 棵. 松树: 柏树: X 棵 X 棵 120 棵 ( 2 )因为松树的棵树是柏树的 4 倍,所以松树和 柏树棵树的比是 4∶1 .所以根据转化的比的关系, 可以用 按比分配的知识 来解答.    4 + 1 = 5    120× = 96 (棵)    120× = 24 (棵)    答:柏树种了 24 棵,松树种了 96 棵. ( 3 )因为松树的棵树是柏树的 4 倍,所以松树和柏树棵树的和是柏树棵树的 5 倍, 根据倍数的数量关系可以运用算术方法解题.    120÷ ( 4 + 1 )= 24 (棵)    120 - 24 = 96 (棵)   答:柏树种了 24 棵,松树种了 96 棵. 松树: 柏树: “1” 120 棵 120 棵 根据 倍数的数量关系 可以运用 算术方法 解题.    120÷ ( 1 + ) ( 4 )因为松树的棵树是柏树的 4 倍,所以柏树的棵数 就是松树棵树的 。 如果把松树的棵数看作单位 1 ,那么, 120 棵对应的率就是 1 + 根据 倍数的数量关系 可以运用 算术方法 解题.    120÷ ( 1 + )= 96 (棵)    120 - 24 = 96 (棵)   答:柏树种了 24 棵,松树种了 96 棵. ( 5 )因为松树的棵树是柏树的 4 倍,所以松树和柏树棵树的 比是 4∶1 ,松树和松树、柏树棵树和的比是 1∶5 ,所以根据 转化的比 的关系,我可以用比例的知识来解答.   解:设柏树有 X 棵。 棵.    X∶120 = 1∶5    5X=120 ×1 X=24 = 120       120 - 24 = 96 (棵)   答:柏树种了 24 棵,松树种了 96 棵. 4 .请你以小组为单位,讨论、交流你最喜欢那种方法. 为什么? 5 、提问:若把 “ 4 倍 ” 改写成 “ 1/4 ”“ 25% ”“ 0.25 ” 的计算方 法会是怎样呢? 让学生自己发现数字发生改变,数量关系不变,所以 计算方法还是一样的。    在我们解应用题时,一道应用题的数量关系,可以转 化成不同解决形式.在解答时,我们选择我们熟练、简便 的方法进行解答. 五、复习课时的安排 ● 比的意义和基本性质。按比例分配( 1 课时) ● 比例的意义和基本性质,解比例、比例尺 ( 1 课时) ● 正比例和反比例的概念和正、反比例应用题 ( 1 课时) ● 用不同知识灵活解答应用题 ( 1 课时) 六、教学设想及措施 1 、突出概念和性质的比较,拓宽学生的基础知识。 在复习比和比例的知识时,要突出比和比例意义的本质属性。 比 比例 意义 各部分名称 举例: 名称: 举例: 名称: 基本性质 性质作用 1 、 比和比例的意义和基本性质 两个 数 相除,又叫做两个数的比。 表示两个 比 相等的式子,叫做比例。 0.9 : 0.6 = 1.5 前项 后项 比值 5 : 6 = 20 : 24 内项 外项 比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数( 0 除外 ) , 比值不变 . 在比例里,两个外项的 积等于两个内项的积 . 化简比 解比例 正、反比例的联系与区别 两种相关联的量 一种量增加(减少)另一种量也随着增加(减少) 比值(一定) 相同点 不同点 结果 关系式 正比例 反比例 一种量增加(减少)另一种量也随着减少(增加) 积(一定) xy=k( 一定 ) =k( 一定 ) y x 六、教学设想及措施 2 、突出知识的 联系 和 区别 ,完善学生的 认知结构 。 在重视知识纵向、横向联系的同时,还要注意各类知识的不同点,让学生通过比较加以区别,以防混淆。 例如: ▲ 比 和 分数、除法 之间的联系和区别 ▲ 用 比 和 比例知识 以及 其他知识解应用题方法 的联系和区别 ▲ 数值比例尺 和 线段比例尺 的联系和区别 六、教学设想及措施 3 、突出解题方法的对比训练,培养学生的分析能力。 复习课,重在学生对 解决数学问题的方法 掌握,而不在于大量的习题练习。 ▲ 反比例 和 归总应用题 的解题方法对比。 ▲ 化简比 和 求比值 的方法对比 ▲ 判断正比例 和 反比例 的方法对比 ▲ 求 比例尺里三种类型问题 的解题方法对比 ▲ 正比例应用题 和 归一应用题 的解题方法对比 六、教学设想及措施 4 、突出习题的变式训练,提高学生的应用能力。 我们要善于分析教材中的习题,练习时既要依据教材,又要跳出教材,设计新颖有趣的变式习题,加强知识在实际情境和生活中的应用。 一种药水是由药液和水按 1 : 150 配制而成,那么药液与药水的比是多少?水与药水的比是多少? 六、教学设想及措施 4 、突出习题的变式训练,提高学生的应用能力。 如果有 1510 克药液,需要多少克水来配制?可配制这种药水多少克? 如果有 1510 克水,需要多少克药液来配制?可配制这种药水多少克? 如果配制 1510 克这种药水,需水和药液各多少克? 药液 :水 = 1 :150 1 150 药水: 151 如果有 1510 克药液 ,需要 多少克水 来配制?可配制这种药水多少克? 1510 克 X 克 药液 :水 = 1 :150 1 150 药水: 151 X 克 1510 克 如果有 1510 克水 ,需要 多少克药液 来配制?可配制这种药水多少克? 药液 :水 = 1 :150 1 150 药水: 151 1510 克 如果配制 1510 克这种药水 ,需水和药液各多少克? ① 男生人数与女生人数比是( ) ﹕ ( ) ②男生人数与女生人数比是( ) ﹕ ( ) ③男生人数是女生人数的几分之几? ④女生人数是男生人数的几分之几? ⑤男生人数是男、女生总人数的几分之几? ⑥女生人数是男、女生总人数的几分之几? ⑦男生人数比女生人数少几分之几? ⑧女生人数比男生人数多( )% 分率转化的变式练习: 如果男生人数的 40﹪ 与女生人数的 3 / 5 相等,那么 4 、突出习题的变式训练,提高学生的应用能力。 六、教学设想及措施 六、教学设想及措施 5 、突出一题多解的训练,加深学生对数量关系的认识。 一题多解,既能加深学生对数量关系的认识,进一步理解和掌握数学知识,又能促进学生更好地把握知识之间的联系,使之融为一体。 六、教学设想及措施 5 、突出一题多解的训练,加深学生对数量关系的认识。 李庄要筑一条 1200 米的道路,前 3 天完成了 40﹪ 。照这样计算,筑这条路一共要用多少天? 解法一: 1÷ ( 40﹪÷3 )= 7.5 (天) 解法二: 3÷40﹪ = 7.5 (天) 解法三: 3 ﹕40﹪ = x ﹕ 1 x = 7.5 (天) 解法四: 1200÷ ( 1200×40﹪÷3 )= 7.5 (天) 解法五: 1200× ( 1 - 40﹪ ) ÷ ( 1200×40﹪÷3 )+ 3 = 7.5 (天) “ 1 ” 1200 米 40% 已修米数 工效一定 “ 1 ” (总天数) 40% (已修 3 天) 工效一定 要有正确的复习理念 讲究复习的策略 但愿我们的复习课, 充满着生长的力量! (二)分数百分数应用题 ----- 单位 “1” 转换 知识点梳 理 基本步骤 : 1 、确定单位 “1”, 2 、准确找出“量”与“率”之间的对应关系 , 3 、确定乘除法 , 4 、统一单位 “1” 。 在题目中常常出现几个不同的单位“ 1 ”,这时需要将它们转 化 为统一的单位 “1”, 以便于比较和发现数量关系 。 典型例题精 讲 例 1. 妈妈买来一桶油,第一次倒出全部 的 3 ,第二次倒出 余 1 4 下 的 1 ,还剩下 6 千克,求这桶油原来共有多少千克 ? 解 析 即是全部 的 3 × 4 = 6 2 1 1 1 2 1 3 的 4 1 3 4 整体对应式 :6 千克 + 第一次倒 的 1 + 余下 的 1 → “1” 第一次倒 出 3 ,单位 “1” 是这桶 油 第二次倒出余下 的 4 ,单位 “1” 是 (1- 3 )= 1 1 1 1 解 :6÷[1- 3 -(1- 3 )× 4 ]=12( 千克 ) 答:这桶油原来 12 千克 。 4 5 例 2. 甲校人数是乙校人数 的 5 ,乙校人数是丙校人数 的 7 , 甲 校比丙校少 450 人,求三校各有多少人 ? 解 析 统一单位“ 1 ”,抓住中间量“乙” 。 