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- 2021-05-10 发布
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上部
实数的概念 1
实数的运算 3
数的开方和二次根式 7
代数式的初步知识 10
整式 12
因式分解 15
分式 18
一次方程 22
分式方程及应用 27
一元一次不等式 34
不等式(组)的应用 37
平面直角坐标系与函数的概念40
一次函数 43
反比例函数 46
二次函数(二) 49
函数的综合应用 52
下部
数据的收集 56
数据的描述 59
统计的应用 62
简单随机事件的概率 65
概率的应用 68
基本图形及其位置关系 71
三角形 74
全等三角形 76
平行四边形及密铺 79
矩形、菱形、正方形 81
梯形及多边形 83
相似图形 86
相似三角形应用 88
圆的有关概念和性质 91
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系93
弧长、扇形的面积和圆锥侧面积95
图形的对称 97
图形的平移与旋转 100
视图与投影 102
锐角三角函数 106
解直角三角形应用 108
数据的收集
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.统计学中的基本概念．
（1）总体： 。
（2）个体： 。
（3）样本： 。
（4）样本容量： 。
（5）样本是从总体中抽出来的，它能在一定程度上反映总体的情况，但样本既然是总体的一部分，用样本反映总体就会有一定的局限性，一般来说，样本容量越大，用样本估计总体就越准确。
2.数据收集方法的选择： 、 。
（1）普查： 。
（2）抽样调查： ；抽样调查时要注意样本的 性和 性。
（二）：【课前练习】
1.为了解我县5000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，从中抽取了200名考生的成绩进行统计，在这个问题中，下列说法：（1）这5000名学生的数学会考成绩的全体是总体；（2）每个考生是个体；（3）200名考生是总体的一个样本；（4）样本容量是200，其中说法正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．l个
2.某校为了解八年级10个班学生（每班40名）吃零食情况，下列做法中，比较合理的是（ ）
A.了解每一位学生吃零食情况；
B.了解每一位男生吃零食情况；
C.了解每一位女生吃零食情况；
D.每班个抽取5名男生和5名女生，了解吃零食情况
3.下列几次调查中，比较适合抽样调查的有（ ）
①为了解某种炮弹的威力，需要发射炮弹测量它的杀伤半径。②为了解某种汽车的安全装置，需要对这种汽车作破坏实验。③为了解某水库情况。
A.0个；B. 1个；C. 2个；D. 3个；
4.要对空调的质量进行调查分析，从中抽取一部分进行实验，这样的调查方法叫
5.为了解某一地区八年级学生的身体发育情况，将对学生的身高调查分析，方法是从这一地区的不同区域选20所学校，共抽取男女学生200名，测出每位学生的身高共200个数据，在这个问题中：
①总体是指 。
②个体是指 。
③样本是指 。
④样本容量是指 。
二：【经典考题剖析】
1.为了解某小区居民的用水情况，随机 抽查了该小区10户家庭的月用水情况
结果如表：
月用水量（吨）
10
13
14
17
18
户数
2
2
3
2
1
这个抽样调查的总体是 ，个体是 ，样本是 ，样本容量是 。
2.为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对80%初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：
A.测量体校中80%男子篮球、排球队员的身高；
B.查阅有关外地80%男生身高的统计质料；
C.在本市的市、区、郊、县各选一所高级中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的（1）班中，用抽签的方法分别选取10名男生，然后测量他们的身高。
（1）为准确估计本市初中这三个年级男生身高分布情况，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理？
人数 年级
身高（cm）
七年级
八年级
九年级
总计（频数）
143~153
12
0
15
153~163
18
9
6
33
163~173
33
39
96
173~183
6
15
12
183~193
0
0
3
3
（2）下表中的数据是使用了某种调查方法获得的：
（注意：每组含最低值，不含最高值），根据表中的数据填写表中的空格。
3.要想了解养鱼池中鱼苗的成活情况，采用了估计的方法。先撒一网到50尾鱼，再将这些鱼做上标记后，又撒一网，捕到40尾鱼，其中做有标记的鱼有2尾，估计池中大约有多少尾鱼？（假设鱼在鱼池中的分布是均匀的）
4.小谢家买了一辆小轿车，小谢连续记录了七天中小轿车每天行驶的路程：
时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
路程（km）
46
39
36
50
54
91
34
请你运用统计知识，解答下列问题：
（1）小谢家每月（按30天计算）要行驶多少千米？
（2）若每行驶100千米需汽油8L，汽油每升3.45元。小谢家一年（按12个月计算）的汽油费用是多少元？
5.某农户承包荒山后种了44棵苹果树，现在进入第三年收获期，收获时，先随意摘了5棵树上的苹果，称得每棵树摘得的批改质量如下（单位：千克）：35，35，34，39，37。
（1）在这个问题中，总体是指 ；个体是指 ；
样本是指 ；样本容量是指 。
（2）试根据样本平均数去估计总体情况，你认为该农户共可收获苹果多少千克？
（3）若市场上苹果价为每千克5元，则该农户今年苹果收入将达多少元？
三：【课后训练】
1.下列调查方式不合适的是（ ）
A.为了解全市初中生每周阅读课外书的时间，采取抽样调查的方式。
B.为了解全班同学的睡眠状况，采用普查的方式。
C.为了解人们保护水资源的意识，采取抽样调查的方式。
D.对载人航天器“神州六号”零部件的检查，采取抽样调查的方式。
2.为检查一批零件的长度是否符合要求，从中抽取50个进行检测，在这个问题中，个体是（ ）
A.每个零件； B.每个零件的长度； C.50； D.50个零件的长度
3.为考察某地区12000名学生的中考数学成绩，从中抽取40袋试卷，每袋试卷30份，在这个问题中，样本容量是（ ）
A.40； B.30； C.12000； D.1200
4.为了解台湾水果在大陆民众中受欢迎情况，采用 方式调查。
5.某市上学期共有7500名初中毕业生，为调查分析毕业考的数学成绩，从中抽取50所学校共500份毕业数学试卷，在这次抽样分析中，样本是 ，
样板容量是 。
6.为了完成下列任务，你认为应采用什么调查方式更合适？
①了解你们班同学假期时间是如何安排的；
②考察一批汽车的抵抗碰撞的情况；
③了解某市2005年内发生的交通事故；
④了解某汽车站出入人员的SARA病毒感染情况。
7.为掌握某轮渡码头今年内每天的客运量，在一周内作了详细统计如下表：
（1）求这一周平均每天的客运量．
（2）本周哪几天的客运量超过了平均客运量？
8.为了保护环境，某校环保小组成员小明收集废电池，第一天收集1号电池4节，5号电池5节，总质量为460克，第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总质量240克．
（1）求1号电池和5号电池每节各重多少克；
（2）学校环保小组为了估计四月份收集电池
的总质量，他们随机抽取了该月某5天收集废电池的节数如上表：分别计算这5天两种废电池每天平均收集多少节？并由此估计4月份环保小组收集废电池的总质量是多少克？
9. 为了估算冬季取暖一个月使用天 然气的开支情况，从11月15日起，小刚连续八天每晚记录了天然气表显示的读数如下表（单位：m3）
小刚妈妈11月15日买了一张面值500元的天然气使用卡，已知每立方米天然气1．60元，请你估计这张卡够小刚家用一个月（按30天算）吗？
10.人工养殖鱼苗成活率为75%，某专业户放养鱼苗2万尾，一年后在出售前捕捞100尾，称得质量如下：0.35千克的20尾，0.4千克的30尾，0.45千克的20尾，0.5千克的30尾。
（1）根据样本平均数估计鱼的产量；
（2）如果按每千克8元出售，鱼苗及饲养成本为2万元，头一年的收入可达多少元？
（3）若第三年的收入是45500元，则后两年收入的平均增长率是多少？
四：【课后小结】
数据的描述
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.描述数据集中趋势和平均水平特征的数
（1）平均数： 。
（2）中位数： 。
（3）众数： 。
2.描述数据波动大小（离散程度）特征的数
（1）方差： 。
计算公式： 。
（2）极差： 。
（二）：【课前练习】
1.已知一组数5，7，6，6，4，7，10，7，7，1。
（1）这组数据的平均数是 。（2）这组数据的中位数是 。（3）这组数据的众数是 。
2.若数据5，1，0，，4，10的众数为5，则它的中位数是 。
3.已知样本数据101，98，102，100，99，则这个样本的方差是（ ）
A.； B.； C.； D.
4.甲、乙两名学生在相同条件下各射靶10次，两人命中环数的平均数为,方差，射击情况较稳定的是（ ）
A.甲； B.乙； C.甲、乙一样稳定； D.不能确定
5.在样本方差的计算公式中中，数5和10分别表示（ ）
A.样本容量、样本方差；B.样本平均数、样本容量；
C.样本容量、样本平均数；D.样本标准差、样本平均数
二：【经典考题剖析】
1.银河公司10名销售员，去年完成的销售额情况如下表：
销售额（万元）
3
4
5
6
7
8
10
销售人数（人）
1
3
2
1
1
1
1
（1）求销售额的平均数、众数、中位数。
（2）今年公司为了调动员工的积极性，提高销售额，准备采取超额有奖的措施，请根据（1）的结果，通过比较，合理确定今年每个销售员统一的销售额标准是多少元？
2.一家饭庄所有工作人员的月收入（单位：元）情况如下：
职位
经理
领班
领位员
厨师
人数
1
2
2
2
收入（元）
4000
1200
800
1500
职位
厨师助理
服务员
洗碗工
人数
3
8
2
收入（元）
800
700
500
（1）该饭庄所有员工的平均收入是多少？
（2）该饭庄所有员工收入的中位数是多少？
（3）该饭庄所有员工收入的众数是多少？
（4）你觉得用以上三个数中的哪一个数来代表饭庄员工收入水平更恰当？说说你的理由。
（5）某天，该饭庄全体人员有一名辞职，如果其他员工月收入不变，那么全体人员的平均工资就会降低。如果知道辞职的人是厨师或厨师助理，你能确认辞职的是哪个岗位上的员工吗？
3.某校要从A、B两名选手中选一名参加全市中学生100米短跑比赛，在最近的8次预选赛中，他们的成绩如下：
A：12.1，12.5，13.0，12.5，12.8，12.2，12.4，12.5
B：12.0，12.9，12.2，13.1，12.2，13.0，12.1，12.9
（1）他们的平均成绩格式多少？
（2）他们这8次成绩的方差是多少？
（3）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？
（4）历届比赛表明，成绩达到12.6秒就有可能夺冠，若以夺冠为目标，你认为应选谁参加这次比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到12.2秒就能打破记录，那么若以破记录为目标，你认为应选谁参加这次比赛？
4.甲、乙两人在相同的条件下个射击10次，成绩如图所示。
（1）填写下表：
分类
平均数
方差
中位数
命中9环以上
甲
7
1.2
1
乙
（2）从四个不同的角度进行分析：
从平均数和方差结合（分析偏离程度）
从平均数和中位数结合看（分析谁的成绩好些）
从平均数和命中9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）
从折线图上两人射击命中环数及走势看（分析谁更有潜力）
5.在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶.图11是其中的甲、乙路段台阶的示意图.
