中考数学分类解析专题40_尺规作图 18页

‎2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）‎ 专题40：尺规作图 今升数学工作室 编辑 一、选择题 ‎1. （2012浙江绍兴4分）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：‎ 甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，‎ ‎ 2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形 ‎ 乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点。‎ ‎ 2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形。‎ 对于甲、乙两人的作法，可判断【 】‎ ‎　 A． 甲、乙均正确 B． 甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形。‎ ‎【分析】根据甲的思路，作出图形如下：‎ 连接OB，∵BC垂直平分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC。∴OE=DE=OD。‎ 又∵OB=OD，∴在Rt△OBE中，OE=OB。∴∠OBE=30°。‎ 又∵∠OEB=90°，∴∠BOE=60°。‎ ‎∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。‎ 又∵∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°。‎ 同理∠C=60°。∴∠BAC=60°。‎ ‎∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°。∴△ABC为等边三角形。故甲作法正确。‎ 根据乙的思路，作图如下：‎ 连接OB，BD。‎ ‎∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB。∴△BOD为等边三角形。∴∠OBD=∠BOD=60°。‎ 又∵BC垂直平分OD，∴OM=DM。∴BM为∠OBD的平分线。∴∠OBM=∠DBM=30°。‎ 又∵OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，∴∠BAO=∠ABO=30°。‎ ‎∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°。‎ 同理∠ACB=60°。∴∠BAC=60°。‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=∠BAC。∴△ABC为等边三角形。故乙作法正确。‎ 故选A。‎ ‎2. （2012山东济宁3分）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是【 】‎ A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】作图（基本作图），全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案：‎ 在△ONC和△OMC中，ON=OM，NC=MC，OC=OC，‎ ‎∴△ONC≌△OMC（SSS）。∴∠AOC=∠BOC。故选A。‎ ‎3. （2012河北省3分）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中， 是【 】‎ A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】作图（基本作图），平行线的判定，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】根据同位角相等两直线平行，要想得到CN∥OA，只要作出∠BCN=∠AOB即可，然后再根据作一个角等于已知角的作法解答：‎ 根据题意，所作出的是∠BCN=∠AOB，根据作一个角等于已知角的作法，是以点E为圆心，DM为半径的弧。故选D。‎ ‎4. （2012吉林长春3分） 如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB,使OA=OB；再分别以点A, B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为(m－1,2n),则m与n的关系为【 】‎ ‎(A)m＋2n=1 (B)m－2n=1 (C)2n－m=1 (D)n－‎2m=1‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】作图（基本作图），角平分线性质，点到x轴、y轴距离。‎ ‎【分析】如图，根据题意作图知，OC为∠AOB的平分线，点C的坐标为 ‎(m－1,2n)且在第一象限，点C到x轴CD=2n，到y轴距离CE= m－1。根据角平分线上的点到角两边距离相等，得m－1=2n，即m－2n=1 。故选B。‎ 二、填空题 ‎1. （2012河南省5分）如图，在△ABC中，∠C=900，∠CAB=500，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC的长为半径，画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边与点D，则∠ADC的度数为 ▲ ‎ ‎【答案】650。‎ ‎【考点】作图，角平分线的性质，三角形内角和外角的性质。‎ ‎【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质有∠GAB=250。‎ ‎ ∵在△ABC中，∠C=900，∠CAB=500，∴根据三角形内角和定理，得∠B=400。‎ ‎ ∴根据三角形外角性质，得∠ADC =400＋250=650。‎ ‎2. （2012江西省3分）如图，已知正五边形ABCDE，仅用无刻度的直尺准确作出其一条对称轴。（保留作图痕迹）‎ ‎【答案】作图如下：‎ ‎【考点】作图题，‎ ‎【分析】正五边形的性质。连接BD，CE交于点O，连接AO，即为所求。‎ 三、解答题 ‎1. （2012广东省6分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．