4 甲校人数是乙校人数 的 5 , 单位 “1” 是“乙 ”, 7 可以转化为,丙是乙 的 乙校人数是丙校人数 的 5 ,单位 “1” 是“丙 ”, 5 7 。 7 4 4 乙 :450÷( 5 - 5 )=750( 人 ) 甲 :750× 5 =600( 人 ) 丙 :750× 7 =1050( 人 ) 5 4 2 例 3. 商店运来白菜和土豆共 630 千克,运来白菜 的 11 与土豆 的 5 一样多,商店运来白菜、土豆各多少千克 ? 解 析 方法一 :按比分配解 决 白菜 × 白 菜 : 土豆 =11 : 10 白菜 :630÷(11+10)×11= 330( 千克 ) 土豆 :630-330=300( 千克 ) 白菜 × 4 = 土豆 × 11 4 1 1 4 × 11 = 土豆 × 5 × 4 2 1 1 2 5 方法二 :统一单位“ 1 ” 答:运来白菜 330 千克,土豆 300 千克 。 = 11 4 2 10 以白菜为单位 “1”, 土豆是白菜 的 11 ÷ 5 630÷(1+ 11 )=330( 千克 ) 630 -330=300( 千克 ) 10 例 6 . 兄弟四人合修一条路,结果老大修了另外三人总数的一半, 老 二修了另外三人总数 的 1 ,老三修了另外三人总数 的 1 ,老 四 3 4 修了 91 米,问这条路长多少米 ? 解 析 统一单位:以总路程为单位“ 1 ” 老大修了总路程 的 老二修了总路程 的 老三修了总路程 的 答:这条路长 420 米 。 1  1 1  2 3 1  1 1  3 4 1  1 1  4 5 1 ) =420( 千米 ) 3 4 5 1 1 9 1  ( 1 - - - 例 7. 哥哥和弟弟共有人民 币 10.8 元,哥哥用去自 己 钱数的 75 %,弟弟用去 自 己钱数的 80 %,两人所 剩 的钱正好相等,哥哥原 来 有多少钱 ? 解 析 哥哥的钱 × ( 1 - 75 %) = 弟弟的钱 × ( 1 - 80 % ) 哥哥的钱 ×25%= 弟弟的钱 ×20% 哥哥的钱:弟弟的钱 =4:5 哥哥: 10.8÷ ( 4 + 5 ) × 4 =4.8 (元 ) 弟弟 : 10.8-4.8=6( 元 ) 答:哥哥原来有 4.8 元钱 。 解决分数百分数应用题的基本步 骤 要找准单位 “1” 是要看所给“量” 要决定乘除法 是乘法知道“ 1 ” 要除法求出“ 1 ” 是“量”“率”要对应 特别提示:画线段图是解题的关键,画图时,要先画单位“ 1 ” 典型例题精 讲 例 1 . 小强和小明各有图书若干本。已知小强的图书本数占两人图书 总 数的 60 %,当小强借给小明 20 本后,小强和小明图书本数的比是 2: 3 。两人一共有图书多少本 ? 解 析 小强借给小明 20 本之前 ; 小强和两人图书的本数比是 : 60 % =3:5 小强借给小明 20 本之后 ; 小强和两人图书的本数比是 : 2 + 3 = 5 2:5 20÷(3-2)=20( 本 ) 共有书 :20×5=100( 本 ) 例 2. 一批葡萄运进仓库时的质量是100千克,测得 含水量为99%,过一段时间,测得含水量为 98%, 这时葡萄的质量是多少千克? 解 析 刚进来时 ,100 千克葡萄含水量 99% ,葡萄干的含量 是 1-99%=1%, 100×1%=1( 千克 ) 过一段时间后,测得含水量 为 98%, 葡萄干的含量 是 1-98%=2%, 葡萄干的质量不变 ,1÷2%=50( 千克 ) 答:这时葡萄的质量是 50 千克 。 例 3. 某校六年级上学期男生占总人数的54%,本学 期转进3名女生,转走3名男生,这时女生占总人 数的48%。现在有男生多少人? 解 析 方法一 : 男生人数和女生人数都在变,只有六年级的总 人 数不变 , 本学期转进 3 名女生,转走 3 名男生之前,男生占总人 数 的 54%, 转走之后男生占总人数的 1-48%=52% 总人数 : 3÷(54%-52%)=150( 人 ) 现在男生 :150×52%=78( 人 ) 解 析 方法二 : 用比例解 决 解设:六年级有学生 X 人,男生54% X , 女生46% X . (54%X-3):(46%X+3)=52%:48% 200 X =3000 0 X=150 现在有男生 :150×52%=78( 人 ) 解答行程问题的基础,在于 正确理解并掌握速度、时间、路程三种 量 之间的如下关系: 路程 = 速度×时间 时间 = 路程÷速度 速度 = 路程÷时间 S= VT T=S÷V V =S÷T 相遇问题是行程问题中的一 种类型,解答相遇问题要紧紧抓住“速 度 和”这个关键条件。