六年级奥数教案：第37周 对策问题 4页

第三十七周 对策问题 专题简析： 同学们都熟悉“田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采用了“扬 长避短”的策略，取得了胜利。 生活中的许多事物都蕴含着数学道理，人们在竞赛和争斗中总是玩游戏，大至体育比赛、 军事较量等，人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利，这就要求参与竞争 的双方都要制定出自己的策略，这就是所谓“知己知彼，百战不殆”。哪一方的策略更胜一 筹，哪一方就会取得最终的胜利。 解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。 例题 1： 两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走 1 至 7 根火 柴，直到移尽为止。挨到谁移走最后一根火柴就算谁输。如果开始时有 1000 根火柴，首先 移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。 先移火柴的人要取胜，只要取走第 999 根火柴，即利用逆推法就可得到答案。 设先移的人为甲，后移的人为乙。甲要取胜只要取走第 999 根火柴。因此，只要取到第 991 根就可以了（如乙取 1 根甲就取 7 根；如乙取 2 根甲就取 6 根。依次类推，甲取的与乙 取的之和为 8 根火柴）。由此继续推下去，甲只要取第 983 根，第 975 根，……第 7 根就能 保证获胜。 所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走 7 根火柴。 练习 1： 1、一堆火柴 40 根，甲、乙两人轮流去拿，谁拿到最后一根谁胜。每人每次可以拿 1 至 3 根，不许不拿，乙让甲先拿。问：谁能一定取胜？他要取胜应采取什么策略？ 2、两人轮流报数，规定每次报的数都是不超过 8 的自然数，把两人报的数累加起来， 谁先报到 88，谁就获胜。问：先报数者有必胜的策略吗？ 3、把 1994 个空格排成一排，第一格中放一枚棋子，甲、乙两人轮流移动棋子，每人每 次可后移 1 格、2 格、3 格，谁先移到最后一格谁胜。先移者确保获胜的方法是什么？ 例题 2： 有 1987 粒棋子。甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取 1 粒，最多取 4 粒，不能不 取，取到最后一粒的为胜者。现在两人通过抽签决定谁先取。你认为先取的能胜，还是后取 的能胜？怎样取法才能取胜？ 从结局开始，倒推上去。不妨设甲先取，乙后取，剩下 1 至 4 粒，甲可以一次拿完。如 果剩下 5 粒棋子，则甲不能一次拿完，乙胜。因此甲想取胜，只要在某一时刻留下 5 粒棋子 就行了。不妨设甲先取，则甲能取胜。甲第一次取 2 粒，以后无论乙拿几粒，甲只要使自己 的粒数与乙拿的粒数之和正好等于 5，这样，每一轮后，剩下的棋子粒数总是 5 的倍数，最 后总能留下 5 粒棋子，因此，甲先取必胜。 练习 2： 1、甲、乙两人轮流从 1993 粒棋子中取走 1 粒或 2 粒或 3 粒，谁取到最后一粒的是胜利 者，你认为先取的能获胜，还是后取的能获胜，应采取什么策略？ 2、有 1997 根火柴，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次可取 1 至 10 根，谁能取到最后 一根谁为胜利者，甲先取，乙后取。甲有获胜的可能吗？取胜的策略是什么？ 3、盒子里有 47 粒珠子，两人轮流取，每次最多取 5 粒，最少取 1 粒，谁最先把盒子的 珠子取完，谁就胜利，小明和小红来玩这个取珠子的游戏，先名先、小红后，谁胜？取胜的 策略是什么？ 例题 3： 在黑板上写有 999 个数：2，3，4，……，1000。甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数 （甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。谁必胜？必胜的策 略是什么？ 甲先擦去 1000，剩下的 998 个数，分为 499 个数对：（2，3），（4，5），（6，7），…… （998，999）。可见每一对数中的两个数互质。