小升初数学专项训练比例百分数篇（教师版） 12页

名校真题 比例百分数篇 时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________‎ ‎1 （12年清华附中考题）‎ 甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是________元. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2 （13年101中学考题）‎ ‎100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，那么这100千克的蘑菇现在还有多少千克呢？ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 3 ‎（12年实验中学考题）‎ 有两桶水：一桶‎8升，一桶‎13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7，那麽往每个桶中加进去的水量是 升。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4 （12年三帆中学考题）‎ 有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一样重。如果从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍。这两堆煤共重（    ）吨。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5 （12年人大附中考题）‎ 一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，开始时黑棋子，求白棋子各有多少枚？ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【附答案】‎ ‎1 【解】：设方程：设甲成本为X元，则乙为2200-X元。根据条件我们可以求出列出方程：90%×[（1+20%）X+(1+15%)(2200-X)]-2200=131。解得X=1200。‎ ‎2 【解】：转化成浓度问题 相当于蒸发问题，所以水不变，列方程得：100×（1-99%）=（1-98%）X，解得X=50。‎ 方法二：做蒸发的题目，要改变思考角度，本题就应该考虑成“98％的干蘑菇加水后得到99％的湿蘑菇”，这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份，就又转变成“混合配比”的问题了。但要注意，‎10千克的标注应该是含水量为99％的重量。将‎100千克按1∶1分配，如下图：‎ ‎　所以蒸发了100×1/2=‎50升水。‎ ‎3 【解】此题的关键是抓住不变量：差不变。这样原来两桶水差13-8=‎5升，往两个桶中加进同样多的水后，后来还是差‎5升，所以后来一桶为5÷（7-5）×5=12.5，所以加入水量为‎4.5升。‎ ‎4 【解】从甲堆运12吨给乙堆两堆煤就一样重说明甲堆比乙堆原来重12×2=24吨，这样乙堆运12吨给甲堆，说明现在甲乙相差就是24+24=48吨，而甲堆煤就是乙堆煤的2倍，说明相差1份，所以现在甲重48×2=96吨，总共重量为48×3=144吨。‎ ‎5 【解】第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2:1（=10：5）变为1:5，而其中白棋的数目是不变的，这样我们就知道白棋由原来的10份变成现在的1份，减少了9份。这样原来黑棋=45÷9×10=50，白棋=45÷9×5+15=40。‎ 希望考入重点中学？‎ 奥数网是我们成就梦想的地方！‎ 第九讲 小升初专项训练 比例百分数篇 一、小升初考试热点及命题方向 分数百分数是小学六年级重点学习的知识点，也是小升初重点考察的知识点，这一部分主要考察三大块，分百应用题；比和比例；经济浓度问题；三块的地位是均等的，在考试中都有可能出现，希望同学们全面复习，而不要厚此薄彼。‎ 二、2007年考点预测 ‎07年的出题方式依然是大题中必然出现一道或者两道和本章内容相关的题目，占的分值权重较大，只要认真复习，掌握解题规律，则可以顺利的拿下这部分分值。‎ 深刻理解公式的用法！‎ ‎ ‎ 三、知识要点 分数百分数应用题 分数、百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学重点和难点之一．一方面它是在整数应用题基础上的继续和深化；另一方面，它有其本身的特点和解题规律．因此，在这类问题中，数量之间以及“量”、“率”之间的相依关系与整数应用题比较，就显得较为复杂，这就给正确地选择解题方法，正确解答带来一定困难．