2020年小学数学年六级奥数经典题库及答案 （专项+强化） 82页

2020 年小学数学年六级奥数经典题库及答案 一、知识点复习题库 六年级奥数题：浓度问题 【试题】：浓度为 60%的酒精溶液 200g，与浓度为 30%的酒精溶 液 300g，混合后所得到的酒精溶液的浓度是( )。 【分析】： 溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量 溶质质量＝溶液质量×浓度 浓度＝溶质质量÷溶液质量 溶液质量＝溶质质量÷浓度 要求混合后的溶液浓度，必须求出混合后溶液的总质量和所含纯 酒精的质量。 混合后溶液的总质量，即为原来两种溶液质量的和： 200＋300＝500(g)。 混合后纯酒精的含量等于混合前两种溶液中纯酒精的和： 200×60%＋300×30%＝120＋90＝210(g) 那么混合后的酒精溶液的浓度为： 210÷500＝42% 【解答】：混合后的酒精溶液的浓度为 42%。 【点津】：当两种不同浓度的溶液混合后，其中的溶液总量和溶 质总量是不变的。 【试题】甲、乙、丙三人在 A、B 两块地植树，A 地要植 900 棵，B 地 要植 1250 棵。已知甲、乙、丙每天分别能植树 24，30，32 棵，甲在 A 地植树，丙在 B 地植树，乙先在 A 地植树，然后转到 B 地植树。两 块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从 A 地转到 B 地？ 【解析】总棵数是 900＋1250＝2150 棵，每天可以植树 24＋30 ＋32＝86 棵 需要种的天数是 2150÷86＝25 天 甲 25 天完成 24×25＝600 棵 那么乙就要完成 900-600=300 棵之后，才去帮丙 即做了 300÷30＝10 天之后 即第 11 天从 A 地转到 B 地。 六年级奥数题：牛吃草问题 【试题】有三块草地，面积分别是 5，15，24 亩。草地上的草一 样厚，而且长得一样快。第一块草地可供 10 头牛吃 30 天，第二块草 地可供 28 头牛吃 45 天，问第三块地可供多少头牛吃 80 天？ 【解析】这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。 把每头牛每天吃的草看作 1 份。 因为第一块草地 5 亩面积原有草量＋5 亩面积 30 天长的草＝10 ×30＝300 份 所以每亩面积原有草量和每亩面积 30 天长的草是 300÷5＝60 份 因为第二块草地 15 亩面积原有草量＋15 亩面积 45 天长的草＝2 8×45＝1260 份 所以每亩面积原有草量和每亩面积 45 天长的草是 1260÷15＝84 份 所以 45－30＝15 天，每亩面积长 84－60＝24 份 所以，每亩面积每天长 24÷15＝1.6 份 所以，每亩原有草量 60－30×1.6＝12 份 第三块地面积是 24 亩，所以每天要长 1.6×24＝38.4 份，原有 草就有 24×12＝288 份 新生长的每天就要用 38.4 头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的 草，那么原有的草就要够吃 80 天，因此 288÷80＝3.6 头牛 所以，一共需要 38.4＋3.6＝42 头牛来吃。 两种解法： 解法一： 设每头牛每天的吃草量为 1，则每亩 30 天的总草量为：10*30/5 =60；每亩 45 天的总草量为：28*45/15=84 那么每亩每天的新生长草 量为(84-60)/(45-30)=1.6 每亩原有草量为 60-1.6*30=12，那么 24 亩原有草量为 12*24=288，24 亩 80 天新长草量为 24*1.6*80=3072， 24 亩 80 天共有草量 3072+288=3360，所有 3360/80=42(头)。 解法二：10 头牛 30 天吃 5 亩可推出 30 头牛 30 天吃 15 亩，根 据 28 头牛 45 天吃 15 木，可以推出 15 亩每天新长草量(28*45-30*3 0)/(45-30)=24；15 亩原有草量：1260-24*45=180；15 亩 80 天所需 牛 180/80+24(头)24 亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42 头。 六年级奥数题：工程问题 【试题】 某工程，由甲、乙两队承包，2.4 天可以完成，需支 付 1800 元；由乙、丙两队承包，3+3/4 天可以完成，需支付 1500 元； 由甲、丙两队承包，2+6/7 天可以完成，需支付 1600 元。在保证一 星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？ 【解析】甲乙合作一天完成 1÷2.4＝5/12，支付 1800÷2.4＝7 50 元 乙丙合作一天完成 1÷(3＋3/4)＝4/15，支付 1500×4/15＝400 元 甲丙合作一天完成 1÷(2＋6/7)＝7/20，支付 1600×7/20＝560 元 三人合作一天完成(5/12＋4/15＋7/20)÷2＝31/60， 三人合作一天支付(750＋400＋560)÷2＝855 元 甲单独做每天完成 31/60－4/15＝1/4，支付 855－400＝455 元 乙单独做每天完成 31/60－7/20＝1/6，支付 855－560＝295 元 丙单独做每天完成 31/60－5/12＝1/10，支付 855－750＝105 元 所以通过比较 选择乙来做，在 1÷1/6＝6 天完工，且只用 295×6＝1770 元 六年级奥数应用题综合训练及解析（一） 【试题】一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块。现打开水龙头 往容器中灌水.3 分钟时水面恰好没过长方体的顶面。再过 18 分钟水 已灌满容器。已知容器的高为 50 厘米，长方体的高为 20 厘米，求长 方体的底面面积和容器底面面积之比。 【解析】把这个容器分成上下两部分，根据时间关系可以发现， 上面部分水的体积是下面部分的 18÷3＝6 倍 上面部分和下面部分的高度之比是(50－20)：20＝3：2 所以上面部分的底面积是下面部分装水的底面积的 6÷3×2＝4 倍 所以长方体的底面积和容器底面积之比是(4－1)：4＝3：4 【独特解法】 (50-20)：20=3：2，当没有长方体时灌满 20 厘米就需要时间 18 *2/3=12(分)， 所以，长方体的体积就是 12-3=9(分钟)的水量，因为高度相同， 所以体积比就等于底面积之比，9：12=3：4 六年级奥数应用题综合训练及解析（二） 【试题】甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购 进的套数比甲多 1/5，然后甲、乙分别按获得 80%和 50%的利润定价 出售。两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润 又恰好够他再购进这种时装 10 套，甲原来购进这种时装多少套？ 【解析】把甲的套数看作 5 份，乙的套数就是 6 份。 甲获得的利润是 80%×5＝4 份，乙获得的利润是 50%×6＝3 份 甲比乙多 4－3＝1 份，这 1 份就是 10 套。 所以，甲原来购进了 10×5＝50 套。 六年级奥数应用题综合训练及解析（三） 【试题】有甲、乙两根水管，分别同时给 A，B 两个大小相同的 水池注水，在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是 7：5。经过 2+ 1/3 小时，A，B 两池中注入的水之和恰好是一池。这时，甲管注水速 度提高 25%，乙管的注水速度不变，那么，当甲管注满 A 池时，乙管 再经过多少小时注满 B 池？ 【解析】把一池水看作单位“1”。 由于经过 7/3 小时共注了一池水，所以甲管注了 7/12,乙管注了 5/12。 甲管的注水速度是 7/12÷7/3＝1/4，乙管的注水速度是 1/4×5 /7＝5/28。 甲管后来的注水速度是 1/4×(1＋25%)＝5/16 用去的时间是 5/12÷5/16＝4/3 小时 乙管注满水池需要 1÷5/28＝5.6 小时 还需要注水 5.6－7/3－4/3＝29/15 小时 即 1 小时 56 分钟 【继续再做一种方法】： 按照原来的注水速度，甲管注满水池的时间是 7/3÷7/12＝4 小 时 乙管注满水池的时间是 7/3÷5/12＝5.6 小时 时间相差 5.6－4＝1.6 小时 后来甲管速度提高，时间就更少了，相差的时间就更多了。 甲速度提高后，还要 7/3×5/7＝5/3 小时 缩短的时间相当于 1－1÷(1＋25%)＝1/5 所以时间缩短了 5/3×1/5＝1/3 所以，乙管还要 1.6＋1/3＝29/15 小时 【再做一种方法】： ①求甲管余下的部分还要用的时间。 7/3×5/7÷(1＋25%)＝4/3 小时 ②求乙管余下部分还要用的时间。 7/3×7/5＝49/15 小时 ③求甲管注满后，乙管还要的时间。 49/15－4/3＝29/15 小时 六年级奥数应用题综合训练及解析（四） 【试题】小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现 小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有 3/10 的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这 样小明比独自步行提早 5 分钟到校。小明从家到学校全部步行需要多 少时间？ 【解析】爸爸骑车和小明步行的速度比是(1－3/10)：(1/2－3/ 10)＝7：2 骑车和步行的时间比就是 2：7，所以小明步行 3/10 需要 5÷(7 －2)×7＝7 分钟 所以，小明步行完全程需要 7÷3/10＝70/3 分钟。 六年级奥数应用题综合训练及解析（六） 两地的距离。乙车的速度是甲车速度的 80%。已知乙车比甲车早出发 11 分钟，但在 B 地停留了 7 分钟，甲车则不停地驶往 C 地。最后乙 车比甲车迟 4 分钟到 C 地。那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙 车。 【解析】乙车比甲车多行 11－7＋4＝8 分钟。 说明乙车行完全程需要 8÷(1－80%)＝40 分钟，甲车行完全程需 要 40×80%＝32 分钟 当乙车行到 B 地并停留完毕需要 40÷2＋7＝27 分钟。 甲车在乙车出发后 32÷2＋11＝27 分钟到达 B 地。 即在 B 地甲车追上乙车。 【试题】甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务。甲 车单独清扫需要 10 小时，乙车单独清扫需要 15 小时，两车同时从东、 西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫 12 千米，问东、西两城相 距多少千米？ 【解析】甲车和乙车的速度比是 15：10＝3：2 相遇时甲车和乙车的路程比也是 3：2 所以，两城相距 12÷(3－2)×(3＋2)＝60 千米 二、强化训练题库 1.某市举行小学数学竞赛，结果不低于 80 分的人数比 80 分以下的人 数的 4 倍还多 2 人，及格的人数比不低于 80 分的人数多 22 人，恰是 不及格人数的 6 倍，求参赛的总人数？ 