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- 2021-05-10 发布
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2013年昭通市中考试题
数 学
(主试题共25个题,满分100分;附加题,共4个小题,满分50分。考试用时150分钟)
主试题
(三个大题,共25个小题,满分100分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题只有一个正确选项,每小题3分,满分30分)
1.(2013昭通市,1,3分)-4的绝对值是( )
A. B. C.4 D.-4
【答案】C
2. (2013昭通市,2,3分)下列各式计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
3.(2013昭通市,3,3分)如图1,AB∥CD,DB⊥BC,∠2 =50°,则∠1的度数是( )
图1
A.40° B.50°
C.60° D.140°
【答案】A
4.(2013昭通市,4,3分)已知一组数据:12,5,9,5,14,下列说法不正确的是( )
A.平均数是9 B.中位数是9
C.众数是5 D.极差是5
【答案】D
5.(2013昭通市,5,3分)如图2,已知AB、CD是⊙O的两条直径,∠ABC =28°,那么∠BAD =( )
图2
A.28° B.42° C.56° D.84°
【答案】A
6.(2013昭通市,6,3分)图3是一个正方体的表面展开图,则原正方体中与“建”字所
在的面相对的面上标的字是( )
图3
A.美 B.丽 C.云 D.南
【答案】D
7.(2013昭通市,7,3分)如图4,A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB 绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′,则tanB′的值为( )
图4
A. B. C. D.
【答案】B
8.(2013昭通市,8,3分)已知点P(2a-1,1-a)在第一象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
9.(2013昭通市,9,3分)已知二次函数y = ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象如图5所示,则下列结论中正确的是( )
图5
A.a>0
B.3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C.a+b+c=0
D.当x<1时,y随x的增大而减小
【答案】B
10.(2013昭通市,10,3分)图6所示是某公园为迎接“中国——南亚博览会”设置的一休闲区.∠AOB=90°,弧AB的半径OA长是6米,C是OA的中点,点D在弧AB上,CD∥OB,则图中休闲区(阴影部分)的面积是( )
图6
A.米2 B.米2
C.米2 D.米2
【答案】C
二、填空题(本大题共7个小题,每小题3分,满分21分)
11.(2013昭通市,11,3分)根据云南省统计局发布我省生产总值的主要数据显示:去年生产总值突破万亿大关,2013年第一季度生产总值为226 040 000 000元人民币,增速居全国第一. 这个数据用科学记数法可表示为 元.
【答案】2.2604×1011
12.(2013昭通市,12,3分)实数,,,,,中的无理数是 .
【答案】、、
13.(2013昭通市,13,3分)因式分解: .
【答案】2(x+3)(x-3)
14.(2013昭通市,14,3分)如图7,AF = DC,BC∥EF,只需补充一个
条件 ,就得△ABC≌△DEF.
图7
【答案】BC = EF(或∠A =∠D,或∠B =∠E,或AB∥DE等)
15.(2013昭通市,15,3分)使代数式有意义的的取值范围是 .
【答案】
16.(2013昭通市,16,3分)如图8,AB是⊙O的直径,弦BC=4cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°.若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动,设运动时间为t(s) (0≤t<16),连接EF,当△BEF是直角三角形时,t(s)的值为 .(填出一个正确的即可)
图8
【答案】4(或7或9或12)(只需填一个答案即可得分)
17.(2013昭通市,17,3分)如图9所示,图中每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式:= . (用n表示,n是正整数)
图9
【答案】n2
三、解答题(本大题共8个小题,满分49分)
18. (2013昭通市,18,6分)计算:.
【答案】解:
19. (2013昭通市,19,5分)小明有2件上衣,分别为红色和蓝色,有3条裤子,其中2条为蓝色、1 条为棕色. 在准备校艺术节的演出服装时突遇停电,小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上.请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果,并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率.
【答案】解:列表如下:
裤子
上衣
蓝色
蓝色
棕色
红色
(红色,蓝色)
(红色,蓝色)
(红色,棕色)
蓝色
(蓝色,蓝色)
(蓝色,蓝色)
(蓝色,棕色)
由上表可知,总情况6种,而且每种结果出现的可能性相同. 小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色占2种,所以小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率是.
20. (2013昭通市,20,5分)为了推动课堂教学改革,打造高效课堂,配合地区“两型课堂”的课题研究,羊街中学对八年级部分学生就一学期以来“分组合作学习”方式的支持程度进行调查,统计情况如图10. 请根据图中提供的信息,回答下列问题.
图10 图11
(1)求本次被调查的八年级学生的人数,并补全条形统计图11;
(2)若该校八年级学生共有540人,请你计算该校八年级有多少名学生支持“分组合作学习”方式(含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生)?