‎ ‎　　为了学好分数、百分数应用题的解法必须做好以下几方面工作． ‎ ‎　　①具备整数应用题的解题能力．解答整数应用题的基础知识，如概念、性质、法则、公式等仍广泛用于分数、百分数应用题．‎ ‎　　②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用．‎ ‎　　③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件．它可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理．‎ ‎④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，在寻找正确的解题方法同时，不断地开拓解题思路． 比和比例 这一讲主要涉及比例的意义和性质，按比例分配，正反比例等几个知识。‎ 在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断．‎ ‎　　成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）。在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如： 成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例．‎ 经济浓度问题 这一节的内容与生活实际联系很紧密，在浓度问题中要理解好溶剂、溶质、溶液、浓度这几个量之间的关系。而经济问题中，则要恰当处理好成本、售价、利润、利润率这几个量的关系。‎ 四、典型例题解析 ‎1 分数百分数应用题 ‎【例1】（★★）某班有学生48人，女生占全班的37.5％，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40％，问转来几名女生？‎ ‎【解】这是一道变换单位“1”的分数应用题，需抓住男生人数这个不变量，如果按浓度问题做，就简单多了。‎ 浓度差之比1∶24 　　重量之比 24∶1　　48÷24×1=2人 方法二：男生原来有48×（1-37.5％）=30，来了女生后男生的人数书不变的，所以后来全班的总人数就是30÷（1-40％）=50，所以增加的2人就是转来的女生人数。‎ ‎【例2】（★★）把一个正方形的一边减少 20％，另一边增加‎2米，得到一个长方形.它与原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少？‎ ‎【解】设正方形的边长是“1”.因为长方形与原来的正方形面积相等，一边减少了 20％，另一边将增加 ‎　　所以正方形的边长是　　2÷25％＝8（米）.‎ 正方形的面积是　　8×8＝ 64（平方米）.‎ ‎【例3】（★★★）学校男生人数占45％，会游泳的学生占54％。男生中会游泳的占72％，问在全体学生中不会游泳的女生占百分之几？‎ ‎【解1】在全体学生中，不会游泳的女生占33.4％. 在全体学生中，会游泳的男生占　　45％×72％＝32.4％. 在会游泳的学生中，男生占　　32.4％÷54％×100％＝ 60％ 在全体学生中，不会游泳的女生占（100％-45％）-54％×（1-60％）＝33.4％.‎ ‎【解2】画一个图非常清楚。‎ ‎【例4】某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的1/3与原二班的1/4组成新一班，将原一班的1/4与原二班的1/3组成新二班，余下的30人组成新三班。如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？ ‎ ‎【解】：原一班的1/3与原二班的1/4 + 原一班的1/4与原二班的1/3=7/12总人数，‎ 余下1-7/12=5/12，是30人，所以总人数=30/（5/12）=72人；72-30=42人，新一班与新二班的人数和为42人，新一班的人数比新二班的人数多10%，新一班人数：新二班人数=11：10，即原一班的（1/3-1/4）=1/12比原二班的1/12多2人，原一班比原二班共多12×2=24人，所以，原一班有24+（72-24）/2=48人。‎ 答：原一班有48人。‎ ‎2 比和比例 ‎ ‎ ‎【例5】（★★★）一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少‎13厘米，宽增加‎13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？‎ 画出图便于解题：‎ ‎【解1】：BC的长：182÷13＝14（厘米），‎ ‎　　　　　　BD的长：14＋13＝27（厘米），‎ ‎　　从图中看出AB长就是原长方形的宽，AD与AB的比是14∶5，‎ ‎　　AB与BD的比是5∶（14－5）＝5∶9，‎ ‎　　‎ ‎　　原长方形面积是42×15＝630（平方厘米）。