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- 2022-02-15 发布
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7-4-3.排列的综合应用
教学目标
1.使学生正确理解排列的意义;
2.了解排列、排列数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列;
3.掌握排列的计算公式;
4.会分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;
通过本讲的学习,对排列的一些计数问题进行归纳总结,并掌握一些排列技巧,如捆绑法等.
知识要点
一、排列问题
在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就是排列问题.在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.
一般地,从个不同的元素中取出()个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也相同.如果两个排列中,元素不完全相同,它们是不同的排列;如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.
排列的基本问题是计算排列的总个数.
从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数,叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数,我们把它记做.
根据排列的定义,做一个元素的排列由个步骤完成:
步骤:从个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有种方法;
步骤:从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位,有()种方法;
……
步骤:从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置,有(种)方法;
由乘法原理,从个不同元素中取出个元素的排列数是,即,这里,,且等号右边从开始,后面每个因数比前一个因数小,共有个因数相乘.
二、排列数
一般地,对于的情况,排列数公式变为.
表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数.这种个排列全部取出的排列,叫做个不同元素的全排列.式子右边是从开始,后面每一个因数比前一个因数小,一直乘到的乘积,记为,读做的阶乘,则还可以写为:,其中.
例题精讲
【例 1】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队,要求:甲乙两人之间必须有两个人,问一共有多少种站法?
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 先考虑给甲乙两人定位,两个人可以站在队伍从左数的一、四个,二、五个或三、六个,甲乙两人要在内部全排列,剩下四个人再全排列,所以站法总数有:(种).
【答案】
【巩固】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队,要求:甲乙两人之间最多有两个人,问一共有多少种站法?
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 类似地利用刚才的方法,考虑给甲乙两人定位,两人之间有两个人、一个人、没有人时分别有3、4、5种位置选取方法,所以站法总数有:(种).
【答案】
【例 1】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队,要求:甲不能站在队伍左半边,乙不能站在队伍右半边,丙不能站在队伍两端,问一共有多少种站法?
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 先对丙定位,有4种站法,无论丙站在哪里,甲和乙一定有一个人有两种站法,一个人有三种站法,剩下三个人进行全排列,所以站法总数有:(种).
【答案】
【例 2】 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队,要求:甲不能站在队伍最靠左的三个位置,乙不能站在队伍最靠右的三个位置,丙不能站在队伍两端,问一共有多少种站法?
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 按甲在不在队伍最靠右的位置、乙在不在队伍最靠左的位置分四种情况讨论:
如果甲在队伍最靠右的位置、乙在队伍最靠左的位置,那么丙还有6种站法,剩下的五个人进行全排列,站法总数有:(种)
如果甲在队伍最靠右的位置,而乙不在队伍最靠左的位置,那么乙还有4种站法,丙还有5种站法,剩下的五个人进行全排列,站法总数有:
(种)
如果甲不在队伍最靠右的位置,而乙在队伍最靠左的位置,分析完全类似于上一种,因此同样有2400种站法
如果甲不在队伍最靠右的位置,乙也不在队伍最靠左的位置,那么先对甲、乙整体定位,甲、乙的位置选取一共有(种)方法.丙还有4种站法,剩下的五个人进行全排列,站法总数有:
(种)
所以总站法种数为(种)
【答案】
【例 3】 名男生,名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法:
⑴ 甲不在中间也不在两端;
⑵ 甲、乙两人必须排在两端;
⑶ 男、女生分别排在一起;
⑷ 男女相间.
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 先排甲,个位置除了中间和两端之外的个位置都可以,有种选择,剩下的个人随
意排,也就是个元素全排列的问题,有(种)选择.由乘法原理,共有(种)排法.
⑵ 甲、乙先排,有(种)排法;剩下的个人随意排,有
(种)排法.由乘法原理,共有(种)排法.
⑶ 分别把男生、女生看成一个整体进行排列,有(种)不同排列方法,再分别对男生、女生内部进行排列,分别是个元素与个元素的全排列问题,分别有
(种)和(种)排法.