相遇问题的基本关系是: 速度和×相遇时间 = 路程 路程÷ 速度和 = 相遇时间 路程÷ 相遇时间 =速度和 速度和一甲速度 =乙速度 例 1. 甲、乙两列火车从相距 824 千米的两城相向出发 ,6 小时 以 后还相差 200 千米没相遇,甲车每小时行 48 千米,求乙车 每 小时行多少千米 ? 解: 824 - 200 = 624 (千米) 624÷6 = 104( 千米) 104-48 = 56( 千米) 答:乙车每小时行 56 千米。 例 2. 甲、乙两辆汽车同时从 A 、 B 两地相向开出,甲车每小时行 56 千米,乙车每小时行 48 千米,两车在距中点 32 千米处相遇 , 求 A、 B 两地间的距离是多少千米 ? 甲、乙两车的速度差 :56-48=8( 千米 ) 甲、乙两车的路程差 :32×2=64( 千米 ) 甲、乙两车的相遇时间 :64÷8=8( 小时 ) A 、B两地间的距离:(56+48)×8=832(千米 ) 答 :A 、 B 两地间的距离是 832 千米 。 例 5. A 、 B 是圆的直径的两端点,甲在 A 点,乙在 B 点同时出发反向而行, 他 们在 C 点第一次相遇 ,C 点离 A 点 有 80 米,在 D 点第二次相遇 ,D 点离 B 点有 60 米,求这个圆的周长 ? 甲、乙二人走半个圆时,第一次相遇,甲走 8 0 米,相遇后,又走一个圆,二次相遇,共走 3 个半圆,甲走 80×3=240 米,走了一个半 圆多 60 米,所以半圆长 240 - 60 = 180 米,圆 周长 180×2=360 米 例 7. 甲、乙、丙三人步行的速度分别是:每分钟甲走 90 米,乙 走 75 米,丙走 60 米。甲、丙从某长街的西头、乙从该长街的 东 头同时出发相向而行,甲、乙相遇后恰好 4 分钟乙、丙相遇 , 那麽这条长街的长度是多少米 ? 甲、丙的路程差 : (60+75)×4=540 米 甲、丙速度差 : 90-60=30 米 甲乙相遇时间 : 540÷30=18 分 全长 :(90+75)×18=2970 米 知识点梳 理 运动的物体或人同向而不同时出发,或不同地点出发,后出发 的 速度快,经过一段时间追上先出发者。这样的问题叫做追及问题 。 追及问题的三要素:“追及路程”、“速度差”和追及时间 。 追及问题的基本关系是 : 追及路程 ÷ 速度差=追及时 间 速度差 × 追及时间=追及路 程 追及路程 ÷ 追及时间=速度 差 典型例题精 讲 例 1. 妹妹以每分钟 40 米的速度从家步行去学校,哥哥比 她 晚 8 分钟骑自行车从家出发去追妹妹,哥哥每分钟骑 行 200 米,哥哥几分钟可以追上妹妹 ? 解 析 路程差 :40×8=320( 米 ) 速度差 : 200-40=160( 米/分钟 ) 解: 320 ÷ ( 200 - 40 )= 2 (分钟 ) 答:哥哥 2 分钟可以追上妹妹 。 例 2. A 、 B 两地相距 1200 米。甲、乙两个人分别从两地同时出发 。 若相向而行 ,8 分钟相遇;若同向行走 ,60 分钟甲可以追 上 乙。甲从 A 地走到 B 地要用多长时间 ? 解 析 例 5 . 从时针指向 4 点开始,在经过 多 少分钟时针正好与分针重合 ? 看图分 析 行程问题--流水行 船 (一)基本概念 船在江河里航行时,除了本身的前进速度外,还受到流水的推送或顶 逆,在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程,叫做流水行 船问题。古语:“逆水行舟不进则退” 船速:是指船本身的速度,也就是在静水中单位时间里所走过的路程 。 水速:是指水在单位时间里流过的路程 。 