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  • 2021-05-10 发布

中考数学分类解析专题40_尺规作图

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‎2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)‎ 专题40:尺规作图 今升数学工作室 编辑 一、选择题 ‎1. (2012浙江绍兴4分)如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别是:‎ 甲:1、作OD的中垂线,交⊙O于B,C两点,‎ ‎ 2、连接AB,AC,△ABC即为所求的三角形 ‎ 乙:1、以D为圆心,OD长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点。‎ ‎ 2、连接AB,BC,CA.△ABC即为所求的三角形。‎ 对于甲、乙两人的作法,可判断【 】‎ ‎  A. 甲、乙均正确 B. 甲、乙均错误 C.甲正确、乙错误 D.甲错误,乙正确 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】垂径定理,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,三角形外角性质,含30度角的直角三角形。‎ ‎【分析】根据甲的思路,作出图形如下:‎ 连接OB,∵BC垂直平分OD,∴E为OD的中点,且OD⊥BC。∴OE=DE=OD。‎ 又∵OB=OD,∴在Rt△OBE中,OE=OB。∴∠OBE=30°。‎ 又∵∠OEB=90°,∴∠BOE=60°。‎ ‎∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA。‎ 又∵∠BOE为△AOB的外角,∴∠OAB=∠OBA=30°,∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°。‎ 同理∠C=60°。∴∠BAC=60°。‎ ‎∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°。∴△ABC为等边三角形。故甲作法正确。‎ 根据乙的思路,作图如下:‎ 连接OB,BD。‎ ‎∵OD=BD,OD=OB,∴OD=BD=OB。∴△BOD为等边三角形。∴∠OBD=∠BOD=60°。‎ 又∵BC垂直平分OD,∴OM=DM。∴BM为∠OBD的平分线。∴∠OBM=∠DBM=30°。‎ 又∵OA=OB,且∠BOD为△AOB的外角,∴∠BAO=∠ABO=30°。‎ ‎∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°。‎ 同理∠ACB=60°。∴∠BAC=60°。‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=∠BAC。∴△ABC为等边三角形。故乙作法正确。‎ 故选A。‎ ‎2. (2012山东济宁3分)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是【 】‎ A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】作图(基本作图),全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】连接NC,MC,根据SSS证△ONC≌△OMC,即可推出答案:‎ 在△ONC和△OMC中,ON=OM,NC=MC,OC=OC,‎ ‎∴△ONC≌△OMC(SSS)。∴∠AOC=∠BOC。故选A。‎ ‎3. (2012河北省3分)如图,点C在∠AOB的OB边上,用尺规作出了CN∥OA,作图痕迹中, 是【 】‎ A.以点C为圆心,OD为半径的弧 B.以点C为圆心,DM为半径的弧 C.以点E为圆心,OD为半径的弧 D.以点E为圆心,DM为半径的弧 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】作图(基本作图),平行线的判定,全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】根据同位角相等两直线平行,要想得到CN∥OA,只要作出∠BCN=∠AOB即可,然后再根据作一个角等于已知角的作法解答:‎ 根据题意,所作出的是∠BCN=∠AOB,根据作一个角等于已知角的作法,是以点E为圆心,DM为半径的弧。故选D。‎ ‎4. (2012吉林长春3分) 如图,在平面直角坐标系中,在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB,使OA=OB;再分别以点A, B为圆心,以大于AB长为半径作弧,两弧交于点C.若点C的坐标为(m-1,2n),则m与n的关系为【 】‎ ‎(A)m+2n=1 (B)m-2n=1 (C)2n-m=1 (D)n-‎2m=1‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】作图(基本作图),角平分线性质,点到x轴、y轴距离。