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  • 2022-02-15 发布

小学数学精讲教案3_2_8 发车间隔 教师版

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1、 熟练运用柳卡解题方法解多次相遇和追及问题 2、 通过左图体会发车间隔问题重点——发车间隔不变(路程不变) 3、 能够熟练应用三个公式解间隔问题 发车问题要注意的是两车之间的距离是不变的。可以用线等距离连一些小物体来体会进车队的等距离 前进。还要理解参照物的概念有助于解题。接送问题关键注意每队行走的总时间和总路程,是寻找比例和 解题的关键。 一、常见发车问题解题方法 间隔发车问题,只靠空间理想象解稍显困难,证明过程对快速解题没有帮助,但是一旦掌握了 3 个 基本方法,一般问题都可以迎刃而解。 (一)、在班车里——即柳卡问题 不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间——距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点 个数即可完成。如果不画图,单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。 (二)、在班车外——联立 3 个基本公式好使 (1)汽车间距=(汽车速度+行人速度)×相遇事件时间间隔 (2)汽车间距=(汽车速度-行人速度)×追及事件时间间隔 (3)汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 (三)、三个公式并理解 汽车间距=相对速度×时间间隔 二、综上总结发车问题可以总结为如下技巧 (1)、一般间隔发车问题。用 3 个公式迅速作答; (2)、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。 标准方法是:画图——尽可能多的列 3 个好使公式——结合 s 全程=v×t-结合植树问题数数。 (3) 当出现多次相遇和追及问题——柳卡 【例 1】 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在 途中均要航行七天七夜.试问:某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前(途中)能遇上几艘从纽 约开来的轮船? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】这就是著名的柳卡问题.下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法.他 先画了如下一幅图: 发车间隔 教学目标 知识精讲 这是一张运行图.在平面上画两条平行线,以一条直线表示哈佛,另一条直线表示纽约.那么, 从哈佛或纽约开出的轮船,就可用图中的两组平行线簇来表示.图中的每条线段分别表示每条船 的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行,它与其他线段的交点即为与对方开来轮 船相遇的情况. 从图中可以看出,某天中午从哈佛开出的一条轮船(图中用实线表示)会与从纽约开出的 15 艘 轮船相遇(图中用虚线表示).而且在这相遇的 15 艘船中,有 1 艘是在出发时遇到(从纽约刚到 达哈佛),1 艘是到达纽约时遇到(刚好从纽约开出),剩下 13 艘则在海上相遇;另外,还可从图 中看到,轮船相遇的时间是每天中午和子夜. 如果不仔细思考,可能认为仅遇到 7 艘轮船.这个错误,主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了 已在海上的轮船. 【答案】15 艘 【例 2】 甲、乙两站从上午 6 时开始每隔 8 分同时相向发出一辆公共汽车,汽车单程运行需 45 分。有一 名乘客乘坐 6 点 16 分从甲站开出的汽车,途中他能遇到几辆从乙站开往甲站的公共汽车? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】提示:这名乘客 7 点 01 分到达乙站时,乙站共开出 8 辆车。 【答案】8 辆。 【例 3】 一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站,每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙 站,全程要走 15 分钟.有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站.他出发的时候,恰好有 一辆电车到达乙站.在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车.