请你用
所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题：
（1） 两段台阶路有哪些相同点和不同点？
（2） 哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议.
三：【课后训练】
1.某校把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按5 0％20 0％、30％的比例计人学期总评成绩，9 0分以上为优秀，甲、乙、丙三人的各项成绩如下表（单位：分），学期总评成绩优秀的是（ ）
A．甲 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、丙
2.下列说法中，错误的有（ ）
①一组数据的标准差是它的差的平方；②数据8，9，10，11，1l的众数是2；③如果数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么(x1－）＋（x2－）+…（xn－）=0；④数据0，－1，l，－2，1的中位数是l．
A．4个 B．3个 C．2个 D．l个
3.已知甲、乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差=0．055，乙组数据的方差0.105，则（ ）
A．甲组数据比乙组数据波动大 B．乙组数据比甲组数据波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大 D．甲、乙两组数据的波动大小不能比较
4.刘翔在出征雅典奥运会前刻苦进行110米跨栏训练，教练对他10次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则教练需要知道刘翔这10次成绩的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数
5. 下表是一文具店6～12月份某种铅笔销售情况统计表：
观察表中数据可知，平均数为 、中位数为 和众数为 ．
6.已知数据a，c，b，c，d，b，c，a且a＜b ＜c＜d，则这组数据的众数为________，中位数为________，平均数为__________.
7.公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下（单位：岁）
甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群：3，4，4，5，5，6，6，6，54，57．
⑴甲群游客的平均年龄是多少？中位数、众数呢？其中能较好反映甲群游客年龄特征的是什么？
⑵乙群游客的平均年龄是多少？中位数、众数呢？其中能较好反映乙群游客年龄特征的是什么？
8.个体户王某经营一家饭馆，下面是饭馆所有工作人员在某个月份的工资：王某3000元，厨师甲450元，厨师乙 400元，杂1320元，招待甲 350元，招待乙 320元，会计410元．
⑴计算工作人员的平均工资；
⑵计算出的平均工资能否反映帮工人员这个月收人的一般水平？
⑶去掉王某的工资后，再计算平均工资；
⑷后一个平均工资能代表一般帮工人员的收人吗？
⑸根据以上计算，从统计的观点看，你对（3）、（4）的结果有什么看法？
9.某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如表：
次数
姓名 成绩
1
2
3
4
5
小王
60
75
100
90
75
小李
70
90
80
80
80
姓名
极差
平均成绩
中位数
众数
方差
小王
40
80
75
75
190
小李
根据右表解答下列问题：
（1）完成下表：
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀，则小王、 小李在这五次测试中的优秀率各是多少？
（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很有可能获奖，成绩达到90分以上（含90分就很有可能获得一等奖，那你认为应选谁参加比赛比较合适？说明理由
10.如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图．教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格．
（1）请根据图中所提供的信息填写下表：
（2）请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙的体能测试成绩较好；
②依据平均数与中位数比较甲和乙，的体能测试成绩较好．
（3）依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果好．
四：【课后小结】
统计的应用
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.频数
（1）频数：某个数据在一组数据中出现的 为频数；或将数据分组后，落在各小组的数据的 叫做该小组的频数。
（2）绘制频数分布直方图的步骤：①计算 ；②决定
③决定 ；④列 ；⑤画出
2.统计图
（1）条形统计图：用长方形的高来表示数据的图形。它的特点是： 。
（2）折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形。它的特点是：
。
（3）扇形统计图：在同一个圆中，用扇形的大小来表示数据占总数的百分比的图形。它的特点是： 。
（4）频数分布直方图：与条形统计图类似，它们的区别是频数分布直方图的横轴的数据是连续的。它的特点是：
（二）：【课前练习】
1.某市对2400名年满15岁的男生的身高进行了测量，结果身高（单位：m）在1.68~1.70这一小组的频率为0.25，则该组的人数为（ ）
A.600人； B.150人； C.60人； D.15人
2.某校测量了初三（1）班学生的男生（精确到1cm）按
10 cm为一段进行分组，得到如图所示的频数分布直
方图，则下列说法正确的是（ ）
A.该班人数最多的身高段的学生人数为7人
B.该班身高低于160.5cm的学生人数为15人；
C.该班身高最高段的学生数为20人；
D.该班身高最高段的学生数为7人
3.如图所示是某校七年级学生到校方式的条形统计图，根据图
形可得出步行人数占总人数的（ ）
A.60%； B.50%； C.30%； D.20%
4.某农场今年对农作物种植作规划，分布情况如图所示，则该农场棉花种植面积占总面积的（ ）
A.36.5%；B.37.5%；C.38%；D.40%
第3题图 第4题图 第5题图
5. 美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。某市区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加。根据下图中所提供的信息，回答下列问题：
年底的绿地面积为_____ 公顷，比年底增加了__ 公顷；
在年，年，年这三年中，绿地面积增加最多的是_____年；
二：【经典考题剖析】
1.在今年“五一”长假期间，某学校团委要求学生参加 频数分布表
分组
频数
频率
600~800
2
0.050
800~1000
6
0.150
1000~1200
0.450
1200~1400
9
0.225
1400~1600
1600~1800
2
0.05.
合计
40
1.000
一项社会调查活动，小青想了解她所居住的小区500
户居民的家庭收入情况，从中随机调查了40户居民家
庭的收入情况（收入去整数，单位：元），并绘制了频
数分布表和频数分布直方图。根据以上提供的信息，
解答下列问题：
（1）补全频数分布表；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这40户家庭收入的
中位数落在哪一个小组
（4）请你估计该居民小区
家庭收入较低（不足1000元）
的户数大约有多少？
2.如图所示是某单位职工的年龄（取整数）的频数分布直方图根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）该单位职工共有多少人？
（2）不小于38岁但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少？
（3）如果42岁的职工有4人，那么年龄在42岁以上的职工有多少人？
3.如图是某训练班全体学生年龄的统计图。根据图中提供的信息，求出该班学生年龄的众数和平均数，画出该班学生年龄的扇形统计图
4.国家课改实验区S市在2006年进行了中考评价改革：由过去的“分分计较”变为注重对学生“学业水平”的考核，下面列举了部分考试科目的相关信息。
语文
数学
英语
物理
化学
2003年中考试卷满分
120分
120分
120分
80分
60分
2004年中考试卷满分
120分
120分
120分
100分
100分
方法：2004年采用将考生各科的中考分数转化“等级（A、B、C、D、E、F）”
，再计算各科等级的位次值之和作为毕业和高一级学校录取的重要依据
100分≤X≤120分， 记为A等级，位次值为6
90分≤X≤99分， 记为B等级，位次值为5
80分≤X≤89分， 记为C等级，位次值为4
70分≤X≤79分， 记为D等级，位次值为3
60分≤X≤69分， 记为E等级，位次值为2
0分≤X≤59分， 记为F等级，位次值为1
规则：X（X为整数）为考生各科的中考分数，当两人各科的位次值之和相同时，则采用“金牌领先原则”：即谁的A等级的个数多，则谁的名次排在前；若A等级一样，则看B等级个数，依次类推…
（1）：甲同学的五科等级为1A4B，乙同学的五科等级为2A2B1C丙同学的五科等级为1A3B1C请分别计算三人的位次值之和，并将三人的成绩按规则由优到劣依次进行排序。
（2）：丁同学参加中考，五科位次值之和为25（已知他五科等级中均没有D、E、F这三个等级），试问他五科中有几个A，几个B，几个C？
5.某商厦对销量较大的A、B、C三种品牌的洗衣粉进行了问卷调查，发放270份（问卷由单卷和多卷组成）。对收回的238份问卷进行了整理，部分数据如下：
用户对各品牌洗衣粉满意情况汇总表：
（1）A品牌洗衣粉的主要竞争优势是什么？为什么？
（2）广告对用户选择品牌有影响吗？说明理由。
（3）你对厂家有何建议？
（4）请设计一种三个竞争优势的比例，重新计算，得出用户对洗衣粉的满意程度。
三：【课后训练】
1.天籁音乐行出售三种音乐CD，即古典音乐、流行音乐、民族音乐，为了表示这三种唱片的销售量占总销售的百分比，应该用（ ）
A．扇形统计图 B．折线统计图
C．条形统计图 D．以上都可以
2.为了了解本校九年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，
测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直
方图，请根据图示计算，仰卧起坐次数在25～30次的频率为（ ）
A．0．1 B．0．2 C．0．3 D．0．4
3.某校初中二年级全体320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以统一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个
等级。为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生的两次考试考分等级，所绘制
的统计图如图所示。试结合图示信息回答下列问题：
（1）这32名学生培训前考分的中位数所在的等级是 ，培训后考分的中位数所在的等级是
。
（2） 这32名学生经过培训，考分等级“不合格”的百分比由 下降到 。
（3） 估计该校整个初二年级中，培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有 名。
（4）你认为上述估计合理吗？理由是什么？答： ，理由： 。
4.为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面尚未完成并有局部污损的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
频数分布直方图
（1）填充频数分布表中的空格；
（2）补全频数分布直方图；
（3）在该问题中的样本容量是多少？
（4）全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多？
（5）若成绩在90分以上（不含90分）为优秀，则该校成绩优秀的约为多少人？
5.在图l和图2中的两幅统计图，反映了某市甲、乙两所中学学生参加课外活动的情况，请你通过图中信息回答下面的问题：
⑴通过对图l的分析，写出一条你认为正确的结论_____________.
⑵2003年年甲、乙两所中学参加科技活动的学生人数共有多少？
四：【课后小结】
简单随机事件的概率
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.简单事件
（1）必然事件：有些事件我们事先能肯定它一定会发生，这类事件称为必然事件；
（2）不可能事件：有一些事件我们事先能肯定它一定不会发生，这类事件称为不可能事件；必然事件与不可能事件都是确定的。
（3）不确定事件： 。
2.概率： 。
P必然事件=1，P不可能事件=0，0＜P不确定事件＜1
3.概率的计算方法
（1）用试验估算：
（2）常用的计算方法：① ；② 。
4.频率与概率的关系：对一个随机事件做大量实验时会发现，随机事件发生的次数（也称为频数）与试验次数的比（也就是频率人总是在一个固定数值附近摆动，这个固定数值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小。频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过实验得到的，它随着实验次数的变化而变化，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率。
（二）：【课前练习】
1.下列事件中确定事件是( )
A.掷一枚六个面分别标有1～6的数字的均匀骰子，骰子停止转动后偶数点朝上
B.从一副扑克牌中任意抽出一张牌，花色是红桃
C.任意选择电视的某一频道，正在播放动画片
D.在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天.