‎ ‎【分析】如图,根据题意作图知,OC为∠AOB的平分线,点C的坐标为 ‎(m-1,2n)且在第一象限,点C到x轴CD=2n,到y轴距离CE= m-1。根据角平分线上的点到角两边距离相等,得m-1=2n,即m-2n=1 。故选B。‎ 二、填空题 ‎1. (2012河南省5分)如图,在△ABC中,∠C=900,∠CAB=500,按以下步骤作图:①以点A 为圆心,小于AC的长为半径,画弧,分别交AB,AC于点E、F;②分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG,交BC边与点D,则∠ADC的度数为 ▲ ‎ ‎【答案】650。‎ ‎【考点】作图,角平分线的性质,三角形内角和外角的性质。‎ ‎【分析】根据已知条件中的作图步骤知,AG是∠CAB的平分线,根据角平分线的性质有∠GAB=250。‎ ‎ ∵在△ABC中,∠C=900,∠CAB=500,∴根据三角形内角和定理,得∠B=400。‎ ‎ ∴根据三角形外角性质,得∠ADC =400+250=650。‎ ‎2. (2012江西省3分)如图,已知正五边形ABCDE,仅用无刻度的直尺准确作出其一条对称轴。(保留作图痕迹)‎ ‎【答案】作图如下:‎ ‎【考点】作图题,‎ ‎【分析】正五边形的性质。连接BD,CE交于点O,连接AO,即为所求。‎ 三、解答题 ‎1. (2012广东省6分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°.‎ ‎(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);‎ ‎(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC的度数.‎ ‎【答案】解:(1)作图如下:‎ ‎(2)∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°,‎ ‎∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°。‎ ‎∵AD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠ABC=×72°=36°。‎ ‎∵∠BDC是△ABD的外角,∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°。‎ ‎【考点】作图(基本作图),等腰三角形的性质,三角形内角和定理和外角性质。‎ ‎【分析】(1)根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线:‎ ‎①以点B为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB、BC于点E、F;‎ ‎②分别以点E、F为圆心,大于EF为半径画圆,两圆相较于点G,连接BG交AC于点D。‎ ‎(2)先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数,再由角平分线的性质得出 ‎∠ABD的度数,再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可。‎ ‎2. (2012广东佛山8分)比较两个角的大小,有以下两种方法(规则)‎ ‎ ①用量角器度量两个角的大小,用度数表示,则角度大的角大;‎ ‎ ②构造图形,如果一个角包含(或覆盖)另一个角,则这个角大.‎ 对于如图给定的∠ABC与∠DEF,用以上两种方法分别比较它们的大小.‎ 注:构造图形时,作示意图(草图)即可.‎ ‎3. (2012广东珠海6分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是高,AM是△ABC外角∠CAE的平分线.‎ ‎(1)用尺规作图方法,作∠ADC的平分线DN;(保留作图痕迹,不写作法和证明)‎ ‎(2)设DN与AM交于点F,判断△ADF的形状.(只写结果)‎ ‎【答案】解:(1)如图所示:‎ ‎(2)△ADF的形状是等腰直角三角形。‎ ‎【考点】作图(基本作图),平行的判定和性质,等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)作法:以D为圆心,以任意长为半径画弧,交AD于G,交DC于H,分别以G、H为圆心,以大于GH为半径画弧,两弧交于N,作射线DN。则DN即为所求。‎ ‎(2)设DN交AM于F,则 ‎∵AB=AC,AD是高,∴∠BAD=∠CAD。‎ 又∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线,∴∠FAD=×180°=90°。∴AF∥BC。‎ ‎∴∠CDF=∠AFD。‎ 又∵∠AFD=∠ADF,∴∠CDF =∠ADF。∴AD=AF。‎ ‎∴△ADF是等腰直角三角形。