‎ ‎　　答：原长方形面积是630平方厘米。‎ ‎【解2】：设原长方形长为14x，宽为5x．由图分析得方程 ‎　　（14x－13）×13－5x×13＝182，‎ ‎　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　9x＝27，‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　x＝3。‎ ‎　　则原长方形面积 ‎　 （14×3）×（5×3）＝630（平方厘米）。‎ ‎【拓展】已知长方形的周长为‎346米，若边长分别增加‎2米，则面积增加多少平方米？‎ 设两边长分别为a、b，这样增加的面积我们可以分为一个2×2的正方形，一个2×a的长方形，一个2×b的长方形，所以增加的面积就是2×（a+b）+2×2=‎350平方米。‎ ‎【例6】（★★★）有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为2∶5。现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长方形纸板做侧面（左下图），横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面（右下图），那么做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是多少？‎ ‎【解】4∶3。设竖式纸盒有a个，横式纸盒有b个，则共用长方形纸板（‎4a＋3b）块，正方形纸板（a＋2b）块。根据题意有：‎ ‎（a＋2b）∶（‎4a＋3b）＝2∶5，即5（a＋2b）＝2（‎4a＋3b），解得a∶b＝4∶3。‎ ‎【例7】（★★★）某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4∶3.结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8∶5.未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3∶4.问报考的共有多少人？‎ ‎【解1】报考人数是119人，‎ 录取学生中男生：91×=56人，女：91-56=35（人）.‎ ‎　先将未录取的人数之比3：4变成4：4×，又有56×＝42（人）‎ ‎ 　　未录取男生 4 × 3= 12（人），女生 16（人）。 　　报考人数是 （56+ 12）+ （35 + 16）= 119（人）。‎ ‎【解2】‎ ‎(56+3x)：（35+4x）=4：3 得：X=4‎ 未录取男生 4 × 3= 12（人），女生 16（人）。‎ 报考人数是 （56+ 12）+ （35 + 16）= 119（人）。‎ ‎【例8】（★★★）幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生。已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班中男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？ ‎ ‎【解】[方法一]：鸡兔同笼 ‎[思 路]：由于男女生有比例关系，而且知道总数，所以我们可以用鸡兔同笼。‎ 解：假设18名女生全部是大班，则 ‎ 大班男生数：女生数=5:3=30：18，即男生应有30人， ‎ 实际男生有32人，32-30=2，相差2个人； ‎ 中班男生数：女生数=2:1=6：3， ‎ 以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，需要换2组； ‎ 所以，大班女生有18-3×2=12个。 ‎ 答：大班有女生12名。‎ ‎[方法二]：份数 ‎[思 路] ：可以把中班女生数看作“‎1”‎份，那么中班男生数为2份．从而大班中的男生数为32—2份，大班里的女生人数是18—1份．根据题意有(32—2份)：(18—1份)=5：3，只要求出1份的数目即可。‎ 解：设中班女生数看作“1”，(32—2份)：(18—1份)=5：3，求出一份是6人 所以大班的女生则有18—6=12人．‎ 答：大班有女生12名。‎ 3 ‎ 经济浓度问题 ‎【例9】（★★）某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？‎ ‎【解】设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×（1+ 30％）＝1.3.其中 　　80％的卖价是 1.3×80％， 　　20％的卖价是 1.3÷2×20％. 　　