【答案】解:(1)设本次被调查的八年级学生有x人,观察图10和图11,“喜欢”的学生18名,占本次被调查的八年级学生的人数的比为,即,列方程:=,得
x =54. 经检验x =54是原方程的解. 由=,得:非常喜欢的人数为30.
(2)列方程:.
由此解得支持的学生有480名.
21. (2013昭通市,21,5分)小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图12所示). 小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行200米到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处. 在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多少米(精确到1米)?
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)
图12
【答案】解:过P作PC⊥AB于C,
在Rt△APC中,AP = 200m,∠ACP = 90°,∠PAC = 60°.
∴ PC= 200×sin60°=200 ×=100(m).
∵ 在Rt△PBC中,sin37°=,
∴
答:小亮与妈妈相距约288米.
22. (2013昭通市,22,6分)如图13,直线y=k1x+b(k1≠0)与双曲线y=(k2≠0)相交于A(1,m)、B(-2,-1)两点.
(1)求直线和双曲线的解析式.
(2)若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)为双曲线上的三点,且x1<x2<0<x3,请直接写出y1,y2,y3的大小关系式.
图13
【答案】解:(1)∵ 双曲线y = 经过点B(-2,-1), ∴ k2 = 2.
∴ 双曲线的解析式为:y = .
∵ 点A(1,m)在双曲线y = 上, ∴ m = 2,则A(1,2).
由点A(1,2),B(-2,-1)在直线y=k1x+b上,得
解得
∴ 直线的解析式为:y = x+1.
(2)y2<y1<y3.
23. (2013昭通市,23,7分)如图14,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,
点E在⊙O外,∠EAC =∠B = 60°.
(1)求∠ADC的度数; (2)求证:AE是⊙O的切线.
图14
【答案】解:(1)∵ ∠ABC与∠ADC都是弧AC所对的圆周角,
∴ ∠ADC=∠B =60°.
(2)∵ AB是⊙O的直径,
∴ ∠ACB=90°,
∴ ∠BAC=30°.
∴ ∠BAE =∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,
即 BA⊥AE.
∴ AE是⊙O的切线.
24. (2013昭通市,24,7分)如图15,在菱形ABCD中,AB = 2,,点E是AD边的中点,点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.
(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.
(2)当AM的值为何值时,四边形AMDN是矩形?请说明理由.
图15
【答案】(1)证明:∵ 四边形ABCD是菱形,∴ ND∥AM.
∴ ∠NDE =∠MAE,∠DNE =∠AME.
∵ 点E是AD中点,∴ DE = AE.
∴ △NDE ≌△MAE,∴ ND = MA.
∴ 四边形AMDN是平行四边形.
(2)① 1;
理由如下:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AD = AB = 2.
若平行四边形AMDN是矩形,
则DM⊥AB, 即 ∠DMA=90°.
∵ ∠A=60°, ∴ ∠ADM=30°.
∴ AM=AD=1.
25. (2013昭通市,25,8分)如图16,已知A(3,0)、B(4,4)、原点O(0,0)在抛物线y = ax2+bx+c (a≠0)上.
(1)求抛物线的解析式.
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个交点D,求m
的值及点D的坐标.
(3)如图17,若点N在抛物线上,且∠NBO =∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)
图16 图17
【答案】(1)∵ A(3,0)、B(4,4)、O(0,0)在抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)上.
∴ 解得
∴ 抛物线的解析式为:y=x2-3x…………………2分
(2)设直线OB的解析式为y = k1 x( k1≠0),由点B(4,4)得
4=4 k1,解得k1=1.
∴ 直线OB的解析式为y = x,∠AOB = 45°.
∵ B(4,4),
∴ 点B向下平移m个单位长度的点B′的坐标为(4,0),
故m = 4.
∴ 平移m个单位长度的直线为y = x - 4.
解方程组 得
∴ 点D的坐标为(2,-2) . …………………………5分
(3)∵ 直线OB的解析式y=x,且A(3,0).
∵ 点A关于直线OB的对称点A′的坐标为(0,3) .
设直线A′B的解析式为y=k2x+3,此直线过点B(4,4) .
∴ 4k2+3=4, 解得 k2=.
∴ 直线A′B的解析式为y=x+3.
∵ ∠NBO=∠ABO,
∴ 点N在直线A′B上,
设点N(n,n+3),又点N在抛物线y=x2-3x上,
∴ n+3=n2-3n.
解得 n1=,n2=4(不合题意,舍去)
∴ 点N的坐标为(,).
如图,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,
则 N1 (,),B1(4,-4).
∴ O、D、B1都在直线y=-x上.
∵ △P1OD∽△NOB,
∴ △P1OD∽△N1OB1, ∴ P1为O N1的中点.
∴ ,
∴ 点P1的坐标为(,).