解： 设不低于 80 分的为 A 人，则 80 分以下的人数是（A-2）/4，及格的 就是 A+22，不及格的就是 A+（A-2）/4-（A+22）=（A-90）/4，而 6*（A-90）/4=A+22，则 A=314，80 分以下的人数是（A-2）/4，也即 是 78，参赛的总人数 314+78=392 2.电影票原价每张若干元,现在每张降低 3 元出售,观众增加一半,收 入增加五分之一,一张电影票原价多少元？ 解：设一张电影票价 x 元 (x-3)×（1+1/2）=(1+1/5)x (1+1/5)x 这一步是什么意思，为什么这么做 (x-3){现在电影票的单价}×（1+1/2){假如原来观众总数为整体 1， 则现在的观众人数为（1+2/1)} 左边算式求出了总收入 (1+1/5）x{其实这个算式应该是：1x*（1+5/1） 把原观众人数看成 整体 1，则原来应收入 1x 元，而现在增加了原来的五分之一，就应 该再*（1+5/1），减缩后得到（1+1/5x）} 如此计算后得到总收入，使方程左右相等 3.甲乙在银行存款共 9600 元，如果两人分别取出自己存款的 40%， 再从甲存款中提 120 元给乙。这时两人钱相等，求 乙的存款 答案 取 40％后，存款有 9600×（1－40％）＝5760（元） 这时，乙有：5760÷2＋120＝3000（元） 乙原来有：3000÷（1－40％）＝5000（元） 4.由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加 10 颗奶糖后，巧克力 糖占总数的 60%。再增加 30 颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的 75%, 那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？ 答案 加 10 颗奶糖，巧克力占总数的 60%，说明此时奶糖占 40%， 巧克力是奶糖的 60/40=1。5 倍 再增加 30 颗巧克力，巧克力占 75%，奶糖占 25%，巧克力是奶糖的 3 倍 增加了 3-1.5=1.5 倍，说明 30 颗占 1.5 倍 奶糖=30/1.5=20 颗 巧克力=1.5*20=30 颗 奶糖=20-10=10 颗 5.小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少 1/4！” 小亮说：“你要是能给我你的 1/6，我就比你多 2 个了。”小明原有玻 璃球多少个？ 答案 小明说：“你有球的个数比我少 1/4！”，则想成小明的球的个数为 4 份，则小亮的球的个数为 3 份 4*1/6＝2/3 （小明要给小亮 2/3 份玻璃球） 小明还剩：4-2/3＝3 又 1/3（份） 小亮现有：3+2/3＝3 又 2/3（份） 这多出来的 1/3 份对应的量为 2，则一份里有：3*2＝6（个） 小明原有 4 份玻璃球，又知每份玻璃球为 6 个，则小明原有玻璃球 4*6＝24（个） 6.搬运一个仓库的货物，甲需要 10 小时，乙需要 12 小时，丙需要 15 小时.有同样的仓库 A 和 B，甲在 A 仓库、乙在 B 仓库同时开始搬 运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库 货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？ 解：设搬运一个仓库的货物的工作量是 1.现在相当于三人共同完成 工作量 2，所需时间是 答：丙帮助甲搬运 3 小时，帮助乙搬运 5 小时 解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当 然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6， 乙每小时搬运 5，丙每小时搬运 4 三人共同搬完，需要 60×2÷（6+5+4）=8（小时） 甲需丙帮助搬运 （60-6×8）÷4=3（小时） 乙需丙帮助搬运 （60-5×8）÷4=5（小时） 7.一件工作,若由甲单独做 72 天完成,现在甲做 1 天后,乙加入一起工 作,合作 2 天后,丙也一起工作,三人再一起工作 4 天,完成全部工作的 1/3,又过了 8 天,完成了全部工作的 5/6,若余下的工作由丙单独完成, 还需要几天? 答案 甲乙丙 3 人 8 天完成 :5/6-1/3=1/2 甲乙丙 3 人每天完成 :1/2÷8=1/16， 甲乙丙 3 人 4 天完成 :1/16×4=1/4 则甲做一天后乙做 2 天要做 :1/3-1/4=1/12 那么乙一天做 :[1/12-1/72×3]/2=1/48 则丙一天做 :1/16-1/72-1/48=1/36 则余下的由丙做要 :[1-5/6]÷1/36=6 天 答：还需要 6 天 8.股票交易中，每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的 1％和 2％分别交纳印花税和佣金（通常所说的手续费）。老王 10 月 8 日以 股票 10.65 元的价格买进一种科技股票 3000 股，6 月 26 日以每月 13.86 元的价格将这些股票全部卖出，老王卖出这种股票一共赚了多 少钱？ 答案 10.65*1％=0.1065(元) 10.65*2％=0.213(元) 10.1065+0.213=0.3195(元) 0.3195+10.65=10.9695(元) 13.86*1％=0.1386(元) 13.86*2％=0.2772(元) 0.1386+0.2772=0.4158 13.86+0.4158=14.2758(元) 14.2758-10.9695=3.3063(元) 答:老王卖出这种股票一共赚了 3.3063 元. 9.某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次购书用 100 元， 按该书定价 2.8 元出售，很快售完。第二次购书时，每本的批发价比 第一次增多了 0.5 元，用去 150 元，所购数量比第一次多 10 本，当 这批书售出 4/5 时出现滞销，便以定价的 5 折售完剩余图书。试问该 老板第二次售书是赔钱还是赚钱，若赔，赔多少，若赚，赚多少 答案 （ 100+40 ） /2.8=50 本 100/50=2 150/(2+0.5 ） =60 本 60*80%=48 本 48*2.8+2.8*50*12-150=1.2 盈利 1.2 元对我有帮 助 一件工程原计划 40 人做,15 天完成.如果要提前 3 天完成,需要增加 多少人 解: 设需要增加 x 人 (40+x)(15-3)=40*15 x=10 所以需要增加 10 人 10.仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物的质量比为 2：7.如 果又运走 64 吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的五分之三。仓 库原有货物多少吨？ 解：第 1 次运走：2/（2+7）=2/9. 64/（1-2/9-3/5）=360 吨。 答：原仓库有 360 吨货物。 11.育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是 3：5，后来又有 60 名同学达标，这时达标人数是未达标人数的 9/11，育才小学共有学 生多少人？ 答案 原来达标人数占总人数的 3÷（3＋5）＝3/8 现在达标人数占总人数的 9/11÷（1＋9/11）＝9/20 育才小学共有学生 60÷（9/20－3/8）＝800 人 12.小王，小李，小张三人做数学练习题，小王做的题数的一半等于 小李的 1/3,等于小张的 1/8,而且小张比小王多做了 72 道,小王,小张, 小李各做多少道? 答案 设小王做了 a 道，小李做了 b 道，小张做了 c 道 由题意 1/2a=1/3b=1/8c c-a=72 解得 a=24 b=36 c=96 13.甲乙二人共同完成 242 个机器零件。甲做一个零件要 6 分钟，乙 做一个零件要 5 分钟。完成这批零件时，两人各做了多少个零件？ 答案 设甲做了 X 个，则乙做了（242-X）个 6X=5（242-X） X=110 242-110=132（个） 答：甲做了 110 个，乙做了 132 个 14.某工会男女会员的人数之比是 3：2，分为甲乙丙三组，已知甲乙 丙三组人数之比是 10:8:7，甲组中男女比是 3：1，乙组中男女比是 5：3。求丙组男女人数之比 答案 设男会员是 3N，则女会员是 2N，总人是：5N 甲组有：5N*10/[10+8+7]=2N，其中：男：2N*3/4=3N/2，女：2N*1/4=N/2 乙级有：5N*8/25=8/5N，其中男：8/5N*5/8=N，女：8/5N*3/8=3/5N 丙级有：5N*7/25=7/5N 丙级中男有：3N-3N/2-N=N/2，女有：2N-N/2-3/5N=9/10N 那么丙组中男女之比是：N/2：9/10N=5：9 15.甲乙丙三个村合修一条水渠，修完后，甲乙丙村可灌溉的面积比 是 8：7：5 原来三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力，后来因为丙 村抽不出劳力，经协商，丙村应抽出的劳力由甲乙两村分担，丙村付 给甲乙两村工钱 1350 元，结果，甲村共派出 60 人，乙村共派出 40 人，问甲乙两村各应分得工钱多少元？ 答案 根据甲乙丙村可灌溉的面积比算出总份数：8+7+5=20 份 每份需要的人数：（60+40）÷20=5 人 甲村需要的人数：8×5=40 人，多出劳力人数：60-40=20 人 乙村需要的人数：7×5=35 人，多出劳力人数：40-35=5 人 丙村需要的人数：5×5=25 人 或 20+5=25 人 每人应得的钱数：1350÷25=54 元 甲村应得的工钱：54×20=1080 元 乙村应得的工钱： 54×5=270 元 p166 19 题 16.李明的爸爸经营已个水果店，按开始的定价，每买出 1 千克水果， 可获利 0.2 元。后来李明建议爸爸降价销售，结果降价后每天的销量 增加了 1 倍，每天获利比原来增加了 50%。问：每千克水果降价多少 元？ 答案 设以前卖出 X 降价 a 那么 0.2X * (1+0.5)=(0.2-a) * 2x 则 0.1X=2aX a=0.05 .哈利.波特参加数学竞赛，他一共得了 68 分。评分的标准是：每做 对一道得 20 分，每做错一道倒扣 6 分。已知他做对题的数量是做错 题的两倍，并且所有的题他都做了，请问这套试卷共有多少道题？ 解：设哈利波特答对 2X 题，答错 X 题 20×2X-6X=68 40X-6X=68 34X=68 X=2 答对：2×2=4 题 共有：4+2=6 题 17.爸爸妈妈和奶奶乘飞机去旅行，三人所带行李的质量都超过了可 免费携带行李的质量，要另付行李费，三人共付了 4 元，而三人行李 共重 150 千克，如果这些行李让一个人带，那么除了免费部分，应另 付行李费 8 元，求每人可免费携带行李的质量。 答案 设可免费携带的重量为 x kg，则： （150-3x）/4=(150-x)/8 //等式两边非免费部分单价相同； 解方程：x=30 18.