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- 2022-02-15 发布
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构图布数问题
【含义】 这是一种数学游戏,也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”,就是设计出一种图形;所谓“布数”,就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。
【数量关系】 根据不同题目的要求而定。
【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数,符合题目所给的条件。
例1 十棵树苗子,要栽五行子,每行四棵子,请你想法子。
解 符合题目要求的图形应是一个五角星。
4×5÷2=10
因为五角星的5条边交叉重复,应减去一半。
例2 九棵树苗子,要栽十行子,每行三棵子,请你想法子。
解 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形,
一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。
例3 九棵树苗子,要栽三行子,每行四棵子,请你想法子。
解 符合题目要求的图形是一个三角形,每边栽4棵树,三个顶点上重复应减去,正好9棵。
4×3-3=9
例4 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和,有几种写法?请设计一种图形,填入这七个数,每个数只填一处,且每条线上三个数的和都等于12。
解 共有五种写法,即 12=1+4+7 12=1+5+6 12=2+3+7
12=2+4+6 12=3+4+5
在这五个算式中,4出现三次,其余的1、2、3、5、6、7各出现两次,因此,4应位于三条线的交点处,其余数都位于两条线的交点处。
幻方问题
【含义】 把n×n个自然数排在正方形的格子中,使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等,这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。
【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等,这个“和”叫做“幻和”。
三级幻方的幻和=45÷3=15
五级幻方的幻和=325÷5=65
【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和(即幻和),其次是确定正中间方格的数,然后再确定其它方格中的数。
例1 把1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数填入九个方格中,使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。
解 幻和的3倍正好等于这九个数的和,所以幻和为
(1+2+3+4+5+6+7+8+9)÷3=45÷3=15
九个数在这八条线上反复出现构成幻和时,每个数用到的次数不全相同,最中心的那个数要用到四次(即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上),四角的四个数各用到三次,其余的四个数各用到两次。看来,用到四次的“中心数”地位重要,宜优先考虑。
设“中心数”为Χ,因为Χ出现在四条线上,而每条线上三个数之和等于15,所以 (1+2+3+4+5+6+7+8+9)+(4-1)Χ=15×4
即 45+3Χ=60 所以 Χ=5
接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置,它们
2
7
6
9
5
1
4
3
8
分别在四个角,再确定其余四个奇数的位置,它们分别
在中行、中列,进一步尝试,容易得到正确的结果。
例2 把2,3,4,5,6,7,8,9,10这九个数填到九个方格中,
使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。
解 只有三行,三行用完了所给的9个数,所以每行三数之和为
(2+3+4+5+6+7+8+9+10)÷3=18
9
2
7
4
6
8
5
10
3
假设符合要求的数都已经填好,那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18,我们看18能写成哪三个数之和:
最大数是10:18=10+6+2=10+5+3
最大数是9: 18=9+7+2=9+6+3=9+5+4
最大数是8: 18=8+7+3=8+6+4
最大数是7: 18=7+6+5 刚好写成8个算式。
首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数,共用了四次。观察上述8个算式,只有6被用了4次,所以正中间方格中应填6。
然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次,而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次,所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。
最后确定其它方格中的数。如图。
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