顺水速度和逆水速度:分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所 行的路程。 流水行船问题,是行程问题中的一种 。三个量(速度、时间、路程) 流水行船问题还有以下两个基本公式: 顺水速度=船速+水速 (1) 逆水速度=船速-水速 . ( 2 ) 由公式 (1) 得: 水速=顺水速度-船速,船速=顺水速度-水速 由公式( 2 )可以得到: 水速=船速-逆水速度,船速=逆水速度+水速 。 已知船的逆水速度和顺水速度,根据公式 (1) 和公式 (2) 得到: 船速=(顺水速度+逆水速度)÷ 2 ,水速=(顺水速度-逆水速度)÷ 2 。 例 1. 甲、乙两港间的水路长 208 千米,一只船从甲港开往乙港 , 顺水 8 小时到达,从乙港返回甲港,逆水 13 小时到达,求 船 在静水中的速度和水流速度 。 顺水速度 :208÷8=26( 千米/小时 ) 逆水速度: 208 ÷ 13 = 16 (千米/小时 ) 船速:( 26 + 16 ) ÷ 2 = 21 (千米/小时 ) 水速 :(26—16)÷2=5( 千米/小时 ) 答: 船在静水中的速度和水流速度 。 例 2. 某船在静水中的速度是每小时 15 千米,它从上游甲地开往下 游 乙地共花去了 8 小时,水速每小时 3 千米,问从乙地返回甲地需 要 多少时间 ? 解 : 从甲地到乙地,顺水速度: 15 + 3 = 18 (千米 / 时) , 甲乙两地路程 :18×8=144( 千米 ), 从乙地到甲地的逆水速度: 15—3 = 12 (千米 / 小时) , 返回时逆行用的时间 :144÷12=12( 小时) 。 答:从乙地返回甲地需要 12 小时 。 车辆相遇问题:单位时间内路程和等于甲乙两车的速度和。 路程=时间×速度和 在河流中甲、乙两船速度和。 推导: 甲船顺水速度+乙船逆水速度=(甲船速+水速)+(乙船速-水速) =甲船船速+乙船船速。 结论: 两船在水中的相遇问题与两车在陆地上的相遇问题一样,与水速没有关系。 车辆同向:路程差=速度差×时间 两船同向:路程差=船速差×时间 推导: 甲船顺水速度-乙船顺水速度 如果两船逆向追赶时,也有: 甲船逆水速度 - 乙船逆水速度 = (甲船速 - 水速) - (乙船速 - 水速) = 甲船速 - 乙船速。 =(甲船速+水速)-(乙船速+水速) =甲船速-乙船速。 结论: 水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。 例 5. 甲、乙两船在静水中速度分别为 每 小时 24 千米和每小时 32 千米,两 船 从某河相距 336 千米的两港同时出 发 相向而行,几小时相遇?如果同 向 而行,甲船在前,乙船在后,几 小 时后乙船追上甲船 ? 解 :① 相遇时用的时 间 336÷(24+32) =336÷56 =6( 小时) 。 ② 追及用的时间(不论两船同向逆流而上还是顺流而下 ) : 336÷(32—24)=42( 小时) 。 1 、计算有关工程的工作总量、工作时间、工作效率的问题叫工程问题 。 2、工程问题中有整数应用题和分数应用题,它们讨论同样都是工作总量、工作时间、工 作 效率三者之间的关系 。 3 、分数工程问题的特点:一般没有具体的工作总量,工作总量通常用单位 “1” 表示 。 4 、工程问题的基本数量关系式 : 工作效率×工作时间=工作总 量 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时 间 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效 率 例 1. 生产一批零件,甲单独 做 需要 15 天,乙单独做需要 12 天,丙单独做需要 10 天, 如 果甲 、 乙、丙三人合做, 多 少天可以完成 ? 把一批零件看成单位“ 1 ” 三人合做需要的天数: 答:甲、 乙、丙三人合做 4 天可以完成。 15 甲工作效率: 1  15  1 12 乙工作效率: 1  12  1 10 丙工作效率: 1  10  1 1  ( 1  1  1 )  1  1  4 15 12 10 4 例 2. 