一队少先队员乘船过河，如果每船坐 15 人，还剩 9 人，如果每船 坐 18 人，刚好剩余 1 只船，求有多少只船？ 答案 解法一： 设船数为 X，则 （15X+9）/18=X-1 15X+9=18X-18 27=3X X=9 答：有 9 只船。 解法二： (15+9)÷（18-15）=8 只船 --每船坐 18 人时坐了 8 只船 8+1=9 只船 19.建筑工地有两堆沙子,一堆比 2 堆多 85 吨,两堆沙子各用去 30 吨 后,一堆剩的是 2 堆的 2 倍,两堆沙子原来各有多少吨? 答案 设 2 堆为 X 吨,则一堆为 X+85 吨 X+85-30=2(X-30) x=115(2 堆) x+85=115+85=200(1 堆) 自然数 1-100 排列，用长方形框出二行六个数，六个数和为 432，问 这六个数最小的是几 答案 六个数分别是 46 47 48 96 97 98 20.甲乙两地相距 420 千米,其中一段路面铺了柏油,另一段是泥土路. 一辆汽车从甲地驶到乙地用了 8 小时,已知在柏油路上行驶的速度是 每小时 60 千米,而在泥土路上的行驶速度是每小时 40 千米.泥土路长 多少千米? 答案 两段路所用时间共 8 小时。 柏油路时间：（420－x）÷60 泥土路时间： x÷40 7-(x÷60)+(x÷40)=8 有 x÷120=1 所以 x=120 21.一少先队中队去野营,炊事员问多少人,中队长答: 一个人一个碗, 两个人一只菜碗,三个人一只汤碗,放在你这儿有 55 只碗,你算算有 多少人? 设有 x 个人 x＋x／2＋x／3＝55 x＝30 22.学校购买 840 本图书分给高、中、低三个年级段，高年级段分的 是低年级段的 2 倍，中年级段分的是低年级段的 3 倍少 120 本。三个 年级段各分得多少本图书？ 设低年级段分得 x 本书，则高年级段分得 2x 本,中年级段分得（3x-120） 本 x+2x+3x-120=840 6x-120=840 6x=840+120 6x=960 x=960/6 x=160 高 年 级 段 为 ： 160*2=320( 本 ) 中 年 级 段 为 ： 160*3-120=360(本) 答：低年级段分得图书 160 本，中年级段分得图书 360 本，高年级段 分得图书 320 本. 23.学校田径组原来女生人数占 1/3,后来又有 6 名女生参加进来,这 样女生就占田径组总人数的 4/9。现在田径组有女生多少人? 解 设 原来田径队男女生一共 x 人 1/3x+6= 4/9(x+6) x=30 1/3x+6=30*1/3+6=16 女生 16 人 24.小华有连环画本数是小明 6 倍如果两人各再买 2 本那么小华所有 本数是小明 4 倍两人原来各有连环画多少本？ 解：设小华的有 x 本书 4(x+2)=6x+2 4x+8=6x+2 x=3 6x=18 25.小春一家四口人今年的年龄之和为 147 岁，爷爷比爸爸大 38 岁， 妈妈比小春大 27 岁，爷爷的年龄是小春与妈妈年龄之和的 2 倍。小 春一家四口人的年龄各是多少？ 答案 1 设小春 x 岁，则妈妈 x+27 岁，爷爷(x+x+27)*2=4x+54 岁，爸爸 4x+54-38=4x+16 岁 x+x+27+4x+54+4x+16=147,x=5 所以小春 5 岁，妈妈 32 岁，爷爷 74 岁，爸爸 36 岁。 2 爷爷+爸爸+（妈妈+小春） =爷爷+（爷爷-38）+（爷爷/2)=147 爷爷=74 岁 爸爸=36 岁 妈妈+小春=小春+27+小春=74/2=37 小春=5 岁 妈妈=5+27=32 岁 小春一家四口人的年龄各是 74，36，32，5 岁 3 (147+38)÷(2×2+1)=37(岁） 36×2＝74（岁） 爷爷的年龄 74－38＝36（岁） 爸爸的年龄 （37+27）÷2＝32（岁） 妈妈的年龄 32－27＝5（岁） 小华的年龄 26.甲乙两校共有 22 人参加竞赛，甲校参加人数的 5 分之 1 比乙校参 加人数的 4 分之 1 少 1 人，甲乙两校各多少人参赛？ 解：设甲校有 x 人参加，则乙校有（22-x）人参加。 0.2 x=（22-x）×0.25-1 0.2x=5.5-0.25x-1 0.45x=4.5 x=10 22-10=12（人） 答： 甲校有 10 人参加，乙校有 12 人参加。 27.在浓度为 40%的盐水中加入千克水,浓度变为 30%,再加入多千克 盐,浓度变为 50%? 答案 1 解 设原有盐水 x 千克，则有盐 40％x 千克，所以根据关系列出方程： (40％x)/(x＋1)＝30％ 得出 x＝3，再设须加入 y 千克盐，则有方程： （1.2＋y）/(4+y)=50%得出 y＝1.6 54 比 45 多 20％，算法，设所求为 x，x（1＋20％）=54 算出结果 45 答案 2 设原有溶液为 x 千克，加入 y 千克盐后，浓度变为 50% 由题意，得溶质为 40%x，则有 40%x/(x+5)=30% 解之得 x=15 千克 则溶质有 15*40%=6 千克 由题意，得 （6+y）/(15+5+y）=50% 解之得 y=8 千克 故再加入 8 千克盐，浓度变为 50% 28.某人到商店买红蓝两种钢笔，红钢笔定价 5 元，蓝钢笔定价 9 元， 由于购买量较多，商店给予优惠，红钢笔八五折，蓝钢笔八折，结果 此人付的钱比原来节省的 18%，已知他买了蓝钢笔 30 枝，那么。他 买了几支红钢笔？ 答案 红笔买了 x 支。 （5x+30×9）×（1-18%)=5x×0.85+30×9×0.8 x=36. 29.甲说：“我乙丙共有 100 元。”乙说：“如果甲的钱是现有的 6 倍， 我的钱是现有的 1/3，丙的钱不变，我们仍有钱 100 元。”丙说：“我 的钱都没有 30 元。”三人原来各有多少钱？ 答案 乙的话表明：甲钱 5 倍与乙钱 2/3 一样多 所以，乙钱是 3*5=15 的倍数，甲钱是偶数 丙钱不足 30，所以，甲乙钱和多于 70， 而乙多于甲的 6 倍， 所以，乙多于 60 设乙=75，甲=75*2/3÷5=10,丙=100-10-75=15 设乙=90，甲=90*2/3÷5=12,90+12>100,不行 所以，三人原来：甲 10 元，乙 75 元，丙 15 元 30.某厂向银行申请甲乙两种贷款共 30 万，每年需支付利息 4 万元, 甲种贷款年利率为 12%，乙种贷款年利率为 14%，该厂申请甲乙两种 贷款金额各多少元？ 答案 设：甲厂申请贷款金额 x 万元,则乙厂申请贷款金额（30-x）万元。 列式：x*0.12+(30-x)*0.14=4 化简：4.2-0.02x=4 0.02x=0.2 解得：x=10(万元) 31.某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书 100 本以上，就按书 价的 90%收款。某学校到书店购买甲、乙两种书，其中乙种书的册数 是甲种书册数的 3/5 只有甲种书得到了 90%的优惠。其中买甲种书所 付的钱数是买乙种书所付钱数的 2 倍。已知乙种书每本 1.5 元，那么 甲种书每本定价多少元？ 答案 1 根据题意， 甲种超过了 100 本，乙种不到 100 本 甲乙花的总钱数比为 2:1 那么甲打折以前，和乙的总钱数比为： （2÷0.9）：1=20:9 甲乙册数比为 5:3 甲乙单价比为（20÷5）：（9÷3）=4:3 优惠前，甲种每本：1.5×4/3=2 元 答案 2 答案 设甲买了 x 本,则乙为 3/5x,x>100 买乙共付了:3/5x*1.5=0.9x 元 则甲共付了:0.9x*2=1.8x 元 所以甲优惠后每本为:1.8x/x=1.8 元 则优惠前:1.8/0.9=2 元 32.两支成分不同的蜡烛,其中 1 支以均匀速度燃烧,2 小时烧完,另一 支可以燃烧 3 小时,傍晚 6 时半同时点燃蜡烛，到什么 1 支剩余部分 正好是另一支剩余的 2 倍？ 答案 两支蜡烛分别设为 A 蜡烛和 B 蜡烛，其中 A 蜡烛是那支烧得快点的 A 蜡烛，两小时烧完，那么每小时燃烧 1/2 B 蜡烛，三小时烧完，那么每小时燃烧 1/3 设过了 x 小时以后，B 蜡烛剩余的部分是 A 的两倍 2（1—x/2）=1—x/3 解得 x=1.5 由于是 6 点半开始的，所以到 8 点的时候刚刚好 33.学校组织春游，同学们下午 1 点从学校出发，走了一段平路，爬 了一座山后按原路返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平 路 4Km/小时，爬山 3Km/小时，下山为 6Km/小时，返回时间为 2.5 时。 问：他们一共行了多少路 答案 1 设走的平路是 X 公里 山路是 Y 公里 因为 1 点到七点共用时间 6 小时 返回为 2.5 小时 则去时用 3.5 小时 Y/3-Y/6=1 小时 Y=6 公里 去时共用 3.5 小时 则 X/4+Y/3=3.5 X=6 所以总路程为 2（6+6）=24km 答案 2 解：春游共用时：7：00－1：00＝6（小时） 上山用时：6－2.5＝3.5（小时） 上山多用：3.5－2.5＝1（小时） 山路：（6－3）×1÷（3÷6）＝6（千米） 下山用时：6÷6＝1（小时） 平路：（2.5－1）×4＝6（千米） 单程走路：6＋6＝12（千米） 共走路：12×2＝24（千米） 答：他们共走 24 千米。 工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要 20 小时，16 小时. 丙水管单独开，排一池水要 10 小时，若水池没水，同时打开甲乙两 水管，5 小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 解： 1/20+1/16＝9/80 表示甲乙的工作效率 9/80×5＝45/80 表示 5 小时后进水量 1-45/80＝35/80 表示还要的进水量 35/80÷（9/80-1/10）＝35 表示还要 35 小时注满 答：5 小时后还要 35 小时就能将水池注满。 2．修一条水渠，单独修，甲队需要 20 天完成，乙队需要 30 天完成。 如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲 队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。 现在计划 16 天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那 么两队要合作几天？ 解：由题意得，甲的工效为 1/20，乙的工效为 1/30，甲乙的合作工 效为 1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙 的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲 多做，16 天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能 “两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为 x 天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作 10 天 3．一件工作，甲、乙合做需 4 小时完成，乙、丙合做需 5 小时完成。 现在先请甲、丙合做 2 小时后，余下的乙还需做 6 小时完成。