由乘法原理,共有(种)排法.
⑷ 先排名男生,有(种)排法,再把名女生排到个空档中,有(种)排法.由乘法原理,一共有(种)排法.
【答案】
【例 4】 小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法?
(1)七个人排成一排;
(2)七个人排成一排,小新必须站在中间.
(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间.
(4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边.
(5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上.
(6)七个人战成两排,前排三人,后排四人.
(7)七个人战成两排,前排三人,后排四人. 小新、阿呆不在同一排.
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 (1)(种).
(2)只需排其余6个人站剩下的6个位置.(种).
(3)先确定中间的位置站谁,冉排剩下的6个位置.2×=1440(种).
(4)先排两边,再排剩下的5个位置,其中两边的小新和阿呆还可以互换位置. (种).
(5)先排两边,从除小新、阿呆之外的5个人中选2人,再排剩下的5个人,(种).
(6)七个人排成一排时,7个位置就是各不相同的.现在排成两排,不管前后排各有几个人,7个位置还是各不相同的,所以本题实质就是7个元素的全排列.(种).
(7)可以分为两类情况:“小新在前,阿呆在后”和“小新在前,阿呆在后”,两种情况是对等的,所以只要求出其中一种的排法数,再乘以2即可.4×3××2=2880(种).排队问题,一般先考虑特殊情况再去全排列.
【答案】(1)(种).(2)(种).(3)2×=1440(种).(4) (种).
(5)(种).(6)(种).(7)4×3××2=2880(种).
【例 2】 一个正在行进的8人队列,每人身高各不相同,按从低到高的次序排列。现在他们要变成排的2列纵队,每列仍然是按从低到高的次序排列。同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮,那么,2列纵队有__________种不同排法。
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯,初赛,六年级,第13题
【解析】 将这8人按身高从低到高依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8.,现在相当于要求将这8个数填入下面的的方格中,每个方格中填一个数,使得每一行的方格中的数依次增大,而每一列中下面的方格中的数比上面的方格中的数要大。
首先可以确定1和8只能分别在左上角和右下角的方格内,2只能在第一行第二列或第二行第一 列的方格内,7只能在第一行第四列或第二行第三列的方格内。2和7的填法共有种可能,对这4种情况分别进行讨论:⑴若2和7的位置如图①,则第一行第三列的方格不可以填6,但可以填3,4,5,这个方格填好后,第二行的三个空格只有唯一的填法。所以此时有3种填法;
① ②
⑵若2和7的位置如图②,现在需要从3,4,5,6四个数中选取2个填入第一行的两个空格,有种选法。所选出的2个数只有一种填法,且这两个数选出后,剩下的两个数填在第二行的两个空格,也只有一种填法,所以这种情况下有6种填法;⑶若2和7的位置如图③,则第二行第二列的方格内不能填3,可以填4,5,6,每一种填法就对应整个方格的一种填法,所以此时有3种填法;
③ ④
⑷若2和7的位置如图④,则此时3和6只能分别填在中间方格的左上角和右下角,4和5填在剩下的2个方格,有2种填法。根据加法原理,共有
种不同的填法。所以原题中二列纵队有14种不同的排法。
【答案】种
【例 1】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中,决出了第一至第五名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都未拿到冠军.”对乙说:“你当然不会是最差的.”从这个回答分析,5人的名次排列共有多少种不同的情况?
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这道题乍一看不太像是排列问题,这就需要灵活地对问题进行转化.仔细审题,已知“甲和乙都未拿到冠军”,而且“乙不是最差的”,也就等价于人排成一排,甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数,因为乙的限制最多,所以先排乙,有种排法,再排甲,也有种排法,剩下的人随意排,有(种)排法.由乘法原理,一共有(种)不同的排法.
【答案】
【例 2】 书架上有本故事书,本作文选和本漫画书,全部竖起来排成一排.⑴ 如果同类的书不分开,一共有多少种排法?⑵ 如果同类的书可以分开,一共有多种排法?