2.下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．父亲年龄比儿子年龄大
C．通过长期努力学习，你会成为数学家
D．下雨天，每个人都打着雨伞
3.在对某次实验次数整理过程中，某个事件出现的频率随实验次数变化折线图如图，这个图中折线变化的特点是_______，估计该事件发生的概率_________________.
4. 在100张奖券中，有4张中奖，某人从中任抽1张，则他中奖的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.在一个不透明的袋中装有降颜色外其余都相同的3个小球，其中一个红球、两个黄球．如果第一次先从袋中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黄球的概率是 。
二：【经典考题剖析】
1.从26张不同的英语字母卡片中随机地同时抽出三张，下列事件哪些是不可能事件，哪些是必然事件，哪些是随机事件？为什么？
（1）三张卡片可以排成“top”；（2）三张卡片可以排成“see”；
（3）三张卡片可以排成“xyz”；
2.小铭和小浩在玩摸球的游戏，已知口袋中有两个红球和一个黄球，（1）如果将摸出的第一个球放回袋中，充分摇匀后再摸出第二个球，若两次摸出的球都是红球，小铭得1分，否则小浩得1分，问该游戏对双方公平吗？（2）如果是不放回地从袋中取两次球，若两次摸出的球都是红球，小铭得1分，否则小浩得1分，问该游戏对双方公平吗？
3.甲袋中有红球16个、黑球10个和白球24个，乙袋中有红球54个，黑球70个和白球32个，如果你想取出一只白球，取哪个袋子中，的球成功的机会大？请说明理由．如果你想取一个红球，取哪个袋中的球成功的机会大？如果从两袋中各取走10个白球后，此时再取一个白球，选哪个袋成功
的机会大？
4.某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图）并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
⑴计算并完成表格：
⑵请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
⑶假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？
⑷在该转盘中，标有铅笔区域的扇形的圆心角大约是多少？（精确到1°）
⑸如果转盘被一位小朋友不小心损坏，请你设计一个等效的模拟实验方案（要求交代清楚替代工具和游戏规则）
5.如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A上，转盘A被均匀地分成4等份，每份分别标上1，2，3，4四个数字；转盘B被均匀地分成6等份，每份分别标上1，2，3，4，5，6六个数字，
有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如
下：（1）同时自由转动转盘A与B；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字(如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）把所指的两个数字相乘，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，那么乙胜(如转盘A指针指向3，转盘B指针指向5，3×5=15，按规则乙胜）．你认为这样的游戏是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由
三：【课后训练】
1.从一幅扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃，放在一起洗匀后．从中一次随机抽出 10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情（ ）
A．可能发生；B．不可能发生；C．很有可能发生；D．必然发生
2.以下事件中不可能事件是（）
A．一个角和它的余角的和是90°；B．连接掷10次骰子都是6点朝上
C．一个有理数与它的倒数之和等于0；D．一个有理数小于它的倒数
3. 如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.小华与父母一同从重庆乘火车到广安邓小平故居参观．火车车厢里每排有左、中、右二个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.小红、小明、小芳在一起做游戏时需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“剪子、包袱、锤子”的方式确定，问在一个回合中三个人都出包袱的概率是 。
6.如图，某班联欢会上设有一个摇奖节目，奖品为钢笔、图书和糖果，标于一个转盘的相应区域上（转盘被均匀地等分成四个区域），转盘可以自由转动，参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一个
区域，就获得哪种奖品，则获得糖果的概率为多少？
7.口袋中有五张完全相同的卡片，分别写有1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，口袋外有两张卡片，分别写有4cm和5cm，现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外有两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，回答下列问题：
（1）求这三条线段能构成三角形的概率
（2）求这三条线段能构成直角三角形的概率
（3）求这三条线段能构成等腰三角形的概率
8.为了估计鱼塘中有多少条鱼，先从塘中捞出100条做上标记，再放回塘中，待有标记的鱼完全混人鱼群后，再捞出200条鱼，其中有标记的有20条，问你能否估计出鱼塘中鱼的数量？若能，鱼塘中有多少条鱼？若不能，请说明理由．
9.某商场为了吸引顾客，设立了一个如图所示可以自由转动的转盘，并
规定：顾客每买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转
盘停止后，指针正好对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得30
元、20元、10元的购物券．（转盘等分成20等价）甲顾客购物120元，
他获得购物券的概率为多少？他得到30元、20元、10元的购物券的
概率分别为多少？
10.联欢会上，墙上挂着两串礼物:A、B、C、D、E如图，每次从某一串
的最下端摘下一个礼物，这样摘了五次可将五件礼物全部摘下，那么
共有一种不同的摘法．
四：【课后小结】
概率的应用
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.概率是表示事件发生的可能性大小的数；通常概率的大小是通过若干次重复实验，用观察到的频率值的方法估计，有些问题的频率值，也可以开动脑筋分析出来。
2.概率的预测：通常概率可以通过若干次重复实验来进行预测。但是由于受环境的影响不能做实验时，可选用模拟试验，其方法是：①用替代的实物模拟试验；②用计算器产生的随机数来模拟试验；不论选择哪种方法，都必须保证试验在相同的条件下进行，否则回影响其结果。
（二）：【课前练习】
1.抛掷两枚分别标有 1，2，3，4的四面体骰子，写出这个实验中的一个可能事件
为 ；再写出这个实验中的一个必然事件为 。
2.如图 是一个被分成6等份的扇形的转盘，
小明转了2次，结果指针都停留在红色区域．
小明第3次再转动，指针停留在红色区域的
概率是（ ）
A.1 B.0 C. D.
3.冰柜里装有四种饮料：5 瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶橘子水、6瓶啤酒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.盒子里有11个除颜色外完全相同的球，若摸到红球的概率是0.7，则其中有红球（ ）
A．8个 B．6个 C．4个 D．无法确定
5.甲组有 5位女生和10位男生，乙组有 8位女生和15位男生，以下说法正确的是（ ）
A．在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会大
B．在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会大
C．在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会大
D．在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会小
二：【经典考题剖析】
1.某号码锁有2个拨盘，每个拨盘上有从0到9共十个数字，当2个拨盘上的数字组成某一个二位数字号码(即：开锁号码）时，锁才能打开．如果不知道开锁号码，问：试开一次就能把锁打开的概率是（ ）
A. B. C. D．以上结论都不对
2.甲、乙两人一起玩转盘游戏，如图，甲先转动转盘一，若指针指向黄色部分，则甲胜．否则，由乙转动转盘二，若指针指向红色部分，则乙胜，否则甲胜，你觉得这个游戏公平吗？为什么？
3.如图若紫色、黄色、绿色区域面积分别为1、5、10,点D为线段BC中点.有一只猫在三角形ABC内随意走动,求小猫停留在黑色区域的概率是多少？
4.两个袋中分别放有5个球，各球上分别标有l～5这五个数中的一个，这五个球除数字标号外没有任何区别，现从中各摸出1球，其数字之差的绝对值为3的概率为多少？
5.小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画出半径分另为2m和
3m的同心圆（如图），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，
掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷人圈内不算，你来当裁判．
⑴你认为游戏公平吗？为什么？
⑵游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则
图形的面积呢?”请你设计方案，解决这一问题．（要求画出图形，说明设计步骤、原
理，写出公式）
三：【课后训练】
1.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放人8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ）
A．28个 B．30个 C．36个 D．42个
2.军军的文具盒中有两支蜡笔，一支红色的、一支绿色的；三支水彩笔，分别是黄色、黑色、红色，任意拿出一支蜡笔和一支水彩笔，正好都是红色的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.小华与父母一同从重庆乘火车到广安邓小平故居参观．火车车厢里每排有左、中、右二个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在黑色方格中的概率是_________
5.密码锁里的密码是一个5位密码,每位密码的数字都可以是从0到9中的任何一个。某人忘了密码中的最后一位,此人开锁时,随意拨动最后一位号码正好是开锁号码的概率是______若此人忘了后2位号码,随意拨动后2位好码正好是能开锁的概率是___
6.某灯泡厂的一次质量检查，从2000个灯泡中抽查了100个，其中有8个不合格，则出现不合格灯泡的频率为______，在这2000个灯泡中，估计有______个灯泡为不合格产品.
7. 李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子．
（1）当两枚骰子点数之积为奇数时，李红得3分，否则，张明得1分，这个游戏对双方公平吗？为什么？
（2）当两枚骰子的点数之和大于 7时，李红得 1分，否则张明得 1分，这个游戏对双方公平吗？为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的意见．
8.根据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏”
的奥秘。闯关游戏规则：如图所示的面板上有左右两组开关按钮，每组中的两个按纽分别控制一个灯泡和一个发音装置．同时按下两组中各一个按钮：当两个灯泡都亮时闯关成功；当按错一个按钮时，发音装置就会发出“闯关失败”的声音．
（1）用列表的方法表示所有可能的闯关情况；
（2）求出闯关成功的概率．
9.盒子里装有红球和白球共10个，它们除颜色外都相同，每次从盒子里摸出一个球，然后放回盒中摇匀后再摸，在摸球活动中，得到下表的部分数据：
⑴请你将表中的数据补充完整；
⑵画出折线图；
⑶观察所画的折线图，可以发现什么？。
⑷你认为盒里的球哪种颜色的球多？
⑸如果任意从盒中摸出一球，你认为摸到红球的机会有多大
10.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，请你设计方案，估计盒中大约有多少白球？（要求说明设计步骤、原理，写出公式）
四：【课后小结】
基本图形及其位置关系
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.直线、射线、线段之间的区别：
联系：射线是直线的一部分。线段是射线的一部分，也是直线的一部分．
2.直线和线段的性质：
(1)直线的性质：①经过两点 直线，即两点确定一条直线；
②两条直线相交，有 交点.
(2)线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短．
3.角的定义：有公共端点的 所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．
(1) 角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，1°=6 0′，1′= 6 0″
（2）角的分类：
（3）相关的角及其性质：
①余角：如果两个角的和是直角，
那么称这两个角互为余角．
②补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角．
③对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
④互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○ ，∠1+∠3= 90○，则∠2 ∠3．
⑤互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○∠A、∠B互补；②同角或等角的补角相等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B ∠C．
⑥对顶角的性质：对顶角相等．
（4）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
4.同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行
5.“三线八角”
的认识：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角即位置相同的角；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”．
6.平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截， 角相等， 角相等，同旁内角互补．（2）过直线外一点 直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上
7.任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.
