重庆市重点中学中考几何专题 17页

重庆市重点中学2015-2016年中考几何专题 ‎1、已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB于点H．‎ ‎（1）若E在边AC上．‎ ‎①试说明DE=DF；‎ ‎②试说明CG=GH；‎ ‎（2）若AE=3，CH=5．求边AC的长．‎ 解：（1）①连接CD，‎ ‎∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AC=BC，‎ ‎∴CD=AD=BD，‎ 又∵AC=BC，‎ ‎∴CD⊥AB，‎ ‎∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，‎ ‎∵DF⊥DE，‎ ‎∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，‎ ‎∴∠ADE=∠CDF，‎ 在△ADE和△CDF中 ‎∴△ADE≌△CDF，‎ ‎∴DE=DF．‎ ‎②连接DG，‎ ‎∵∠ACB=90°，G为EF的中点，‎ ‎∴CG=EG=FG，‎ ‎∵∠EDF=90°，G为EF的中点，‎ ‎∴DG=EG=FG，‎ ‎∴CG=DG，‎ ‎∴∠GCD=∠CDG 又∵CD⊥AB，‎ ‎∴∠CDH=90°，‎ ‎∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，‎ ‎∴∠GHD=∠HDG，‎ ‎∴GH=GD，‎ ‎∴CG=GH．‎ ‎（2）如图，当E在线段AC上时，‎ ‎∵CG=GH=EG=GF，‎ ‎∴CH=EF=5，‎ ‎∵△ADE≌△CDF，‎ ‎∴AE=CF=3，‎ ‎∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：，‎ ‎∴AC=AE+EC=3+4=7；‎ 如图，当E在线段CA延长线时，‎ AC=EC﹣AE=4﹣3=1，‎ 综合上述AC=7或1．‎ ‎2、已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．‎ ‎（1）如图①，BF垂直CE于点F，交CD于点G，试说明AE=CG；‎ ‎（2）如图②，作AH垂直于CE的延长线，垂足为H，交CD的延长线于点M，则图中与BE相等的线段是　CM　，并说明理由．‎ ‎（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，‎ ‎∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，‎ ‎∴∠CAD=∠CBD=45°，‎ ‎∴∠CAE=∠BCG，‎ 又∵BF⊥CE，‎ ‎∴∠CBG+∠BCF=90°，‎ 又∵∠ACE+∠BCF=90°，‎ ‎∴∠ACE=∠CBG，‎ 在△AEC和△CGB中，，‎ ‎∴△AEC≌△CGB（ASA），‎ ‎∴AE=CG；‎ ‎（2）答：BE=CM 理由：∵CD平分∠ACB，‎ ‎∴∠ACD=∠BCD=45°，‎ 在△BCD和△ACD中，，‎ ‎∴△BCD≌△ACD（SAS），‎ ‎∴∠ADC=∠CDB，‎ ‎∵∠ADC+∠CDB=180°，‎ ‎∴∠ADC=∠CDB=90°，‎ ‎∴∠CBE=45°，‎ ‎∵CH⊥HM，CD⊥ED，‎ ‎∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，‎ ‎∴∠CMA=∠BEC，‎ 在△BCE和△CAM中，，‎ ‎∴△BCE≌△CAM（AAS），‎ ‎∴BE=CM．‎ 故答案为：CM．‎ ‎3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的两点，若EF=BE+DF．‎ ‎（1）求证：∠EAF=45°；‎ ‎（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连接CG，如图2．求证：BC﹣CF=CG；‎ ‎（3）若F是DC的中点，AB=4，如图3，求EG的长．‎ ‎（1）证明：延长CB至G，使BG=FD，连接AG，如图1，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，‎ 在△ABG和△ADF中，，‎ ‎∴△ABG≌△ADF（SAS），‎ ‎∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，‎ ‎∵EF=BE+DF，‎ ‎∴EF=EG，‎ 在△AEG和△AEF中，，‎ ‎∴△AEG≌△AEF（SSS），‎ ‎∴∠EAG=∠EAF，‎ ‎∵∠BAG=∠DAF，‎ ‎∴∠EAF=∠DAF+∠ABE，‎ ‎∵∠EAF+∠DAF+∠ABE=90°，‎ ‎∴∠EAF=45°；‎ ‎（2）证明：过点G作GH⊥DC于H，如图2，‎ 由（1）中∠AEB=∠AEF，‎ ‎∵FG平分∠EFC，‎ ‎∴∠EFG=∠CFG，‎ ‎∵∠BEF=∠EFC+∠ECF，‎ ‎∴2∠AEB=2∠EFC+90°，即∠AEB=∠EFC+45°，‎ 而∠AEB=∠EFG+∠EGF，‎ ‎∴∠EGF=45°，‎ ‎∵∠GAF=45°，‎ ‎∴△FAG为等腰直角三角形，‎ ‎∴FA=FG，∠AFG=90°，‎ ‎∴∠AFD+∠HFG=90°，‎ 而∠AFD+∠DAF=90°，‎ ‎∴∠DAF=∠HFG，‎ 在△ADF和△FHG中，，‎ ‎∴△ADF≌△FHG（AAS），‎ ‎∴AD=FH，DF=GH，‎ 而AD=DC，‎ ‎∴DC=FH，‎ ‎∴DF=CH=GH，‎ ‎∴△CGH为等腰直角三角形，‎ ‎∴CH=GC，‎ ‎∴DC﹣CF=DF=CH=CG，‎ ‎∴BC﹣CF=CG；‎ ‎（3）解：作GQ⊥BC于Q，GH⊥DC于H，如图3，‎ ‎∵F是DC的中点，AB=4，‎ ‎∴DF=CF=2，‎ 由（2）得CH=GH=2，‎ ‎∴CQ=GQ=2，‎ ‎∴BQ=2，‎ 设BE=x，则EF=BE+DF=x+2，EC=4﹣x，‎ 在△CEF中，∵CE2+CF2=EF2，‎ ‎∴（4﹣x）2+22=（x+2）2，‎ 解得x=，‎ ‎∴EQ=BQ﹣BE=2﹣=，‎ 在Rt△GQE中，EG===．‎ ‎4、在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G． (1)如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连接EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H． ①求证：DG=DC； ②判断FH与FC的数量关系并加以证明． (2)若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形．