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- 2021-05-10 发布
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2018中考数学试题分类汇编:考点10 一元二次方程
一.选择题(共18小题)
1.(2018•泰州)已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,下列结论一定正确的是( )
A.x1≠x2 B.x1+x2>0 C.x1•x2>0 D.x1<0,x2<0
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式,可得出△>0,由此即可得出x1≠x2,结论A正确;
B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a,结合a的值不确定,可得出B结论不一定正确;
C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2,结论C错误;
D、由x1•x2=﹣2,可得出x1、x2异号,结论D错误.
综上即可得出结论.
【解答】解:A∵△=(﹣a)2﹣4×1×(﹣2)=a2+8>0,
∴x1≠x2,结论A正确;
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,
∴x1+x2=a,
∵a的值不确定,
∴B结论不一定正确;
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,
∴x1•x2=﹣2,结论C错误;
D、∵x1•x2=﹣2,
∴x1、x2异号,结论D错误.
故选:A.
2.(2018•包头)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0,即可得出m≤3,由m为正整数结合该方程的根都是整数,即可求出m的值,将其相加即可得出结论.
【解答】解:∵a=1,b=2,c=m﹣2,关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根
∴△=b2﹣4ac=22﹣4(m﹣2)=12﹣4m≥0,
∴m≤3.
∵m为正整数,且该方程的根都是整数,
∴m=2或3.
∴2+3=5.
故选:B.
3.(2018•宜宾)一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2,则x1x2为( )
A.﹣2 B.1 C.2 D.0
【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0,此题得解.
【解答】解:∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2,
∴x1x2=0.
故选:D.
4.(2018•绵阳)在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为( )
A.9人 B.10人 C.11人 D.12人
【分析】设参加酒会的人数为x人,根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:设参加酒会的人数为x人,
根据题意得: x(x﹣1)=55,
整理,得:x2﹣x﹣110=0,
解得:x1=11,x2=﹣10(不合题意,舍去).
答:参加酒会的人数为11人.
故选:C.
5.(2018•临沂)一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为( )
A.(y+)2=1 B.(y﹣)2=1 C.(y+)2= D.(y﹣)2=
【分析】根据配方法即可求出答案.
【解答】解:y2﹣y﹣=0
y2﹣y=
y2﹣y+=1
(y﹣)2=1
故选:B.
6.(2018•眉山)若α,β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根,则+的值是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.
【分析】根据根与系数的关系可得出α+β=﹣、αβ=﹣3,将其代入+=中即可求出结论.
【解答】解:∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根,
∴α+β=﹣,αβ=﹣3,
∴+====﹣.
故选:C.
7.(2018•泰安)一元二次方程(x+1)(x﹣3)=2x﹣5根的情况是( )
A.无实数根 B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于3 D.有两个正根,且有一根大于3
【分析】直接整理原方程,进而解方程得出x的值.
【解答】解:(x+1)(x﹣3)=2x﹣5
整理得:x2﹣2x﹣3=2x﹣5,
则x2﹣4x+2=0,
(x﹣2)2=2,
解得:x1=2+>3,x2=2﹣,
故有两个正根,且有一根大于3.
故选:D.
8.(2018•宜宾)某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计,该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元,据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为( )
A.2% B.4.4% C.20% D.44%
【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,
根据题意得:2(1+x)2=2.88,
解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).
答:该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%.
故选:C.
9.(2018•湘潭)若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根,则实数m的取值范围是( )
A.m≥1 B.m≤1 C.m>1 D.m<1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出实数m的取值范围.
【解答】解:∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根,
∴△=(﹣2)2﹣4m>0,
解得:m<1.
故选:D.
10.(2018•盐城)已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为1,则k的值为( )
A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4
【分析】根据一元二次方程的解的定义,把把x=1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0,然后解一次方程即可.
【解答】解:把x=1代入方程得1+k﹣3=0,
解得k=2.
故选:B.
11.(2018•嘉兴)欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法是:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=.则该方程的一个正根是( )
A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长
【分析】表示出AD的长,利用勾股定理求出即可.