因此全部卖价是　　1.3×80％ ＋1.3 ÷ 2×20％＝ 1.17. 　　实际获得利润的百分数是　　1.17－1＝ 0.17＝17％.‎ ‎【例10】（★★★）A，B，C三个试管中各盛有‎10克、‎20克、‎30克水。把某种浓度的盐水 ‎10克倒入 A中，混合后取出‎10克倒入B中，混合后又从 B中取出 ‎10克倒入 C中。现在 C中盐水浓度是 0.5％。问最早倒入A中的盐水浓度是多少？‎ ‎【解】最早倒入A中的盐水浓度为 12％。 B中盐水的浓度是（30 ＋ 10）×0.5％ ÷10×100％=2％。 现在A中盐水的浓度是（20＋10）×2％ ÷10×100％＝ 6％。 最早倒入A中的盐水浓度为 （10＋10）×6％ ÷10=12％。‎ ‎【例11】（★★★）小明到商店买红、黑两种笔共66支。红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元。由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价85％付钱，黑笔按定价80％付钱，如果他付的钱比按定价少付了18％，那么他买了红笔多少支？‎ ‎【来源】北京市第14届迎春杯数学竞赛初赛试题 ‎　　 ‎ ‎【解】浓度倒三角的妙用：‎ 红笔按85％优惠，黑笔按80％优惠，结果少付18％，相当于按82％优惠，可按浓度问题进行配比。与其他题不同的地方在于红、黑两种笔的单价不同，要把这个因素考虑进去。然后就可以按比例分配这66支笔了。‎ ‎　　‎ ‎【例12】制鞋厂生产的皮鞋按质量共分10个档次，生产最低档次（即第1档次）的皮鞋每双利润为24元。每提高一个档次，每双皮鞋利润增加6元。最低档次的皮鞋每天可生产180双，提高一个档次每天将少生产9双皮鞋。按天计算，生产哪个档次的皮鞋所获利润最大？最大利润是多少元？‎ ‎【解】第9档次；7776元。 由题意，生产第n（n=1，2，…，10）档次的皮鞋，每天生产的双数为189－9n=9×（21－n）双，每双利润为18＋6n=6×（3＋n）（元），所以每天获利润［6×（3＋n）］×［9× ［（21－n）］=54×（3＋n）×（21－n）元。‎ 两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大。上式中，因为（3+n）与（21－n）的和是24，而n=9时，（3＋n）与（21－n）都等于12，所以每天生产第9档次的皮鞋所获利润最大，最大利润是54×（3＋9）×（21－9）＝7776（元）。‎ 小结 本讲主要接触到以下几种典型题型：‎ ‎1）分数百分数应用题 参见例1，2，3，4‎ ‎2）比和比例 参见例5，6，7，8‎ ‎3）经济浓度问题 参见例9，10，11，12‎ ‎【课外知识】‎ 勾股定理 ‎　　勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。‎ ‎    这个定理在中国又称为"商高定理"，在外国称为"毕达哥拉斯定理"。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说："…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。"什么是"勾、股"呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五"。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。‎ ‎    毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了。‎ ‎    关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说："故禹之所以治天下者，此数之所由生也。""此数"指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。‎ 勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。"这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。‎ 作业题 ‎ ‎ ‎ ‎（注：作业题--例题类型对照表，供参考）‎ 题1—类型1；题2，4，5，6，8—类型4；题3，7—类型5 ‎ ‎1、（★★★）某中学，上年度高中男、女生共290人.这一年度高中男生增加4％，女生增加5％，共增加13人.本年度该校有男、女生各多少人？‎ ‎【解】男生156人，女生147人。‎ 如果女生也是增加 4％，这样增加的人数是290×4％＝11.6（人）.比 13人少 1.4人.因此上年度是 1.4÷（5％- 4％）＝140（人）.本年度女生有 ‎　　140×（1＋5％）＝ 147（人）.