8.平行线的定义：在同一平面内． 的两条直线是平行线。
9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行．
10.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角．
11.常见的几种两条直线平行的结论：
（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行．
（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行．
（二）：【课前练习】
1.如果线段AB=5cm，BC= 3cm，那么A、C两点间的距离是（ ）
A．8 cm B、2㎝ C．4 cm D．不能确定
2.计算：⑴132°19′42″+ 2 6°3 0′28″=_____⑵34.51°= 度 分 秒．
⑶92 o3″－5 5°2 0′4 4″=_______；⑷33 °15′16″×5=_____
3.下列说法中正确的个数有（ ）
①线段AB和线段BA是同一条线段；②射角AB和射线BA是同一条射线；③直线AB和直线BA是同一条直线；④射线AC在直线AB上；⑤线段AC在射线AB上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. 如图，直线a ∥b，则∠A CB＝________
5.如果一个角的补角是150○ ，那么这个角的余角是____________
二：【经典考题剖析】
1.已知线段AB=20㎝，C为 AB中点，D为CB 上一点，E为DB的中点，且EB=3 ㎝，则CD= ________cm．
解：4 点拨：由题意，BC=0.5AB=10cm，DB=2 EB=6cm，则CD=BC－DB＝10－6=4（cm
2.如图所示，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120°
OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC，．
（1）求∠EOF的大小；
（2）当OB绕O旋转时，OE、OF仍为∠AOB和∠BOC平分线，
问：OF、OF有怎样的位置关系？你能否用一句话概括出这个命题
3.将一长方形纸片，按图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．95°
4.如图，AB∥EF∥DC，EG∥BD，则图中与∠1相等的角共有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．2个
5.如图，直线AD与AB、CD相交于 A、D两点，EC、BF与AB、CD交于点E、C、B、F，且∠l=∠2，∠B=∠C，
求证：∠A=∠D．
三：【课后训练】
1.下列每组数分别是三根小木棒、的长度，用它们能摆成三角形的一组是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm
C．5cm，7cm，13cm D．7cm，7cm，15cm
2.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这条垂线将∠ACB分为50°和20°的两个角，那么∠A、∠ B中较大的角的度数是________．
3.如图，AB⊥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（ ）
A．0个 B．l个 C．2个 D．3个
4.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数．
5.已知：△ABC的两边AB=3cm，AC=8cm．
（1）求第三边BC的取值范围；
（2）若第三边BC长为偶数，求BC的长；
（3）若第三边BC长为整数，求BC的长
6.如图，已知∠AOC与∠B都是直角，∠BOC=59○．
（1）求∠AOD的度数；
（2）求∠AOB和∠DOC的度数；
（3）∠A OB与∠DOC有何大小关系；
（4）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？
7.如图，AB∥CD，直线EF分别交A B、CD于点E、F，EG平分∠B EF，交CD于点G，
∠1=50○求∠2的度数．
8.如图，已知B D⊥AC，EF⊥AC，D、F为垂足，G是AB上一点，且∠l=∠2．
求证：∠AGD=∠ABC．
9.已知：如图，CD⊥AB于D，E是BC上一点，EF⊥AB于F．∠l=∠2．
求证：∠AGD=∠ACB．
10.根据补角和余角的定义可知：10○的补角是170○，余角为80○；15○的补角是165○，余角为75○；40○的补角是140○，余角为50○；52○的补角为128○，余角为38○……
观察以上几组数据，你能得出怎样的结论？请用任意角α代替题中的10○，15○，4 0○，5 2○，来说明你的结论．
四：【课后小结】
三角形
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.三角形中的主要线段
（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
（2）三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．
（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．
(4) 三角形的中位线：连接三角形两边的中点的线段。
2.三角形的边角关系
（1）三角形边与边的关系：三角形中两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边；
（2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180o．
3.三角形的分类
（1）按边分：
（2）按角分：
4.特殊三角形
（1）直角三角形性质
①角的关系：∠A+∠B=900；②边的关系：
③边角关系：；④
⑤；⑥
（2）等腰三角形性质
①角的关系：∠A=∠B；②边的关系：AC=BC；③ ④轴对称图形，有一条对称轴。
（3）等边三角形性质
①角的关系：∠A=∠B=∠C=600；②边的关系：AC=BC=AB；
③；④轴对称图形，有三条对称轴。
（4）三角形中位线：
5.两个重要定理：
（1）角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）
（2）垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）
（二）：【课前练习】
1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4 cm B．8 crn，6cm，4cm C．12 cm，5 cm，6 cm D．2 cm，3 cm ，6 cm
2.若线段AB=6，线段DC=2，线段AC= a，则（ ）
A．a =8 B．a =4 C．a =4或8 D．4＜a<8
3.等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm，则此三角形的周长是（ ）
A．15cm B．20cm C．25 cm D．20 cm或25 cm
4.一个三角形三个内角之比为1：1：2，则这个三角形的三边比为_______.
5.如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=6，AC=3，AD=2，∠D=90○，
求CD的长和四边形 ABCD的面积．
二：【经典考题剖析】
1.三角形中，最多有一个锐角，至少有_____个锐角，最多有______个钝角（或直角），三角形外角中，最多有______个钝角，最多有______个锐角．
2.两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm的范围是__________
3.已知D、E分别是ΔABC的边AB、BC的中点，F是BE的中点．若面ΔDEF的面积是10，则ΔADC的面积是多少？
4.正三角形的边长为a，则它的面积为_____.
5.如图，DE是△ABC的中位线， F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则AH：HE等于（ ）
A．l：1 B．2：1 C．1：2 D．3：2
三：【课后训练】
1.下列每组数分别是三根小木棒、的长度，用它们能摆成三角形的一组是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm
C．5cm，7cm，13cm D．7cm，7cm，15cm
2.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这条垂线将∠ACB分为50°和20°的两个角，那么∠A、∠ B中较大的角的度数是________．
3.如图，OE是∠AOB的平分线，CD∥OB交OA于C，交OE于D，∠ACD=50o，则 ∠CDE的度数是（ ）
A．175° B．130° C．140° D．155°
4.如图，△ABC中，∠C＝90○ ，点E在AC上，ED⊥AB，垂足为D，且ED平分△ABC的面积，则AD：AC等于（ ）
A．1：1 B．1： C．1：2 D．1：4
5.在ΔABC中，AC=5，中线AD=4，则AB边的取值范围是（ ）
A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13
C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜13
6.如图，直角梯形ABCD中,AB∥ CD，CB⊥AB，△ABD是等边三角形，若AB=2，则CD=_______，BC＝_________.
7.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数．
第4题图 第6题图 第7题图
8. 已知：△ABC的两边AB=3cm，AC=8cm．
（1）求第三边BC的取值范围；
（2）若第三边BC长为偶数，求BC的长；
（3）若第三边BC长为整数，求BC的长
9. 已知△ABC，
(1)如图1－1－27，若P点是ABC和ACB的角平分线的交点，则 P=；
(2)如图1－1－28，若P点是ABC和外角ACE的角平分线的交点，则P=；
(3)如图1－1－29，若P点是外角CBF和BCE的角平分线的交点，则P=。
10.已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长 AB至 E，使 BE=CD，连结DE，交BC于点P．
（1）求证：PD=PE；
（2）若D为AC的中点，求BP的长.
四：【课后小结】
全等三角形
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，简写成“角边角”或"ASA”
（3）两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理”或“HL”．
2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3.注意事项：
（1）说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
（2）注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，另外已知两个三角形的两边
与一角对应相等的两个三角形也不一定全等．
（二）：【课前练习】
1.如图，若 △ABC≌△DEF，∠E等于（）
A．30° B．50° C．60° D、100°
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于 D，再添加一个条件____，就可确定△ABD≌△ACD
3.在下列各组几何图形中，一定全等的是（ ）
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形；B．两个等边三角形
C．腰长相等的两个等腰直角三角形
D．各有一个角是40°腰长都是5cm的两个等腰三角形
4.下列说法中不正确的是（）
A．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B． 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
C． 有一边对应相等的两个等边三角形全等
D． 面积相等的两个直角三角形全等
5.在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这个100°角对应的角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C或∠C
二：【经典考题剖析】
1.如图，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为（）
A．145° B．130° C、110° D．70°
2.两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
3.如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，且 S△DEF=2，则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
4.如图，已知 AB=CD，AE⊥ BD于 E，CF⊥ BD于 F，AE=CF，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5.如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、DC、CA上的点，
（1）若 AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；
（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．
三：【课后训练】
1.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙
三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
2.如图，两个平面镜α，β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的反射光线CB平行于α，则∠α等于（）
A．30o B．45 o C．60 o D．90 o
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E、AD、
CE交于点H，请你添加一个适当的条件，使△AEH≌△CEB．你的
条件是 ，
4.如图 ，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD=BE．
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．
你添加的条件是 ；
（2）证明：
5.如图，AC和BD相交于点O，AB=DC，∠A＝∠D，
（1）请写出符合条件的五个结论（对顶角除外，且不添加辅助线）
（2）从你写出的五个结论中任选一个说明你的理由．
6.如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形？
并任选其中一对给予证明．
7.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数．
8.如图，AC和BD交于点O，OA= OC，OB=OD，试说明 DC∥AB．
9.如图，已知AB、CD相交于点O，AC∥BD，OC=OD，E、F为AB上两点，且AE=BF，试说明CE＝DF．
10.如图，AB=AE，∠ABC＝∠AED，BC=ED，点F是CD的中点
（1）求证：AF⊥CD；
（2）在你连结BE后，还能得出什么新的结论？
请写出三个．（不要求证明）
四：【课后小结】
平行四边形及密铺
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等、角相等和直线平行的根据之一．
2.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”．
四边形的边角按位置关系可分为两类：
对边（没有公共端点的两条边）；邻边（有一个公共端点的两条边）
对角（没有公共边的两个角）；邻角（有一条公共边的两个角）
对角线：不相邻的两个顶点连成的线段
3.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离．两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．
4.平行四边形的性质：
平行四边形的两组对边分别平行；
平行四边形的两组对边分别相等； 符号语言表达：
平行四边形的两组对角分别相等；
平行四边形的对角线互相平分．
5.平行四边形的判定：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
符号语言表达：
AB∥CD.BC∥AD四边形ABCD是平行四边形
AB=CD，BC=AD四边形ABCD是平行四边形．
AB平行且相等CD或BC平行且相等AD四边形ABCD是平行四边形．
OA=OC，OB=OD四边形ABCD是平行四边形．
∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB边形ABCD是平行四边形．
6.平面的密铺定义：把形状、大小完全相同的一种或几种平面图形拼接在一起，使得平面上不留空隙，不重叠，这就是平面图形的密铺，也叫平面图形的镶嵌．
7.对于限于用一种图形密铺的问题，有三角形、四边形和正六边形，如果能实现平面图形的密铺，密铺图的每个顶点都必须集中在几个多边形的顶角，于是在每个顶点集中的顶角刚好拼成一个周角．
（二）：【课前练习】
1.四边形任意两个相邻的角都互补，那么这个四边形是________．
2.在四边形ABCD中，给出下列条件：
①AB∥CD，②AD=BC，③∠A＝∠C，④AD∥BC．能判断四边形是平行四边形的组合是_______
3.当围绕一点拼接在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成__________时，多边形可以密铺．
4.请在能够进行平面图形的密铺的图形后打“√”若不能打“ ×”
（1）正方形（ ）； （2）正七边形（ ）；（3）正六边形（ ）； （4）正三角形与正十边形（ ）；
（5）正方形与 正八边形（ ）；（6）正三角形、正方形与正六边形（ ）；（7）任意四边形（ ）；（8）任意三角形（ ）．
5.n边形的每个内角等都等于120○ ，则n等于_____.