【解答】解:欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法是:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=,
设AD=x,根据勾股定理得:(x+)2=b2+()2,
整理得:x2+ax=b2,
则该方程的一个正根是AD的长,
故选:B.
12.(2018•铜仁市)关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为( )
A.x1=﹣1,x2=3 B.x1=1,x2=﹣3 C.x1=1,x2=3 D.x1=﹣1,x2=﹣3
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解.
【解答】解:x2﹣4x+3=0,
分解因式得:(x﹣1)(x﹣3)=0,
解得:x1=1,x2=3,
故选:C.
13.(2018•台湾)若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b,且a>b,则a﹣2b之值为何?( )
A.﹣25 B.﹣19 C.5 D.17
【分析】先利用因式分解法解方程得到a=11,b=﹣3,然后计算代数式a﹣2b的值.
【解答】解:(x﹣11)(x+3)=0,
x﹣11=0或x﹣3=0,
所以x1=11,x2=﹣3,
即a=11,b=﹣3,
所以a﹣2b=11﹣2×(﹣3)=11+6=17.
故选:D.
14.(2018•安顺)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是( )
A.12 B.9 C.13 D.12或9
【分析】求出方程的解,即可得出三角形的边长,再求出即可.
【解答】解:x2﹣7x+10=0,
(x﹣2)(x﹣5)=0,
x﹣2=0,x﹣5=0,
x1=2,x2=5,
①等腰三角形的三边是2,2,5
∵2+2<5,
∴不符合三角形三边关系定理,此时不符合题意;
②等腰三角形的三边是2,5,5,此时符合三角形三边关系定理,三角形的周长是2+5+5=12;
即等腰三角形的周长是12.
故选:A.
15.(2018•广西)某种植基地2016年蔬菜产量为80吨,预计2018年蔬菜产量达到100吨,求蔬菜产量的年平均增长率,设蔬菜产量的年平均增长率为x,则可列方程为( )
A.80(1+x)2=100 B.100(1﹣x)2=80 C.80(1+2x)=100 D.80(1+x2)=100
【分析】利用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),设平均每次增长的百分率为x,根据“从80吨增加到100吨”,即可得出方程.
【解答】解:由题意知,蔬菜产量的年平均增长率为x,
根据2016年蔬菜产量为80吨,则2017年蔬菜产量为80(1+x)吨
,2018年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨,预计2018年蔬菜产量达到100吨,
即:80(1+x)(1+x)=100或80(1+x)2=100.
故选:A.
16.(2018•乌鲁木齐)宾馆有50间房供游客居住,当毎间房毎天定价为180元时,宾馆会住满;当毎间房毎天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10890元?设房价定为x元.则有( )
A.(180+x﹣20)(50﹣)=10890 B.(x﹣20)(50﹣)=10890
C.x(50﹣)﹣50×20=10890 D.(x+180)(50﹣)﹣50×20=10890
【分析】设房价定为x元,根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得.
【解答】解:设房价定为x元,
根据题意,得(x﹣20)(50﹣)=10890.
故选:B.
17.(2018•黑龙江)某中学组织初三学生篮球比赛,以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排15场比赛,则共有多少个班级参赛?( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【分析】设共有x个班级参赛,根据第一个球队和其他球队打(x﹣1)场球,第二个球队和其他球队打(x﹣2)场,以此类推可以知道共打(1+2+3+…+x﹣1)场球,然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解.
【解答】解:设共有x个班级参赛,根据题意得:
=15,
解得:x1=6,x2=﹣5(不合题意,舍去),
则共有6个班级参赛.
故选:C.
18.(2018•眉山)我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方4860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是( )
A.8% B.9% C.10% D.11%
【分析】设平均每次下调的百分率为x,则两次降价后的价格为6000(1﹣x)2,根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可.
【解答】解:设平均每次下调的百分率为x,由题意,得
6000(1﹣x)2=4860,
解得:x1=0.1,x2=1.9(舍去).
答:平均每次下调的百分率为10%.
故选:C.
二.填空题(共14小题)
19.(2018•扬州)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,则6m2﹣9m+2015的值为 2018 .
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.