‎ ‎（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．‎ ‎【答案】解：（1）作图如下：‎ ‎（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，‎ ‎∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°。‎ ‎∵AD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠ABC=×72°=36°。‎ ‎∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°。‎ ‎【考点】作图（基本作图），等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质。‎ ‎【分析】（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线：‎ ‎①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；‎ ‎②分别以点E、F为圆心，大于EF为半径画圆，两圆相较于点G，连接BG交AC于点D。‎ ‎（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的性质得出 ‎∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可。‎ ‎2. （2012广东佛山8分）比较两个角的大小，有以下两种方法(规则)‎ ‎ ①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；‎ ‎ ②构造图形，如果一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大．‎ 对于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小．‎ 注：构造图形时，作示意图（草图）即可．‎ ‎3. （2012广东珠海6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．‎ ‎（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）‎ ‎（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）‎ ‎【答案】解：（1）如图所示：‎ ‎（2）△ADF的形状是等腰直角三角形。‎ ‎【考点】作图（基本作图），平行的判定和性质，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）作法：以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN。则DN即为所求。‎ ‎（2）设DN交AM于F，则 ‎∵AB=AC，AD是高，∴∠BAD=∠CAD。‎ 又∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，∴∠FAD=×180°=90°。∴AF∥BC。‎ ‎∴∠CDF=∠AFD。‎ 又∵∠AFD=∠ADF，∴∠CDF =∠ADF。∴AD=AF。‎ ‎∴△ADF是等腰直角三角形。‎ ‎4. （2012广东汕头7分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．‎ ‎（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．‎ ‎【答案】解：（1）作图如下：‎ ‎（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，‎ ‎∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°。‎ ‎∵AD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠ABC=×72°=36°。‎ ‎∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°。‎ ‎【考点】作图（基本作图），等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质。‎ ‎【分析】（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线：‎ ‎①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；‎ ‎②分别以点E、F为圆心，大于EF为半径画圆，两圆相较于点G，连接BG交AC于点D。‎ ‎（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的性质得出 ‎∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可。‎ ‎5. （2012浙江杭州8分）如图，是数轴的一部分，其单位长度为a，已知△ABC中，AB=‎3a，BC=‎4a，AC=‎5a．‎ ‎（1）用直尺和圆规作出△ABC（要求：使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；‎ ‎（2）记△ABC的外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明．‎ ‎【答案】解：（1）如图所示：‎ ‎（2）∵AB2+BC2=AC2=‎5a2，∴△ABC是直角三角形，且AC是斜边。‎ ‎ ∴AC是△ABC外接圆的直径，则半径为。‎ ‎∵△ABC的外接圆的面积为S圆，∴S圆= 。‎ 又∵△ABC的面积S△ABC=×‎3a×‎4a=‎6a2。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】作图（三角形），勾股定理逆定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心。‎ ‎【分析】（1）在数轴上截取AC=‎5a，再以A，C为圆心‎3a，‎4a为半径，画弧交点为B，连接AB，BC，则△ABC即为所求。‎ ‎（2）由三边，根据勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形，根据直径所对圆周角是直角的性质知AC是△ABC外接圆的直径。