到达甲站时,恰好又有一辆电车 从甲站开出.问他从乙站到甲站用了多少分钟? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法一:骑车人一共看到 12 辆车,他出发时看到的是 15 分钟前发的车,此时第 4 辆车正从甲发 出.骑车中,甲站发出第 4 到第 12 辆车,共 9 辆,有 8 个 5 分钟的间隔,时间是 (分 钟). 方法二:先让学生用分析间隔的方式来解答: 骑车人一共看到 12 辆车,他出发时看到的是 15 分钟前发的车,此时第 4 辆车正从甲发出.骑车 中,甲站发出第 4 到第 12 辆车,共 9 辆,有 8 个 5 分钟的间隔,时间是 (分钟). 再引导学生用柳丁的运行图的方式来分析: 第一步:在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站.由于每隔 5 分钟有一辆电车从甲站出发, 所以把表示甲站与乙站的直线等距离划分,每一小段表示 5 分钟. 第二步:因为电车走完全程要 15 分钟,所以连接图中的 1 号点与 P 点(注意:这两点在水平方 向上正好有 3 个间隔,这表示从甲站到乙站的电车走完全程要 15 分钟),然后再分别过 等分点作一簇与它平行的平行线表示从甲站开往乙站的电车. 第三步:从图中可以看出,要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车,那么从 P 点引出的粗线必须和 10 条平行线相交,这正好是图中从 2 号点至 12 号点引出的平行线. 5 8 40× = 5 8 40× = 从图中可以看出,骑车人正好经历了从 P 点到 Q 点这段时间,因此自行车从乙站到甲站用了 (分钟).对比前一种解法可以看出,采用运行图来分析要直观得多! 【答案】 分钟 【巩固】 A、B 是公共汽车的两个车站,从 A 站到 B 站是上坡路。每天上午 8 点到 11 点从 A,B 两站每隔 30 分同时相向发出一辆公共汽车。已知从 A 站到 B 站单程需 105 分,从 B 站到 A 站单程需 80 分。问:(1)8:30、9:00 从 A 站发车的司机分别能看到几辆从 B 站开来的汽车?(2)从 A 站发车的司机最少能看到几辆从 B 站开来的汽车? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法一:A 站到 B 站单程需 105 分钟,这个时间里,从 B 发出多少班车,就能看到多少车共有 4 辆(同 时发的,30 分后,60 分后,90 分后发的).至外,A 站发车时,从 B 站发出的还在路上的车也能看到.共有 2 辆(30 分前发的,60 分前发的.这时 90 分前发的车已到 A 站了).所以最多能看到 6 辆.最少的是最 后一班车所能看到的 60 分前发的,30 分前发的和与他同时发的车.共有 3 辆。 方法二:柳卡图解题,下面的运行图所示,实线段表示从 A 站开往 B 站的车,虚线段表示从 B 站 开往 A 站的车,交点表示相遇. 从图中可以看出,最多的是 9 点和 9 点半发车的司机,分别遇到 6 辆;最少的是 11 点发车的司 机,遇到 3 辆. 【答案】(1)8:30 从 A 站发车的司机能看到 辆从 B 站开来的汽车 9:00 从 A 站发车的司机能看到 6 辆从 B 站开来的汽车 (2)从 A 站发车的司机最少能看到 3 辆从 B 站开来的汽车 【例 4】 某停车场有 10 辆出租汽车,第一辆出租汽车出发后,每隔 4 分钟,有一辆出租汽车开出.在第 一辆出租汽车开出 2 分钟后,有一辆出租汽车进场.以后每隔 6 分钟有一辆出租汽车回场.回场的 出租汽车,在原有的 10 辆出租汽车之后又依次每隔 4 分钟开出一辆,问:从第一辆出租汽车开 出后,经过多少时间,停车场就没有出租汽车了? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】这个题可以简单的找规律求解 时间 车辆 4 分钟 9 辆 6 分钟 10 辆 8 分钟 9 辆 12 分钟 9 辆 16 分钟 8 辆 18 分钟 9 辆 20 分钟 8 辆 24 分钟 8 辆 由此可以看出:每 12 分钟就减少一辆车,但该题需要注意的是:到了剩下一辆的时候是不符合 这种规律的到了 12*9=108 分钟的时候,剩下一辆车,这时再经过 4 分钟车厂恰好没有车了,所 以第 112 分钟时就没有车辆了,但题目中问从第一辆出租汽车开出后,所以应该为 108 分钟。 【答案】108 分钟 【例 5】 某人沿着电车道旁的便道以每小时 千米的速度步行,每 分钟有一辆电车迎面开过,每 12 分钟有一辆电车从后面追过,如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行.问:电 车的速度是多少?电车之间的时间间隔是多少? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设电车的速度为每分钟 米.人的速度为每小时 千米,相当于每分钟 75 米.根据题意可列方 程如下: ,解得 ,即电车的速度为每分钟 300 米,相当于每小 时 18 千米.相同方向的两辆电车之间的距离为: (米),所以电车之间的时 5 8 40× = 40 5 4.5 7.2 x 4.5 ( ) ( )75 7.2 75 12x x+ × = − × 300x = ( )300 75 12 2700− × = 间间隔为: (分钟). 【答案】 分钟 【巩固】 某人以匀速行走在一条公路上,公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车.他发现每隔 15 分钟有一辆公共汽车追上他;每隔 10 分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过.问公共汽车每隔多 少分钟发车一辆? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这类问题一般要求两个基本量:相邻两电车间距离、电车的速度。是人与电车的相遇与追及问题, 他们的路程和(差)即为相邻两车间距离,设两车之间相距 S, 根据公式得 , , 那么 ,解得 , 所以发车间隔 T = 【答案】 【巩固】 某人沿电车线路行走,每 12 分钟有一辆电车从后面追上,每 4 分钟有一辆电车迎面开来.假设 两个起点站的发车间隔是相同的,求这个发车间隔. 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设电车的速度为 a,行人的速度为 b,因为每辆电车之间的距离为定值,设为 l.由电车能在 12 分钟追上行人 l 的距离知, ; 由电车能在 4 分钟能与行人共同走过 l 的距离知, ,所以有 l=12(a-b)=4(a+b),有 a=2b,即电车的速度是行人步行速度的 2 倍。那么 l=4(a+b)=6a,则发车间隔上: .即发车间隔为 6 分钟. (法 2)假设有个人向前走 12 分钟又回头走 12 分钟,那么在这 24 分钟内,他向前走时有 1 辆车 追上他,他回头走时又迎面遇上 辆电车,所以在这 24 分钟内他共遇上 4 辆相同方向开 过来的电车,所以电车的发车间隔为 分钟. 【答案】 分钟 【巩固】 小明放学后,沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不变速度不停地运 行。 每隔 30 分钟就有辆公共汽车从后面超过他,每隔 20 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。 问:该路公共汽车每隔多少分钟发一次车? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】假设小明在路上向前行走了 60(20、30 的最小公倍数)分钟后,立即回头再走 60 分钟,回到原 地。这时在前 60 分钟他迎面遇到 辆车,后 60 分钟有 辆车追上他。那么在 两个 60 分钟里他共遇到朝同一方向开来的 5 辆车,所以发车的时间为 分钟 【答案】 分钟 【例 6】 在一条马路上,小明骑车与小光同向而行,小明骑车速度是小光速度的 3 倍,每隔 10 分有一辆 公共汽车超过小光,每隔 20 分有一辆公共汽车超过小明。已知公共汽车从始发站每次间隔同样 的时间发一辆车,问:相邻两车间隔几分? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】解:设车速为 a,小光的速度为 b,则小明骑车的速度为 3b。根据追及问题“追及时间×速度差= 追及距离”,可列方程   10(a-b)=20(a-3b),   解得 a=5b,即车速是小光速度的 5 倍。小光走 10 分相当于车行 2 分,由每隔 10 分有一辆车 超过小光知,每隔 8 分发一辆车。 【答案】8 分。 【巩固】 从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟 步行 82 米,每隔 10 分钟遇上一辆迎面开来的电车;乙每分钟步行 60 米,每隔 10 分 15 秒遇上 迎面开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车? 2700 300 9÷ = 9 ( ) 10minS V V= + ×人 车 ( ) 15minS V V= − ×人车 ( ) 10 ( ) 15V V V V+ × = − ×人 人车 车 5V V= 人车 1( ) 10( ) 10 5 12 12 V VV V VS V V V V + ×+ ×= = = =车 车人 车 车 车 车 车 车 12 1 12a b =− 4l a b =+ 6 6l a a a = = 12 4 3÷ = 24 4 6÷ = 6 60 20 3÷ = 60 30 2÷ = 60 2 (3 2) 24× ÷ + = 24 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这类问题一般要求两个基本量:相邻两电车间距离、电车的速度。