二：【经典考题剖析】
1.下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判别四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．l：2：3：4 B．2：3：2：3 C．2：3：3：2 D．1：2：2：3
2.以不在同一直线上的三点作平行四边形的三个顶点，则可作出平行四边形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如图，□ABCD中，对角线AC和 BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜11；B．2＜m＜22；C．10＜m＜12；D．5＜m＜6
4.一个正多边形的每个外角都是36○ ，则这个多边形是_________边形．
5.已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形的边数是_________．
三：【课后训练】
1.平行四边形一组对角的平分线（ ）
A．在同一条直线上；B．平行；C．相交； D．平行或在同一直线上
2.如图，在□ABCD中，如果点M为CD中点，AM与BD相交于点N那么SΔDMN：S□ABCD为（ ）
A．1：12 B．1：9 C．1：8 D．1：6
3.已知□ABCD的周长为30㎝，AB：BC=2：3，那么AB=___________㎝.
4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=10，BD=8，AB=x，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜9；B．2＜x＜18；C．8＜x＜10；D．4＜x＜5
5.现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45○角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并说明你的方案正确的理由．
6.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F 在对角线AC上，且AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一个点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等．（只需说明一组线段相等即可）
（1）连接_______；（2）猜想________
（3）说明理由.
7.如图，某村有一块四边形池塘，在它的四个角A、B、C、D处均有一棵大核桃树，此村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘的面积扩大一倍，又保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形状，你认为该村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能请说明理由．
8.已知：如图1―4―7在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任
意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.
(1)求四边形AQMP的周长；
(2)写出图中的两对相似三角形（不需证明）；
(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.
9.小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图1－4－61甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图1－4－61乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)
10.用三种不同的方法把平行四边 形面积四等分．（在所给的图形图如图1－4－78中，画出你的设计方案，画图工具不限）．
四：【课后小结】
矩形、菱形、正方形
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.性质：
（1）矩形：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．
（2）菱形：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．
（3）正方形：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
2.判定：
（1）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．
（2）菱形：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．
（3）正方形：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．
3.面积计算：
（1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：（是对角线）
（3）正方形：S=边长2
4.平行四边形与特殊平行四边形的关系
（二）：【课前练习】
1.下列四个命题中，假命题是（ ）
A．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形
B．菱形的一条对角线平分一组对角
C．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形
D．等腰梯形的两条对角线相等
2. 将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠=60°，则∠AED的大小是（ ）
A．60°. B．50°. C．75°. D．55°
3.正方形的对角线长为a，则它的对角线的交点到各边的距离为（ ）
A、a B、a C、 D、2a
4.如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15㎝的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15㎝，则∠1＝_____度
5.师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行
（1）如图，先裁出两对符合规格的铝合金
窗料（如图①），使AB=CD，EF= GH；
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框
的形状是 ，根据的数学道理是____．
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)说明窗框合格，这时窗框是_________，根据的数学道理是______________
二：【经典考题剖析】
1.下列四边形中，两条对角线一定不相等的是（ ）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．直角梯形
2.周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．98 B． 96 C．280 D．284
3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80 ，AB的垂直平分线EF交对角线A C于点F、E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（ ）
A．80° B．70° C．65° D．60°
4.如图，小明想把平面镜MN挂在墙上，要使小明能从镜子里看
见自己的脚？问平面镜至多离地面多高？（已知小明身高1．60米）
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由，添加的条件__________，理由：
三：【课后训练】
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角；B．对角线相等；C．对角线互相平分；D．对角线互相垂直
2.如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判断方法是________-
3.如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点 O，且CA：BD=l：,若AB=2，求菱形ABCD的面积．
4.如图，以△ABC的三边长为边在 BC的同一侧分别作三个等边三角形，
即△ABD、△ACF、△BCE，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
5.在一次数学兴趣小组活动中，组长将两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，并问同学，重叠部分是一个什么样的四边形？同学说：这是一个平行四边形．乙同学说：这是一个菱形．请问：你同意谁的看法要解决此题，需建构数学模型，将实际问题转化成数学问题来解决，即已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，边CD与边BC上的高相等，试判断四边形 ABCD的形状．
6.检查你家（或教室）的门框（或方桌面）是不是矩形，如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？并解释其中的道理。
7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90○ ，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE的延长线上，并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当上B的大小满足什么条件时，
四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能为正方形吗？为什么？
8.如图，矩形ABCD中，AC与 BD交于 O点，BE⊥AC于 E，CF⊥BD于 F．求证：BE=CF．
9.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．
（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x范围．
（2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与
ΔPAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由
10.如图，在矩形AB CD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P对同时出发，用t(秒）表示移动的时间（0＜t＜6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论
四：【课后小结】
梯形及多边形
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.多边形：
（1）多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段；首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，在多边形中，组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
（2）多边形的内角和：n边形的内角和=(n－2)180°
（3）正多边形：在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角．在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和都等于360°
（5）过n边形的一个顶点共有(n－3）条对角线，n边形共有条对角线．
（6）过n边形的一个顶点将n边形分成(n－2)个三角形．
2.梯形：
（1）定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．
（2）等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等；等腰梯形的对角线相等．
（3）等腰梯形的判定：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．②对角线相邻的梯形是等腰梯形．
（4）等腰梯形常见的作辅助线的方法．
①作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形，
如图l－4－26
②平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形．
如图l－4－27．
③平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形，如图l－4－28．
④如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点，如图1－4－29．
（二）：【课前练习】
1.四边形的内角和 ；外角和 。
2.等腰梯形上底与高相等，下底是高的3倍，则底角为（ ）
A．30o B．45 o C．60 o D．75 o
3.顺次连结梯形四边中点，所成的四边形是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．平行四边形D．菱形
4.在学校的大操场，小明从A点出发向前直走50m，向左转18°继续向前走50m，再左转18°他以同样走法回到A点时，共走了________m．
5.如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
（1）若AD=5，BC=11，梯形的高是4，求梯形的周长；
（2）若AD=a，BC=b，梯形的高是 h，梯形的周长为C，
则C=___________（请用含a、b 、c的代数式表示，答案直接填在空格上，不要求证明)
（3）若AD=3，BC=7，BD=5 ，求证：AC⊥BD．
二：【经典考题剖析】
1.如图，请写出等腰梯形ABCD（AB∥CD）特有而一般梯形不具有的三个特征：
2.已知：在等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，则梯形的高是_________cm．
3.正n边形的内角和等于1080°，那么这个正n边形的边数n=______
4.同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形吗？如果是，请给出证明（要求画出图形，写出已知、求证、证明）；如果不是，请给出反例（只需画图说明）.
5.某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10，20的梯形空地上种植花木（如图10-1）
⑴他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价
为8元/，当△AMD地带种满花后（图10-1中阴影
部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用。⑵若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/和10元/，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？
⑶若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图10-2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由。
三：【课后训练】
1.当多边形的边数由n增加到n＋1时，它的内角和增加（ ）
A．180○ B．270○ C．360○ D．120○
2.下面角度中，不能成为多边形内角和的只有（ ）
A．540○ B．280○ C．1800○ D．900○
3.若等腰梯形两底之差等于一腰的长，则腰与下底的夹角为（ ）
A．60 o B．30 o C．45 o D．15 o
4.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5.某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（ ）
A．正方形B．正六边形C.正八边形 D.正十二边形
6.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是_________
7. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D+∠E＋∠F+∠G的和．
8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝ 90○ ，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿边AD向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同
时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形、等腰梯形？
9.阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形，图1－4－74给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个，3个，4个小三角形．请你按照上述方法将图l4刁5中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数，试把这一结论推广至n边形．
10.如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于F，则OE=OF．
证明：因为四边形ABCD是正方形，所以∠BOE＝∠AOF＝90o，BO=AO，又因为AG⊥EB，所以∠l+∠3 =90°=∠2+∠3，所以∠l＝∠2，所以 Rt△BOE≌Rt△AOF，所以OE=OF．
解答此题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，AG交 EB的延长线于 G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，则仍有OE=OF．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
四：【课后小结】
相似图形
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.比例基本性质及运用
（1）线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的一样，两条线段的比a、b中，a叫做比的前项 b叫做比的后项．
注意：①针对两条线段；②两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；
③其比值为一个不带单位的正数．
（2）线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
2. 相似三角形的性质和判定
（1）相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，
相似三角形的对应边的比叫做相似比．相似比为1的两个三角形是全等三角形。
（2）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．②相似三角
形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．③相似三角
形周长的比等于相似比．④相似三角形面积的比等于相似比的平方．
（3）相似三角形的判定：①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
注意：①直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似．②在运用三角形相似的性质和判定时，要找对对应角、对应边，相等的角所对的边是对应边．
（二）：【课前练习】
1.已知=3，那么的值是____________
2.已知点C是线段AB的黄金分割点，带≈0．6 18，那么的近似值是_______
3.已知三个数1，2，，请你再添上一个（只填一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是 。
4.两直角边的长分别为3和4的直角三角形的斜边与斜边上的高的比为（ ）
A．5：3 B．5：4 C．5：12 D．25：12
5. 如图，各组图形中相似的是___________________（只填序号）．
‘
二：【经典考题剖析】
1.雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该生的眼部高度是1.5m，那么旗杆的高度是___________m.