【解答】解:由题意可知:2m2﹣3m﹣1=0,
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3(2m2﹣3m)+2015=2018
故答案为:2018
20.(2018•苏州)若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2,则m+n= ﹣2 .
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=﹣2,然后利用整体代入的方法进行计算.
【解答】解:∵2(n≠0)是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根,
∴4+2m+2n=0,
∴n+m=﹣2,
故答案为:﹣2.
21.(2018•荆门)已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2﹣2)x+2k+4=0的一个根,则k的值为 ﹣3 .
【分析】把x=2代入kx2+(k2﹣2)x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+
4=0,再解关于k的方程,然后根据一元二次方程的定义确定k的值.
【解答】解:把x=2代入kx2+(k2﹣2)x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0,
整理得k2+3k=0,解得k1=0,k2=﹣3,
因为k≠0,
所以k的值为﹣3.
故答案为﹣3.
22.(2018•资阳)已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0,则m= 2 .
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程,通过解关于m的方程求得m的值即可.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0,
∴m2﹣2m=0且m≠0,
解得,m=2.
故答案是:2.
23.(2018•南充)若2n(n≠0)是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根,则m﹣n的值为 .
【分析】根据一元二次方程的解的定义,把x=2n代入方程得到x2﹣2mx+2n=0,然后把等式两边除以n即可.
【解答】解:∵2n(n≠0)是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根,
∴4n2﹣4mn+2n=0,
∴4n﹣4m+2=0,
∴m﹣n=.
故答案是:.
24.(2018•柳州)一元二次方程x2﹣9=0的解是 x1=3,x2=﹣3 .
【分析】利用直接开平方法解方程得出即可.
【解答】解:∵x2﹣9=0,
∴x2=9,
解得:x1=3,x2=﹣3.
故答案为:x1=3,x2=﹣3.
25.(2018•绵阳)已知a>b>0,且++=0,则= .
【分析】先整理,再把等式转化成关于的方程,解方程即可.
【解答】解:由题意得:2b(b﹣a)+a(b﹣a)+3ab=0,
整理得:2()2+﹣1=0,
解得=,
∵a>b>0,
∴=,
故答案为.
26.(2018•十堰)对于实数a,b,定义运算“※”如下:a※b=a2﹣ab,例如,5※3=52﹣5×3=10.若(x+1)※(x﹣2)=6,则x的值为 1 .
【分析】根据题意列出方程,解方程即可.
【解答】解:由题意得,(x+1)2﹣(x+1)(x﹣2)=6,
整理得,3x+3=6,
解得,x=1,
故答案为:1.
27.(2018•淮安)一元二次方程x2﹣x=0的根是 x1=0,x2=1 .
【分析】方程左边分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
【解答】解:方程变形得:x(x﹣1)=0,
可得x=0或x﹣1=0,
解得:x1=0,x2=1.
故答案为:x1=0,x2=1.
28.(2018•黄冈)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根,则三角形的周长为 16 .
【分析】首先求出方程的根,再根据三角形三边关系定理,确定第三边的长,进而求其周长.
【解答】解:解方程x2﹣10x+21=0得x1=3、x2=7,
∵3<第三边的边长<9,
∴第三边的边长为7.
∴这个三角形的周长是3+6+7=16.
故答案为:16.
29.(2018•黔南州)三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解,则此三角形周长是 13 .
【分析】求出方程的解,有两种情况:x=2时,看看是否符合三角形三边关系定理;x=4时,看看是否符合三角形三边关系定理;求出即可.
【解答】解:x2﹣6x+8=0,
(x﹣2)(x﹣4)=0,
x﹣2=0,x﹣4=0,
x1=2,x2=4,
当x=2时,2+3<6,不符合三角形的三边关系定理,所以x=2舍去,
当x=4时,符合三角形的三边关系定理,三角形的周长是3+6+4=13,
故答案为:13.
30.(2018•通辽)为增强学生身体素质,提高学生足球运动竞技水平,我市开展“市长杯”足球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排21场比赛,应邀请多少个球队参赛?设邀请x个球队参赛,根据题意,可列方程为 x(x﹣1)=21 .
【分析】赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),x个球队比赛总场数为x(x﹣1),即可列方程.
