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  • 2021-05-10 发布

江苏省中考数学压轴题精选含答案

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‎2008年江苏省中考数学压轴题精选精析 ‎1(08江苏常州28题)(答案暂缺)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.‎ (1) 求点A的坐标;‎ (2) 以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;‎ (3) 设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围. ‎ ‎2(08江苏淮安28题)(答案暂缺)28.(本小题14分)‎ ‎ 如图所示,在平面直角坐标系中.二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P,与x轴交点为 A、B,与y轴交点为C.连结BP并延长交y轴于点D.‎ ‎ (1)写出点P的坐标;‎ ‎ (2)连结AP,如果△APB为等腰直角三角形,求a的值及点C、D的坐标;‎ ‎ (3)在(2)的条件下,连结BC、AC、AD,点E(0,b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°,得到一个新三角形.设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S,根据不同情况,分别用含b的代数式表示S.选择其中一种情况给出解答过程,其它情况直接写出结果;判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值.‎ ‎3(08江苏连云港24题)(本小题满分14分)‎ 如图,现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ,Ⅱ,它们两直角边的长分别为1和2.将它们分别放置于平面直角坐标系中的,处,直角边在轴上.一直尺从上方紧靠两纸板放置,让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动.当纸板Ⅰ移动至处时,设与分别交于点,与轴分别交于点.‎ ‎(1)求直线所对应的函数关系式;‎ ‎(2)当点是线段(端点除外)上的动点时,试探究:‎ ‎①点到轴的距离与线段的长是否总相等?请说明理由;‎ A O E G B F H N C P I x y M ‎(第24题图)‎ D II ‎②两块纸板重叠部分(图中的阴影部分)的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及取最大值时点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(08江苏连云港24题解析)解:(1)由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2,‎ 知两点的坐标分别为.‎ 设直线所对应的函数关系式为. 2分 有解得 A O E G B F H N C P I x y M ‎(第24题答图)‎ K II 所以,直线所对应的函数关系式为. 4分 ‎(2)①点到轴距离与线段的长总相等.‎ 因为点的坐标为,‎ 所以,直线所对应的函数关系式为.‎ 又因为点在直线上,‎ 所以可设点的坐标为.‎ 过点作轴的垂线,设垂足为点,则有.‎ 因为点在直线上,所以有. 6分 因为纸板为平行移动,故有,即.‎ 又,所以.‎ 法一:故,‎ 从而有.‎ 得,.‎ 所以.‎ 又有. 8分 所以,得,而,‎ 从而总有. 10分 法二:故,可得.‎ 故.‎ 所以.‎ 故点坐标为.‎ 设直线所对应的函数关系式为,‎ 则有解得 所以,直线所对的函数关系式为. 8分 将点的坐标代入,可得.解得.‎ 而,从而总有. 10分 ‎②由①知,点的坐标为,点的坐标为.‎ ‎. 12分 当时,有最大值,最大值为.‎ 取最大值时点的坐标为. 14分 ‎(第28题)‎ A B C D O y/km ‎900‎ ‎12‎ x/h ‎4‎ ‎4(08江苏南京28题)(10分)一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为,两车之间的距离为,图中的折线表示与之间的函数关系.‎ 根据图象进行以下探究:‎ 信息读取 ‎(1)甲、乙两地之间的距离为 km;‎ ‎(2)请解释图中点的实际意义;‎ 图象理解 ‎(3)求慢车和快车的速度;‎ ‎(4)求线段所表示的与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;‎ 问题解决 ‎(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时?‎ ‎(08江苏南京28题解析)28.(本题10分)‎ 解:(1)900; 1分 ‎(2)图中点的实际意义是:当慢车行驶4h时,慢车和快车相遇. 2分 ‎(3)由图象可知,慢车12h行驶的路程为‎900km,‎ 所以慢车的速度为; 3分 当慢车行驶4h时,慢车和快车相遇,两车行驶的路程之和为‎900km,所以慢车和快车行驶的速度之和为,所以快车的速度为‎150km/h. 4分 ‎(4)根据题意,快车行驶‎900km到达乙地,所以快车行驶到达乙地,此时两车之间的距离为,所以点的坐标为.