2.在比例尺为1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm，它的实际长度约为（ ）
A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m
3.如图，D、E两点分别在△CAB上，且 DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．
4.如图，AD⊥BC于D，CE⊥AB 于E，交 AD于F，图中相似三角形的对数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5.创新实验学校设计的矩形花坛的平面图，这个花坛的长为10m，宽为6m．
⑴ 在比例尺为1：50的平面图上，这个矩形花坛的长和宽各是多少cm？
⑵ 在平面图上，这个花坛的长和宽的比是多少？
⑶ 花坛的长和宽的比为多少？
⑷ 你发现这两个比有什么关系？
三：【课后训练】
1.下列各组线段中．能成比例的是（ ）
A．3，6，7，9 B．2，5，6，8 C．3，6，9，18 D．1，2，3，4
2.某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9：4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（ ）
A．24米 B．54米 C．24米或54米 D．36米或54米
3.下列说法中正确的是（ ）
A．两个直角三角形一定相似； B．两个等腰三角形一定相似
C．两个等腰直角三角形一定相似； D．两个等腰梯形一定相似
4.如图，D是△ABC的边AB上的点，请你添加一个条件，使△ACD与
△ABC相似．你添加的条件是___________
5.如果点C为线段 AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下
列各式不正确的是（ ）
A．AB：AC＝AC：BC B．AC＝AB
C、AC＝AB D．AC≈0．61 8AB
6.△ABC中，D是AB上的一点，再在 AC上取一点 E，使得△ADE与△ABC相似，则满足这样条件的E点共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
7.厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（ ）
A． B． C． D．
8.在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使B点与C点重合，如图，则折痕DE的长是多少？
9.如图，在yABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
⑴ 求证：△ABF∽△EAD；
⑵ 若AB=4，∠BA=30°，求AE的长；
⑶ 在⑴、⑵的条件下，若AD=3，求BF的长.
10.如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿AB以每秒4cm的速度向B点运动，同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3㎝的速度向A点运动，设运动的时间为x.
⑴当x为何值时，PQ∥BC？
⑵当
⑶ΔAPQ能否与ΔCQB相似？若能，求出AP的长，若不能，请说明理由．
四：【课后小结】
相似三角形应用
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.相似多边及位似图形
(1) 定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
(2) 相似多边形的性质：（1）相似多边形的周长的比等于相似比；（2）相似多边形的对应对角线的比等于相似比；（3）相似多边形的面积的比等于相似比的平方；（4）相似多边形的对应对角线相似，相似比等于相似多边形的相似比．
(3) 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比．
2.相似的应用: 相似形的性质与识别在日常生活中有非常广泛的应用，如可应用其对应边成比例来求一些线段的长;可运用相似三角形的原理来进行测量等
（二）：【课前练习】
1.下列说法正确的是（ ）
A．所有的矩形都是相似形 B．所有的正方形都是相似形
C．对应角相等的两个多边形相似 D．对应边成比例的两个多边形相似
2.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在（ ）
A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置
3.如图是小明做的一个风筝的支架，AB=40cm，BP=60cm，△ABC∽△APQ的相似比是（ ）
A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5
4.如图，正方形的网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于( )
A.175° B．180° C．210 ° D．225°
5.如图，Rt△ABC中，有三个内接正方形，DF=9cm，GK=6cm，求第三个正方形的边长PQ．
二：【经典考题剖析】
1.小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是30㎝，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是（ ）
A．50cm B．500cm C．60cm D、600cm
2.如图是跷跷板的示意图．支柱OC与地面垂直，点O是横板AB的中点 ，AB可以绕着点O上下转动，当A端落地时，∠OAC=20°，横板上下可转动的最大角度(即∠A′OA）是（ ）
A．80° B．60° C．40° D．20°
3.一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河的对岸每隔50m有一根电线杆，在这岸离开岸边25m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，求河的宽度．
4.(1)请在如图所示的方格纸中，将△ABC向上平移3格，再向右平移6格，得△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点B1按顺时针方向旋转90°，得△A2B1C2，最后将△A2B1C2以点C2为位似中心放大到2倍，得△A3B3C2；
(2)请在方格纸的适当位置画上坐标轴(一个小正方形的边长为1个单位长度)，在你所建立的直角坐标系中，点C、C1、C2的坐标分别为：点C( )、点C1( )、点C2( )、
5.我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由
三：【课后训练】
1.针孔成像问题：根据图中尺寸(AB∥A′B′)，可以知道
物像A′B′的长与物AB的长之间的关系是____________.
2.如图，上是Rt△ABC的斜边 BC上异于 B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
3.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________.
4.如图，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2，那么当AB 的长等于 时，使得两个直角三角形相似．
5.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD=300厘米.现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖（点F）到地面的高度为EF，
屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB的点G处，此时，就将EG与EF的差值（厘米）作为此人此次的弹跳成绩.
（1）设CE=（厘米），EF=（厘米），求出由和算出的计算公式；
（2）现有甲、乙两组同学，每组三人，每人各选择一个适当的位置尽力跳了一次，且均刚好触到斜杆，由所得公式算得两组同学弹跳成绩如下表所示，由于某种原因，甲组C同学的弹跳成绩认不清，但知他弹跳时的位置为厘米，=205厘米，请你计算C同学此次的弹跳成绩，并从两组同学弹跳成绩的整齐程度比较甲、乙两组同学的弹跳成绩。
6.小颖的妈妈为小颖缝制了一个长50cm，宽30cm的矩形坐垫，又在坐垫的周围缝上了一圈宽3 cm的花边，妈妈说：“里外两个矩形是相似形”，小颖说：“这两个矩形不是相似形”你认为谁说得对，并说明你的理由．
7.某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得1．5米长的竹竿影长0．9米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是2．4米，留在墙上部分的影高是1.5米，求松树的高度．
8.如图，已知Rt△ABC与Rt△ DEF不相似，其中∠C、∠F为直角，能否分别将这两个三角形各分割成
两个三角形，使AABC分成的两个三角形与ADEF所分成的两个三角形分别对应相似？如果能，请你计设出一种分割方案．
9.王明同学为了测量河对岸树AB的高度．他在河岸边放一面平面镜，他站在C处通过平面镜看到树的顶端A．如图，然后他量得B、P间的距离是56米，C、P 间距离是 12米，他的身高是1．74米．
⑴他这种测量的方法应用了物理学科
的什么知识？请简要说明；
⑵请你帮他计算出树AB的高度．
10.如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)求直线AB的解析式；
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
(3)当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？
四：【课后小结】
圆的有关概念和性质
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.圆的有关概念和性质
(1) 圆的有关概念
①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．
②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
（2）圆的有关性质
①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．
④三角形的内心和外心
ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
2.与圆有关的角
（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
（3）圆心角与圆周角的关系：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
（二）：【课前练习】
1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°
则∠BOC的大小是（ ）
A．60○ B．45○ C．30○ D．15○
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．
3.如图，A、B、C是⊙O上三个点，当 BC平分∠ABO时，能得出结论_______（任写一个）．
4.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（ ）
A．180° B．15 0° C．135° D．120°
第4题图 第5题图
5.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50○ ，那么∠ACB等于（ ）
A．40○ B．50○ C．65○ D．130○
二：【经典考题剖析】
1.如图，在⊙O中，已知∠A CB＝∠CDB＝60○ ，AC＝3，则△ABC的周长是____________.
第1题图 第2题图 第3题图
2.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（ ）
A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
3.如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，那么等于（ ）
A．sin∠BPD B．cos∠BPD C．tan∠BPD D．cot∠BPD
4.⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8，求 AB与CD之间的距离．
5.如图，在⊙M中，弧AB所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系，点C是y轴与弧AB的交点。
（1）求圆心M的坐标；
（2）若点D是弦AB所对优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积
三：【课后训练】
1.如图，在⊙O中，弦AB=1．8。m，圆周角∠ACB=30○ ，则 ⊙O的直径等于_________cm．
2.如图，C是⊙O上一点，O是圆心．若∠=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．35○ B．70○ C．105○ D．150○
3.如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD,则图中和∠1相等的角有______
第1题图 第2题图 第3题图
4.在半径为1的圆中，弦AB、AC分别是和，则 ∠BAC的度数为多少？
5.如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在上，则∠C的度数是_______.
6.如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
7.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
第5题图 第6题图 第7题图
8.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（ ）
9.如图，⊙O的直径AB=10，DE⊥AB于点H，AH=2．
（1）求DE的长；
（2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，
若PC=22，求PD的长．
10.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)请你补全这个输水管道的圆形截面;
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4,求这个圆形截面的半径.
四：【课后小结】
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外d＞r．点在圆上d=r．点在圆内d＜r．
2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交d＜r，直线与圆相切d=r，直线与圆相离d＞r
3.圆与圆的位置关系
(1)同一平面内两圆的位置关系：
①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．
②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.
③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．
④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．
(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．
(3)设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则
①两圆外离d＞R+r；有4条公切线；
②两圆外切d=R＋r；有3条公切线；
③两圆相交R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线；
④两圆内切d=R－r（R＞r）有1条公切线；
⑤两圆内含d＜R—r（R＞r）有0条公切线．
（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）
4.切线的性质和判定
(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．
(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．
(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
（二）：【课前练习】
1.△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：
⑴ 当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____；
⑵ 当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____；
⑶ 当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.
2.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3.已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径 cm．
4.两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（ ）
A．d＞8 B．0＜d≤2 C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞8
5.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_____个．
二：【经典考题剖析】
1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论：
①以点C为圆心1．3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2．4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2．5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（ ）
A．0个 B．l个 C．2个 D．3个
2.已知半径为3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有___个．
3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5 cm，两圆的圆心距是6 cm，则这两圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．外离 C．内切 D．相交
4.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交 ⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（ ）
5.如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC度数是（ ）
A．70° B．40° C．50° D．20°
第4题图 第5题图
三：【课后训练】
1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有________.