‎ ‎4. (2012广东汕头7分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°.‎ ‎(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);‎ ‎(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC的度数.‎ ‎【答案】解:(1)作图如下:‎ ‎(2)∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°,‎ ‎∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°。‎ ‎∵AD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠ABC=×72°=36°。‎ ‎∵∠BDC是△ABD的外角,∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°。‎ ‎【考点】作图(基本作图),等腰三角形的性质,三角形内角和定理和外角性质。‎ ‎【分析】(1)根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线:‎ ‎①以点B为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB、BC于点E、F;‎ ‎②分别以点E、F为圆心,大于EF为半径画圆,两圆相较于点G,连接BG交AC于点D。‎ ‎(2)先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数,再由角平分线的性质得出 ‎∠ABD的度数,再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可。‎ ‎5. (2012浙江杭州8分)如图,是数轴的一部分,其单位长度为a,已知△ABC中,AB=‎3a,BC=‎4a,AC=‎5a.‎ ‎(1)用直尺和圆规作出△ABC(要求:使点A,C在数轴上,保留作图痕迹,不必写出作法);‎ ‎(2)记△ABC的外接圆的面积为S圆,△ABC的面积为S△,试说明.‎ ‎【答案】解:(1)如图所示:‎ ‎(2)∵AB2+BC2=AC2=‎5a2,∴△ABC是直角三角形,且AC是斜边。‎ ‎ ∴AC是△ABC外接圆的直径,则半径为。‎ ‎∵△ABC的外接圆的面积为S圆,∴S圆= 。‎ 又∵△ABC的面积S△ABC=×‎3a×‎4a=‎6a2。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】作图(三角形),勾股定理逆定理,圆周角定理,三角形的外接圆与外心。‎ ‎【分析】(1)在数轴上截取AC=‎5a,再以A,C为圆心‎3a,‎4a为半径,画弧交点为B,连接AB,BC,则△ABC即为所求。‎ ‎(2)由三边,根据勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形,根据直径所对圆周角是直角的性质知AC是△ABC外接圆的直径。从而求出圆和三角形面积即可求出二者的比值。‎ ‎6. (2012湖北宜昌7分)如图,已知E是平行四边形ABCD的边AB上的点,连接DE.‎ ‎(1)在∠ABC的内部,作射线BM交线段CD于点F,使∠CBF=∠ADE;‎ ‎ (要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)‎ ‎(2)在(1)的条件下,求证:△ADE≌△CBF.‎ ‎【答案】(1)解:作图如下:‎ ‎(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AD=BC。‎ ‎∵∠ADE=∠CBF,∴△ADE≌△CBF(ASA)。‎ ‎【考点】作图(复杂作图),平行四边形的性质,全等三角形的判定。1419956‎ ‎【分析】(1)以点C为圆心,AC长为半径画弧,交CD于点F,连接BF,则∠CBF=∠ADE。‎ ‎(2)根据平行四边形的性质可得∠A=∠C,AD=BC,由ASA可证△ADE≌△CBF。‎ ‎7. (2012湖北荆州8分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,将△ABC沿AB向下翻折后,再绕点A按顺时针方向旋转α度(α<∠BAC),得到Rt△ADE,其中斜边AE交BC于点F,直角边DE分别交AB、BC于点G、H.‎ ‎(1)请根据题意用实线补全图形;‎ ‎(2)求证:△AFB≌△AGE.‎ ‎【答案】解:(1)画图,如图:‎ ‎(2)证明:由题意得:△ABC≌△AED。‎ ‎∴AB=AE,∠ABC=∠E。‎ 在△AFB和△AGE中,∵∠ABC=∠E,AB=AE,∠α=∠α,‎ ‎∴△AFB≌△AGE(ASA)。‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题),旋转的性质,全等三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)根据题意画出图形,注意折叠与旋转中的对应关系。