小学数学精讲教案3_1_4 多次相遇和追及问题 教师版 17页

‎3-1-4‎多次相遇和追及问题 教学目标 1. 学会画图解行程题 2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题 知识精讲 板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕“”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．‎ 【例 1】 甲、乙两名同学在周长为米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑米，乙每秒钟跑米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】1星 【题型】解答 ‎ 【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为米，因为甲的速度为每秒钟跑米，乙的速度为每秒钟跑‎4米，所以这段时间内甲共行了米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了‎200米，可知甲还需行米才能回到出发点．‎ ‎【答案】米 【巩固】 甲乙两人在相距‎90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒‎3米，乙的速度是每秒‎2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】1星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎17‎ ‎【答案】17‎ 【巩固】 甲、乙两人从‎400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走‎0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎176‎ ‎【答案】176‎ 【例 2】 甲、乙二人从相距 ‎60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加‎1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点‎1千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 甲、乙两人的速度和第一次为60÷6=10（千米／时），第二次为12（千米/时），故第二次出发后5时相遇。设甲第一次的速度为x千米／时，由两次相遇的地点相距‎1千米，有6x－5（x＋1）＝±1，解得x＝6或x＝4，即甲、乙二人的速度分别为‎6千米／时和‎4千米／时。‎ ‎【答案】甲、乙二人的速度分别为‎6千米／时和‎4千米／时 板块二、运用倍比关系解多次相遇问题 【例 3】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家‎4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是‎8千米 ‎，这时是几点几分？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 画一张简单的示意图：‎ 图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.‎ 这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑‎8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.‎ 少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行‎16千米需要16分钟.‎ ‎8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。‎ ‎【答案】8点32分 【例 2】 甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。问：甲车的速度是乙车的多少倍？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎2倍。解：如下图所示，因为每次相遇都共行一个来回，所用时间相等，所以乙车两次相遇走的路程相等，即,推知.第一次相遇时，甲走了,乙走了,所以甲车速度是乙车的倍。‎ ‎　‎ ‎【答案】倍 【例 3】 如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了‎100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前‎60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+＝圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=‎300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为圈，所以此圆形场地的周长为‎480米．‎ ‎【答案】‎‎480米 【巩固】 A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇．已知C离A有‎75米，D离B有‎55米，求这个圆的周长是多少米？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎340‎ ‎【答案】340‎ 【巩固】 如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有‎80米，D离B有‎60米，求这个圆的周长。‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 第一次相遇，两人共走了0.5圈；第二次相遇，两人共走了1.5圈。因为1.5÷0.5＝3，所以第二次相遇时甲走的路程是第一次相遇时甲走的路程的倍，即(米)，推知(米)，圆周长为（米）。‎ ‎【答案】‎‎360米 【巩固】 在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 由题意知，甲行4分相当于乙行6分。从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以甲环行一周需12＋8＝20（分），乙需20÷4×6＝30（分）。