‎ ‎2、（★★★）在下图中AB，AC的长度是15，BC的长度是9.把BC折过去与AC重合，B点落在E点上，求三角形ADE与三角形ABC面积之比.‎ ‎【解】1∶4.　三角形ADE与三角形EDC面积之比是　（15-9）∶9.‎ ‎3、（★★★）成本 0.25元的练习本 1200本，按 40％的利润定价出售。当销掉80％后，剩下的练习本打折扣出售，结果获得的利润是预定的 86％，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？‎ ‎【解】打了8折.‎ ‎　　先销掉 80％，可以获得利润0.25×40％×1200×80％＝ 96.按86％获得利润 0.25×40％×1200×86％=103.2.因此，出售剩下的20％，要获得利润 ‎　　103.2-96=7.2（元），‎ ‎　　每本需要获得利润 ‎　　7.2÷（1200× 20％）= 0.03（元）。‎ ‎　　现在售价是 0.25＋ 0.03＝ 0.28（元），定价是 ‎　　0.25×（1＋ 40％）＝ 0.35（元）。‎ ‎　　售价是定价的0.28÷ 0.35=80％。‎ ‎4、（★★★）甲乙两人各有一些书，甲比乙多的数量恰好是两人总数的，如果甲给乙20本，那么乙比甲多的数量恰好是两人总数的。那么他们共有多少本书？‎ ‎【解】甲比乙多的数量恰好是两人总数的，把差1份，和4份，用和差问题来算一下，大数为:(4+1)/2=2.5,小数:(4-1)/2=1.5, ,得甲是2.5份,乙是1.5份,甲与乙的比是5:3.‎ 同理,甲给乙20本后,甲与乙的比是5：7，思考一下为什么是5：7，不要把前后项颠倒了。因为甲给乙20本书，甲减少多少，乙就增加多少，甲乙两人共有书的总数不变，我们就把和的份数统一一下，在这里8与12的最小公倍数是24份：‎ ‎5：3=15：9‎ ‎5：7=10：14‎ 观察比较甲从15份变为10份，是因为少了20本书，因此每份是4本，共有书就为4×（15+9）=96本。 ‎ ‎5、（★★★）甲、乙、丙三位同学共有图书108本.乙比甲多18本，乙与丙的图书数之比是5∶4.求甲、乙、丙三人所有的图书数之比.‎ ‎【解】3∶5∶4.‎ ‎　　（108+18）÷（5 + 5+ 4）= 9‎ ‎　　甲、乙、丙三人图书数之比是 ‎（9×5-18）∶（9×5）∶（9×4）=3∶5∶4。‎ ‎6、（★★★）一个容器内已注满水，有大、中、小三个球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起 ‎，第三次是第一次的2.5倍，求三个球的体积之比。‎ ‎【解】三种球体积之比是2∶8∶11.‎ ‎　　设小球体积是1.当容器水满时，放一个球，就要溢出同样体积的水，因此可以用小球体积来计算溢出的水量.‎ ‎　　‎ ‎　　小球时，容器中已经空出体积1，因此中球的体积是3+1=4.‎ ‎　　未取出中球时，水是满的，取出中球后，容器空出体积4.再沉入小球和大球溢出水量是2.5，小球和大球的沉入，水又是满了，因此小球和大球的体积是4+2.5=6.5，而大球的体积是6.5-1=5.5.‎ ‎　　三个球的体积之比是 ‎　　1∶ 4∶ 5.5= 2∶ 8∶ 11.‎ ‎7、（★★）某种密瓜每天减价20％.第一天妈妈按定价减价20％买了3个密瓜，第二天妈妈又买了5个密瓜，两天共花了42元.如这8个密瓜都在第三天买，问要花多少钱？‎ ‎【解】第三天买，只要30.72元.‎ ‎　　每个密瓜原来定价是 ‎　　42÷[（1-0.2）×3+（1-0.2）×（1-0.2）×5）]=7.5（元）.‎ ‎　　第三天买每个价格是 ‎7.5×0.8× 0.8 ×0.8= 3.84（元）.‎ ‎3.84×8=30.72（元）.‎ ‎8. （★★★★） 袋子里红球与白球数量之比是19：13。放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5：3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13：11。已知放入的红球比白球少80只，那么原先袋子里共有多少只球？‎ ‎【解】放入若干只红球前后比较，那白球的数量不变，也就是后项不变；再把放入若干只白球的前后比较，红球的数量不变，因此可以根据两次变化前后的不变量来统一，然后比较。‎ ‎ 红 白 原来 19 ：13=57：39 ‎ 加红 5 ： 3=65：39 ‎ 加白 13 ：11=65：55‎ 原来与加红球后的后项统一为3与13的最小公倍数为39，再把加红与加白的前项统一为65与13的最小公倍数65。观察比较得出加红球从57份变为65份，共多了8份，加白球从39份变为55份，共多了16份，可见红球比白球少加了8份，也就是少加了80只，每份为10只，总数为（57+39）×10=960只。 ‎