2.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共
有_________个．
3.已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距为1cm，那么两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
4.如图，A、B是⊙上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝65○ ，则∠BAC等于（ ）
A．35○ B．25○ C．50○ D．65○
第4题图 第6题图
5.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x2－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
6.如图，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面
积为9π，求AB的长．
7.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4，
求⊙O的半径．
8.如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．
（1）求证：AB是⊙O切线；
（2）若△ABO腰上的高等于底边的一半，且AB=4，求的长
第7题图 第8题图
9.如图，CB、CD是⊙O的切线，切点分别为B、D，CD的延长线与⊙O的直径BE的延长线交于A点，连OC，ED．
（1）探索OC与ED的位置关系，并加以证明；
（2）若OD＝4，CD=6，求tan∠ADE的值．
10.如图,⊙O的半径为1,过点A(2,0)的直线切⊙O于点B,交y轴于点C
(1)求线段AB的长
(2)求以直线AC为图象的一次函数的解析式
第 9 题图 第10题图
四：【课后小结】
弧长、扇形的面积和圆锥侧面积
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.弧长公式：(n为圆心角的度数上为圆半径)
2.扇形的面积公式S=(n为圆心角的度数,R为圆的半径）．
3.圆锥的侧面积S=πRl ,(l为母线长，r为底面圆的半径),圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积．
（二）：【课前练习】
1.在半径为3的⊙O中，弦AB=3，则AB的长为
2.扇形的周长为16，圆心角为’，则扇形的面积为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．16π
3.如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，
则围成这个灯罩的铁皮的面积为________cm2
(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）．
4.底面半径为人高为h的圆柱，两底的面积之和与它们的侧面积相等中与r的关系为__________
5.已知扇形的圆心角为120°，弧长为10π㎝，则这个扇形的半径为___cm
二：【经典考题剖析】
1.制作一个底面直径为30cm，高40cm的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为（ ），
A．1425πcm2 B．1650πcm2 C．2100πcm2 D．2625πcm2
2.如图，在⊙O中，AB是直径，半径为R，求：
(1)∠AOC的度数.
(2)若D为劣弧BC上的一动点，且弦AD与半径OC交于E点.试探求△AEC≌△DEO时，D点的位置.
3.如图，把直角三角形 ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B′C″的位置，
设BC=1，AC=，则顶点A运动到 A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是____________（计算结果不取近似值）
第2题图 第3题图 第4题图
4.如图，粮仓顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为36m，
母线长为8m．为防雨需在粮食顶部铺上油毡，需要铺油毡的面积是_________好．
5.如图，⊙O的半径为1，圆周角∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是________.
三：【课后训练】
1.已知Rt△ABC的斜边AB=5，一条直角边AC=3，以直线BC为轴旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．8π B．12π C．15π D．20π
2.如图，圆锥的母线长为5cm，高线长为4cm，则圆锥的底面积是（ ）
A．3πcmZ ；B．9πcmZ ；C．16πcmZ ；D．25πcmZ
3.如果圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则它的侧面展开图的面积为_____
4.正方形ABCD的边长为2 cm，以边AB所在直线为轴旋转一周， 所得到的圆柱的侧面积为（ ）m2
A．16π B．8π C．4π D．4
5.有一弓形钢板ACB，ACB的度数为120o，弧长为，现要用它剪出一个最大的圆形板料，则这一圆形板料的周长为
6.已知扇形的圆心角为120°，弧长为10π㎝，则这个扇形的半径为___cm
7.如图，阴影部分是某一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为20cm，10cm、∠AOB＝120㎝，求这个广告标志面的周长．
8.把一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯沿母线剪开，可得一个半径为
24cm、圆心角为1180的扇形，求该纸杯的底面半径和高度（结果精确到0.1cm）
9.一个三角尺的两直角边分别为15cm和20cm，以它的斜边为旋转轴旋转这个三角尺便形成如图所示的旋转题体，求这个旋转体的全面积（取3.14）
10.如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和是多少？
四：【课后小结】
图形的对称
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1. 轴对称及轴对称图形的意义
(1) 轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段．
(2) 如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
(3) 轴对称的性质：如果两个图形关于某广条直线对称，那以对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分．
(4) 简单的轴对称图形：① 线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线．
②角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线．
③等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线．
④等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线．
2. 中心对称图形
（1）定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180○ ，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
（2）性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分．
（3）中心对称与旋转对称的关系：中心对称是旋转角是180o的旋转对称．
（4）中心对称的判定：如果两个点的连线被某一点M平分，则这两个点关于点M成中心对称．
（二）：【课前练习】
1. 如右图，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
2. 下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段
3. 数字______在镜中看作
4. 如右图的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有（ ）
A．l个 B．2个 C．3个 D．4个
5. 4张扑克牌如⑴所示放在桌子上小敏把其中一张旋转180°后得到如图⑵所示，那么她所旋转的牌从左数起是 （ ）
二：【经典考题剖析】
1.如图，已知直线1⊥2，垂足为O，作线段PM关于直线1、2的对称线段M1P1、M2P2 ，并说明M1P1和M2P2关于点O成中心对称．
2.如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判断方法是______
3.如图，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P、Q、M、N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系，
填空： A与_____对应， B与______对应， C与____对应， D与______对应．
4. 如图所示图案中有且只有三条对称轴的是（ ）
5.已知四边形ABCD和AB的中点O，求作四边形ABCD关于点O的对称图形．
三：【课后训练】
1.如图是四幅美丽的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.若图形关于某一条直线对称，则连结相应两对称点的线段必被对称轴________.
3.如图，由正三角形和正方形拼成的图形中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
4.下列说法中，正确的是（ ）
A．等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形 B．正方形的对角线互相垂直平分且相等
C．矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D．菱形的对角线相等
5.在右图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
6. 字母A，B，C，D，E，F，S，X，Y，Z中，是轴对称图形的有_______个．
7.某学校搞绿化，计划在一矩形空地上建一个花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成（个数不限）并使矩形场地成轴对称图形，请你试试看．
8. 已知四边形ABCD，如图，求作四边形 ABCD关于点A的对称图形．
9.如图，请在ABCDE中，以线段DE所在的直线为对称轴，画出它的轴对称图形．
10.小明发现：如果将4棵树栽于正方形的四个顶点上，如图⑴所示，恰好构成一轴对称图形．你还能找到其他两种栽树的方法，也使其组成一个轴对称图形吗？请在图⑵、⑶上表示出来．如果是栽5棵，又如何呢？6棵、7棵呢？请分别在⑷、⑸、⑹上表示出来．
四：【课后小结】
图形的平移与旋转
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.图形的平移
(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．
注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形
在同一平面内的变换．
②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移 的依据．
③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．
（2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．
②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．
（3）简单的平移作图
平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．
2. 图形的旋转
（1）旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心。理解旋转这一概念应注意以下两点：①旋转和平移一样是图形的一种基本变换；②图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度．
（2）旋转的基本性质：图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化．
（3）简单图形的旋转作图
两种情况：①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；
②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点．
作图步骤：①作出图形的几个关键点旋转后的对应点；
②顺次连接各点得到旋转后的图形．
（4）图案设计：图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的。其中中心对称是旋转变换的一种特例。
（二）：【课前练习】
1.如图，四边形ABCD平移后得到四边形 EFGH，
填空（1）CD=______， （2）∠ F＝______（3）HE= ，（4）∠D=_____，
（5）DH=_________
2.如图，若线段CD是由线段AB平移而得到的，则线段CD、AB关系是__________.
3.将长度为3cm的线段向上平移20cm，所得线段的长度是（ ）
A．3cm B．23cm C．20cm D．17cm
4.关于平移的说法，下列正确的是（ ）
A．经过平移对应线段相等； B．经过平移对应角可能会改变
C．经过平移对应点所连的线段不相等； D．经过平移图形会改变
5.在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o后不变的字是_______
在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180）后不能与原图形重合的是____
二：【经典考题剖析】
1.下列说法正确的是（ ）
A.由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等
B.我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方
向的平移”
C.小明第一次乘观光电梯，随着电梯向上升，他高兴地对同伴说：“太棒了，我现在比大楼还高呢，我长高了！”
D.在图形平移过程中，图形上可能会有不动点
2.如图，已知△ABC，画出△ABC沿 PQ方向平移2cm后的△A′B′C′．
3.如图⑴，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块统正方形的中心O作0○～90o的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n的关系的图象大致是图⑵中的（ ）
（图1） （图2）
4.如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动，将方格中的△ABC重合到△DEF上．
5.如图是跷跷板示意图，模板AB通过点O，且可以绕点O上下转动，如果∠OCA＝90○，∠CAO= 25○，
（1）画出在空中划过的线；
（2）上下最多可以转动多少角度？
三：【课后训练】
1.将△ABC平移10cm，得∠EFG，如果∠ABC＝52○ ，则∠EFG=_____．BF=_____.
2.平移不改变图形的________，只改变图形的位置。故此若将线段AB向右平移3cm，得到线段CD，如果AB=5㎝，则 CD=___________
3.下列关于旋转和平移的说法正确的是（ ）
A．旋转使图形的形状发生改变
B．由旋转得到的图形一定可以通过平移得到
C．平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小
D．对应点到旋转中心距离相等
4.如图，正方形ABCD可以看成由三角形______旋转而成的，其旋转中心为______点，旋转角度依次为________，________，________.
5.如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度为（ ）
A．3 B．3 C．5 D．4
6.△ABC是等腰直角三角形，如图，AB=AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，△ACD经过旋转到达△ABE的位置，则其旋转角的度数为（ ）
A．90° B．120° C．60° D．45°
第4题图 第5题图 第6题图
7.如图，先将方格纸中“猫头”分别向左平移6格、12格，然后分析所画三个图案的关系．
8.如图，已知∠AOB，要求把其往正东方向平移3cm，要求留画痕，写作法
．
9.已知边长为 1个单位的等边三角形ABC，
（1）将这个三角形绕它的顶点C按顺时针方向旋转30○ 作出这个图形；
（2）再将已知三角形分别按顺时针方向旋转60○、90○、120○，作出这些图形．
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，请你用对称和旋转的知识回答下列问题：
（l）△ADE和△DFA关于直线AD对称吗?为什么？
（2）把△BDE绕点D顺时针旋转160○后能否与△CDF重合？为什么？
（3）把△BDE绕点D旋转多少度后，此时的△BDE和△CDF关于直线BC对称？
四：【课后小结】
视图与投影
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.三视图
（1）主视图：从 看到的图；
（2）左视图：从 看到的图；
（3）俯视图：从 看到的图；
2.画三视图的原则（如图）
长对正，高平齐，宽相等；在画图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见的轮廓线通常画成虚线。
3.投影
物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是 ；投影分 投影和 投影。
（1）平行投影：太阳光线可以看成 光线，像这样的光线所形成的投影称为 投影；物体的三视图实际上就是该物体在垂直于投影面的平行光线下的平行投影。
（2）中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是由一点出发的光线，像这样的光线所形成的投影称为 投影。
（3）像眼睛的位置称为 ，由视点出发的线称为 ，两条视线的夹角称为 ，看不到的地方称为 。
（二）：【课前练习】
1.小明从正面观察图（1）所示的两个物体，
看到的是图（2）中的（ ）
（图1） （图2）
2.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．小明的影子比小强的影子长； B．小明的影子比小强的影子短
C．小明的影子和小强的影子一样长； D．无法判断谁的影子长
3.你在路灯下漫步时，越接近路灯，其影子成长度将（ ）
A．不变B．变短C．变长D．无法确定
4.一个矩形窗框被太阳光照射后，留在地面上的影子是________
5.将如图1－4－22所示放置的一个直角三角形ABC( ∠C=90°)，绕斜边AB旋转一周所得到的几何体的主视图是图1－4－23四个图形中的_________（只填序号）．
二：【经典考题剖析】
1.某物体的三视图是如图所示的3个图形，那么该物体的形状是（ ）
A．长方体B．圆锥体C．立方体D．圆柱体
2.在同一时刻，身高1．6m的小强的影长是1.2m，旗杆的影长是15m，则旗杆高为（ ）
A．16m B．18m C．20m D．22m
3. 一天上午小红先参加了校运动会女子100m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，如图是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么下列说法正确的是（）
A．乙照片是参加100m的 B．甲照片是参加 400m的
C．乙照片是参加 400m的 D．无法判断甲、乙两张照片
4.已知：如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
5.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.