‎ ‎【答案】20分，30分 板块三、多次相遇与全程的关系 ‎1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；‎ ‎ 第2次相遇，共走3个全程；‎ ‎ 第3次相遇，共走5个全程；‎ ‎ …………， ………………；‎ ‎ 第N次相遇，共走2N-1个全程；‎ 注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。‎ ‎2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；‎ ‎ 第2次相遇，共走4个全程； ‎ ‎ 第3次相遇，共走6个全程；‎ ‎ …………， ………………；‎ ‎ 第N次相遇，共走2N个全程；‎ ‎3、多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键 几个全程 多人相遇追及的解题关键 路程差 【例 1】 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地‎95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地‎25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：‎ 可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了‎95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个‎95千米，即95×3=285（千米），而这‎285千米比一个A、B两地间的距离多‎25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．‎ ‎【答案】‎‎260千米 【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地‎4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地‎3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎4×3=12千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的‎3千米，所以全程是12-3=‎9千米，所以两次相遇点相距9-（3+4）=‎2千米。‎ ‎【答案】‎‎2千米 【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地‎7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地‎5千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎4千米 ‎【答案】‎‎4千米 【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地‎6千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地‎4千米处第二次相遇，求两人第5次相遇地点距B 多远.‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎12千米 ‎【答案】‎‎12千米 【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地‎7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地‎3千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎90千米 ‎【答案】‎‎90千米 【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地‎3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地‎2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离.‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎4千米 ‎【答案】‎‎4千米 【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地‎18千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地‎13千米处第二次相遇，求AB两地之间的距离.‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎41千米 ‎【答案】‎‎41千米 【巩固】 甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，在距B地‎54千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A地‎42千米处相遇。求两次相遇地点的距离。‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎24千米。提示：第一次相遇两车共行了A， B间的一个单程，其中乙行了‎54千米；第二次相遇两车共行了A，B间的3个单程，乙行了54×3＝162（千米），乙行的路程又等于一个单程加‎42千米。故A，B间的距离为162－42＝120（千米）。‎ ‎【答案】‎‎120千米 【巩固】 湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从A，B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛‎700米，第二次相遇时距B岛‎400米。问：两岛相距多远？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎1700米‎。‎ ‎【答案】‎‎1700米 【例 2】 A、B两地相距‎2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑。甲每分钟跑‎300米，乙每分钟跑‎240米，在30分钟后停止运动。甲、乙两人在第几次相遇时A地最近？最近距离是多少米？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】希望杯，五年级，二试 【解析】 ‎30×(300+240)÷2400=6.75个全程，相遇3次，把全程分成9份，第一次相遇，甲跑5份，第二次相遇甲跑15份，距离A3份，第三次相遇甲跑25份距离A7份，所以第二次相遇距离A最近，最近为2400÷9×3=‎800米。‎ ‎【答案】‎‎800米 【巩固】 A、B两地相距‎950米。