小学数学精讲教案4_3_5 任意四边形、梯形与相似模型（三） 教师版 21页

任意四边形、梯形与相似模型 例题精讲 板块三 相似三角形模型 ‎(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ‎ ‎ ‎①；‎ ‎②．‎ 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：‎ ‎⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；‎ ‎⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；‎ ‎⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．‎ 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．‎ 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．‎ 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．‎ 【例 1】 如图，已知在平行四边形中，，，，那么的长度是多少？‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为平行于，所以，所以．‎ ‎【答案】8‎ 【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为厘米，被分为等份．如果小玻璃管口正好对着量具上等份处(平行)，那么小玻璃管口径是多大？ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 有一个金字塔模型，所以，，所以厘米．‎ ‎【答案】10‎ 【例 1】 如图，平行，若，那么________．‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 根据金字塔模型，，‎ 设份，则份，份，所以．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 如图， 中，，，互相平行，，‎ 则 ．‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设份，根据面积比等于相似比的平方，所以，，因此份，份，进而有份，份，所以 ‎【答案】‎ ‎【巩固】如图，平行，且，，，求的长．‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由金字塔模型得，所以 ‎【答案】10‎ ‎【巩固】如图， 中，，，，，互相平行，，‎ 则 ．‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份．‎ 所以有 ‎【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 已知中，平行，若，且比大，求．‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据金字塔模型，，设份，则份，份，比大份，恰好是，所以 ‎【答案】12.5‎ 【例 2】 如图：平行， ，，求的长度 ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 在沙漏模型中，因为，所以，在金字塔模型中有：‎ ‎，因为，，所以 ‎【答案】2‎ ‎【巩固】如图，已知平行，，那么________．‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 由沙漏模型得，再由金字塔模型得．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 如图，中，，，与平行，的面积是1平方厘米．那么的面积是 平方厘米．‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 因为，，与平行，‎ 根据相似模型可知，，平方厘米，‎ 则平方厘米，‎ 又因为，所以(平方厘米)．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 如下图，正方形ABCD边长为l‎0厘米，BO长‎8厘米。AE=____厘米。‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，5年级，决赛，第4题，10分 【解析】 ‎△AOB与△EDA相似，对应边成比例。AB：BOAE：AD，AEAB×AD÷BO10×10÷812.5(厘米)。‎ ‎【答案】12.5‎ 【例 3】 如图，已知正方形ABCD的边长是12厘米，E是CD边上的中点，连接对角线AC，交BE于点O，则三角形AOB的面积是（ ）平方厘米。‎ A、24 B、‎36 ‎‎ C、48 D、60‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】选择 ‎【关键词】华杯赛，五年级，初赛 【解析】 ‎【答案】‎ 【例 1】 在图中的正方形中，，，分别是所在边的中点，的面积是面积的几倍？‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接，易知∥，根据相似三角形性质，可知，且，所以的面积等于的面积；由可得，所以，即的面积是面积的3倍．‎ ‎【答案】3‎ 【例 2】 图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG．‎ 设△AEG的面积为x，显然△EBG、△BFG、△FCG的面积均为x，则△ABF的面积为3x，‎ 即，那么正方形内空白部分的面积为. ‎ 所以原题中阴影部分面积为 (平方厘米)．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 如图，线段与垂直，已知，，那么图中阴影部分面积是多少？‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．‎ 作辅助线，则图形关于对称，有，，且． ‎ 设的面积为2份，则的面积为3份，直角三角形的面积为8份．‎ 因为，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为．‎ 解法二：连接、．由于，，所以∥，根据相似三角形性质，可知，‎ 根据梯形蝴蝶定理，，‎ 所以，即；‎ 又，所以．‎ ‎【答案】15‎ 【例 1】 如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，，则四边形的面积________．‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛，精英邀请赛 【解析】 因为为平行四边形，所以，所以为平行四边形．‎ ‎，那么，所以．‎ 又，所以，根据沙漏模型，‎ ‎，所以．‎ ‎【答案】3‎ 【例 2】 已知三角形的面积为，，是的中点，且∥，交于，求阴影部分的面积．‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 已知，且∥，利用相似三角形性质可知，所以，且．‎ 又因为是的中点，所以是三角形的中位线，那么，，所以，可得，所以，那么．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 已知正方形，过的直线分别交、的延长线于点、，且，，求正方形的边长．‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有，，设正方形的边长为，所以有，即，解得，所以正方形的边长为．