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 可以分三步来排:先排故事书,有(种)排法;再排作文选,有(种)排法;最后排漫画书有种排法,而排故事书、作文选、漫画书的先后顺序也可以相互交换,排列的先后顺序有(种).故由乘法原理,一共有种排法.
⑵ 可以看成(本)书随意排,一共有(种)排法.
若同类书不分开,共有种排法;若同类书可以分开,共有种排法.
【答案】
【例 3】 一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏,按照下列条件把灯串成一串,有多少种不同的串法?
⑴ 把盏灯都串起来,其中紫灯不排在第一位,也不排在第七位.
⑵ 串起其中盏灯,紫灯不排在第一位,也不排在第四位.
【考点】排列之综合运用 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 可以先考虑紫灯的位置,除去第一位和第七位外,有种选择;然后把剩下的盏灯随意排,
是一个全排列问题,有(种)排法.
由乘法原理,一共有(种).
⑵ 先安排第一盏和第四盏灯.第一盏灯不是紫灯,有种选择;第四盏灯有种选择;剩下的盏灯中随意选出盏排列,有(种)选择.由乘法原理,有(种).
【答案】
【例 4】 某市的电视台有八个节目准备分两天播出,每天播出四个,其中某动画片和某新闻播报必须在第一天播出,一场体育比赛必须在第二天播出,那么一共有多少种不同的播放节目方案?
【考点】排列之综合运用 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 某动画片和某新闻播报在第一天播放,对于动画片而言,可以选择当天四个节目时段的任何一个时段,一共有种选择,对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段,一共有种选择,体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个,一共有种选择.剩下的个节目随意安排顺序,有(种)选择.由乘法原理,一共有(种)不同的播放节目方案.
【答案】
【例 5】 从名运动员中选出人参加接力赛.试求满足下列条件的参赛方案各有多少种:
⑴ 甲不能跑第一棒和第四棒;
⑵ 甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒.
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 先确定第一棒和第四棒.第一棒是甲以外的任何一个人,有种选择,第四棒有种选择,剩下的个人中随意选择个人跑第二棒和第三棒,有种选择.由乘法原理,一共有(种)参赛方案.
⑵ 先不考虑甲、乙的特殊要求,从名运动员中随意选择人参赛,有种选择.考虑若甲跑第一棒,其余人随意选择人参赛,对应种不同的选择,考虑若乙跑第四棒,也对应种不同的选择,但是,从种中减去两个种的时候,重复减了一次甲跑第一棒,且乙跑第四棒的情况.这种情况下,对应于第一棒,第四棒已确定只需从剩下的人选择人参赛的(种)方案,应加上.
综上所述,一共有(种)不同的参赛方案.
【答案】⑴ ⑵
【例 1】 一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目.求:
⑴ 当个舞蹈节目要排在一起时,有多少不同的安排节目的顺序?
⑵ 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时,一共有多少不同的安排节目的顺序?
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 先将个舞蹈节目看成个节目,与个演唱节目一起排,则是个元素全排列的问题,有
(种)方法.第二步再排个舞蹈节目,也就是个舞蹈节
目全排列的问题,有(种)方法.
根据乘法原理,一共有(种)方法.
⑵ 首先将个演唱节目排成一列(如下图中的“□”),是个元素全排列的问题,一共有(种)方法.
×□×□×□×□×□×□×
第二步,再将个舞蹈节目排在一头一尾或个演唱节目之间(即上图中“×”的位置),这相当于从个“×”中选个来排,一共有(种)方法.
根据乘法原理,一共有(种)方法.
【答案】⑴ ⑵
【巩固】 由个不同的独唱节目和个不同的合唱节目组成一台晚会,要求任意两个合唱节目不相邻,开始和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目的编排方法共有多少种?
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 先排独唱节目,四个节目随意排,是个元素全排列的问题,有种排法;其次在独唱节目的首尾排合唱节目,有三个节目,两个位置,也就是从三个节目选两个进行排列的问题,有(种)排法;再在独唱节目之间的个位置中排一个合唱节目,有种排法.由乘法原理,一共有(种)不同的编排方法.