甲、乙两人同时由A 地出发往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走‎40米；乙跑步，每分钟行‎150米。则甲、乙二人第___ __次迎面相遇时距B地最近。‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎ ‎【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 半小时，两人一共行走米，相当于6个全程，两人行程每2个全程就会有一次相遇，而两人的速度比15：4，所以相同时间内两人的行程比为15：4，那么第一次相遇甲走了全程的，距离个全程，第二次相遇甲总行程距离个全程，第三次距离个全程，所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离地最近。‎ ‎【答案】第二次 【例 3】 如图8，甲、乙两艘快船不断往返于A、B两港之间。若甲、乙同时从A港出发，它们能否同时到达下列地点？若能，请推出它们何时到达该地点；若不能，请说明理由：‎ （1） A港口；‎ （1） B港口；‎ （2） 在两港口之间且距离B港‎30千米的大桥。‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】希望杯。五年级。二试 【解析】 ‎（1）甲往返一次的时间是 ‎ ，‎ ‎ 乙往返一次的时间是 ‎ ，‎ ‎ 13.5和7.5的最小公倍数是67.5，‎ ‎ 所以，在甲、乙出发后的小时，它们又同时回到港。 （5分）‎ ‎ （2）设甲、乙能同时到达港，此时，甲、乙各完成了次往返（是自然数），则有 ‎ ‎ 即 。‎ ‎ 当的个位数是6或1时，有满足上式的自然数。，最小的=1,最少需要4.5+13.5=18小时。则在甲、乙出发后18+67.5小时，它们同时到达港口。（10分）‎ ‎ （3）设甲、乙能同时到达大桥，且分别完成了次往返（是自然数）。‎ ‎ ①若此时甲、乙向下游行驶，则 ‎ ，‎ ‎ 即 ，‎ ‎ 没有满足上式的自然数。‎ ‎ ②若此时甲、乙向上游行驶，则 ‎ ，‎ ‎ 即 ，‎ ‎ 没有满足上式的自然数。‎ ‎ ③若此时甲向上游行驶，乙向下游行驶，则 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 没有满足上式的自然数。‎ ‎ ④若此时甲向下游行驶，乙向上游行驶，则 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 当的个位数是0或5时，有满足上式的自然数，所以在甲、乙出发后的 ‎ ‎ ‎ 小时，它们同时到达大桥。‎ ‎【答案】（1）小时 （2）18+67.5小时 ‎ ‎ （3）小时 【例 1】 甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池‎50米泳道的两端同时开始游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜。已知甲、乙的速度分别为‎1.0米／秒和‎0.8米／秒。问：（1）比赛开始后多长时间甲追上乙？（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎（1）250秒；（2）4次。提示：（2）甲、乙分别游了5个和14个单程，故迎面相遇4次。‎ ‎【答案】（1）250秒；（2）4次 【例 2】 甲、乙两车分别从A，B两地出发，并在A，B两地间不断往返行驶。已知甲车的速度是 ‎15千米／时，乙车的速度是‎25千米／时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差‎100千米。求A，B两地的距离。‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎200千米。第一次相遇时，两车共走个单程，其中乙车占。第三次相遇时，两车共走个单程，乙车走了（个）单程；第四次相遇时，两车共走个单程，乙车走了（个）单程；因为第三次、四次相遇地点相差（个）单程，所以，两地相距（千米）。‎ ‎【答案】‎‎200千米 【例 3】 欢欢和乐乐在操场上的A、B两点之间练习往返跑，欢欢的速度是每秒‎8米，乐乐的速度是每秒‎5米。两人同时从A点出发，到达B点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离的中点‎5米，之间的距离是________。‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯，4年级 ‎ 【解析】 ‎130米‎。 第二次应面相遇，两人合计跑了个全程，速度比试，所以欢欢跑了 全程为米 ‎【答案】米 【例 4】 甲、乙两车同时从A、B两地相对亦开出，两车第一次距A地‎32千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回，第二次在距A地‎64千米处相遇，则A、B两地间的距离是__________千米。‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，6年级 ，二试 【解析】 第一次相遇，两车行驶的距离总和等于AB两地距离； 第二次相遇，两车行驶的距离总和等于AB两地距离的三倍。 所以，第二次相遇时，两车各自行驶的距离也分别等于第一次相遇时行驶的距离的三倍。 第一次相遇时，甲车行驶‎32千米； 第二次相遇时，甲车行驶全程的二倍减‎64千米。 所以，全程的二倍减‎64千米等于‎96千米，全程为‎80千米。‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 小明和小红两人在长‎100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为‎6米/秒，小红的速度为‎4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：(秒)．此后，两人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了(秒)．求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列式计算为：(秒)，，共相遇(次)。注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．‎ ‎【答案】36次 【例 2】 ‎、两地间有条公路，甲从地出发，步行到地，乙骑摩托车从地出发，不停地往返于、两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达地时，乙追上甲几次？