乙单独 做完这件工作要多少小时？ 解： 由题意知，1/4 表示甲乙合作 1 小时的工作量，1/5 表示乙丙合作 1 小时的工作量 （1/4+1/5）×2＝9/10 表示甲做了 2 小时、乙做了 4 小时、丙做了 2 小时的工作量。 根据“甲、丙合做 2 小时后，余下的乙还需做 6 小时完成”可知甲做 2 小时、乙做 6 小时、丙做 2 小时一共的工作量为 1。 所以 1－9/10＝1/10 表示乙做 6-4＝2 小时的工作量。 1/10÷2＝1/20 表示乙的工作效率。 1÷1/20＝20 小时表示乙单独完成需要 20 小时。 答：乙单独完成需要 20 小时。 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做， 这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天 甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要 比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需 17 天完成，甲单独做这 项工程要多少天完成？ 解：由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1 （1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如 上所示，否则第二种做法就不比第一种多 0.5 天） 1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因为前面的工作量都相等） 得到 1/甲＝1/乙×2 又因为 1/乙＝1/17 所以 1/甲＝2/17，甲等于 17÷2＝8.5 天 5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了 1/2 时，徒弟完成了 120 个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了 4/5 这批零件共有多少个？ 答案为 300 个 120÷（4/5÷2）＝300 个 可以这样想：师傅第一次完成了 1/2，第二次也是 1/2，两次一共全 部完工，那么徒弟第二次后共完成了 4/5，可以推算出第一次完成了 4/5 的一半是 2/5，刚好是 120 个。 6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽 6 棵；如果单份给女 生栽，平均每人栽 10 棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？ 答案是 15 棵 算式：1÷（1/6-1/10）＝15 棵 7．一个池上装有 3 根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20 分钟 可将满池水放完，丙管也是出水管，30 分钟可将满池水放完。现在 先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了 18 分钟放完， 当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？ 答案 45 分钟。 1÷（1/20+1/30）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。 1/12*（18-12）＝1/12*6＝1/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多 放了 6 分钟的水，也就是甲 18 分钟进的水。 1/2÷18＝1/36 表示甲每分钟进水 最后就是 1÷（1/20-1/36）＝45 分钟。 8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成， 若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由 乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？ 答案为 6 天 解： 由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天， 再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知： 乙做 3 天的工作量＝甲 2 天的工作量 即：甲乙的工作效率比是 3：2 甲、乙分别做全部的的工作时间比是 2：3 时间比的差是 1 份 实际时间的差是 3 天 所以 3÷（3-2）×2＝6 天，就是甲的时间，也就是规定日期 方程方法： [1/x+1/（x+2）]×2+1/（x+2）×（x-2）＝1 解得 x＝6 9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要 2 小时，而点完一根细蜡 烛要 1 小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干 分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛 的 2 倍，问：停电多少分钟？ 答案为 40 分钟。 解：设停电了 x 分钟 根据题意列方程 1-1/120*x＝（1-1/60*x）*2 解得 x＝40 二．鸡兔同笼问题 1．鸡与兔共 100 只,鸡的腿数比兔的腿数少 28 条,问鸡与兔各有几只? 解： 4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有 400 只兔子的脚， 那么鸡的脚为 0 只，鸡的脚比兔子的脚少 400 只。 400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少 28 只，相差 372 只， 这是为什么？ 4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减 少 4 只（从 400 只变为 396 只），鸡的总脚数就会增加 2 只（从 0 只 到 2 只），它们的相差数就会少 4+2＝6 只（也就是原来的相差数是 400-0＝400，现在的相差数为 396-2＝394，相差数少了 400-394＝6） 372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的 100 只兔子中有 62 只改为了鸡，所以脚的相差数从 400 改为 28，一共改了 372 只 100-62＝38 表示兔的只数 三．数字数位问题 1．把 1 至 2005 这 2005 个自然数依次写下来得到一个多位数 123456789.....2005,这个多位数除以 9 余数是多少? 解： 首先研究能被 9 整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被 9 整除，那么这个数也能被 9 整除；如果各个位数字之和不能被 9 整除， 那么得的余数就是这个数除以 9 得的余数。 解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45 能被 9 整除 依次类推：1~1999 这些数的个位上的数字之和可以被 9 整除 10~19，20~29……90~99 这些数中十位上的数字都出现了 10 次，那 么十位上的数字之和就是 10+20+30+……+90=450 它有能被 9 整除 同样的道理，100~900 百位上的数字之和为 4500 同样被 9 整除 也就是说 1~999 这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被 9 整 除； 同样的道理：1000~1999 这些连续的自然数中百位、十位、个位 上 的数字之和可以被 9 整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里 我们少 200020012002200320042005 从 1000~1999 千位上一共 999 个“1”的和是 999，也能整除； 200020012002200320042005 的各位数字之和是 27，也刚好整除。 最后答案为余数为 0。 2．A 和 B 是小于 100 的两个非零的不同自然数。求 A+B 分之 A-B 的 最小值... 解： (A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B) 前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)/(A+B) 最大。 对于 B / (A+B) 取最小时，(A+B)/B 取最大， 问题转化为求 (A+B)/B 的最大值。 (A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1 (A+B)/B = 100 (A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 100 3．已知 A.B.C 都是非 0 自然数,A/2 + B/4 + C/16 的近似值市 6.4, 那么它的准确值是多少? 答案为 6.375 或 6.4375 因为 A/2 + B/4 + C/16＝8A+4B+C/16≈6.4， 所以 8A+4B+C≈102.4，由于 A、B、C 为非 0 自然数，因此 8A+4B+C 为一个整数，可能是 102，也有可能是 103。 当是 102 时，102/16＝6.375 当是 103 时，103/16＝6.4375 4．一个三位数的各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位数字大 1. 如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数, 则新的三位数比原三位数大 198,求原数. 答案为 476 解：设原数个位为 a，则十位为 a+1，百位为 16-2a 根据题意列方程 100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198 解得 a＝6，则 a+1＝7 16-2a＝4 答：原数为 476。 5．一个两位数,在它的前面写上 3,所组成的三位数比原两位数的 7 倍多 24,求原来的两位数. 答案为 24 解：设该两位数为 a，则该三位数为 300+a 7a+24＝300+a a＝24 答：该两位数为 24。 6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原 数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少? 答案为 121 解：设原两位数为 10a+b，则新两位数为 10b+a 它们的和就是 10a+b+10b+a＝11（a+b） 因为这个和是一个平方数，可以确定 a+b＝11 因此这个和就是 11×11＝121 答：它们的和为 121。 7．一个六位数的末位数字是 2,如果把 2 移到首位,原数就是新数的 3 倍,求原数. 