如果乙擦去某一对中的一个，甲则接着擦去 这对中的另一个，这样乙、甲轮流去擦，总是一对数、一对数地擦，最后剩下的一对数必互 质。所以，甲必胜。 练习 3： 1、甲、乙两人轮流从分别写有 1，2，3，……，99 的 99 张卡片中任意取走一张，先取 卡的人能否保证在他取走的第 97 张卡片时，使剩下的两张卡片上的数一个是奇数，一个是 偶数？ 2、两个人进行如下游戏，即两个人轮流从数列 1，2，3，……，100，101 勾去九个数。 经过这样的 11 次删除后，还剩下两个数。如果这两个数的差是 55，这时判第一个勾数的人 获胜。问第一个勾数的人能否获胜？获胜的策略是什么？ 3、在黑板上写 n—1（n＞3）个数：2，3，4，……，n。甲、乙两人轮流在黑板上擦去 一个数。如果最后剩下的两个数互质，则乙胜，否则甲胜。N 分别取什么值时：（1）甲必 胜？（2）乙必胜？必胜的策略是什么？ 例题 4： 甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过 10 的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约 数，最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写，谁一定获胜？写出一种获胜的方法。 这里关键是第一次写什么数，总共只有 10 个数，可通过归纳试验。 甲不能写 1，否则乙写 6，乙可获胜；甲不能写 3，5，7，否则乙写 8，乙可获胜；甲不 能写 4，9，10，否则乙写 6，乙可获胜。因此，甲先写 6 或 8，才有可能获胜。 甲可以获胜。如甲写 6，去掉 6 的约数 1，2，3，6，乙只能写 4，5，7，8，9，10 这六 个数中的一个，将这六个数分成（4，5），（7，9），（8，10）三组，当乙写某组中的一个数， 甲就写另一个数，甲就能获胜。 练习 4： 1、甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过 14 的自然数。书写规则是：不允许写黑板上已 写过的数的约数，轮到书写人无法再写时就是输者。现甲先写，乙后写，谁能获胜？应采取 什么对策？ 2、甲、乙两人轮流从分别写有 3，4，5，……，11 的 9 张卡片中任意取走一张，规定 取卡人不能取已取过的数的倍数，轮到谁无法再取时，谁就输。现甲先取，乙后取，甲能否 必然获绳？应采取的对策是什么？ 3、甲、乙两人轮流在 2004 粒棋子中取走 1 粒，3 粒，5 粒或 7 粒棋子。甲先取，乙后 取，取到最后一粒棋子者为胜者。甲、乙两人谁能获胜？ 例题 5： 有一个 3×3 的棋盘以及 9 张大小为一个方格的卡片如图 37-1 所示，9 张卡片分别写有： 1，3，4，5，6，7，8，9，10 这几个数。小兵和小强两人做游戏，轮流取一张卡片放在 9 格中的一格，小兵计算上、下两行 6 个数的和；小强计算左、右两列 6 个数的和，和数大的 一方取胜。小兵一定能取胜吗？ 如图 37-1 所示，由于 4 个角的数是两人共有的，因而和数的大小只与放在 A，B，C，D 这 4 个格中的数有关。 小兵要获胜，必须采取如下策略，尽可能把大数填入 A 或 C 格，尽可能将小数填入 B 格 或 D 格。 由于 1+10＜3+9，即 B+D＜A+C，小兵应先将 1 放在 B 格，如小强把 10 放进 D 格，小兵 再把 9 放进 A 格，这时不论小强怎么做，C 格中一定是大于或等于 3 的数，因而小兵获胜。 如小强把 3 放进 A 格，小兵只需将 9 放到 C 格，小兵也一定获胜。 练习 5： 1、在 5×5 的棋盘的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、想下或向左下对角线走一格。 两人交替走，谁为胜者。必胜的策略是什么？ 2、甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是每人每次只能放一枚， 硬币不能重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再无处可放，谁就获胜。如果甲先放，那么他 怎样才能取胜？ 3、两人轮流在 3×3 的方格中画“√”和“×”，规定每人每次至少画一格，至多画三 格，所有的格画满后，谁画的符号总数为偶数，谁就获胜。谁有获胜的策略？