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在(分钟)内所走的路程恰等于线段的长度再加上线段的长度，即等于甲在()分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍()，则的长为的9倍，所以，甲从到，共需走(分钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个全程，因此，追及时间也变为200分钟()，所以，在甲从到的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟．‎ ‎【答案】第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟 【例 3】 甲、乙两人分别从、两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的，二人相遇后继续行进，甲到地、乙到地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是‎100千米，那么，、两地相距 千米．‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 由于甲、乙的速度比是，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是．第一次相遇时，两人共走了一个的长，所以可以把的长看作5份，甲、乙分别走了2份和3份；第二次相遇时，甲、乙共走了三个，乙走了份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个，乙走了份． 乙第二次和第三次相距10－6=4（份）所以一份距离为：100÷4=25（千米），那么、两地距离为：5×25＝125（千米）‎ ‎【答案】‎‎125千米 【巩固】 小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地‎3千米处相遇，第二次在距甲地‎6千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为 千米．‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎ 【解析】 由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．‎ ‎①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在处相遇，第二次在处相遇．由于第一次相遇时两人合走1个全程，小王走了‎3千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走2个全程，所以这期间小王走了千米，由于、之间的距离也是‎3千米，所以与乙地的距离为千米，甲、乙两地的距离为千米；‎ ‎②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在处追上小王．在这个过程中，小王走了千米，小李走了千米，两人的速度比为．所以第一次相遇时小李也走了‎9千米，甲、乙两地的距离为千米．‎ 所以甲、乙两地的距离为千米或‎12千米．‎ ‎【答案】千米或‎12千米 【巩固】 A，B两地相距‎540千米。甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 第一次相遇，甲乙总共走了2个全程，第二次相遇，甲乙总共走了4个全程，乙比甲快，相遇又在P点，所以可以根据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个P点到第二个P点，路程正好是第一次的路程。所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。这样根据总结：2个全程里乙走了（540÷3）×4=180×4=‎720千米，乙总共走了720×3=‎2160千米。‎ ‎【答案】乙总共走了‎2160千米 【例 2】 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村‎3.5千米处第一次相遇，在离乙村‎2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 画示意图如下.‎ ‎　　第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了 ‎　　3.5×3＝10.5（千米）.‎ ‎　　从图上可看出，第二次相遇处离乙村‎2千米.因此，甲、乙两村距离是 ‎　　10.5-2＝8.5（千米）.‎ ‎　　每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了 ‎　　3.5×7＝24.5（千米），‎ ‎　　24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.‎ ‎　　就知道第四次相遇处，离乙村 ‎　　8.5-7.5=1（千米）.‎ ‎　　答：第四次相遇地点离乙村‎1千米.‎ ‎【答案】第四次相遇地点离乙村‎1千米 【例 3】 A，B两地间有条公路，甲从A地出发步行到B地，乙骑摩托车从B地出发不停顿地往返于A，B两地之间。他们同时出发，80分后两人第一次相遇，100分后乙第一次超过甲。问：当甲到达B 地时，乙追上甲几次？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎4次。提示：如下图所示，C，D点分别为乙第一次遇到和超过甲的地点。甲从A到C用了80分，到D用了100分，乙从C到A又到D用了20分，可见乙20分走了甲需180分走的路，即己的速度是甲的9倍。‎ ‎【答案】4次 【例 2】 电子玩具车与在一条轨道的两端同时出发相向而行，在轨道上往返行驶。已知比的速度快，根据推算，第次相遇点与第次相遇点相距厘米，轨道长 厘米。‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】学而思杯，6年级，1试 【解析】 ‎，两车速度比为。第次相遇点的位置在：‎ ‎　　　　；第次相遇点的位置在：‎ ‎　　　　。所以这条轨道长（厘米）。‎ ‎【答案】‎ 板块四、解多次相遇问题的工具——柳卡 柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。‎ 【例 3】 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．‎ 他先画了如下一幅图：‎ ‎ ‎ 这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．