甲与电车属于相遇问题,他们 的路程和即为相邻两车间距离,根据公式得 , 类似可得 , 那么 ,即 , 解得 米/分,因此发车间隔为 9020÷820=11 分钟。 【答案】11 分钟 【巩固】 从电车总站每隔一定时间开出一辆电车.甲与乙两人在一条街上反方向步行.甲沿电车发车方 向每分钟步行 米,每隔 分钟有一辆电车从后方超过自己;乙每分钟步行 米,每隔 分 遇上迎面开来的一辆电车.那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 ,所以 ,所以电车总站每隔 (分 钟)开出一辆电车. 【答案】 分钟 【例 7】 甲城的车站总是以 20 分钟的时间间隔向乙城发车,甲乙两城之间既有平路又有上坡和下坡,车 辆(包括自行车)上坡和下坡的速度分别是平路上的 80%和 120%,有一名学生从乙城骑车去 甲城,已知该学生平路上的骑车速度是汽车在平路上速度的四分之一,那么这位学生骑车的学 生在平路、上坡、下坡时每隔多少分钟遇到一辆汽车? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】先看平路上的情况,汽车每分钟行驶汽车平路上汽车间隔的 1/20,那么每分钟自行车在平路上行 驶 汽 车 平 路 上 间 隔 的 1/80 , 所 以 在 平 路 上 自 行 车 与 汽 车 每 分 钟 合 走 汽 车 平 路 上 间 隔 的 1/20+1/80=1/16,所以该学生每隔 16 分钟遇到一辆汽车,对于上坡、下坡的情况同样用这种方法 考虑,三种情况中该学生都是每隔 16 分钟遇到一辆汽车. 【答案】16 分钟 【例 8】 甲、乙两地是电车始发站,每隔一定时间两地同时各发出一辆电车,小张和小王分别骑车从甲、 乙两地出发,相向而行.每辆电车都隔 4 分钟遇到迎面开来的一辆电车;小张每隔 5 分钟遇到 迎面开来的一辆电车;小王每隔 6 分钟遇到迎面开来的一辆电车.已知电车行驶全程是 56 分钟, 那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了 分钟. 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】由题意可知,两辆电车之间的距离 电车行 8 分钟的路程(每辆电车都隔 4 分钟遇到迎面开来的一辆电车) 电车行 5 分钟的路程 小张行 5 分钟的路程 电车行 6 分钟的路程 小王行 6 分钟的路程 由此可得,小张速度是电车速度的 ,小王速度是电车速度的 ,小张与小王的速 度和是电车速度的 ,所以他们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的 , 即 分钟,所以小张与小王在途中相遇时他们已行走了 60 分钟. 【答案】60 分钟 【巩固】 甲、乙两地是电车始发站,每隔一定时间两地同时各发出一辆电车,小张和小王分别骑车从甲、 乙两地出发,相向而行.每辆电车都隔 6 分钟遇到迎面开来的一辆电车;小张每隔 8 分钟遇到 迎面开来的一辆电车;小王每隔 9 分钟遇到迎面开来的一辆电车.已知电车行驶全程是 45 分钟, 那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了 分钟. 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】由题意可知,两辆电车之间的距离 电车行 12 分钟的路程 电车行 8 分钟的路程 小张行 8 分钟的路程 电车行 9 分钟的路程 小王行 9 分钟的路程 ( ) 10minS V V= + ×乙甲 ( ) 10.25minS V V= + ×乙甲 ( ) 10.25 ( ) 10V V V V+ × = + ×乙 甲车 车 (60 ) 10.25 (82 ) 10V V+ × = + ×车 车 =820V 车 60 20 80 10 60 20 80 10V V− × = + ×车 车( ) ( ) 200V =车 200 80 10 200 14+ × ÷ =( ) 14 = = + = + 8 5 3 5 5 − = 8 6 1 6 3 − = 3 1 14 5 3 15 + = 15 14 1556 6014 × = = = + = + 由此可得,小张速度是电车速度的 ,小王速度是电车速度的 ,小张与小王的 速度和是电车速度的 ,所以他们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的 , 即 分钟,所以小张与小王在途中相遇时他们已行走了 54 分钟. 