‎ ‎(2)由题意易得△ABC≌△AED,即可得AB=AE,∠ABC=∠E,然后利用ASA的判定方法,即可证得△AFB≌△AGE。‎ ‎8. (2012四川达州7分)数学课上,探讨角平分线的作法时,李老师用直尺和圆规作角平分线,方法如 下: ‎ 小颖的身边只有刻度尺,经过尝试,她发现利用刻度尺也可以作角平分线.‎ 根据以上情境,解决下列问题:‎ ‎①李老师用尺规作角平分线时,用到的三角形全等的判定方法是_________.‎ ‎②小聪的作法正确吗?请说明理由.‎ ‎③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法.(要求:作出图形,写出作图步骤,不予证明)‎ ‎【答案】解:(1)SSS。‎ (2)小聪的作法正确。理由如下:‎  ∵PM⊥OM , PN⊥ON,∴∠OMP=∠ONP=90°。‎ 在Rt△OMP和Rt△ONP中,∵OP=OP,OM=ON,‎ ‎∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)。∴∠MOP=∠NOP。∴OP平分∠AOB。‎  (3)如图所示. ‎ 步骤:①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG=OH;‎  ②连接GH,利用刻度尺作出GH的中点Q;‎  ③作射线OQ。则OQ为∠AOB的平分线。‎ ‎【考点】作图(复杂作图),全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)根据全等三角形的判定即可求解。‎ ‎(2)根据HL可证Rt△OMP≌Rt△ONP,再根据全等三角形的性质即可作出判断。‎ ‎(3)根据用刻度尺作角平分线的方法作出图形,写出作图步骤即可。‎ ‎9. (2012四川巴中9分)①如图1,在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形方格纸中有△OAB,‎ 请将△OAB绕点O顺时针旋转90°,画出旋转后的△OA’B’;‎ ‎②折纸:有一张矩形纸片ABCD(如图2),要将点D沿某条直线翻折180°,恰好落在BC边上的点D’‎ 处,,请在图中作出该直线。‎ ‎【答案】解:①如图,△OA’B’ 即为所求图形。‎ ‎ ②如图,直线MN即为所求图形。‎ ‎【考点】作图(旋转和轴对变换)。‎ ‎【分析】(1)根据旋转角度为90°,旋转方向为顺时针,旋转中心为点O可找到各点的对应点,顺次连 接即可得出△A′B′O即可。‎ ‎(2)连接DD′,再作出DD′的垂直平分线即可。‎ ‎10. (2012山东青岛4分)用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.‎ 已知:线段a、c,∠.‎ 求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠.‎ 结论:‎ ‎【答案】解:(1)作图如下,△ABC即为所求。‎ ‎【考点】作图(基本作图)。‎ ‎【分析】①作∠ABC=∠,② 作BC=a,AB=c,③连接AC。△ABC即为所求。‎ ‎11. (2012广西北海8分)已知:如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=60°。‎ ‎(1)作∠B的平分线BD,交AC于点D;作AB的中点E(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不必写作 法和证明);‎ ‎(2)连接DE,求证:△ADE≌△BDE。‎ ‎【答案】解:(1)作图如下: ‎ ‎(2)证明:∵∠ABD=×60°=30°,∠A=30°,∴∠ABD=∠A。∴AD=BD。‎ 又∵AE=BE,∴△ADE≌△BDE(SAS)。‎ ‎【考点】作图(复杂作图),等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)①以B为圆心,任意长为半径画弧,交AB、BC于F、N,再以F、N为圆心,大于 FN长为半径画弧,两弧交于点M,过B、M作射线,交AC于D,线段BD就是∠B的平分线。‎ ‎②分别以A、B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧交于X、Y,过X、Y作直线与AB 交于点E,点E就是AB的中点。‎ ‎(2)首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数,从而得到∠ABD=∠A,根据等角对等边可得 AD=BD,再加上条件AE=BE,即可利用SAS证明△ADE≌△BDE。‎ ‎12. (2012广西贵港5分)如图,已知△ABC,且∠ACB=90°。‎ ‎(1)请用直尺和圆规按要求作图(保留作图痕迹,不写作法和证明);‎ ‎①以点A为圆心,BC边的长为半径作⊙A;‎ ‎②以点B为顶点,在AB边的下方作∠ABD=∠BAC.‎ ‎(2)请判断直线BD与⊙A的位置关系(不必证明).‎ ‎【答案】解:(1)作图如图所示:‎ ‎(2)直线BD与⊙A相切。