【解答】解:设有x个队,每个队都要赛(x﹣1)场,但两队之间只有一场比赛,由题意得:
x(x﹣1)=21,
故答案为: x(x﹣1)=21.
31.(2018•南通模拟)某厂一月份生产某机器100台,计划三月份生产160台.设二、三月份每月的平均增长率为x,根据题意列出的方程是 100(1+x)2=160 .
【分析】设二,三月份每月平均增长率为x,根据一月份生产机器100台,三月份生产机器160台,可列出方程.
【解答】解:设二,三月份每月平均增长率为x,
100(1+x)2=160.
故答案为:100(1+x)2=160.
32.(2018•泰州)已知3x﹣y=3a2﹣6a+9,x+y=a2+6a﹣9,若x≤y,则实数a的值为 3 .
【分析】根据题意列出关于x、y的方程组,然后求得x、y的值,结合已知条件x≤y来求a的取值.
【解答】解:依题意得:,
解得
∵x≤y,
∴a2≤6a﹣9,
整理,得(a﹣3)2≤0,
故a﹣3=0,
解得a=3.
故答案是:3.
三.解答题(共11小题)
33.(2018•绍兴)(1)计算:2tan60°﹣﹣(﹣2)0+()﹣1.
(2)解方程:x2﹣2x﹣1=0.
【分析】(1)首先计算特殊角的三角函数、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂,然后再计算加减即可;
(2)首先计算△,然后再利用求根公式进行计算即可.
【解答】解:(1)原式=2﹣2﹣1+3=2;
(2)a=1,b=﹣2,c=﹣1,
△=b2﹣4ac=4+4=8>0,
方程有两个不相等的实数根,
x===1,
则x1=1+,x2=1﹣.
34.(2018•齐齐哈尔)解方程:2(x﹣3)=3x(x﹣3).
【分析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可.
【解答】解:2(x﹣3)=3x(x﹣3),
移项得:2(x﹣3)﹣3x(x﹣3)=0,
整理得:(x﹣3)(2﹣3x)=0,
x﹣3=0或2﹣3x=0,
解得:x1=3或x2=.
35.(2018•遵义)在水果销售旺季,某水果店购进一优质水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系.
销售量y(千克)
…
34.8
32
29.6
28
…
售价x(元/千克)
…
22.6
24
25.2
26
…
(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克,求当天该水果的销售量.
(2)如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为多少元?
【分析】(1)根据表格内的数据,利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式,再代入x=23.5即可求出结论;
(2)根据总利润=每千克利润×销售数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.
【解答】解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,
将(22.6,34.8)、(24,32)代入y=kx+b,
,解得:,
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80.
当x=23.5时,y=﹣2x+80=33.
答:当天该水果的销售量为33千克.
(2)根据题意得:(x﹣20)(﹣2x+80)=150,
解得:x1=35,x2=25.
∵20≤x≤32,
∴x=25.
答:如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为25元.
36.(2018•德州)为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价x(单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润,则该设备的销售单价应是多少万元?
【分析】(1)根据点的坐标,利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式;
(2)设此设备的销售单价为x万元/台,则每台设备的利润为(x﹣30)万元,销售数量为(﹣10x+1000)台,根据总利润=单台利润×销售数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其小于70的值即可得出结论.
【解答】解:(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
将(40,600)、(45,550)代入y=kx+b,得:
,解得:,
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000.
(2)设此设备的销售单价为x万元/台,则每台设备的利润为(x﹣30)万元,销售数量为(﹣10x+1000)台,
根据题意得:(x﹣30)(﹣10x+1000)=10000,
整理,得:x2﹣130x+4000=0,
解得:x1=50,x2=80.
∵此设备的销售单价不得高于70万元,
∴x=50.
答:该设备的销售单价应是50万元/台.
37.(2018•沈阳)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.
(1)求每个月生产成本的下降率;
(2)请你预测4月份该公司的生产成本.
【分析】(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据2月份、3月份的生产成本,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论;
(2)由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×(1﹣下降率),即可得出结论.
【解答】解:(1)设每个月生产成本的下降率为x,
根据题意得:400(1﹣x)2=361,
解得:x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).