【答案】54 分钟 【例 9】 一条公路上,有一个骑车人和一个步行人,骑车人速度是步行人速度的 3 倍,每隔 6 分钟有一 辆公共汽车超过步行人,每隔 10 分钟有一辆公共汽车超过骑车人,如果公共汽车始发站发车的 时间间隔保持不变,那么间隔几分钟发一辆公共汽车? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】要求汽车的发车时间间隔,只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了,但题目没有 直接告诉我们这两个条件,如何求出这两个量呢? 由题可知:相邻两汽车之间的距离(以下简称间隔距离)是不变的,当一辆公共汽车超过步行人 时,紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离,每隔 6 分钟就有一辆汽车超过步 行人, 这就是说:当一辆汽车超过步行人时,下一辆汽车要用 6 分钟才能追上步行人,汽车与行人的路 程差就是相邻两汽车的间隔距离。对于骑车人可作同样的分析. 因此,如果我们把汽车的速度记作 V 汽,骑车人的速度为 V 自,步行人的速度为 V 人(单位都是 米/分钟),则:间隔距离=(V 汽-V 人)×6(米),间隔距离=(V 汽-V 自)×10(米),V 自=3V 人。综合上面的三个式子,可得:V 汽=6V 人,即 V 人=1/6V 汽, 则:间隔距离=(V 汽-1/6V 汽)×6=5V 汽(米) 所以,汽车的发车时间间隔就等于:间隔距离÷V 汽=5V 汽(米)÷V 汽(米/分钟)=5(分钟)。 【答案】5 分钟 【巩固】 一条街上,一个骑车人与一个步行人同向而行,骑车人的速度是步行人速度的 3 倍,每隔 10 分 钟有一辆公共汽车超过行人,每隔 20 分钟有一辆公共汽车超过骑车人.如果公共汽车从始发站 每次间隔同样的时间发一辆车,那么间隔多少分钟发一辆公共汽车? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】紧邻两辆车间的距离不变,当一辆公共汽车超过步行人时,紧接着下一辆公汽与步行人间的距离, 就是汽车间隔距离.当一辆汽车超过行人时,下一辆汽车要用 10 分才能追上步行人.即追及距 离=(汽车速度-步行速度)×10.对汽车超过骑车人的情形作同样分析,再由倍速关系可得汽车 间隔时间等于汽车间隔距离除以 5 倍的步行速度.即: 10×4×步行速度÷(5×步行速度)=8(分) 【答案】8 分 【巩固】 从电车总站每隔一定时间开出一辆电车.甲与乙两人在一条街上沿着同一方向行走.甲每隔 分钟遇上一辆迎面开来的电车;乙每隔 分钟遇上迎面开来的一辆电车.且甲的速度是乙的速 度的 倍,那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设电车的发车间隔为“ ”,有 ,且 ,解得 , 所以 ,所以电车总站每隔 (分钟)开出一辆电车. 【答案】 分钟 【例 10】 小峰骑自行车去小宝家聚会,一路上小峰注意到,每隔 9 分钟就有一辆公交车从后方超越小峰, 小峰骑车到半路,车坏了,小峰只好打的去小宝家,这时小峰又发现出租车也是每隔 9 分钟超 越一辆公交车,已知出租车的速度是小峰骑车速度的 5 倍,那么如果公交车的发车时间间隔和 行驶速度固定的话,公交车的发车时间间隔为多少分钟? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】间隔距离=(公交速度-骑车速度)×9 分钟;间隔距离=(出租车速度-公交速度)×9 分钟所以, 公交速度-骑车速度=出租车速度-公交速度;公交速度=(骑车速度+出租车速度)/2=3×骑车速度. 由此可知,间隔距离=(公交速度-骑车速度)×9 分钟=2×骑车速度×9 分钟=3×骑车速度×6 分钟= 12 8 1 8 2 − = 12 9 1 9 3 − = 1 1 5 2 3 6 + = 6 5 645 545 × = 10 15 3 1 10 15 1V V V V+ × = + × =乙甲 电车 电车( ) ( ) 3V V= 乙甲 3V V= 乙电车 1 20V =电车 11 2020 ÷ = 20 公交速度×6 分钟. 所以公交车站每隔 6 分钟发一辆公交车. 【答案】6 分钟 【巩固】 小明骑自行车到朋友家聚会,一路上他注意到每隔 12 分钟就有一辆公交车从后边追上小乐,小 明骑着骑着突然车胎爆了,小明只好以原来骑车三分之一的速度推着车往回走,这时他发现公 交车以每隔 4 分钟一辆的频率迎面开过来,公交车站发车的间隔时间到底为多少? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】设公交车之间的间距为一个单位距离,设自行车的速度为 x,汽车的速度为 y,根据汽车空间和 时间间距与车辆速度的关系得到关系式:12×(y-x)=4×(y+1x/3),化简为 3y=5x.