一件工作,甲做 9 天可以 完 成,乙做 6 天可以完成。现 在 甲先做了 3 天,余下的工作 由 乙继续完成 。 乙需要做几 天 可以完成全部工作 ? 甲工作效率 : 乙工作效率 : 甲做 3 天完成的工作量 : 1  9  1 9 1 6 1  6  9 3 1  3  1 3 6 答:乙需要做 4 天可以完成全部工作 。 1 1 余下的由乙做需要的天数 : ( 1- )   4 ( 天 ) 如果这间房屋由甲队单独盖 , 需要多少天完成 ? 例 3. 一房屋由甲乙两个工程 队 合盖,需要 24 天完成,现 由 甲队先盖 6 天,再由乙队盖 2 天,共盖了这间房屋 的 20 , 3 3 1 甲队的工作效 率 :( 20 - 12 ) ÷ ( 6-2 ) = 1 甲队单独盖所用的天数 : 1÷ 60 =60 天 1 工效和 : 1÷ 24= 24 1 1 合盖 2 天 : 24 × 2= 12 1 60 例 4. 某工程先由甲单独做 40 天 , 再由乙做 28 天就可以完成 。 现在甲乙合作 35 天就完成了 , 如果先由甲单独做 30 天, 再 由乙接着做,乙还要工作 多 少天才能完成 ? 乙的工作效率 : 甲做 30 天完成的工作量 : 35 甲乙工作效率和 : 1  35  1 甲的工作效率 : ( 1- 1  28 )  ( 40 - 28 )  1 35 60 1 - 1  1 1 2 60 35 60 84 1  30  剩下由乙做需要的天数 : ( 1- 1 )  1  42 ( 天) 2 84 答:乙还要工作 42 天才能完成 。 例 5. 一项工程甲单干 50 天完成 , 乙单干 75 天完成,两人一 起 合作,中间乙休息了几天 , 这样从开工到完成共用了 40 天,求乙休息了几天 ? 甲的工作效率 : 甲 40 天完成的工作量 : 1 50 1  50  75 乙的工作效率 : 1  75  1 4 5 1 50  40  乙完成的工作量 : 1- 4  1 5 5 乙工作的天数 : 1  1  1 ( 5 天) 5 75 乙休息的天数 : 40-15=25 ( 天 ) 速算与巧算 --- 分数拆 分   加法:交换律 ( a  b  b  a ) , 结合律:【 ( a  b ) + c  a  ( b  c ) 】  运算定 律  乘法:交换律( a  b  b  a ) , 结合律:【( a  b )  c  a  ( b  c ) 】  分配律【 ( a + b )  c  a  c  b  c ) 】   减法:【a-b-c=a-(b+c)】  运算性 质  除法:【 a  b  c=a  (b  c) 】  和、差、积、商的变化规律 二、裂项求和的规律 : 例 1. 1 1 1 1 1 1 1       1  2 2  3 3  4 4  5 5  6 6  7 7  8 8 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 1 1 1 1 1 1 1  7 8  1- 1  1- 1  1 - 1  1 - 1  1 - 1  1 - 1  1 - 1  1 - 1       1  2 2  3 3  4 4  5 5  6 6  7 7  8 例 2. 420 1 1 1  2 1  3 1  ......  20 2 6 12 2 1 2 0 2 1  210  210  (1  1 ) 1 1  2 1  3 1  ......  20 1 2 6 12 420  (1+2+3+…+20 )  1  1  1    1 ) ( 2 6 12 420 例 3. 1 1 1 1 99  101  ......    1  3 3  5 5  7 99 101 2 1 1 1 1 99  101    ......  1  3 3  5 5  7 3 2 3 5 2 5 7 2  ( 1- 1 )  1 101 2  50 101  ( 1- 1 )  1  ( 1 - 1 )  1  ( 1 - 1 )  1    ( 1 - 1 )  1