【小结】排列中,我们可以先排条件限制不多的元素,然后再排限制多的元素.如本题中,独唱节目排好之后,合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了.总的排列数用乘法原理.把若干个排列数相乘,得出最后的答案.
【答案】
【例 2】 用排成四位数:
(1)共有多少个四位数?
(2)无重复数字的四位数有多少个?
(3)无重复数字的四位偶数有多少个?
(4)2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个?
(5)2在千位上的无重复数字的四位数有多少个?
(6)5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个?
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴条件中未限制“无重复数字”,所以,数字可以重复出现,如等.
依分步计数乘法原理共有(个)
⑵(个)
⑶个位上只能是或,有(个)
⑷所有四位数中,在的左边或在的右边的数各占一半,共有(个)
⑸在千位上,只有种方法,此后只能在另外的个位置上排列,有(个)
⑹法一:不在十位、个位上,所以只能在千位上或百位上,有(个)
法二:从中减去不合要求的(在十位上、个位上),有(个).
【答案】⑴(个)⑵(个)⑶(个)⑷(个)⑸(个)
⑹法一: (个)法二: (个).
【巩固】 用数字组成没有重复数字的正整数.
⑴能组成多少个五位数?
⑵能组成多少个正整数?
⑶能组成多少个六位奇数?
⑷能组成我少个能被整除的四位数?
⑸能组成多少个比 大的数?
⑹求三位数的和.
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题属带有限制条件的排列问题,利用直接方法或间接方法都可以解决这类问题,但需考虑特殊位置和特殊元素.
(1)因为万位上的数字不能是,所以万位上的数字的排法有种,其余四位上的排法有种,所以,共可组成个五位数.
(2)组成的正整数,可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位数,相应的排法依次有,
所以,可组成个正整数.
(3)首位与个位的位置是特殊位置,是特殊元素,先选个位数字,有种不同的选法;再考虑首位,有种不同的选法;其余四个位置的排法有种.
所以,能组成个六位奇数.
(4)能被整除的四位数的特殊是末两位数是或,这两种形式的四位数依次是和个.
所以,能组成个能被25整除的四位数.
(5)因为除首位数字以外,其余个数字顺次递增排列,所以, 是首位数是的没有重复数字的最小六位数,比它小的六位数是首位数为的没有重复数字的最小六位数.比它小的六位数是首位数为的六位数,共有个,而由组成的六位数有个.
所以,大于 的没有重复数字的六位数共有(个)
(6)由组成无重复数字的三位数共有(个).
个位数字是的三位数有(个),同理个位数字是2、3、4、5的三位数都各有16个,所以,个位数字的和是;同样十位上是数字1、2、3、4、5的三位数也都各有个,这些数字的和为;百位上是数字1、2、3、4、5的三位数都各自有个,这些数字的和为.
所以,这100个三位数的和为
【答案】本题属带有限制条件的排列问题,利用直接方法或间接方法都可以解决这类问题,但需考虑特殊位置和特殊元素.
(1) (2).(3).
(4).(5)(个)(6)
【例 1】 由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的数.
⑴四位数有多少个?
⑵四位数奇数有多少个?
⑶四位数偶数有多少个?
⑷整数有多少个?
⑸是5的倍数的三位数有多少个?
⑹是25的倍数的四位数有多少个?
⑺大于5860的四位数有多少个?
⑻小于5860的四位数有多少个?
⑼由小到大排列的四位数中,5607是第几个数?
⑽由小到大排列的四位数中,第128个数是多少?
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴(个)(或(个)).
⑵个位上只能是5或7,0不能作千位数字,有(个).
⑶个位上只能是0或2,6,8,个位上是0的有个,个位上的是2,6,8的有个,所以共有(个).
⑷包括一位数,二位数,…,六位数,共有(个).
⑸5的倍数只能是个位上的0或5的数,共有(个).
⑹末两位数只能是25,50,75,共有(个).
⑺共有(个).
⑻共有(个),或者从总数300中减去大于和等于5860的数的个数(个).
⑼小于5607的四位数,即形如,,,的数,共有(个).