‎ 方法二：或根据一个金字塔列方程即，解得 ‎【答案】6‎ 【例 2】 如图，三角形是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有，，设正方形的边长为毫米，，即，解得，即正方形的边长为毫米．‎ ‎【答案】48‎ ‎【巩固】如图，在中，有长方形，、在上，、分别在、上，是 边的高，交于，，厘米，厘米，求长方形的长和宽．‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以，，所以有，设，则，所以有，解得，，因此长方形的长和宽分别是厘米，厘米．‎ ‎【答案】长，宽 【例 1】 图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为，那么三角形的面积是多少？‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 根据题中条件，可以直接判断出与平行，从而三角形与三角形相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题．‎ 做垂直于，交于．‎ 因为∥，所以三角形与三角形相似，且相似比为，‎ 所以，又因为，所以，‎ 所以三角形的面积为．‎ ‎【答案】108‎ 【例 2】 如图，将一个边长为的正方形两边长分别延长和，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有：；，‎ 则，，‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 ．‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】101中学 【解析】 设大、小正方形的边长分别为厘米、厘米()，则，所以．若，则，不合题意，所以只能为6或7．检验可知只有、满足题意，所以大、小正方形的边长分别为‎6厘米和‎4厘米．根据相似三角形性质，，而，得(厘米)，所以阴影部分的面积为：(平方厘米)．‎ ‎【答案】10.8‎ 【例 2】 如图，是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为和，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接,面积为的三角形占了矩形面积的，所以,所以,所以,由三角形相似可得阴影部分面积为．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 已知长方形的面积为厘米，是的中点，、是边上的三等分点，求阴影的面积是多少厘米？‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为是的中点，、是边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成份的话，那么份、份，大家能在图形中找到沙漏和：有，所以 ‎，相当于把分成()份，同理也可以在图中在次找到沙漏：和也是沙漏，，由此可以推出：, 相当于把分成()份，那么我们就可以把分成份(和的最小公倍数)其中占份，占份，占份，连接则可知的面积为，在为底的三角形中占份，则面积为：(平方厘米).‎ ‎【答案】3‎ 【例 1】 是平行四边形，面积为72平方厘米，、分别为、的中点，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．‎ 设、分别为、的中点，连接、、．‎ 可得，‎ 对角线被、、平均分成四段，又∥，所以，，‎ 所以 (平方厘米)，(平方厘米)．‎ 同理可得平方厘米，平方厘米．‎ 所以 (平方厘米)，‎ 于是，阴影部分的面积为(平方厘米)．‎ 方法二：寻找图中的沙漏，，，因此为的三等分点，(平方厘米)，(平方厘米)，同理(平方厘米)，所以(平方厘米)．‎ ‎【答案】48‎ 【例 2】 如图，三角形的面积是8平方厘米，长方形的长是‎6厘米，宽是‎4厘米，是的中点，则三角形的面积是 平方厘米．‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线．‎ 取的中点，连接，设交于．‎ 则三角形被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边，可知三角形 的面积等于(平方厘米)，所以(厘米)，那么(厘米)．‎ 因为是三角形的中位线，所以(厘米)，所以三角形的面积为 (平方厘米)．‎ ‎【答案】8‎ 【例 1】 如图，长方形中，为的中点，与、分别交于、，垂直于，交于，已知，，求．‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于∥，利用相似三角形性质可以得到，‎ 又因为为中点，那么有，‎ 所以，利用相似三角形性质可以得到，‎ 而，所以．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 右图中正方形的面积为1， 、分别为、的中点，．求阴影部分的面积．‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．‎ 阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可以作垂直于，垂直于．‎ 根据相似三角形性质，，又因为，所以，即，所以．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 梯形的面积为12，，为的中点，的延长线与交于，四边形 的面积是 ．‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 延长、相交于．‎ 由于为的中点，根据相似三角形性质，，，再根据相似三角形性质，，，而，‎ 所以，．‎ 又，，所以．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 如图，三角形的面积为60平方厘米，、、分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是 平方厘米．‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为与的面积之差，又可以转化为与的面积之差．‎ ‎(法1)如图，连接．‎ 由于、、分别为各边的中点，那么为平行四边形，且面积为三角形面积的一半，即30平方厘米；那么的面积为平行四边形面积的一半，为15平方厘米．‎ 根据几何五大模型中的相似模型，由于为三角形的中位线，长度为的一半，则，所以；‎ ‎，所以．‎ 那么的面积占面积的，所以阴影部分面积为(平方厘米)．‎ ‎(法2)如图，连接．‎ 根据燕尾定理，，，‎ 所以平方厘米，‎ 而平方厘米，所以平方厘米，‎ 那么阴影部分面积为(平方厘米)．‎ ‎【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：‎ ‎⑴利用面积公式：底高；‎ ‎⑵利用整体减去部分；‎ ‎⑶利用比例和模型．‎ ‎【答案】12.5‎ 【例 1】 如图,是直角梯形，，那么梯形的面积是多少?‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 延长交于点，分别计算的面积，再求和．‎ ‎ ‎ ‎ ∴；‎ ‎ 又∵‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∴‎ ‎【答案】40‎ 【例 2】 边长为厘米和厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？‎ ‎　　　　　　　‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为，小正方形为，分别交于两点，‎ ‎，‎ ‎∴，，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎【答案】16.2‎ 【例 3】 如右图，长方形中，，，求的长．‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为∥，根据相似三角形性质知，‎ ‎ 又因为∥，，‎ ‎ 所以，即，所以．‎ ‎【答案】15‎ 【例 1】 如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求 ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】迎春杯 【解析】 方法一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以．‎ 方法二：连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点， 交于，求的面积． ‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而，‎ 所以，‎ 并得、是的三等分点，所以，所以 ‎，‎ 所以，；‎ 又因为，所以．‎ ‎ 解法二：延长交于，如右图，‎ ‎ 可得，，‎ ‎ 从而可以确定的点的位置，‎ ‎ ，‎ ‎ ，(鸟头定理)，‎ ‎ 可得 ‎【答案】‎ 【例 1】 正方形的面积是120平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是 ‎ 平方厘米． ‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】清华附中，入学测试 【解析】 欲求四边形的面积须求出和的面积．‎ 由题意可得到：，所以可得：‎ 将、延长交于点，可得：‎ ‎，‎ 而，得，‎ 而，所以 ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎ 本题也可以用蝴蝶定理来做，连接，确定的位置(也就是)，同样也能解出．‎ ‎【答案】14‎ 【例 2】 如图，已知,点分别在上，且，则是多少？ ‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 的面积已知，若知道的面积占的几分之几就可以计算出的面积．连接．‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴与平行，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【答案】10‎ 【例 1】 如图，长方形中，、分别为、边上的点，，，求．‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，过作的平行线交于．‎ 由于是的中点，所以是的中点．‎ 由于，，所以，．‎ 根据相似性，，，‎ 于是，，，‎ 所以．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 如下图，、、、均为各边的三等分点，线段和把三角形分成四部分，如果四边形的面积是24平方厘米，求三角形的面积．‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设三角形以为底的高为，‎ 由于，所以；‎ ‎ 所以三角形以为底的高是；‎ ‎ 又因为三角形以为底的高是，‎ 所以三角形的面积与三角形的面积之比，‎ ‎ 所以三角形的面积为(平方厘米)，‎ ‎ 而三角形的面积占三角形的，‎ 所以三角形的面积是(平方厘米)．‎ ‎【答案】40.5‎ 【例 1】 如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多少？‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】香港保良局小学数学世界邀请赛 【解析】 ‎ (法)由，有，所以，又，所以 ‎，所以，所以占的，‎ 所以．‎ ‎(法)如图，连结，则(，而，所以，()．而()，因为，‎ 所以，则()，阴影部分面积等于 ‎()．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 如图12-6所示，在三角形ABC中，DC=3BD，DE=EA．若三角形ABC的面积是1．则阴影部分的面积是多少?‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】奥林匹克，5题 【解析】 ‎ △ABC、△ADC同高，所以底的比等于面积比，那么有 而E为AD中点，所以 连接FD，△DFE、△FAE面积相等，设则．的面积也为x，‎ 而 ‎，解得.‎ 所以，阴影部分面积为 ‎【答案】‎ 【例 1】 一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积比依次为．那么，④、⑤这两块的面积比是______．‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，六年级，初赛 【解析】 如图∵，∴，∴，‎ ‎，，又∵，∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的重点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，m＋n的值等于__________。‎ ‎（A）5 （B）7 （C）8 （D）12‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】5星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，高年级，复赛，5题 【解析】 ‎，先求原题左图中的阴影部分的面积，连接，（见下图）.‎ 是矩形对角线的交点，所以，。‎ 原题左图中有块面积相同的空白部分，所以阴影部分的面积等于，再求右图中阴影部分的面积。过作的平行线交于，连接（见下图）。‎ ‎∵∥，∴。∵∥,∴。‎ ‎∵∥∥,∴。至此，求出了。‎ ‎∵∴。由对称性知，,‎ ‎∴。‎ 四边形。‎ 原题右图中有块面积相同的空白部分，所以阴影部分的面积等于。‎ ‎ 。‎ ‎【答案】5‎ 【例 1】 如图所示，三角形AEF，三角形BDF,三角形BCD，都是正三角形，其中AE:BD=1:3,三角形AEF的面积是1.求阴影部分的面积。‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】学而思杯，5年级，第十五题 【解析】 面积是1，那么,‎ 所以与的高之比是1：7，所以=7,‎ 因为AD与BC平行所以,所以 假设BE为16份，那么BI=9,IE=7,又知道BF:FE=3:1,:所以BF=12,FE=4,‎ 所以IF=3,,所以=0.75‎ 又有,所以=6.75‎ 于是可求阴影部分面积是.‎ ‎【答案】15‎ 【例 1】 如图，正方形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，J为GD的中点，EJ交CD于I。已知正方形ABCD边长为10cm，则图中阴影部分的面积是__ ___ cm2.‎ ‎【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思，六年级，第十一题 【解析】 方法一、连结EG、FJ可得GI：IF=2:3，所以阴影部分的面积应该是正方形EFGH的十分之二，也就是大正方形的十分之一，为10 。‎ 方法二：‎ 根据同底等高的两个三角形面积相等，左图中阴影面积与右图中的阴影面积相等。只要找到底边的比例关系便可以解答。根据“相似三角形”就是常说的沙漏定理。来找到底边a、b的比例关系，但是需要添加辅助线，如图所示：延长EA到K，使得EA=AK 因为EK：GJ=4:1，所以EI：IJ=4：1，三角形EGJ的面积是正方形面积的八分之一（）‎ ‎【答案】10‎