将△P1OD沿直线y =-x翻折,可得另一个满足条件的点(,).
综上所述,点P的坐标为(,)和(,).
附加题
(共4个小题,满分50分)
1.(2013昭通市,附加题1,12分)已知一个口袋中装有7个只有颜色不同、其它都相同的球,其中3个白球、4个黑球.
(1)求从中随机取出一个黑球的概率.
(2)若往口袋中再放入x个黑球,且从口袋中随机取出一个白球的概率是,求代数式的值.
【答案】解:(1)P(取出一个黑球)
(2)设往口袋中再放入x个黑球, 从口袋中随机取出一个白球的概率是
即 P(取出一个白球).
由此解得x=5. 经检验x =5是原方程的解.
∵ 原式
∴ 当x=5时,原式=.
2.(2013昭通市,附加题2,12分)云南连续四年大旱,学校为节约用水,提醒人们关注漏水的水龙头.因此,两名同学分别做了水龙头漏水实验,他们用于接水的量筒最大容量为100毫升.
实验一:
小王同学在做水龙头漏水实验时,每隔10秒观察量筒中水的体积,记录的数据如下表(漏出的水量精确到1毫升):
时间t(秒)
10
20
30
40
50
60
70
漏出的水量V(毫升)
2
5
8
11
14
17
20
(1)在图1的坐标系中描出上表中数据对应的点.
(2)如果小王同学继续实验,请求出多少秒后量筒中的水会满而溢出(精确到1秒).
(3)按此漏水速度,1小时会漏水_______千克(精确到0.1千克).
O
20
40
60
80
100
120
140
160
180
V/毫升
20
40
60
80
100
120
140
t/秒
O
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
V/毫升
10
20
30
40
50
60
70
t/秒
图1 图2
实验二:
小李同学根据自己的实验数据画出的图象如图2所示,为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分?
【答案】解:实验一:
(1)如图所示:
(2)设V与t的函数关系式为V = kt + b,根据表中数据知:
当t = 10时,V = 2;当t = 20时,V = 5;
∴ 解得:
∴ V与t的函数关系式为 .
由题意得:,解得,.
∴ 约337秒后,量筒中的水会满而开始溢出.
(3)1.1千克
实验二:因为小李同学接水的量筒装满后水开始溢出
3. (2013昭通市,附加题3,12分)如图3,在⊙C的内接△AOB中,AB = AO = 4,tan∠AOB =
,抛物线y = a(x-2)2+m(a≠0)经过点A(4,0)与点(-2,6).
(1)求抛物线的解析式;
(2)直线m与⊙C相切于点A,交y轴于点D,动点P在线段OB上,从点O出发向点B运动,同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动,点P的速度为每秒1个单位长,点Q的速度为每秒2个单位长. 当PQ⊥AD时,求运动时间t的值.
图3
【答案】解:(1)将点A(4,0)和点(-2,6)的坐标代入y = a(x-2)2+m中,
得方程组,
解之,得 ∴ 抛物线的解析式为
(2)如图,连接AC交OB于E.
∵ 直线m切⊙C于点A, ∴ AC⊥m.
∵ 弦 AB = AO, ∴ . ∴ AC⊥OB,∴ m∥OB. ∴ ∠ OAD=∠AOB.
∵ OA=4,tan ∠AOB = ,∴ OD= OA ·tan ∠OAD =4×= 3.
作OF⊥AD于F,则OF = OA·sin∠OAD = 4×= 2.4 .
t秒时,OP=t,DQ=2t,若PQ⊥AD, 则 FQ=OP= t. DF=DQ-FQ= t.
∴ △ODF中,t = DF = =1.8秒
4.(2013昭通市,附加题4,14分)已知△为等边三角形,点为直线上的一个动点(点不与重合),以为边作菱形 (按逆时针排列),使,连接CF.
(1)如图4,当点D在边BC上时,求证:①BD = CF, ②AC = CF + CD.
(2)如图5,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC = CF + CD是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由.
(3)如图6,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,请补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系
图4 图5 图6
【答案】(1)【证明】:∵,
∴ .
又∵ . ∴ △ABD ≌ △AFC , ∴ .
由△ABD ≌ △AFC知, ∴ .
又在等边△ABC中, ∴
(2)解:不成立,应该是CF=AC+CD,理由为:
如图,延长AC到H,使,连结BH,
则 在△ACD 与△BCH中,
∴ △ACD ≌ △BCH.
∴
∴
∴ △ABH与△CAF中,
∴ △ABH≌△CAF, ∴, ∴
(3)解:当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,补全图形如下图6所示,此时
AC、CF、CD之间存在的数量关系为.
(备注:连结CF,容易证明△ABD ≌△AHC,∴,又)