答案为 85714 解：设原六位数为 abcde2，则新六位数为 2abcde（字母上无法加横 线，请将整个看成一个六位数） 再设 abcde（五位数）为 x，则原六位数就是 10x+2，新六位数就是 200000+x 根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2 解得 x＝85714 所以原数就是 857142 答：原数为 857142 8．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是 12,十位数字与千位数 字的和是 9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换, 新数就比原数增加 2376,求原数. 答案为 3963 解：设原四位数为 abcd，则新数为 cdab，且 d+b＝12，a+c＝9 根据“新数就比原数增加 2376”可知 abcd+2376=cdab,列竖式便于观 察 abcd 2376 cdab 根据 d+b＝12，可知 d、b 可能是 3、9；4、8；5、7；6、6。 再观察竖式中的个位，便可以知道只有当 d＝3，b＝9；或 d＝8，b ＝4 时成立。 先取 d＝3，b＝9 代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。 根据 a+c＝9，可知 a、c 可能是 1、8；2、7；3、6；4、5。 再观察竖式中的十位，便可知只有当 c＝6，a＝3 时成立。 再代入竖式的千位，成立。 得到：abcd＝3963 再取 d＝8，b＝4 代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数， 所以不成立。 9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为 9 余数为 6,如果用 这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为 5 余数为 3,求这个 两位数. 解：设这个两位数为 ab 10a+b＝9b+6 10a+b＝5（a+b）+3 化简得到一样：5a+4b＝3 由于 a、b 均为一位整数 得到 a＝3 或 7，b＝3 或 8 原数为 33 或 78 均可以 10．如果现在是上午的 10 点 21 分,那么在经过 28799...99(一共有 20 个 9)分钟之后的时间将是几点几分? 答案是 10：20 解： （28799……9（20 个 9）+1）/60/24 整除，表示正好过了整数天， 时间仍然还是 10：21，因为事先计算时加了 1 分钟，所以现在时间 是 10：20 四．排列组合问题 1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有 （ ） A 768 种 B 32 种 C 24 种 D 2 的 10 次方中 解： 根据乘法原理，分两步： 第一步是把 5 对夫妻看作 5 个整体，进行排列有 5×4×3×2×1＝120 种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生 5 个 5 个重复，因此实际排法只有 120÷5＝24 种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有 2 种排法，总共又 2×2×2×2×2＝32 种 综合两步，就有 24×32＝768 种。 2 若把英语单词 hello 的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( ) A 119 种 B 36 种 C 59 种 D 48 种 解： 5 全排列 5*4*3*2*1=120 有两个 l 所以 120/2=60 原来有一种正确的所以 60-1=59 五．容斥原理问题 1． 有 100 种赤贫.其中含钙的有 68 种,含铁的有 43 种,那么,同时含 钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解：根据容斥原理最小值 68+43-100＝11 最大值就是含铁的有 43 种 2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校 25 名学生参 加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生 中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的 2 倍:(3)只解出第一题 的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1 人;(4)只解出一道题 的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是 ( ) A，5 B，6 C，7 D，8 解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为 7 类： 只答第 1 题，只答第 2 题，只答第 3 题，只答第 1、2 题，只答第 1、 3 题，只答 2、3 题，答 1、2、3 题。 分别设各类的人数为 a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…① 由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……② 由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③ 由（4）知：a1＝a2+a3……④ 再由②得 a23＝a2－a3×2……⑤ 再由③④得 a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3＝26 由于 a2、a3 均表示人数，可以求出它们的整数解： 当 a2＝6、5、4、3、2、1 时，a3＝2、6、10、14、18、22 又根据 a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3 因此，符合条件的只有 a2＝6，a3＝2。 然后可以推出 a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2 ＝25，检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数 a2＝6 人。 3．一次考试共有 5 道试题。做对第 1、2、3、、4、5 题的分别占参加 考试人数的 95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为 合格，那么这次考试的合格率至少是多少？ 答案：及格率至少为 71％。 假设一共有 100 人考试 100-95＝5 100-80＝20 100-79＝21 100-74＝26 100-85＝15 5+20+21+26+15＝87（表示 5 题中有 1 题做错的最多人数） 87÷3＝29（表示 5 题中有 3 题做错的最多人数，即不及格的人数最 多为 29 人） 100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的） 及格率至少为 71％ 六．抽屉原理、奇偶性问题 1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、 黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有 3 副同色的？ 解：可以把四种不同的颜色看成是 4 个抽屉，把手套看成是元素，要 保证有一副同色的，就是 1 个抽屉里至少有 2 只手套，根据抽屉原理， 最少要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后 4 个抽屉中还剩 3 只手 套。再根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套，又能保证有一副手套是 同色的，以此类推。 把四种颜色看做 4 个抽屉，要保证有 3 副同色的，先考虑保证有 1 副 就要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后，4 个抽屉中还剩下 3 只 手套。根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套，又能保证有 1 副是同色 的。以此类推，要保证有 3 副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只） 答：最少要摸出 9 只手套，才能保证有 3 副同色的。 2．有四种颜色的积木若干，每人可任取 1-2 件，至少有几个人去取， 才能保证有 3 人能取得完全一样？ 答案为 21 解： 每人取 1 件时有 4 种不同的取法,每人取 2 件时,有 6 种不同的取法. 当有 11 人时,能保证至少有 2 人取得完全一样: 当有 21 人时,才能保证到少有 3 人取得完全一样. 3．某盒子内装 50 只球，其中 10 只是红色，10 只是绿色，10 只是黄 色，10 只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包 含有 7 只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？ 解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。 当黑球或白球其中没有大于或等于 7 个的，那么就是： 6*4+10+1=35(个) 如果黑球或白球其中有等于 7 个的，那么就是： 6*5+3+1＝34（个） 如果黑球或白球其中有等于 8 个的，那么就是： 6*5+2+1＝33 如果黑球或白球其中有等于 9 个的，那么就是： 6*5+1+1＝32 4．地上有四堆石子，石子数分别是 1、9、15、31 如果每次从其中的 三堆同时各取出 1 个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次 操作，使得这四堆石子的个数都相同?（如果能请说明具体操作，不 能则要说明理由） 不可能。 因为总数为 1+9+15+31＝56 56/4＝14 14 是一个偶数 而原来 1、9、15、31 都是奇数，取出 1 个和放入 3 个也都是奇数， 奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14 个）。 七．路程问题 1．狗跑 5 步的时间马跑 3 步，马跑 4 步的距离狗跑 7 步，现在狗已 跑出 30 米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？ 解： 根据“马跑 4 步的距离狗跑 7 步”，可以设马每步长为 7x 米，则狗每 步长为 4x 米。 根据“狗跑 5 步的时间马跑 3 步”，可知同一时间马跑 3*7x 米＝21x 米，则狗跑 5*4x＝20 米。 