答:每个月生产成本的下降率为5%.
(2)361×(1﹣5%)=342.95(万元).
答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.
38.(2018•重庆)在美丽乡村建设中,某县政府投入专项资金,用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设.该县政府计划:2018年前5个月,新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个,且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍.
(1)按计划,2018年前5个月至少要修建多少个沼气池?
(2)到2018年5月底,该县按原计划刚好完成了任务,共花费资金78万元,且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值.据核算,前5个月,修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1:2.为加大美丽乡村建设的力度,政府计划加大投入,今年后7个月,在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%,全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设.经测算:从今年6月起,修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%,5a%,新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%,8a%,求a的值.
【分析】(1)设2018年前5个月要修建x个沼气池,则2018年前5个月要修建(50﹣x)个垃圾集中处理点,根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍,即可得出关于x的一元一次不等式,解之取其最小值即可得出结论;
(2)根据单价=总价÷数量可求出修建每个沼气池的平均费用,进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费用,设y=a%结合总价=单价×数量即可得出关于y的一元二次方程,解之即可得出y值,进而可得出a的值.
【解答】解:(1)设2018年前5个月要修建x个沼气池,则2018年前5个月要修建(50﹣x)个垃圾集中处理点,
根据题意得:x≥4(50﹣x),
解得:x≥40.
答:按计划,2018年前5个月至少要修建40个沼气池.
(2)修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+(50﹣40)×2]=1.3(万元),
修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6(万元).
根据题意得:1.3×(1+a%)×40×(1+5a%)+2.6×(1+5a%)×10×(1+8a%)=78×(1+10a%),
设y=a%,整理得:50y2﹣5y=0,
解得:y1=0(不合题意,舍去),y2=0.1,
∴a的值为10.
39.(2018•盐城)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.
(1)若降价3元,则平均每天销售数量为 26 件;
(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?
【分析】(1)根据销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降价3元,则平均每天可多售出2×3=6件,即平均每天销售数量为20+6=26件;
(2)利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可.
【解答】解:(1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+2×3=26件.
故答案为26;
(2)设每件商品应降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.
根据题意,得 (40﹣x)(20+2x)=1200,
整理,得x2﹣30x+200=0,
解得:x1=10,x2=20.
∵要求每件盈利不少于25元,
∴x2=20应舍去,
解得:x=10.
答:每件商品应降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.
40.(2018•宜昌)某市创建“绿色发展模范城市”,针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理,若江水污染指数记为Q,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算.第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12.经过三年治理,境内长江水质明显改善.
(1)求n的值;
(2)从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家,求m的值,并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量;
(3)该市生活污水用甲方案治理,从第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a.在(2)的情况下,第二年,用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等,第三年,用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值.
【分析】(1)直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12,得出等式求出答案;
(2)利用从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案;
(3)利用n的值即可得出关于a的等式求出答案.
【解答】解:(1)由题意可得:40n=12,
解得:n=0.3;
(2)由题意可得:40+40(1+m)+40(1+m)2=190,
解得:m1=,m2=﹣(舍去),
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为:40(1+m)=40(1+50%)=60(家),
(3)设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30,
则(30﹣a)+2a=39.5,
解得:a=9.5,
则Q=20.5.
设第一年用甲方案整理降低的Q值为x,
第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30,
解法一:(30﹣a)+2a=39.5
a=9.5
x=20.5
解法二:
解得:
41.(2018•安顺)某地2015年为做好“精准扶贫”,投入资金1280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元.
(1)从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?
(2)在2017年异地安置的具体实施中,该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励,规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元,1000户以后每户每天奖励5元,按租房400天计算,求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.
【分析】(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据2015年及2017年该地投入异地安置资金,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;
(2)设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励,根据投入的总资金=前1000户奖励的资金+超出1000户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于500万元,即可得出关于a的一元一次不等式,解之取其中的最小值即可得出结论.
【解答】解:(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,
根据题意得:1280(1+x)2=1280+1600,
解得:x1=0.5=50%,x2=﹣2.5(舍去).
答:从2015年到2017年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.