从而求出圆和三角形面积即可求出二者的比值。‎ ‎6. （2012湖北宜昌7分）如图，已知E是平行四边形ABCD的边AB上的点，连接DE．‎ ‎（1）在∠ABC的内部，作射线BM交线段CD于点F，使∠CBF=∠ADE；‎ ‎ （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证：△ADE≌△CBF．‎ ‎【答案】（1）解：作图如下：‎ ‎（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC。‎ ‎∵∠ADE=∠CBF，∴△ADE≌△CBF（ASA）。‎ ‎【考点】作图（复杂作图），平行四边形的性质，全等三角形的判定。1419956‎ ‎【分析】（1）以点C为圆心，AC长为半径画弧，交CD于点F，连接BF，则∠CBF=∠ADE。‎ ‎（2）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，AD=BC，由ASA可证△ADE≌△CBF。‎ ‎7. （2012湖北荆州8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC），得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于点G、H．‎ ‎（1）请根据题意用实线补全图形；‎ ‎（2）求证：△AFB≌△AGE．‎ ‎【答案】解：（1）画图，如图：‎ ‎（2）证明：由题意得：△ABC≌△AED。‎ ‎∴AB=AE，∠ABC=∠E。‎ 在△AFB和△AGE中，∵∠ABC=∠E，AB=AE，∠α=∠α，‎ ‎∴△AFB≌△AGE（ASA）。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），旋转的性质，全等三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）根据题意画出图形，注意折叠与旋转中的对应关系。‎ ‎（2）由题意易得△ABC≌△AED，即可得AB=AE，∠ABC=∠E，然后利用ASA的判定方法，即可证得△AFB≌△AGE。‎ ‎8. （2012四川达州7分）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如 下： ‎ 小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.‎ 根据以上情境，解决下列问题：‎ ‎①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_________.‎ ‎②小聪的作法正确吗？请说明理由.‎ ‎③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法.（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）‎ ‎【答案】解：(1)SSS。‎ (2)小聪的作法正确。理由如下：‎  ∵PM⊥OM , PN⊥ON，∴∠OMP=∠ONP=90°。‎ 在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵OP=OP，OM=ON，‎ ‎∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）。∴∠MOP=∠NOP。∴OP平分∠AOB。‎  （3）如图所示. ‎ 步骤：①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG=OH；‎  ②连接GH，利用刻度尺作出GH的中点Q；‎  ③作射线OQ。则OQ为∠AOB的平分线。‎ ‎【考点】作图（复杂作图），全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据全等三角形的判定即可求解。‎ ‎（2）根据HL可证Rt△OMP≌Rt△ONP，再根据全等三角形的性质即可作出判断。‎ ‎（3）根据用刻度尺作角平分线的方法作出图形，写出作图步骤即可。‎ ‎9. （2012四川巴中9分）①如图1，在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形方格纸中有△OAB，‎ 请将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA’B’；‎ ‎②折纸：有一张矩形纸片ABCD（如图2），要将点D沿某条直线翻折180°，恰好落在BC边上的点D’‎ 处，，请在图中作出该直线。‎ ‎【答案】解：①如图，△OA’B’ 即为所求图形。‎ ‎ ②如图，直线MN即为所求图形。‎ ‎【考点】作图（旋转和轴对变换）。‎ ‎【分析】（1）根据旋转角度为90°，旋转方向为顺时针，旋转中心为点O可找到各点的对应点，顺次连 接即可得出△A′B′O即可。‎ ‎（2）连接DD′，再作出DD′的垂直平分线即可。‎ ‎10. （2012山东青岛4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ 已知：线段a、c，∠．‎ 求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠．‎ 结论：‎ ‎【答案】解：（1）作图如下，△ABC即为所求。‎ ‎【考点】作图（基本作图）。‎ ‎【分析】①作∠ABC=∠，② 作BC＝a，AB＝c，③连接AC。△ABC即为所求。‎ ‎11. （2012广西北海8分）已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°。‎ ‎（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作 法和证明）；‎ ‎（2）连接DE，求证：△ADE≌△BDE。‎ ‎【答案】解：（1）作图如下： ‎ ‎（2）证明：∵∠ABD＝×60°＝30°，∠A＝30°，∴∠ABD＝∠A。∴AD＝BD。‎ 又∵AE＝BE，∴△ADE≌△BDE（SAS）。‎ ‎【考点】作图（复杂作图），等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于 FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M作射线，交AC于D，线段BD就是∠B的平分线。