在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变，(本小题直接写出结论，不必证明)． ‎ ‎5、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点． (1)如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明； (2)如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，(1)中的其他条件不变，你在(1)中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明． ‎ ‎6、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，DG为△ABC的中位线．如图，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．求证：FH=FC． ‎ ‎7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，点D是AB上一点，且AD=AC，作DG∥BC，DG交AC于点G，交CE于点F， 求证：(1)AF平分∠CAB；         (2)FC=FD． ‎ ‎8、已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。 （1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG； （2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明 ‎9、已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF. （1）如图1,当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）； （2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断； （3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长(直接写出结果). ‎ 试题分析：（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥‎ BF； （2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF； （3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC= ，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值． 试题解析：‎ ‎（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，∴DF=BE，CF=BE. ∴DF=CF． ∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°. ∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF. ∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF. 同理得：∠CFE=2∠CBF， ∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°. ∴DF=CF，且DF⊥CF． （2）（1）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G． ∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF． ∵F为BE中点，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF． ∵AD=DE，∴AD=GB. ∵AC=BC，∴AC-AD="BC-GB." ∴DC=GC． ∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形. ∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF． （3）如图，延长DF交BA于点H， ∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE． ∴∠AED=∠ABC=45°. ∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°， ∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE. ∴∠DEF=∠HBF． ∵F是BE的中点，∴EF="BF." ∴△DEF≌△HBF. ∴ED=HB. ∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=4. ∵AD=1，∴ED=BH=1.∴AH=3. 在Rt△HAD中，由勾股定理，得DH=， ∴DF=，∴CF=. ‎ ‎∴线段CF的长为. ‎ ‎10、已知：如图（1），在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，点D、E分别在BC、AC边上，且CD=CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．易证：△OMN是等腰直角三角形． （1）将图（1）中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图（2），连接AE、BD，O、M、N仍为AB、AD、BE中点，则△OMN是等腰直角三角形的结论是否发生变化？并说明理由． （2）若△CDE绕着点C顺时针继续旋转至图（3）所示位置时，O、M、N仍为AB、AD、BE中点，试问△OMN是等腰直角三角形的结论是否成立？（直接写出结论）‎ 解：（1）△OMN是等腰直角三角形． 理由如下：如图，连接BD， ∵△CDE顺时针旋转90°， ∴∠ACE=∠ACB=90°，‎ 在△BCD和△ACE中， BC=AC ∠ACE=∠ACB=90° CD=CE ‎∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD=AE，∠CBD=∠CAE， ∵O、M、N分别为AB、AD、BE中点， ∴OM∥BD且OM= BD，ON∥AE且ON= AE， ∴OM=ON，∠ABD=∠AOM，∠BAE=∠BON， ∴∠MON=180°-‎ ‎（∠AOM+∠BON）=180°-（∠ABD+∠BAE）=180°-（∠ABD+∠CBD+∠BAC）=180°-（∠ABC+∠BAC）， ∵∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-90°=90°， ∴∠MON=180°-90°=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形； （2）△OMN是等腰直角三角形的结论仍成立． 