‎ 从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．‎ 如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．‎ ‎【答案】15艘 【巩固】 一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15‎ 分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站．在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车．到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多少分钟？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 先让学生用分析间隔的方式来解答：‎ 骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出．骑车中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是（分钟）．‎ 再引导学生用柳卡的运行图的方式来分析：‎ 第一步：在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站．由于每隔5分钟有一辆电车从甲站出发，所以把表示甲站与乙站的直线等距离划分，每一小段表示5分钟．‎ 第二步：因为电车走完全程要15分钟，所以连接图中的1号点与P点（注意：这两点在水平方向上正好有3个间隔，这表示从甲站到乙站的电车走完全程要15分钟），然后再分别过等分点作一簇与它平行的平行线表示从甲站开往乙站的电车．‎ 第三步：从图中可以看出，要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车，那么从P点引出的粗线必须和10条平行线相交，这正好是图中从2号点至12号点引出的平行线．‎ 从图中可以看出，骑车人正好经历了从P点到Q点这段时间，因此自行车从乙站到甲站用了（分钟）．‎ 对比前一种解法可以看出，采用运行图来分析要直观得多！‎ ‎【答案】分钟 【例 2】 甲、乙两人在一条长为‎30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒‎1米，乙的速度是每秒米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩！‎ 首先，甲跑一个全程需（秒），乙跑一个全程需（秒）．与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：‎ 一个周期内共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇．‎ 从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇了（次）‎ ‎【答案】20次 【例 3】 A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游‎100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为‎2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距‎20千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒．‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，复赛，高年级组 【解析】 本题采用折线图来分析较为简便．‎ 如图，箭头表示水流方向，表示甲船的路线，表示乙船的路线，两个交点、就是两次相遇的地点．‎ 由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是和的长度相同，和的长度相同．‎ 那么根据对称性可以知道，点距的距离与点距的距离相等，也就是说两次相遇地点与、两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距‎20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了千米和千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为．‎ 而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为‎4米/秒，可得顺水速度为米/秒，那么两船在静水中的速度为米/秒．‎ ‎【答案】‎10米/秒 【例 2】 A、 B 两地相距‎1000 米，甲从 A地、乙从 B 地同时出发，在 A、 B 两地间往返锻炼．乙跑步每分钟行‎150米，甲步行每分钟行 ‎60米．在 30分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距 B 地最近(从后面追上也算作相遇)？最近距离是多少？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 甲、乙的运行图如上，图中实现表示甲，虚线表示乙，两条线的交点表示两人相遇．在 30 分钟内，两人共行了 (150 60) 30 ‎6300= ´ + 米，相当于 6 个全程又 ‎300 米，由图可知，第 3次相遇时距离 A地最近，此时两人共走了 3 个全程，即1000 ×3 =‎3000千米，用时3000÷（150+60）=100/7分钟，甲行了60×100/7=6000/7米， 相遇地点距离 B 地1000-6000/7» ‎143米．‎ ‎【答案】‎‎143米 【巩固】 A、 B 两地相距 ‎950 米．甲、乙两人同时由 A地出发往返锻炼半小时．甲步行，每分钟走 ‎40 米；乙跑步，每分钟行 ‎150 米．则甲、乙二人第几次迎面相遇时距 B 地最近？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 半小时内，两人一共行走 （40＋ 150）× 30 =‎5700 米，相当于 6 个全程，两人每合走 2 个全程就会有一次相遇，所以两人共有 3 次相遇，而两人的速度比为 40 :150= 4 :15，所以相同时间内两人的行程比为 4 :15，那么第一次相遇甲走了全程的，距离 B ‎ 地11/19个全程；第二次相遇甲走了16/19个全程，距离 B 地3/19个全程；第三次相遇甲走了24/19个全程，距离 B 地5/19个全程，所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离 B 地最近．