即 y/x=5/3,而 公交车与自行车的速度差为 1/12,由此可得到公交车的速度为 5/24,自行车的速度为 1/8,因此 公交车站发车的时间间隔为 24/5=4.8 分钟. 【答案】4.8 分钟 【例 11】 某人乘坐观光游船沿顺流方向从 A 港到 B 港。发现每隔 40 分钟就有一艘货船从后面追上游船, 每隔 20 分钟就会有一艘货船迎面开过,已知 A、B 两港间货船的发船间隔时间相同,且船在净 水中的速度相同,均是水速的 7 倍,那么货船发出的时间间隔是__________分钟。 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】由于间隔时间相同,设顺水两货船之间的距离为“1”,逆水两货船之间的距离为(7-1)÷(7+ 1)=3/4。所以,货船顺水速度-游船顺水速度=1/40,即货船静水速度-游船静水速度=1/4, 货船逆水速度+游船顺水速度=3/4×1/20=3/80,即货船静水速度+游船静水速度=3/80,可以求 得货船静水速度是(1/40+3/80)÷2=1/32,货船顺水速度是 1/32×(1+1/7)=1/28),所以货 船的发出间隔时间是 1÷1/28=28 分钟。 【答案】28 分钟 【巩固】 小明放学后,沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不变速度不停地运 行。每隔 分钟就有辆公共汽车从后面超过他,每隔 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问: 该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?公共汽车的速度是小明步行速度的几倍? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】假设小明在路上向前行走了 ( 、 的最小公倍数)分钟后,立即回头再走 分钟,回到原 地。这时在前 分钟他迎面遇到 (辆)车,后 分钟有 (辆)车追上他,那 么在两个 分钟里他共遇到朝同一方向开来的 辆车,所以发车的时间间隔为: (分)。公共汽车的发车时间以及速度都是不变的,所以车与车之间的间隔也是固 定不变的。根据每隔 分钟就有辆公共汽车从后面超过他,我们可以得到: 间隔 (车速 步速);每隔 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,我们可以得到: 间隔 (车速 步速),所以 (车速 步速) (车速 步速),化简可得:车速 倍步速。 【答案】 倍 【例 12】 小红放学后沿着公共汽车的线路以 4 千米/时的速度往家走,一边走一边数来往的公共汽车.到 家时迎面来的公共汽车数了 11 辆,后面追过的公共汽车数了 9 辆.如果公共汽车按相等的时间 间隔发车,那么公共汽车的平均速度是多少? 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】可以假设小红放学走到家共用 99 分钟,那么条件就可以转化为:“每隔 9 分钟就有辆公共汽车迎 面开来,每隔 11 分钟就有辆公共汽车从后面超过他”.根据汽车间隔一定,可得:间隔 (车 速 步速) (车速 步速),化简可得:车速 倍的步速.所以车速为 (千米/ 时). 【答案】 千米/时 【例 13】 城每隔 分钟有直达班车开往 镇,速度为每小时 千米;小王骑车从 城去 镇,速度 为每小时 千米.当小王出发 分钟时,正好有一趟班车(这是第一趟)追上并超过了他; 当小王到达 镇时,第三趟班车恰好与他同时到达. 、 间路程为 千米. 【考点】行程问题之发车间隔 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】日本小学算术奥林匹克大赛,高小组,初赛 【解析】由于班车速度是小王速度的 倍,所以当第一趟班车追上并超过小王的那一刻,由于小王已出发 分钟,所以第一趟班车已出发 分钟;再过 分钟,第三趟班车出发,此时小王已走 63 63 63 63 7= × 9 7 63 9 7 63 7 9÷ = 63 9 7÷ = 7 9 16+ = 763 2 16 7 8 × ÷ = 9 9= × − 7 7= × + 9× − + 8= 8 11= × − 9= × + 10= 10 4 40× = 40 A 30 B 60 A B 20 30 B A B 3 30 30 3 10÷ = 50 了 分钟,从此刻开始第三趟班车与小王同向而行,这是一个追及问题.由于班车速度 是小王速度的 倍,所以第三趟班车走完全程的时间内小王走了全程的 ,所以小王 分钟走了 全程的 , 、 间路程为: (千米). 【答案】 千米 30 50 80+ = 3 1 3 80 2 3 A B 80 220 4060 3 × ÷ = 40