如图，连接BD、AE，证明方法与（1）相同． ‎ ‎11、已知，如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D点为AB的中点，过点D 作任意∠MDN=90°,交AC于点E交，BC于点F 求证：‎ ‎ ‎ ‎（1）如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D点为AB的中点，过点D 作任意∠MDN=90°,交AC于点E交，BC于点F 求证：‎ ‎（2）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的两点，连接AE，AF，连接BD且于AEAF分别交于MN两点，△CEF的周长是正方形ABCD周长的一半求证：线段BM、MN、DN能否构成直角三角形 ‎ ‎ ‎12、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①AB2=BN•DM；②AF平分∠DFE；③AM•AE=AN•AF；④．其中正确的结论是（ ）‎ 解：①∵∠BAN=∠BAM+∠MAN=∠BAM+45°， ∠AMD=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM， ∴∠BAN=∠AMD． 又∠ABN=∠ADM=45°， ∴△ABN∽△ADM， ∴AB：BN=DM：AD． ∵AD=AB， ∴AB2=BN?DM． 故①正确； ② 把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH． ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°． ∴∠EAF=∠HAF． ∵AE=AH，AF=AF， ∴△AEF≌△AHF， ∴∠AFH=∠AFE，即AF平分∠DFE． 故②正确； ③∵AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN． ‎ ‎∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD， ∴∠AFE=∠AMN． 又∠MAN=∠FAE， ∴△AMN∽△AFE． ∴AM：AF=AN：AE，即 AM?AE=AN?AF． 故③正确； ④由②得BE+DF=DH+DF=FH=FE． 过A作AO⊥BD，作AG⊥EF． 则△AFE与△AMN的相似比就是AG：AO． 易证△ADF∽△AGF（AAS）， 则可知AG=AD=根2AO，从而得证 故④正确． 故选D．‎ ‎13、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的两点，若EF=BE+DF． （1）求证：∠EAF=45°； （2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连结CG，求证：CG= DF．‎ ‎（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=CD；∠ADC=∠B=90° ∴将△ABE逆时针旋转90°至△ADM，如图1所示 ∴△ABE≌△ADM ∴AM=AE；BE=DM；∠ADM=∠B=90°；∠DAM=∠BAE ‎ ‎∴∠ADM+∠ADC=180° ∴C、D、M在同一直线上 ∴EF=DF+BE=DF+DM=MF， 在△AEF和△AMF中，MF＝EF AF＝AF AM＝AE ∴△AEF≌△AMF（SSS）， ∴∠AFD=∠AFE，∠MAF=∠EAF 又∵∠MAF+∠EAF=（∠DAM+∠DAF）+∠EAF=（∠BAE+∠DAF）+∠EAF=90° ∴∠EAF=∠MAF=45° （2）如图2所示，作GN⊥DC的延长线于N， ∵∠AFD=∠AFE，FG平分∠EFC ∴∠EFG=∠CFG， ∴∠AFE+∠EFG=∠AFD+∠CFG=90°， ∴∠AFG=90° 又∠EAF=45° ∴△AFG是等腰直角三角形 ∴AF=GF ∵∠FAD+∠AFD=90° ∴∠DAF=∠NFG， ∵∠ADF=∠GNF=90° 在△ADF和△FNG中，AD＝FN∠DAF＝∠NFG AF＝FG， ∴△ADF≌△FNG（SAS）， ∴FN=AD=DC；GN=DF ∴CN=FN-CF=DC-CF=DF=GN ∴△CGN是等腰直角三角形 ∴CG= CN= DF ‎ ‎14、如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、DC上的两点,若EF=BE+DF. （1）求证：∠EAF=45° ‎ ‎（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G,连结CG,求证：BC-CF= CG （3）若F是DC的中点,AB=4,则EG= (2)求证： ‎ ‎15、(1)如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG． (2)如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长． ‎ ‎16、‎ 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45度．则有结论EF=BE+FD成立； (1)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由． (2)若将(1)中的条件改为：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．‎ ‎17、如图1，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC)，取线段AE的中点M,探究线段MD,MF的关系，并加以证明。‎ ‎（2）将正方形ＣＧＥＦ绕点Ｃ旋转任意角度后（如图3），其他条件不变．‎ 探究：线段ＭE与ＭＤ的关系，并加以说明．‎ 解：(1)线段MD、MF的关系是MD=MF，DM⊥MF。 延长DM交CE于N，连结FD、FN。由正方形ABCD，得AD//BE，AD=DC，所以∠DAM=∠MEN。 因为AM=EM，∠AMD=∠E（……隐藏……）8。因为∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°， 所以∠DCF=∠FEN，易得△DCF≌△NEF，所以FD=FN，∠DFC=∠NFE。由∠CFE=90°，得∠DFN=90°， 所以MD=MF，DM⊥MF。‎