‎ ‎【答案】第二次 【巩固】 ‎、两地相距，甲、乙两人同时从地出发，往返、两地跑步分钟．甲跑步的速度是每分钟；乙跑步的速度是每分钟．在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离点的距离最近？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎（分钟）．甲、乙两人合走一个全程需要分钟，每合走 个全程相遇一次，所以总共相遇次．而甲每分钟走（）并且与乙相遇一次，因为（）也就是当甲、乙两人第次相遇时甲离地为最小，在第次相遇时他们离点距离最近．‎ ‎【答案】第7次 【巩固】 A、 B 两地相距 ‎2400 米，甲从 A地、乙从 B 地同时出发，在 A、 B 两地间往返锻炼．甲每分钟跑 ‎300 米，乙每分钟跑 ‎240 米，在 30 分钟后停止运动．甲、乙两人第几次相遇时距 A地最近？最近距离是多少？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 第二次，‎‎800米 ‎【答案】第二次，‎‎800米 板块五、多次相遇问题——变道问题 【例 2】 甲、乙两车同时从同一点出发，沿周长‎6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶‎65千米，乙车每小时行驶‎55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇)‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 第一次是一个相遇过程，相遇时间为：小时，相遇地点距离点：千米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间为：小时，乙车在此过程中走的路程为：千米，即5圈又‎3千米，那么这时距离点千米．‎ 此时甲车调头，又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离点千米，然后乙车掉头，成为追及过程，根据上面的计算，乙车又要走5圈又‎3千米，所以此时两车又重新回到了点，并且行驶的方向与最开始相同．‎ 所以，每4次相遇为一个周期，而，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，与点的距离是‎3000米．‎ ‎【答案】‎‎3000米 【例 3】 下图是一个边长‎90米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分行‎75米，乙顺时针每分行‎45米．两人第一次在CD边（不包括C，D两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 两人第一次相遇需分，其间乙走了（米）．由此知，乙每走‎135米两人相遇一次，依次可推出第7次在CD边相遇（如图，图中数字表示该点相遇的次数）‎ ‎【答案】第7次 【例 4】 如图所示，甲、乙两人从长为米的圆形跑道的点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分）道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒 米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒米。两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距点还有 米。‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到点，即两人在点迎面相遇，然后再从点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期．‎ 在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出发点是第四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是点．本题要求的是第99次迎面相遇的地点与点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与点的距离．‎ 对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到跑完正常道路时，乙才跑了米，此时两人相距‎100米，且之间全是泥泞道路，此时两人速度相同，所以再各跑‎50米可以相遇．所以第一次相遇时乙跑了米，这就是第一次相遇点与点的距离，也是第99次迎面相遇的地点与点的距离．‎ ‎【答案】米 【例 2】 如图,学校操场的‎400米跑道中套着‎300米小跑道,大跑道与小跑道有‎200米路程相重．甲以每秒‎6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒‎4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?‎ ‎ ‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 根据题意可知，甲、乙只可能在右侧的半跑道上相遇．‎ 易知小跑道上左侧的路程为‎100米,右侧的路程为‎200米,大跑道上的左、右两侧的路程均是‎200米．‎ 我们将甲、乙的行程状况分析清楚．‎ 当甲第一次到达点时,乙还没有到达点,所以第一次相遇一定在逆时针的某处．‎ 而当乙第一次到达点时，所需时间为秒,此时甲跑了米,在离点米处．‎ 乙跑出小跑道到达点需要秒,则甲又跑了米,在点左边米处．‎ 所以当甲再次到达处时,乙还未到处,那么甲必定能在点右边某处与乙第二次相遇．‎ 从乙再次到达处开始计算,还需秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了秒．‎ 所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了米．‎ ‎【答案】米 【例 3】 下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆直径‎48厘米，小圆直径‎30厘米。两只甲虫同时从A 点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？ ‎ ‎【考点】行程问题 【难度】5星 【题型】解答 ‎ 【解析】 我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A点，另一只在过A的直径另一直径端点B，‎ 所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m＋圈；‎ 于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲虫跑了48(m＋)＝‎48m＋24‎ 因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，‎ 所以30n＝‎48m＋24；‎ 即5n＝‎8m＋4，有不定方程知识，解出有n＝4，m＝2，‎ 所以小甲虫跑了2圈后，大小甲虫相距最远。‎ ‎【答案】小甲虫跑了2圈后，大小甲虫相距最远 【例 2】 如图所示，甲沿长为米大圆的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆八字形跑步(图中给出跑动路线的次序：）。如果甲、乙两人同时从点出发，且甲、乙二人的速度分别是每秒‎3米和‎5米，问两人第三次相遇的时间是出发后 秒。‎ ‎【考点】行程问题 【难度】5星 【题型】解答 ‎ 【解析】 从图中可以看出，甲、乙两人只有可能在、两点处相遇（本题中，虽然在处时两人都是顺时针，但是由于两人的跑道不同，因此在此处的相遇不能看作是追及）．‎ 从到，在大圆周上是半个圆周，即‎200米；在小圆周上是整个小圆圆周，也是‎200米．两人的速度之比为，那么两人跑‎200米所用的时间之比为．设甲跑‎200米所用的时间为5个时间单位，则乙跑‎200米所用的时间为3个时间单位．根据题意可知，1个时间单位为秒．‎ 可以看出，只有甲跑的时间是5个时间单位的整数倍时，甲才可能在点或点，而且是奇数倍时在点，是偶数倍时在点；乙跑的时间是3个时间单位的整数倍时，乙才可能在点或点，同样地，是奇数倍时在点，是偶数倍时在点．‎ 要使甲、乙在、‎ 两点处相遇，两人所跑的时间应当是15个时间单位的整数倍（由于3和5的奇偶性相同，所以只要是15个时间单位的整数倍甲、乙两人就能相遇），可以是15个时间单位、30个时间单位、45个时间单位……所以两人第三次相遇是在过了45个时间单位后，也就是说，出发后秒两人第三次相遇．‎ 也可以画表如下：‎ 甲 ‎0‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ ‎45‎ 乙 ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎30‎ ‎33‎ ‎36‎ ‎39‎ ‎42‎ ‎45‎ 从中可以看出，经过15个时间单位后两人同在点，经过30个时间单位后两人同在点，经过45个时间单位后两人同在点，这是两人第三次相遇．‎ ‎【答案】秒 【例 1】 三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为‎210厘米；甲、乙两只爬虫分别从、两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟‎20厘米和每分钟l‎5厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米?‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 根据题意，甲爬虫爬完半圈需要分钟，乙爬虫爬完半圈需要分钟．由于甲第一次爬到1、2之间要分钟，第一次爬到2、3之间要分钟，乙第一次爬到2、3之间要7分钟，所以第一次相遇的地点在2号环形跑道的上半圈处．‎ 由于甲第一次爬到2、3之间要分钟，第二次爬到1、2之间要分钟，乙第一次爬到1、2之间要14分钟，所以第二次相遇的地点在2号环形跑道的下半圈处．‎ 当两只爬虫都爬了14分钟时，甲爬虫共爬了米，(米)，所以甲在距1、2交点‎35米处，乙在1、2交点上，还需要(分钟)相遇，所以第二次相遇时，两只爬虫爬了分钟．‎ 所以甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了厘米．‎ ‎【答案】厘米 【例 2】 从花城到太阳城的公路长‎12公里．在该路的 ‎2千米处有个铁道路口，是每关闭 3分钟又开放 3分钟的．还有在第 ‎4千米及第 ‎6 千米有交通灯，每亮 2分钟红灯后就亮 3分钟绿灯．小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城，出发时道口刚刚关闭，而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯．已知电动车速度是常数，小糊涂既不刹车也不加速，那么在不违反交通规则的情况下，他到达太阳城最快需要多少分钟？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】5星 【题型】解答 ‎ 【解析】 画出反映交通灯红绿情况的 s t- 图，可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情况下速度最大可以是 ‎0.5 千米／分钟，此时恰好经过第 ‎6千米的红绿灯由红转绿的点，所以他到达太阳城最快需要 24分钟．‎ ‎【答案】24分钟 【例 1】 男、女两名田径运动员在长‎110米的斜坡上练习跑步(坡顶为A，坡底为B．两人同时从A点出发，在A，B之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒‎3米，下坡速度是每秒‎5米，女运动员上坡速度是每秒‎2米，下坡速度是每秒‎3米．那么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米?‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 开始下山时，男运动员的速度大于女运动员的速度，有男运动员到达坡底B所需时间为110÷5=22秒，此时女运动员才跑了22×3=‎‎66米 ‎ 现在女运动员的速度不变，还是每秒‎3米，而男运动员将从B上坡到A，速度变为每秒‎3米．男、女运动员的距离为110-66=‎44米，所以当男运动员再跑44÷(3+3)×3=‎22米后男女运动员第一次迎面相遇，相遇点距B地‎22米，如下图所示．(本题4图所标注数字均是距坡底B的距离数)‎ 所以当女运动员到达坡底B时，男运动员又跑了‎22米，即到达距B地‎44米的地方，如下图所示．‎ ‎ ‎ ‎ 此后，女运动员从坡底B上坡到A，速度变为每秒‎2米，男运动员的速度还是每秒‎3米，所以当男运动员再跑110-44=‎66米到达坡顶A时，女运动员才跑了66÷3×2=‎44米，即距离坡底B地‎44米的地方，如下图所示．‎ ‎ ‎ 这时，女运动员的速度不变还是每秒‎2米，而男运动员的速度变为每秒‎5米，男、女运动员相距110-44=‎66米，所以当男、女运动员第二次相遇时，男运动员又跑了米，如下图所示．‎ 即第二次相遇的地点距以点米．‎ ‎【答案】米