可以得出马与狗的速度比是 21x：20x＝21：20 根据“现在狗已跑出 30 米”，可以知道狗与马相差的路程是 30 米， 他们相差的份数是 21-20＝1，现在求马的 21 份是多少路程，就是 30 ÷（21-20）×21＝630 米 2．甲乙辆车同时从 a b 两地相对开出，几小时后再距中点 40 千米处 相遇？已知，甲车行完全程要 8 小时，乙车行完全程要 10 小时，求 a b 两地相距多少千米？ 答案 720 千米。 由“甲车行完全程要 8 小时，乙车行完全程要 10 小时”可知，相遇 时甲行了 10 份，乙行了 8 份（总路程为 18 份），两车相差 2 份。又 因为两车在中点 40 千米处相遇，说明两车的路程差是（40+40）千米。 所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）＝720 千米。 3．在一个 600 米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针 方向跑步，两人每隔 12 分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在 原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔 4 分钟 相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？ 答案为两人跑一圈各要 6 分钟和 12 分钟。 解： 600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差 600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和 （50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大 数 （150-50）/2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数 600÷100=6 分钟，表示跑的快者用的时间 600/50=12 分钟，表示跑得慢者用的时间 4．慢车车长 125 米，车速每秒行 17 米，快车车长 140 米，车速每秒 行 22 米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上 慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？ 答案为 53 秒 算式是（140+125)÷(22-17)=53 秒 可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车 车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。 5．在 300 米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平 均速度是每秒 5 米，乙平均速度是每秒 4.4 米，两人起跑后的第一次 相遇在起跑线前几米？ 答案为 100 米 300÷（5-4.4）＝500 秒，表示追及时间 5×500＝2500 米，表示甲追到乙时所行的路程 2500÷300＝8 圈……100 米，表示甲追及总路程为 8 圈还多 100 米， 就是在原来起跑线的前方 100 米处相遇。 6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过 57 秒火 车经过她前面，已知火车鸣笛时离他 1360 米，(轨道是直的),声音每 秒传 340 米，求火车的速度（得出保留整数） 答案为 22 米/秒 算式：1360÷(1360÷340+57）≈22 米/秒 关键理解：人在听到声音后 57 秒才车到，说明人听到声音时车已经 从发声音的地方行出 1360÷340＝4 秒的路程。也就是 1360 米一共用 了 4+57＝61 秒。 7．猎犬发现在离它 10 米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上 去，猎犬的步子大，它跑 5 步的路程，兔子要跑 9 步，但是兔子的动 作快，猎犬跑 2 步的时间，兔子却能跑 3 步，问猎犬至少跑多少米才 能追上兔子。 正确的答案是猎犬至少跑 60 米才能追上。 解： 由“猎犬跑 5 步的路程，兔子要跑 9 步”可知当猎犬每步 a 米，则兔 子每步 5/9 米。由“猎犬跑 2 步的时间，兔子却能跑 3 步”可知同一 时间，猎犬跑 2a 米，兔子可跑 5/9a*3＝5/3a 米。从而可知猎犬与兔 子的速度比是 2a：5/3a＝6：5，也就是说当猎犬跑 60 米时候，兔子 跑 50 米，本来相差的 10 米刚好追完 8． AB 两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是 4:5,如果甲 乙二人分别同时从 AB 两地相对行使,40 分钟后两人相遇,相遇后各自 继续前行,这样，乙到达 A 地比甲到达 B 地要晚多少分钟? 答案：18 分钟 解：设全程为 1,甲的速度为 x 乙的速度为 y 列式 40x+40y=1 x:y=5:4 得 x=1/72 y=1/90 走完全程甲需 72 分钟,乙需 90 分钟 故得解 9．甲乙两车同时从 AB 两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶， 各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离 B 地的距离是 AB 全程的 1/5。已知甲车在第一次相遇时行了 120 千米。AB 两地相距多 少千米？ 答案是 300 千米。 解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了 1 个 AB 的路 程，从开始到第二次相遇，一共又行了 3 个 AB 的路程，可以推算出 甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的 3 倍。 即甲共走的路程是 120*3＝360 千米，从线段图可以看出，甲一共走 了全程的（1+1/5）。 因此 360÷（1+1/5）＝300 千米 从 A 地到 B 地，甲、乙两人骑自行车分别需要 4 小时、6 小时，现在 甲乙分别 AB 两地同时出发相向而行，相遇时距 AB 两地中点 2 千米。 如果二人分别至 B 地，A 地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇 点之间有（）千米 10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要 6 小时;逆流 8 小 时。如果水流速度是每小时 2 千米，求两地间的距离？ 解：（1/6-1/8）÷2＝1/48 表示水速的分率 2÷1/48＝96 千米表示总路程 11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行 33 千米， 相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要 8 小时，求甲 乙两地的路程。 解： 相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是 4：3 时间比为 3：4 所以快车行全程的时间为 8/4*3＝6 小时 6*33＝198 千米 12．小华从甲地到乙地,3 分之 1 骑车,3 分之 2 乘车;从乙地返回甲 地,5 分之 3 骑车,5 分之 2 乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时 12 千米,乘车每小时 30 千米,问:甲乙两地相距多少千米? 解： 把路程看成 1，得到时间系数 去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30 返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30 两者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75 相当于 1/2 小时 去时时间：1/2×（1/3÷12）÷1/75 和 1/2×（2/3÷30）1/75 路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕+30×〔1/2×（2/3÷30） 1/75〕=37.5（千米） 六年级奥数题：浓度问题 【试题】：浓度为 60%的酒精溶液 200g，与浓度为 30%的酒精溶液 300g， 混合后所得到的酒精溶液的浓度是()。 【分析】： 溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量 溶质质量＝溶液质量×浓度 浓度＝溶质质量÷溶液质量 溶液质量＝溶质质量÷浓度 要求混合后的溶液浓度，必须求出混合后溶液的总质量和所含纯酒精 的质量。 混合后溶液的总质量，即为原来两种溶液质量的和： 200＋300＝500(g)。 混合后纯酒精的含量等于混合前两种溶液中纯酒精的和： 200×60%＋300×30%＝120＋90＝210(g) 那么混合后的酒精溶液的浓度为： 210÷500＝42% 【解答】：混合后的酒精溶液的浓度为 42%。 【点津】：当两种不同浓度的溶液混合后，其中的溶液总量和溶质总 量是不变的。 【试题】甲、乙、丙三人在 A、B 两块地植树，A 地要植 900 棵，B 地 要植 1250 棵。已知甲、乙、丙每天分别能植树 24，30，32 棵，甲在 A 地植树，丙在 B 地植树，乙先在 A 地植树，然后转到 B 地植树。两 块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从 A 地转到 B 地？ 【解析】总棵数是 900＋1250＝2150 棵，每天可以植树 24＋30＋32 ＝86 棵 需要种的天数是 2150÷86＝25 天 甲 25 天完成 24×25＝600 棵 那么乙就要完成 900-600=300 棵之后，才去帮丙 即做了 300÷30＝10 天之后 即第 11 天从 A 地转到 B 地。 六年级奥数题：牛吃草问题 【试题】有三块草地，面积分别是 5，15，24 亩。草地上的草一样厚， 而且长得一样快。第一块草地可供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可供 28 头牛吃 45 天，问第三块地可供多少头牛吃 80 天？ 【解析】这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。 把每头牛每天吃的草看作 1 份。 