（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？
（结果保留整数，参考数据：
）
三：【课后训练】
1.如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面右图由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）
2.夜晚在亮有路灯的路上，若想没有影子，你应该站的位置是（ ）。
A、路灯的左侧 B、路灯的右侧 C、路灯的下方 D、以上都可以
3.如图是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是（ ）
4.图是一天中四个不同时刻同一物体价影子，（阴影部分的影子）它们按时间先后顺序排列的是（ ）
A．（1）（2）（3）（4）；B．（4）（3）（2）（1）
C．（4）（1）（3）（2）；D．（3）（4）（1）（2）
5. 如图是两根杆在路灯底下形成的影子，试确定路灯灯泡所在的位置．
6.如图（l），小明站在残墙前，小亮在残墙后面活动，又不被小明看见，请你在图⑴的
俯视图（2）中画出小亮的活动区域
（第5题） （第6题）
7.如图（1），一个小孩在室内由窗口观察室外的一棵树，在图（1）中，小孩站在什么位置就可以看到树的全部请你在图（2）中用线段表示出来．
（图1） （图2）
8.如图，是一束平行的阳光从教室窗户射人的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC＝30○ ，在教室地面的影长MN=2，若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1m，则窗户的上檐到教室地面的距离AC是多少？
9.如图，住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24cm，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况，当太阳光与水平线的夹角为30”时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？
10.图1－4－29至1－4－35中的网格图均是20 ×20的等距网格图（每个小方格的边长均为1个单位长），侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况．当5个单位长的列车（图中的
）以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域MNCD内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙〕，设列车车头运行到M点的时刻为0，列车从M点向N点方向运行的时间为t（秒）．
（1）在区域MNCD内，请你针对图1－4－29，图l－4－30，图l－4－31，图l－4－32中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影；
（2）只考虑在区域ABCD内形成的盲区．设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位）．
①如图 1－4－33，当 5＜t＜10时，请你求出用 t表示 y的函数关系式；②如图1－4－34，当10＜t＜15时，请你求出用t表示y的 函数关系式；③如图1－4－35，当 15≤t≤20时，请你求出用t表示y的函数关系式；④根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t的变化而变化的情况；
（3）根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小 的变化情况提出一个综合的猜想（问题⑶）是额外加分题，加分幅度为 1～4分)
四：【课后小结】
锐角三角函数
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.直角三角形的边角关系（如图）
（1）边的关系（勾股定理）：AC2+BC2=AB2；
（2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900；
（3）边角关系：
①：
②：锐角三角函数：
∠A的正弦=；
∠A的余弦= ,
∠A的正切=
注：三角函数值是一个比值．
2.特殊角的三角函数值．
3.三角函数的关系
(1) 互为余角的三角函数关系．
sin（90○－A）=cosA， cos（90○－A）=sin A tan（90○－A）= cotA
(2) 同角的三角函数关系．
平方关系：sin2 A+cos2A=l
4.三角函数的大小比较
①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．
②余弦是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
（二）：【课前练习】
1.等腰直角三角形一个锐角的余弦为（ ）
A． D．l
2.点M(tan60°，－cos60°）关于x轴的对称点M′的坐标是（ ）
3.在 △ABC中，已知∠C＝90°，sinB=0.6，则cosA的值是（ ）
4.已知∠A为锐角，且cosA≤0.5，那么（ ）
A．0°＜∠A≤60° B．60°≤∠A＜90° C．0°＜∠A≤30° D．30°≤∠A＜90°
二：【经典考题剖析】
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，点D在AC上，∠BDC=60°，AD=l，求BD、DC的长．
2.先化简，再求其值，其中x=tan45－cos30°
3. 计算：①sin248○＋ sin242○－tan44○×tan45○×tan 46○ ②cos 255○＋ cos235○
4.比较大小（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）
若α=45○，则sinα________cosα；
若α＜45○，则sinα cosα；
若α＞45°，则 sinα cosα.
5.⑴如图①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；
⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
三：【课后训练】
1. 2sin60°－cos30°·tan45°的结果为（ ）
A． D．0
2.在△ABC中，∠A为锐角，已知 cos(90°－A）=，sin(90°－B）=，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．等腰三角形
3.如图，在平面直角坐标系中，已知A(3，0)点B(0，－4),则cos∠OAB等于__________
4.cos2α+sin242○ =1，则锐角α=______.
5.在下列不等式中，错误的是（ ）
A.sin45○＞sin30○；B.cos60○＜oos30○；C.tan45○＞tan30○；D.cot30○＜cot60○
6.如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）
7.如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于 E点，EC=1，∠B=30°，求菱形ABCD的周长．
8.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8 ，CD⊥AB，求：①sin∠ACD 的值；②tan∠BCD的值
9.如图 ，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A/B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A山之间的距离是多少？（结果精确至1米．参考数据：sin32○≈0．5299，cos32○≈0．8480）
10.某住宅小区修了一个塔形建筑物AB，如图所示，在与建筑物底部同一水平线的C处，测得点A的仰角为45°，然后向塔方向前进8米到达D处，在D处测得点A的仰角为60°，求建筑物的高度．（精确0．1米）
四：【课后小结】
解直角三角形应用
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1. 直角三角形边角关系．
（1）三边关系：勾股定理：
（2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =∠C=90°．
（3）边角关系tanA=，sinA=,cosA=，
2.解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；
（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；
（3）已知两边解直角三角形．
3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决
（二）：【课前练习】
1.如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为山则重叠部分的面积为（ ）
2. 如上图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为2：3，顶宽为3米，路基高为4米，则路基的下底宽是（ ）
A．15米 B．12米 C．9米 D．7米
3.我市东坡中学升国旗时，余露同学站在离旗杆底部12米行注目礼，当国旗升到旗杆顶端时，该同学视线的仰角为45°，若他的双眼离地面1．3米，则旗杆高度为_________米。
4.太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时，测得大树在地面上的影长为10米，则大树的高为_________米．
5.如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米
处的C点（AC⊥BA）测得∠A＝50°，则A、B间的距离应为（ ）
A．15sin50°米；B.15cos50°米；C.15tan50°米；D.米
二：【经典考题剖析】
1.如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC＝45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明．
2. 雄伟壮观的“千年塔”屹立在海口市西海岸带状公园的“热带海洋世界”.在一次数学实践活动中，为了测量这座“千年塔”的高度，雯雯在离塔底139米的C处(C与塔底B在同一水平线上)，用高1.4米的测角仪CD测得塔项A的仰角α=43°(如图)，求这座“千年塔”的高度AB(结果精确到0.1米).（参考数据：tan43°≈0.9325,cot43°≈1.0724）
3.在一次实践活动中，某课题学习小且用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计如下方案如图①所示；
（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的角∠MCE＝α；
（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离A N＝m；
（3）量出测倾器的高度AC=h，根据上述测量数据，即可求出旗杆
的高度MN．
如果测量工具不变，请你仿照上述过程，设计一个测量某小山高度
①在图②中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当的字母）；
②写出你的设计方案．
4.已知如图，某同学站在自家的楼顶A处估测一底部不能直接到达的宝塔的高度（楼底与宝塔底部在同一水平线上），他在A处测得宝塔底部的俯角为30°，测得宝塔顶部的仰角为45°，测得点A到地面的距离为 18米，请你根据所测的数据求出宝塔的高．（精确到0．01米）
5.如图，一艘军舰以30海里／时的速度由南向北航行，在A处看灯塔S在军舰的北偏东30○方向，半小时后航行到B处，看见灯塔S在军舰的东北方向，求灯塔S和B的距离.
三：【课后训练】
1.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏东时，光线与地面成α角，房屋朝南的窗子高AB=h米，要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射人室内如图，那么挡光板AC的宽度为=__________．
2.如图，河对岸有一滩AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为α，向塔前进s米到达D，在D处测得A的仰角为β，则塔高为____米.
3.初三（1）班研究性学习小组为了测量学校旗杆的高度如图，他们离旗杆底部E点30米的D处，用测角仪测得旗杆的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1．4米，则旗杆BE的高为_______米（精确到0．1米）．
4.如图，在山坡上种树，已知∠A=30°，AC=3米，则相邻两株树的坡面距离AB 等于（ ）
A．6米 B．米 C．2米 D．2米
第4题图 第5题图 第6题图
5.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8．则sin∠ABD的值是（ ）
6.如图所示，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C 处，BC′交AD于E，
下列结论不一定成立的是（ ）
A.AD=BC′；B.∠EBD= ∠EDB；C.△ABE∽△CBD；D.sin∠ABE=
7.某月松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100m到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向，如图，以航标C为圆心，120m长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？
8. 身高相同的甲、乙、丙三位同学星期天到野外去比赛放风筝，看谁放得高（第一名得100分，第二名得80分，第三名得60分），甲、乙、丙放出的线长分别为300m，250m，200m；线与地平面的夹角分别为30 °，45°，60°，假设风筝线是拉直的）请你给三位同学打一下分数？
9.某校的教室A位于工地O的正西方向、，且 OA=200米，一部拖拉机从O点出发，以每秒6米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？（已知：sin53°≈0．80，sin37°≈0．60，tan37°≈0．75）
10.在一次暖气管道的铺设工作中，工程由A点出发沿正西方向进行，在A点的南偏西60°方向上有一所学校B，如图，占地是以 B为中心方圆 100m的圆形，当工程进行了200m后到达C处，此时B在C南偏西30°的方向上，请根据题中所提供的信息计算并分析一下，工程若继续进行下去是否会穿越学校．
四：【课后小结】
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