所以,5607是第86个数.
⑽由小到大排列的四位数形如,,各有个,共120个;需再向后数8个,,,各有个,然后是6072,6075,这样,6075是第(个)数.
所以,6075为所求的数.
【答案】⑴⑵.⑶.⑷.⑸.⑹.
⑺.⑻.⑼第86个数.⑽第(个).
【例 1】 ⑴从1,2,…,8中任取3个数组成无重复数字的三位数,共有多少个?(只要求列式)
⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书,组织委员,宣传委员,共有多少种不同的选法?
⑶3位同学坐8个座位,每个座位坐1人,共有几种坐法?
⑷8个人坐3个座位,每个座位坐1人,共有多少种坐法?
⑸一火车站有8股车道,停放3列火车,有多少种不同的停放方法?
⑹8种不同的菜籽,任选3种种在不同土质的三块土地上,有多少种不同的种法?
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴按顺序,有百位、十位、个位三个位置,8个数字(8个元素)取出3个往上排,有种.
⑵3种职务3个位置,从8位候选人(8个元素)任取3位往上排,有种.
⑶3位同学看成是三个位置,任取8个座位号(8个元素)中的3个往上排(座号找人),每确定一种号码即对应一种坐法,有种.
⑷3个坐位排号1,2,3三个位置,从8人中任取3个往上排(人找座位),有种.
⑸3列火车编为1,2,3号,从8股车道中任取3股往上排,共有种.
⑹土地编1,2,3号,从8种菜籽中任选3种往上排,有种.
【答案】⑴有种.⑵有种.⑶有种.⑷有种.⑸有种.⑹有种.
【例 2】 现有男同学3人,女同学4人(女同学中有一人叫王红),从中选出男女同学各2人,分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组:
(1)共有多少种选法?
(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种?
(3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?
(4)参加数学小组的不是女同学王红,且参加美术小组的是女同学的选法有多少种?
【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 (1)从3个男同学中选出2人,有=3种选法.从4个女同学中选出2人,有=6种选法.在四个人确定的情况下,参加四个不同的小组有4×3×2×1=24种选法.
3×6×24=432,所以共有432种选法.
(2)在四个人确定的情况下,参加美术小组的是女同学时有2×3×2×1=12种选法.
3×6×12=216,所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种.
(3)考虑参加数学小组的是王红时的选法,此时的问题相当于从3个男同学中选出2人,从3个女同学中选出1人,3个人参加3个小组时的选法.
3×3×3×2×1=54,所以参加数学小组的是王红时的选法有54种,432-54=378,所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378种.
(4)考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法,此时的问题相当于从3个男同学中选出2人参加两个不同的小组,从3个女同学中选出1人参加美术小组时的选法.
3×2×3=18,所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18种,216-18=198,所以参加数学小组的不是女同学王红,且参加美术小组的是女同学的选法有198种.
【答案】(1)432种.
(2)216种.
(3)378种.
(4)198种.
【例 1】 观察如图所示的减法算式发现,得数175和被减数571的数字顺序相反。那么,减去396后,使得数与被减数的数字顺序相反的三位被减数共有__________个。
【考点】排列之综合运用 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】希望杯,六年级,一试,第16题
【解析】 即且
∴共个
【答案】个
【例 2】 将0~9这十个数字分别填入下面算式的□内,每个数字只能用一次;那么满足条件的正确填法共有______种.
□+□□+□□□=□□□□
【考点】排列之综合运用 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯,六年级,初赛,试题
【解析】 根据弃九法(或者说四大同余定理之一),两边的数除以9的余数应该相同,即各位数字之和应该相差.所以,如图,则,设,.所以,
因为与同奇偶,所以不可能等于偶数,可以是9,或者27.
当时,,,则,不成立.
当时,,,则,成立.
所以,、可能为四种.
当则有.
当则有;
当则有;
当则有;
上面从右边分类看,共分5类,每一类中与都可以交换,,,可以交换排列
所以每一类有种.所以共有5×12=60(种).
【答案】种
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