(2)设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励,
根据题意得:8×1000×400+5×400(a﹣1000)≥5000000,
解得:a≥1900.
答:2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.
42.(2018•内江)对于三个数a,b,c,用M{a,b,c}表示这三个数的中位数,用max{a,b,c}表示这三个数中最大数,例如:M{﹣2,﹣1,0}=﹣1,max{﹣2,﹣1,0}=0,max{﹣2,﹣1,a}=
解决问题:
(1)填空:M{sin45°,cos60°,tan60°}= ,如果max{3,5﹣3x,2x﹣6}=3,则x的取值范围为 ;
(2)如果2•M{2,x+2,x+4}=max{2,x+2,x+4},求x的值;
(3)如果M{9,x2,3x﹣2}=max{9,x2,3x﹣2},求x的值.
【分析】(1)根据定义写出sin45°,cos60°,tan60°的值,确定其中位数;根据max{a,b,c}表示这三个数中最大数,对于max{3,5﹣3x,2x﹣6}=3,可得不等式组:则,可得结论;
(2)根据新定义和已知分情况讨论:①2最大时,x+4≤2时,②2是中间的数时,x+2≤2≤x+4,③2最小时,x+2≥2,分别解出即可;
(3)不妨设y1=9,y2=x2,y3=3x﹣2,画出图象,根据M{9,x2,3x﹣2}=max{9,x2,3x﹣2},可知:三个函数的中间的值与最大值相等,即有两个函数相交时对应的x的值符合条件,结合图象可得结论.
【解答】解:(1)∵sin45°=,cos60°=,tan60°=,
∴M{sin45°,cos60°,tan60°}=,
∵max{3,5﹣3x,2x﹣6}=3,
则,
∴x的取值范围为:,
故答案为:,;
(2)2•M{2,x+2,x+4}=max{2,x+2,x+4},
分三种情况:①当x+4≤2时,即x≤﹣2,
原等式变为:2(x+4)=2,x=﹣3,
②x+2≤2≤x+4时,即﹣2≤x≤0,
原等式变为:2×2=x+4,x=0,
③当x+2≥2时,即x≥0,
原等式变为:2(x+2)=x+4,x=0,
综上所述,x的值为﹣3或0;
(3)不妨设y1=9,y2=x2,y3=3x﹣2,画出图象,如图所示:
结合图象,不难得出,在图象中的交点A、B点时,满足条件且M{9,x2,3x﹣2}=max{9,x2,3x﹣2}=yA=yB,
此时x2=9,解得x=3或﹣3.
43.(2018•重庆)在美丽乡村建设中,某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.
(1)原计划今年1至5月,村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米,其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍,那么,原计划今年1至5月,道路硬化的里程数至少是多少千米?
(2)到今年5月底,道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成,且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投人780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米,每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1:2,且里程数之比为2:1.为加快美丽乡村建设,政府决定加大投入.经测算:从今年6月起至年底,如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%(a>0),并全部用于道路硬化和道路拓宽,而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%,5a%,那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%,8a%,求a的值.
【分析】(1)根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍,列不等式可得结论;
(2)先根据道路硬化和道路拓宽的里程数之比为2:1,设未知数为2x千米、x千米,列方程可得各自的里程数,同理可求得每千米的道路硬化和道路拓宽的经费,最后根据题意列方程,并利用换元法解方程可得结论.
【解答】解:(1)设道路硬化的里程数是x千米,则道路拓宽的里程数是(50﹣x)千米,
根据题意得:x≥4(50﹣x),
解得:x≥40.
答:原计划今年1至5月,道路硬化的里程数至少是40千米.
(2)设2017年通过政府投人780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数分别为2x千米、x千米,
2x+x=45,
x=15,
2x=30,
设每千米的道路硬化和道路拓宽的经费分别为y千米、2y千米,
30y+15×2y=780,
y=13,
2y=26,
由题意得:13(1+a%)•40(1+5a%)+26(1+5a%)•10(1+8a%)=780(1+10a%),
设a%=m,则520(1+m)(1+5m)+260(1+5m)(1+8m)=780(1+10m),
10m2﹣m=0,
m1=0.1,m2=0(舍),
∴a=10.