‎ 设线段所表示的与之间的函数关系式为,把,代入得 解得 所以,线段所表示的与之间的函数关系式为. 6分 自变量的取值范围是. 7分 ‎(5)慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇,此时,慢车的行驶时间是4.5h.‎ 把代入,得.‎ 此时,慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是‎112.5km,所以两列快车出发的间隔时间是,即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h. 10分 ‎5.(08江苏南通28题)(14分)已知双曲线与直线相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线上的动点.过点B作BD∥y轴交x轴于点D.过N(0,-n)作NC∥x轴交双曲线于点E,交BD于点C.‎ ‎(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值.‎ ‎(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.‎ ‎(第28题)‎ y O ‎·‎ A D x B C E N M ‎·‎ ‎(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.‎ ‎ ‎ ‎(08江苏南通28题解析)解:(1)∵D(-8,0),∴B点的横坐标为-8,代入中,得y=-2.‎ ‎∴B点坐标为(-8,-2).而A、B两点关于原点对称,∴A(8,2).‎ 从而.……………………………………………………………………3分 ‎(2)∵N(0,-n),B是CD的中点,A、B、M、E四点均在双曲线上,‎ ‎∴,B(-‎2m,-),C(-‎2m,-n),E(-m,-n). ……………4分 ‎ S矩形DCNO,S△DBO=,S△OEN =, ………………7分 ‎ ∴S四边形OBCE= S矩形DCNO-S△DBO- S△OEN=k.∴. …………………………8分 由直线及双曲线,得A(4,1),B(-4,-1),‎ ‎∴C(-4,-2),M(2,2).………………………………………………………9分 设直线CM的解析式是,由C、M两点在这条直线上,得 ‎ 解得.‎ ‎∴直线CM的解析式是.………………………………………………11分 ‎(3)如图,分别作AA1⊥x轴,MM1⊥x轴,垂足分别为A1、M1.‎ ‎(第28题)‎ y O ‎·‎ A x B M ‎·‎ Q A1‎ P M1‎ 设A点的横坐标为a,则B点的横坐标为-a.于是 ‎.‎ 同理,……………………………13分 ‎∴.……………………14分 ‎6.(08江苏苏州28题)(答案暂缺)28.(本题9分) 课堂上,老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转,在旋转中发现图形的形状和大小不变,但位置发生了变化当△AOB旋转90°时,得到△A1OB1.已知A(4,2)、B(3,0).‎ ‎ (1)△A1OB1的面积是 ;‎ ‎ A1点的坐标为( , ;B1点的坐标为( , );‎ ‎ (2)课后,小玲和小惠对该问题继续进行探究,将图②中△AOB绕AO的中点C(2,1)逆时 ‎ 针旋转90°得到△A′O′B′,设O′B′交OA于D,O′A′交轴于E.此时A′、O′和B′的坐标分别为(1,3)、(3,-1)和(3,2),且O′B′ 经过B点.在刚才的旋转过程中,小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小,旋转到90°时重叠部分的面积(即四边形CEBD的面积)最小,求四边形CFBD的面积;‎ ‎ (3)在(2)的条件一下,△AOB外接圆的半径等于 .‎ ‎ ‎ ‎7.(08江苏宿迁27题)(本题满分12分)‎ 如图,⊙的半径为,正方形顶点坐标为,顶点在⊙上运动.‎ ‎(1)当点运动到与点、在同一条直线上时,试证明直线与⊙相切;‎ ‎(2)当直线与⊙相切时,求所在直线对应的函数关系式;‎ 第27题 ‎(3)设点的横坐标为,正方形的面积为,求与之间的函数关系式,并求出的最大值与最小值.‎ ‎(08江苏宿迁27题解析)解:(1) ∵四边形为正方形 ∴‎ ‎∵、、在同一条直线上 ∴ ∴直线与⊙相切;‎ 第27题图1‎ ‎(2)直线与⊙相切分两种情况:‎ ‎   ①如图1, 设点在第二象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去).‎ 由∽ 得 第27题图2‎ ‎∴ ∴,故直线的函数关系式为;‎ ‎  ②如图2, 设点在第四象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去).‎ 由∽ 得 ‎∴ ∴,故直线的函数关系式为.‎ ‎(3)设,则,由得 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ ‎8.(08江苏泰州29题)已知二次函数的图象经过三点(1,0),(-3,0),(0,)。‎ ‎(1)求二次函数的解析式,并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像;(5分)‎ ‎(2)若反比例函数图像与二次函数的图像在第一象限内交于点A(x0,y0), x0落在两个相邻的正整数之间。请你观察图像,写出这两个相邻的正整数;(4分)‎ ‎(3)若反比例函数的图像与二次函数的图像在第一象限内的交点为A,点A的横坐标为满足2<<3,试求实数k的取值范围。