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  • 2022-02-12 发布

小学数学精讲教案7_8_1 几何计数(一) 教师版

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‎7-8-1几何计数(一)‎ 教学目标 ‎1.掌握计数常用方法;‎ ‎2.熟记一些计数公式及其推导方法;‎ ‎3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数.‎ 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等,并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想.‎ 知识要点 一、几何计数 在几何图形中,有许多有趣的计数问题,如计算线段的条数,满足某种条件的三角形的个数,若干个图分平面所成的区域数等等.这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析,还是可以找到一些处理方法的.常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.n条直线最多将平面分成 个部分;n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2;n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分;n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……‎ 在其它计数问题中,也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解.‎ 排列问题不仅与参加排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关;组合问题与各事物所在的先后顺序无关,只与这两个组合中的元素有关.‎ 二、几何计数分类 数线段:如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)(或含有n个“基本线段”),那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条 数角:数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边.‎ 数三角形:可用数线段的方法数如右图所示的三角形(对应法),因为DE上有15条线段,每条线段的两端点与点A相连,可构成一个三角形,共有15个三角形,同样一边在BC上的三角形也有15个,所以图中共有30个三角形.‎ 数长方形、平行四边形和正方形:一般的,对于任意长方形(平行四边形),若其横边上共有n条线段,纵边上共有m条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mn个.‎ 例题精讲 模块一、简单的几何计数 【例 1】 七个同样的圆如右图放置,它有_______条对称轴.‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】1星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯,六年级,初赛,试题 【解析】 如图:6条.‎ ‎【答案】条 【例 1】 下面的表情图片中:,没有对称轴的个数为( )‎ ‎(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】选择 ‎【关键词】华杯赛,初赛,第1题 【解析】 通过观察可知,第1,2,5这三张图片是有对称轴的,其他的5张图片都没有对称轴,所以没有对称轴的个数为5,正确答案是C。‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 中心对称图形是:绕某一点旋转180°后能和原来的图形重合的图形,轴对称图形是:沿着一条直线对折后两部分完全重合的图形,图的4个图形中,既是中心对称图形又是的轴对称图形的有 个。‎ ‎ ‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯,五年级,一试,第7题 【解析】 共有3个,除第二个外其余都是。‎ ‎【答案】个 【例 2】 两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”。现平面上有若干条直线,它们两两相交,并且“夹角”只能是30°,60°或90°。问:至多有多少条直线?‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】1星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛,初赛,试题,第12题 【解析】 至多有6条直线,如图:‎ ‎ 【答案】条 【例 3】 下图是王超同学为"环境保护专栏"设计的一个报头,用到基本的几何图形:线段、三角形、四边形、圆、弧线,其中用得最多的一种图形是________ 。‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯,四年级,二试,第9题 【解析】 观察图形发现是:线段最多 ‎【答案】线段最多 【例 4】 下面的和图中共有____个正方形.‎ ‎ ‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 在的图中,边长为1的正方形个;边长为2的正方形个; 边长为3的正方形个;边长为4的正方形个;边长为5的正方形有,总共有 (个)正方形.在的图中边长为1的正方形个;边长为2的正方形个; 边长为3的正方形个;边长为4的正方形个;总共有 (个).‎ ‎【答案】个 【巩固】 请看下图,共有多少个正方形? ‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空【关键词】‎ 【解析】 假设最小的正方形边长为1,则面积为1的正方形有9个;面积为4的正方形有4个;面积为16的正方形有1个.因此共有9+4+1=14个.‎ ‎【答案】个 【巩固】 如下图是一个围棋盘,它由横竖各19条线组成.问:围棋盘上有多少个右图中的小正方形一样的正方形? ‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛,初赛,试题,第15题 【解析】 我们先在右图小正方形中找一个代表点,例如右下角的点E作为代表点.然后将小正方形按题意放在围棋盘上,仔细观察点E应在什么地方.通过观察,不难发现: (1)点E只能在棋盘右下角的正方形ABCD(包括边界)的格子点上. (2)反过来,右下角正方形ABCD中的每一个格子点都可以作为小正方形的点E,也只能作为一个小正方形的点E. 这样一来,就将“小正方形的个数”化为“正方形ABCD中的格子点个数”了.很容易看出正方形ABCD中的格子点为10×10=100个.‎ 答:共有100个。‎ ‎【答案】个 【例 1】 下图中共有____个正方形.‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 每个正方形中有:边长为1的正方形有个;边长为2的正方形有个; 边长为3的正方形有个;边长为4的正方形有个;总共有(个)正方形.现有5个的正方形,它们重叠部分是4个的正方形.因此,图中正方形的个数是.‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 图中有______个正方形.‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 的正方形1个;的正方形4个;的正方形5个;22的正方形4个;11的正方形13个.共27个.‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 数一数:图中共有________ 个正方形。‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯,四年级,二试,第10题 【解析】 按面积从小到大4+17+9+4+1=35个 ‎【答案】个 【巩固】 图中共有 个正方形。‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯,4年级,决赛,第7题 【解析】 设最小正方形的边长为,那么边长为的正方形有个,边长为的正方形有个,边长为的正方形有个,边长为的正方形有个,边长为的正方形有个,边长为的正方形有个,所以总共有 ‎(个)。‎ ‎【答案】个 【例 1】 下图中共有___________个正方形。‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯,中年级,初试,4题 【解析】 分类计算边长为1的正方形有12个;长为2的正方形有1个;边长为3的正方形有4个;边长为4的有1个;边长为1个对角线的有1个;边长为2个对角线的有1个;所以一共有:(个)‎ ‎【答案】个 【巩固】 图1中共有         个正方形。‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯,五年级,一试,第12题 【解析】 ‎5+4+1+5+4+1=20‎ ‎【答案】个 【例 2】 图中共有多少个长方形?‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 利用长方形的计数公式:横边上共有n条线段,纵边上共有m条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mn个.所以有(4+3+2+1)×(4+3+2+1)=100.‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 数一数,下边图形中有   个平行四边形.‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】1星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯,四年级,初试,4题 【解析】 本题是一道几何计数问题,应不漏不重地按规律去数,每相邻两个三角形可组成一个平行四边形,共计6个.‎ ‎【答案】个 【例 4】 图5中有           个平行四边形。‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯,4年级,1试 【解析】 ‎12+8+3=23‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 如右图中共有7层小三角形,求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比。‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛,初赛,试题,第10题 【解析】 白色小三角形个数=1+2+…+6==21,黑色小三角形个数=1十2+…+7==28,所以它们的比==,白色与黑色小三角形个数之比是.‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 如图,由小正方形构成的长方形网格中共有线段______条。‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯,六年级,一试,第8题 【解析】 横的有5×(1+2+3+4+5)=75条,竖的有6×(1+2+3+4)=60条,一共135条 ‎【答案】条 【例 3】 图中线段的条数比三角形的个数多 。 ‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯,2年级,第6题 【解析】 通过比较发现,线段的条数比三角形的个数多的正好是条斜边。‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 右图中共有 个三角形。‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛,五年级,决赛,第6题 【解析】 由1个,2个,3个,4个,6个,8个小三角形组成的三角形分别有:8,7,4,3,1,1个,也即一共有8+7+4+3+2=24个。‎ ‎【答案】24‎ 【例 1】 如图AB,CD,EF,MN互相平行,则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 图中共有三角形(1+2+3+4)×4=40个.梯形(1+2+3+4)×(2+4)=60;所以梯形比三角形多60-40=20个.‎ ‎【答案】个 【例 2】 右边三个图中,都有一些三角形,在图A中,有 ____个;在图B中,有______个;中图C中,有______ 个。‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯,4年级,1试 【解析】 图A 5个; 图B 8个; 图C 5个 【例 3】 请看下图,共有多少个三角形?‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 独立的三角形有7个,由4个三角形组成的三角形有1个,加上最大的三角形,因此共有7+1+1=9个三角形.‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 右图中共有   个三角形.‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯,三年级,初赛,2题 【解析】 分类枚举得到:边长是个单位长度的有个三角形;‎ ‎ 边长是个单位长度的有个三角形 ‎ 边长是个单位长度的有个三角形 共有(个)‎ ‎【答案】个 【例 1】 右图中三角形共有 个.‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯,五年级,初赛,4题 【解析】 不可分割的三角形有个.‎ 由个不可分割的三角形构成的三角形有个.‎ 由个不可分割的三角形构成的三角形有个.‎ 由个不可分割的三角形构成的三角形有个.‎ 由个不可分割的三角形构成的三角形有个.‎ 一共有三角形个.‎ ‎【答案】个 【巩固】 数一数图中有_______个三角形.‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯,3年级,初赛,第14题 【解析】 分类枚举,只由一个三角形构成的有6个,由两个小三角形组合而成的三角形有3个。由三个小三角形组合而成的三角形有3个,所以一共有(个)。‎ ‎【答案】个 【巩固】 数一数,图中有_________________个三角形。‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯,五年级,二试,第9题 【解析】 ‎10个 ‎【答案】个 【例 2】 图中共有           个三角形。‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯,4年级,1试 【解析】 从图形所包含的小块数的个数来数,包含一块的三角形有10个,包含两块的三 角形有10个,包含三块的三角形有10个,包含五块三角形有5个,所以共有35个。‎ ‎【答案】个 【例 3】 在图中,一共有 10 个三角形, 40 条线段.‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯,2年级,第3题 【解析】 ‎⑴一共有10个三角形.五角星的每个角上分别有1个小三角形,总共有5个;另外还有5个较大的三角形,所以共有(个)三角形.⑵一共有40条线段.中间五角星中有5条长线段,每条长线段上共可以数出:(条)线段,那么五角星中共有(条)线段,.‎ ‎<考点> 图形的计数 ‎【答案】三角形个,线段个 【例 1】 用10根火柴棒首尾顺次连接接成一个三角形,能接成不同的三角形有 个。‎ ‎【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯,五年级,一试,第13题 【解析】 根据三角行两边之和大于第三边,两边只差小于第三边。知道共有两2种情况:与,所以能接成不同的三角形个 ‎【答案】个