‎ ‎②分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y作直线与AB 交于点E，点E就是AB的中点。‎ ‎（2）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得 AD=BD，再加上条件AE=BE，即可利用SAS证明△ADE≌△BDE。‎ ‎12. （2012广西贵港5分）如图，已知△ABC，且∠ACB＝90°。‎ ‎（1）请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）；‎ ‎①以点A为圆心，BC边的长为半径作⊙A；‎ ‎②以点B为顶点，在AB边的下方作∠ABD=∠BAC．‎ ‎（2）请判断直线BD与⊙A的位置关系（不必证明）．‎ ‎【答案】解：（1）作图如图所示：‎ ‎（2）直线BD与⊙A相切。‎ ‎【考点】作图（复杂作图），直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）①以点A为圆心，以BC的长度为半径画圆即可。‎ ‎②以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与边AB、AC相交于两点E、F，再以点B为圆 心，以同等长度为半径画弧，与AB相交于一点M，再以点M为圆心，以EF长度为半径画弧，与前弧相交于点N，作射线BN即可得到∠ABD；‎ ‎（2）根据内错角相等，两直线平行可得AC∥BD，再根据平行线间的距离相等可得点A到BD 的距离等于BC的长度，然后根据直线与圆的位置关系判断直线BD与⊙A相切：‎ ‎∵∠ABD＝∠BAC，∴AC∥BD。‎ ‎∵∠ACB＝90°，⊙A的半径等于BC，∴点A到直线BD的距离等于BC。‎ ‎∴直线BD与⊙A相切。‎ ‎13. （2012广西玉林、防城港6分）已知等腰△ABC的顶角∠A=36°（如图）.‎ ‎（1）作底角∠ABC的平分线BD,交AC于点D（用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹，然后用墨水笔加黑）；‎ ‎（2）通过计算说明△ABD和△BDC都是等腰三角形.‎ ‎【答案】解：（1）如图所示，BD即为所求：‎ ‎ （2）∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°－36°）÷2=72°。‎ ‎∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°。‎ ‎∴∠CDB=180°－36°－72°=72°。‎ ‎∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，‎ ‎∴AD=DB，BD=BC。∴△ABD和△BDC都是等腰三角形。‎ ‎【考点】作图（复杂作图），等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】（1）以B为圆心，任意长为半径画弧，两弧交AB、BC于M、N两点；再分别以M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于一点O，画射线BO交AC于D。BD即为所求。‎ ‎（2）根据三角形内角和为180°计算出∠ABC，∠C，∠CDB，∠ABD，∠DBC的度数，再根据等角对等边可证出结论。‎ ‎14. （2012甘肃白银7分）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．‎ 要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．‎ ‎【答案】解：已知：A村、B村、C村，‎ 求作：一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等。‎ 作图如下：‎ ‎【考点】作图（应用与设计作图），线段垂直平分线的性质。‎ ‎【分析】根据线段垂直平分线的性质知，连接AB，作AB的垂直平分线DE，连接AC，作AC的垂直平分线MN，交DE于P，两垂直平分线的交点即是所求答案。‎ ‎15. （2012甘肃兰州8分）如图(1)，矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，‎ ‎(1)在图(2)中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)‎ ‎(2)折叠后重合部分是什么图形？说明理由．‎ ‎【答案】解：(1)作图如下：‎ ‎(2)等腰三角形。理由如下：‎ ‎∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，∴△BDE≌△BDC。∴∠FDB＝∠CDB。om]‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD。∴∠ABD＝∠BDC。∴∠FDB＝∠BDC。‎ ‎∴△BDF是等腰三角形。‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题)，尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)根据折叠的性质，可以作∠BDF＝∠BDC，∠EBD＝∠CBD，则可求得折叠后的图形。‎ ‎ 作法如下：‎ 作∠BDG＝∠BDC，在射线DG上截取DE＝DC，连接BE；‎ 作∠DBH＝∠DBC，在射线BH上截取BE＝BC，连接DE；‎ 作∠BDG＝∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E；‎ 作∠DBH＝∠DBC，过，D点作DG⊥BH，垂足为E；‎ 分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE、BE。‎ 则△DEB为所求做的图形。 ‎ ‎ (2)由折叠的性质，易得∠FDB＝∠CDB，又由四边形ABCD是矩形，可得AB∥CD，即可证得∠FDB＝∠FBD，即可证得△FBD是等腰三角形。‎ ‎16. （2012内蒙古赤峰10分）如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．‎ ‎（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）‎ ‎（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．‎