(5分)‎ ‎(08江苏泰州29题解析)(本题满分14分)(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)……………1分 ‎(只要设出解析式正确,不管是什么形式给1分)‎ 将(0,—)代入,解得a=.‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+x- …………………………………3分 ‎(无论解析式是什么形式只要正确都得分)‎ 画图(略)。(没有列表不扣分)…………………………………5分 ‎(2)正确的画出反比例函数在第一象限内的图像……………7分 由图像可知,交点的横坐标x0 落在1和2之间,‎ 从而得出这两个相邻的正整数为1与2。…………………………………………………9分 ‎(3)由函数图像或函数性质可知:当2<x<3时,‎ 对y1=x2+x-, y1随着x增大而增大,对y2= (k>0),‎ y2随着X的增大而减小。因为A(X0,Y0)为二次函数图像与反比例函数图像的交点,‎ 所心当X0=2时,由反比例函数图象在二次函数上方得y2>y1,‎ 即>×22+2-,解得K>5。…………………………………11分 同理,当X0=3时,由二次函数数图象在反比例上方得y1>y2,‎ 即×32+3—>,解得K<18。…………………………………13‎ 所以K的取值范围为5 <K<18………………………………………14分 ‎9.(08江苏无锡27题)(本小题满分10分)‎ 如图,已知点从出发,以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动,以为顶点作菱形,使点在第一象限内,且;以为圆心,为半径作圆.设点运动了秒,求:‎ ‎(1)点的坐标(用含的代数式表示);‎ ‎(2)当点在运动过程中,所有使与菱形的边所在直线相切的的值.‎ ‎(08江苏无锡27题解析)27.解:(1)过作轴于,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 点的坐标为. (2分)‎ B A D O P C x y 图1‎ ‎(2)①当与相切时(如图1),切点为,此时,‎ y x B C P O A E 图2‎ ‎,,‎ ‎. (4分)‎ ‎②当与,即与轴相切时(如图2),则切点为,,‎ 过作于,则, (5分)‎ ‎,. (7分)‎ ‎③当与所在直线相切时(如图3),设切点为,交于,‎ 则,,‎ ‎. (8分)‎ y x A F C B P O G H 图3‎ 过作轴于,则,‎ ‎,‎ 化简,得,‎ 解得,‎ ‎,‎ ‎.‎ 所求的值是,和. (10分)‎ ‎10(08江苏无锡28题)(本小题满分8分)‎ 一种电讯信号转发装置的发射直径为‎31km.现要求:在一边长为‎30km的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问:‎ ‎(1)能否找到这样的4个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求?‎ ‎(2)至少需要选择多少个安装点,才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求?‎ 答题要求:请你在解答时,画出必要的示意图,并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.(下面给出了几个边长为‎30km的正方形城区示意图,供解题时选用)‎ 图4‎ 图3‎ 图2‎ 图1‎ ‎(08江苏无锡28题解析)解:(1)将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形,将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处,此时,每个小正方形的对角线长为,每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域,故安装4个这种装置可以达到预设的要求.‎ ‎ (3分)(图案设计不唯一)‎ ‎(2)将原正方形分割成如图2中的3个矩形,使得.将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处,设,则,.‎ 由,得,‎ ‎,,‎ 即如此安装3个这种转发装置,也能达到预设要求. (6分)‎ 或:将原正方形分割成如图2中的3个矩形,使得,是的中点,将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处,则,, ‎ ‎,即如此安装三个这个转发装置,能达到预设要求. (6分)‎ 要用两个圆覆盖一个正方形,则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点.如图3,用一个直径为31的去覆盖边长为30的正方形,设经过,与交于,连,则,这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形.‎ 所以,至少要安装3个这种转发装置,才能达到预设要求. (8分)‎ 评分说明:示意图(图1、图2、图3)每个图1分.‎ B F D A E H O 图2‎ 图3‎ D C F B E A O A D C B 图1‎ ‎11(08江苏徐州28题)(答案暂缺)28.