‎ ‎【考点】作图(复杂作图),直线与圆的位置关系,平行线的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)①以点A为圆心,以BC的长度为半径画圆即可。‎ ‎②以点A为圆心,以任意长为半径画弧,与边AB、AC相交于两点E、F,再以点B为圆 心,以同等长度为半径画弧,与AB相交于一点M,再以点M为圆心,以EF长度为半径画弧,与前弧相交于点N,作射线BN即可得到∠ABD;‎ ‎(2)根据内错角相等,两直线平行可得AC∥BD,再根据平行线间的距离相等可得点A到BD 的距离等于BC的长度,然后根据直线与圆的位置关系判断直线BD与⊙A相切:‎ ‎∵∠ABD=∠BAC,∴AC∥BD。‎ ‎∵∠ACB=90°,⊙A的半径等于BC,∴点A到直线BD的距离等于BC。‎ ‎∴直线BD与⊙A相切。‎ ‎13. (2012广西玉林、防城港6分)已知等腰△ABC的顶角∠A=36°(如图).‎ ‎(1)作底角∠ABC的平分线BD,交AC于点D(用尺规作图,不写作法,但保留作图痕迹,然后用墨水笔加黑);‎ ‎(2)通过计算说明△ABD和△BDC都是等腰三角形.‎ ‎【答案】解:(1)如图所示,BD即为所求:‎ ‎ (2)∵∠A=36°,∴∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72°。‎ ‎∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°。‎ ‎∴∠CDB=180°-36°-72°=72°。‎ ‎∵∠A=∠ABD=36°,∠C=∠CDB=72°,‎ ‎∴AD=DB,BD=BC。∴△ABD和△BDC都是等腰三角形。‎ ‎【考点】作图(复杂作图),等腰三角形的判定和性质,三角形内角和定理。‎ ‎【分析】(1)以B为圆心,任意长为半径画弧,两弧交AB、BC于M、N两点;再分别以M、N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧交于一点O,画射线BO交AC于D。BD即为所求。‎ ‎(2)根据三角形内角和为180°计算出∠ABC,∠C,∠CDB,∠ABD,∠DBC的度数,再根据等角对等边可证出结论。‎ ‎14. (2012甘肃白银7分)为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上,地理位置如下图),请你用尺规作图的方法确定点P的位置.‎ 要求:写出已知、求作;不写作法,保留作图痕迹.‎ ‎【答案】解:已知:A村、B村、C村,‎ 求作:一个医疗点P,使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等。‎ 作图如下:‎ ‎【考点】作图(应用与设计作图),线段垂直平分线的性质。‎ ‎【分析】根据线段垂直平分线的性质知,连接AB,作AB的垂直平分线DE,连接AC,作AC的垂直平分线MN,交DE于P,两垂直平分线的交点即是所求答案。‎ ‎15. (2012甘肃兰州8分)如图(1),矩形纸片ABCD,把它沿对角线BD向上折叠,‎ ‎(1)在图(2)中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)‎ ‎(2)折叠后重合部分是什么图形?说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)作图如下:‎ ‎(2)等腰三角形。理由如下:‎ ‎∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成,∴△BDE≌△BDC。∴∠FDB=∠CDB。om]‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD。∴∠ABD=∠BDC。∴∠FDB=∠BDC。‎ ‎∴△BDF是等腰三角形。‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题),尺规作图,矩形的性质,等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)根据折叠的性质,可以作∠BDF=∠BDC,∠EBD=∠CBD,则可求得折叠后的图形。‎ ‎ 作法如下:‎ 作∠BDG=∠BDC,在射线DG上截取DE=DC,连接BE;‎ 作∠DBH=∠DBC,在射线BH上截取BE=BC,连接DE;‎ 作∠BDG=∠BDC,过B点作BH⊥DG,垂足为E;‎ 作∠DBH=∠DBC,过,D点作DG⊥BH,垂足为E;‎ 分别以D、B为圆心,DC、BC的长为半径画弧,两弧交于点E,连接DE、BE。‎ 则△DEB为所求做的图形。 ‎ ‎ (2)由折叠的性质,易得∠FDB=∠CDB,又由四边形ABCD是矩形,可得AB∥CD,即可证得∠FDB=∠FBD,即可证得△FBD是等腰三角形。‎ ‎16. (2012内蒙古赤峰10分)如图所示,在△ABC中,∠ABC=∠ACB.‎ ‎(1)尺规作图:过顶点A作△ABC的角平分线AD;(不写作法,保留作图痕迹)‎ ‎(2)在AD上任取一点E,连接BE、CE.求证:△ABE≌△ACE.‎