因为第一块草地 5 亩面积原有草量＋5 亩面积 30 天长的草＝10×30 ＝300 份 所以每亩面积原有草量和每亩面积 30 天长的草是 300÷5＝60 份 因为第二块草地 15 亩面积原有草量＋15 亩面积 45 天长的草＝28× 45＝1260 份 所以每亩面积原有草量和每亩面积 45 天长的草是 1260÷15＝84 份 所以 45－30＝15 天，每亩面积长 84－60＝24 份 所以，每亩面积每天长 24÷15＝1.6 份 所以，每亩原有草量 60－30×1.6＝12 份 第三块地面积是 24 亩，所以每天要长 1.6×24＝38.4 份，原有草就 有 24×12＝288 份 新生长的每天就要用 38.4 头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草， 那么原有的草就要够吃 80 天，因此 288÷80＝3.6 头牛 所以，一共需要 38.4＋3.6＝42 头牛来吃。 两种解法： 解法一： 设每头牛每天的吃草量为 1，则每亩 30 天的总草量为：10*30/5=60； 每亩 45 天的总草量为：28*45/15=84 那么每亩每天的新生长草量为 (84-60)/(45-30)=1.6 每亩原有草量为 60-1.6*30=12，那么 24 亩原 有草量为 12*24=288，24 亩 80 天新长草量为 24*1.6*80=3072，24 亩 80 天共有草量 3072+288=3360，所有 3360/80=42(头)。 解法二：10 头牛 30 天吃 5 亩可推出 30 头牛 30 天吃 15 亩，根据 28 头 牛 45 天 吃 15 木 ， 可 以 推 出 15 亩 每 天 新 长 草 量 (28*45-30*30)/(45-30)=24；15 亩原有草量：1260-24*45=180；15 亩 80 天所需牛 180/80+24(头)24 亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42 头。 三、经典题库 【题-001】抽屉原理 有 5 个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出 3 枚棋子.请你证明，这 5 个人中至少有两个小朋友摸出的棋子 的颜色的配组是一样的。 【题-002】牛吃草：（中等难度） 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 10 人淘水，3 小时淘完；如 5 人淘水 8 小时淘完.如果要求 2 小时 淘完，要安排多少人淘水？ 【题-003】奇偶性应用：（中等难度） 桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次将其中 6 只同时“翻转”. 请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使 9 只杯子全 部口朝下。 【题-004】整除问题：（中等难度） 用一个自然数去除另一个整数，商 40，余数是 16.被除数、除数、 商数与余数的和是 933，求被除数和除数各是多少？ 【题-005】填数字：（中等难度） 请在下图的每个空格内填入 1 至 8 中的一个数字，使每行、每列、 每条对角线上 8 个数字都互不相同． 【题-006】灌水问题：（中等难度） 公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一 周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开小 1 时， 恰好在打开某根进水管 1 小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、 甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开 1 小时，灌满一池水比第一 周少用了 15 分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的 顺序轮流打开 1 小时，比第一周多用了 15 分钟．第四周他三个 管同时打开，灌满一池水用了 2 小时 20 分，第五周他只打开甲 管，那么灌满一池水需用________小时． 【题-007】 浓度问题：（中等难度） 瓶中装有浓度为 15%的酒精溶液 1000 克，现在又分别倒入 100 克和 400 克的 A、B 两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了 14%．已 知 A 种酒精溶液浓度是 B 种酒精溶液浓度的 2 倍，那么 A 种酒精 溶液的浓度是百分之几？ 【题-008】水和牛奶：（中等难度） 一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另 一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才 能饮用．现在我把 A 桶里的液体倒入 B 桶，使其中液体的体积翻 了一番，然后我又把 B 桶里的液体倒进 A 桶，使 A 桶内的液体体 积翻番．最后，我又将 A 桶中的液体倒进 B 桶中，使 B 桶中液体 的体积翻番．此时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在 B 桶中， 水比牛奶多出 1 升．现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而 在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？ 【题-009】 巧算：（中等难度） 计算： 【题-010】队形：（中等难度） 做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形 队列）时，还多 10 人，如果站成一个每边多 1 人的实心方阵， 则还缺少 15 人.问：原有多少人？ 【题-011】计算：（中等难度） 一个自然数，如果它的奇数位上各数字之和与偶数位上各数字之 和的差是 11 的倍数，那么这个自然数是 11 的倍数，例如 1001， 因为 1+0=0+1，所以它是 11 的倍数；又如 1234，因为 4+2-（3 ＋1）=2 不是 11 的倍数，所以 1234 不是 11 的倍数.问：用 0、1、 2、3、4、5 这 6 个数字排成不含重复数字的六位数，其中有几 个是 11 的倍数？ 【题-012】分数：（中等难度） 某学校的若干学生在一次数学考试中所得分数之和是 8250 分. 第一、二、三名的成绩是 88、85、80 分，得分最低的是 30 分， 得同样分的学生不超过 3 人，每个学生的分数都是自然数.问： 至少有几个学生的得分不低于 60 分？ 【题-013】四位数：（中等难度） 某个四位数有如下特点：①这个数加 1 之后是 15 的倍数；②这 个数减去 3 是 38 的倍数；③把这个数各数位上的数左右倒过来 所得的数与原数之和能被 10 整除，求这个四位数. 【题-014】行程：（中等难度） 王强骑自行车上班，以均匀速度行驶.他观察来往的公共汽车， 发现每隔 12 分钟有一辆汽车从后面超过他，每隔 4 分钟迎面开 来一辆，如果所有汽车都以相同的匀速行驶，发车间隔时间也相 同，那么调度员每隔几分钟发一辆车？ 【题-015】跑步：（中等难度） 狗跑 5 步的时间马跑 3 步，马跑 4 步的距离狗跑 7 步，现在狗已 跑出 30 米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？ 【题-016】排队：（中等难度） 有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有 （ ） 【题-017】分数方程：（中等难度） 若干只同样的盒子排成一列，小聪把 42 个同样的小球放在这些 盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些 小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下．小聪 回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子．问：一共有多 少只盒子? 【题-018】自然数和：（中等难度） 在整数中，有用 2 个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方 法．例如 9：9=4+5，9=2+3+4，9 有两个用 2 个以上连续自然数 的和来表达它的方法. 【题-019】准确值：（中等难度） 【题-020】巧求整数部分题目：（中等难度） (第六届小数报决赛)A 8.8 8.98 8.998 8.9998 8.99998，A 的整数部分是_________. 【题目答案】 【题-001 解答】抽屉原理 首先要确定 3 枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有： 3 黑，2 黑 1 白，1 黑 2 白，3 白共 4 种配组情况，看作 4 个抽屉. 把每人的 3 枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有 5 个苹果.把 每人所拿 3 枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有 5 个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在 同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的 【题-002 解答】牛吃草 这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加. 所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变 的.船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不 变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。 如果设每个人每小时的淘水量为"1 个单位".则船内原有水量 与 3 小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数， 即 1×3×10＝30. 船内原有水量与 8 小时漏水量之和为 1×5×8=40。 每小时的漏水量等于 8 小时与 3 小时总水量之差÷时间差，即 （40-30）÷（8-3）=2（即每小时漏进水量为 2 个单位，相当于 每小时 2 人的淘水量）。 船内原有的水量等于 10 人 3 小时淘出的总水量-3 小时漏进水 量.3 小时漏进水量相当于 3×2=6 人 1 小时淘水量.所以船内原 有水量为 30-（2×3）=24。 如果这些水（24 个单位）要 2 小时淘完，则需 24÷2＝12（人）， 但与此同时，每小时的漏进水量又要安排 2 人淘出，因此共需 12+2＝14（人）。 从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必 须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量. 有了这两个量，问题就容易解决了。 【题-003 解答】奇偶性应用 要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次"翻转".要使 9 只杯子 口全朝下，必须经过 9 个奇数之和次"翻转".即"翻转"的总次数 为奇数.