如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°,∠EDF=30°‎ ‎【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q ‎【探究一】在旋转过程中,‎ (1) 如图2,当时,EP与EQ满足怎样的数量关系?并给出证明.‎ (2) 如图3,当时EP与EQ满足怎样的数量关系?,并说明理由.‎ (3) 根据你对(1)、(2)的探究结果,试写出当时,EP与EQ满足的数量关系式 为_________,其中的取值范围是_______(直接写出结论,不必证明)‎ ‎【探究二】若,AC=‎30cm,连续PQ,设△EPQ的面积为S(cm2),在旋转过程中:‎ (1) S是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值,若不存在,说明理由.‎ (2) 随着S取不同的值,对应△EPQ的个数有哪些变化?不出相应S值的取值范围.‎ ‎12.(08江苏盐城28题)28.(本题满分12分)‎ 如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.‎ 解答下列问题:‎ ‎(1)如果AB=AC,∠BAC=90º.‎ ①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为 ▲ ,数量关系为 ▲ .‎ 第28题图 图甲 图乙 图丙 ②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?‎ ‎ ‎ ‎(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90º,点D在线段BC上运动.‎ 试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)‎ ‎(3)若AC=,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值.‎ ‎(08江苏盐城28题解答)(1)①CF与BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等;‎ ‎②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.‎ 由正方形ADEF得 AD=AF ,∠DAF=90º.‎ ‎∵∠BAC=90º,∴∠DAF=∠BAC , ∴∠DAB=∠FAC,‎ 又AB=AC ,∴△DAB≌△FAC , ∴CF=BD     ‎ ‎ ∠ACF=∠ABD.‎ ‎∵∠BAC=90º, AB=AC ,∴∠ABC=45º,∴∠ACF=45º,‎ ‎∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º.即 CF⊥BD 图丁 ‎(2)画图正确       ‎ 当∠BCA=45º时,CF⊥BD(如图丁).‎ ‎ 理由是:过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG 可证:△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ‎ ‎∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º. 即CF⊥BD 图戊 ‎(3)当具备∠BCA=45º时,‎ 过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q,(如图戊)‎ ‎∵DE与CF交于点P时, ∴此时点D位于线段CQ上,‎ ‎∵∠BCA=45º,可求出AQ= CQ=4.设CD=x ,∴ DQ=4—x,‎ 容易说明△AQD∽△DCP,∴ , ∴,‎ ‎. ‎ ‎∵0<x≤3 ∴当x=2时,CP有最大值1.‎ ‎13.(08江苏扬州26题)(答案暂缺)26.(本题满分14分)‎ 已知:矩形ABCD中,AB=1,点M在对角线AC上,直线l过点M且与AC垂直,与AD相交于点E。‎ ‎(1)如果直线l与边BC相交于点H(如图1),AM=AC且AD=A,求AE的长;(用含a的代数式表示)‎ ‎(2)在(1)中,又直线l 把矩形分成的两部分面积比为2:5,求a的值;‎ ‎(3)若AM=AC,且直线l经过点B(如图2),求AD的长;‎ ‎(4)如果直线l分别与边AD、AB相交于点E、F,AM=AC。设AD长为x,△AEF的面积为y,求y与x的函数关系式,并指出x的取值范围。(求x的取值范围可不写过程)‎ ‎14(08江苏镇江28题)28.(本小题满分8分)探索研究 x l Q C P A O B H R y 如图,在直角坐标系中,点为函数在第一象限内的图象上的任一点,点的坐标为,直线过且与轴平行,过作轴的平行线分别交轴,于,连结交轴于,直线交轴于.‎ ‎(1)求证:点为线段的中点;‎ ‎(2)求证:①四边形为平行四边形;‎ ‎②平行四边形为菱形;‎ ‎(3)除点外,直线与抛物线有无其它公共点?并说明理由.‎ ‎(08江苏镇江28题解答)(1)法一:由题可知.‎ ‎,,‎ ‎. (1分)‎ ‎,即为的中点. (2分)‎ 法二:,,. (1分)‎ 又轴,. (2分)‎ ‎(2)①由(1)可知,,‎ ‎,,‎ ‎. (3分)‎ ‎,‎ 又,四边形为平行四边形. (4分)‎ ‎②设,轴,则,则.‎ 过作轴,垂足为,在中,‎ ‎.‎ 平行四边形为菱形. (6分)‎ ‎(3)设直线为,由,得,代入得:‎ ‎ 直线为. (7分)‎ 设直线与抛物线的公共点为,代入直线关系式得:‎ ‎,,解得.得公共点为.‎ 所以直线与抛物线只有一个公共点. (8分)‎