但是，按规定每次翻转 6 只杯子，无论经过多少次"翻转 "，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次"翻转"，都 不能使 9 只杯子全部口朝下。∴被除数=21×40+16=856。 答：被除数是 856，除数是 21。 【题-004 解答】整除问题 ∵被除数=除数×商+余数， 即被除数=除数×40+16。 由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877， ∴（除数×40+16）+除数=877， ∴除数×41=877-16， 除数=861÷41， 除数=21， ∴被除数=21×40+16=856。 答：被除数是 856，除数是 21 【题-005 解答】填数字： 解此类数独题的关键在于观察那些位置较特殊的方格(对角线上 的或者所在行、列空格比较少的)，选作突破口．本题可以选择 两条对角线上的方格为突破口，因为它们同时涉及三条线，所受 的限制最严，所能填的数的空间也就最小． 副对角线上面已经填了 2，3，8，6 四个数，剩下 1，4，5 和 7，这是突破口．观察这四个格，发现左下角的格所在的行已经 有 5，所在的列已经有 1 和 4，所以只能填 7．然后，第六行第 三列的格所在的行已经有 5，所在的列已经有 4，所以只能填 1．第 四行第五列的格所在的行和列都已经有 5，所以只能填 4，剩下 右上角填 5． 再看主对角线，已经填了 1 和 2，依次观察剩余的 6 个方格， 发现第四行第四列的方格只能填 7，因为第四行和第四列已经有 了 5，4，6，8，3．再看第五行第五列，已经有了 4，8，3，5， 所以只能填 6． 此时似乎无法继续填主对角线的格子，但是，可观察空格较少 的行列，例如第四列已经填了 5 个数，只剩下 1，2，5，则很明 显第六格填 2，第八格填 1，第三格填 5．此时可以填主对角线 的格子了，第三行第三列填 8，第二行第二列填 3，第六行第六 列填 4，第七行第七列填 5． 继续依次分析空格较少的行和列(例如依次第五列、第三行、 第八行、第二列……)，可得出结果如下图． 【题-006 解答】灌水问题： 如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开 1 小时，恰好在打开丙管 1 小时后灌满空水池，则第二周他按乙、 丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开 1 小时，应在打开甲管 1 小时后灌满一池水．不合题意． 如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打 开 1 小时，恰好在打开乙管 1 小时后灌满空水池，则第二周他按 乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开 1 小时，应在打开 丙管 45 分钟后灌满一池水；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、 甲……的顺序轮流打开 1 小时，应在打开甲管后 15 分钟灌满一 池水．比较第二周和第三周，发现开乙管 1 小时和丙管 45 分钟 的进水量与开丙管、乙管各 1 小时加开甲管 15 分钟的进水量相 同，矛盾． 所以第一周是在开甲管 1 小时后灌满水池的．比较三周发现， 甲管 1 小时的进水量与乙管 45 分钟的进水量相同，乙管 30 分钟 的进水量与丙管 1 小时的进水量相同．三管单位时间内的进水量 之比为 3:4:2． 【题-007 解答】 浓度问题 【题-008 解答】水和牛奶 【题-009 解答】 巧算： 本 题 的 重 点 在 于 计 算 括 号 内 的 算 式 ： ．这个算式不同于我们常见的分 数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分 子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适 当的变形，使之转化成我们熟悉的形式． 法一： 观察可知 5=2+3，7=3+4，……即每一项的分子都等于分母中前 两个乘数的和，所以 【题-010 解答】 队形 当扩大方阵时，需补充 10+15 人，这 25 人应站在扩充的方阵的 两条邻边处，形成一层人构成的直角拐角.补充人后，扩大的方 阵每边上有（10+15+1）÷2=13 人.因此扩大方阵共有 13×13=169 人，去掉 15 人，就是原来的人数 169-15=154 人 【题-011 解答】计算答案： 用１．２．３．４．５组成不含重复数字的六位数， ， 它能被 11 整除，并设 a1+a3+a5≥a2+a4+a6，则对某一整数 k≥0， 有： a1+a3+a5-a2-a4-a6=11k （*） 也就是： a1+a2+a3+a4+a5+a6=11k+2（a2+a4+a6） 15=0+1+2+3+4+5=11k+2（a2+a4+a6） （**） 由此看出 k 只能是奇数 由（*）式看出，0≤k<2 ，又因为 k 为奇数，所以只可能 k=1， 但是当 k=1 时，由（**）式看出 a2+a4+a6=2. 但是在 0、1、2、3、4、5 中任何三个数之和也不等于 2，可见 k≠1.因此（*）不成立. 对于 a2＋a4＋a6＞a1＋a3＋a5 的情形，也可类似地证明（a2＋ a4＋a6）-（a1＋a3＋a5）不是 11 的倍数. 根据上述分析知：用 0、1、2、3、4、5 不能组成不包含重复数 字的能被 11 整除的六位数. 【题-012 解答】 分数：（中等难度） 除得分 88、85、80 的人之外，其他人的得分都在 30 至 79 分之 间，其他人共得分：8250-（88＋85＋80）=7997（分）. 为使不低于 60 分的人数尽量少，就要使低于 60 分的人数尽 量多，即得分在 30～59 分中的人数尽量多，在这些分数上最多 有 3×（30＋31＋…＋59）= 4005 分（总分），因此，得 60～79 分的人至多总共得 7997-4005=3992 分. 如果得 60 分至 79 分的有 60 人，共占分数 3×（60+61+ …+ 79） = 4170，比这些人至多得分 7997-4005= 3992 分还多 178 分，所 以要从不低于 60 分的人中去掉尽量多的人.但显然最多只能去 掉两个不低于 60 分的（另加一个低于 60 分的，例如，178=60 ＋60＋58）.因此，加上前三名，不低于 60 分的人数至少为 61 人. 【题-013 解答】四位数：（中等难度） 四位数答案： 因为该数加 1 之后是 15 的倍数，也是 5 的倍数，所以 d=4 或 d=9. 因为该数减去 3 是 38 的倍数，可见原数是奇数，因此 d≠4， 只能是 d=9. 这表明 m=27、37、47；32、42、52.（因为 38m 的尾数为 6） 又因为 38m＋3=15k-1（m、k 是正整数）所以 38m+4=15k. 由于 38m 的个位数是 6，所以 5|（38m＋4）， 因此 38m+4=15k 等价于 3|（38m＋4），即 3 除 m 余 1，因此可知 m=37，m=52. 所求的四位数是 1409，1979. 【题-014 解答】 行程答案： 汽车间隔距离是相等的，列出等式为：（汽车速度-自行车速度） ×12=（汽车速度+自行车速度）×4 得出：汽车速度=自行车速度的 2 倍. 汽车间隔发车的时间=汽 车间隔距离÷汽车速度=（2 倍自行车速度-自行车速度）×12÷2 倍自行车速度=6（分钟）. 【题-015 解答】跑步：（中等难度） 根据"马跑 4 步的距离狗跑 7 步"，可以设马每步长为 7x 米，则 狗每步长为 4x 米。 根据"狗跑 5 步的时间马跑 3 步"，可知同一时间马跑 3*7x 米＝ 21x 米，则狗跑 5*4x＝20x 米。 可以得出马与狗的速度比是 21x：20x＝21：20 根据"现在狗已跑出 30 米"，可以知道狗与马相差的路程是 30 米， 他们相差的份数是 21-20＝1，现在求马的 21 份是多少路程，就 是 30÷（21-20）×21＝630 米 【题-016 解答】排队：（中等难度） 根据乘法原理，分两步： 第一步是把 5 对夫妻看作 5 个整体，进行排列有 5×4×3×2×1 ＝120 种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会 产生 5 个 5 个重复，因此实际排法只有 120÷5＝24 种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻 均有 2 种排法，总共又 2×2×2×2×2＝32 种 综合两步，就有 24×32＝768 种 【题-017 解答】分数方程：（中等难度） 设原来小球数最少的盒子里装有 a 只小球，现在增加了 b 只，由 于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装 有 a 个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球． 同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装 有(a+2)个小球． 类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等， 故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数． 现在变成：将 42 分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分 法，每一种分法有多少个加数? 因为 42=6×7，故可以看成 7 个 6 的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3) 是 6 个 6，从而 42=3+4+5+6+7+8+9，一共有 7 个加数； 又因为 42=14×3，故可将 42：13+14+15，一共有 3 个加数； 又因为 42=21×2，故可将 42=9+10+11+12，一共有 4 个加数． 所以原问题有三个解：一共有 7 只盒子、4 只盒子或 3 只盒子. 【题-018 解答】自然数和：（中等难度） 请写出只有 3 种这样的表示方法的最小自然数． (2)请写出只有 6 种这样的表示方法的最小自然数． 关于某整数，它的"奇数的约数的个数减 1"，就是用连续的整数 的和的形式来表达种数. 根据（1）知道，有 3 种表达方法，于是奇约数的个数为 3+1=4， 对 4 分解质因数 4=2×2，最小的 15(1、3、5、15)； 有连续的 2、3、5 个数相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5； 根据(2)知道，有 6 种表示方法，于是奇数约数的个数为 6+1=7， 最小为 729(1、3、9、27、81、243、729)，有连续的 2,3、6、9、 10、27 个数相加： 364+365；242+243+244；119+120+…+124；77+78+79+…+85； 36+37+…+45；14+15+…+40 【题-019 解答】准确值：（中等难度） 【题-020 解答】巧求整数部分题目：（中等难度）