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- 2021-05-10 发布
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第一章 数与式
第一节 实数的有关概念和运算
知识清单梳理
知识点1:实数的概念及其分类
整数和分数统称为有理数,有理数和无理数统称为实数。
【归纳】无理数常见类型
知识点2:正负数、数轴、相反数、绝对值、倒数
定义
性质
正负数
大于0的数就是正数,在正数前面加“—”号的数叫做负数。
①0既不是正数,也不是负数。
②实数—a不一定是负数。
③正负数可用来表示相反意义的量。
数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线。
数轴上的点与实数一一对应。
相反数
只有符合不同的两个数,即实数a的相反数是—a。
① 若a、b互为相反数,则a—b=0。
② 在数轴上,表示相反数的两个数的点位于原点两侧,且到原点的距离相等。
绝对值
在数轴上表示数a的点与原点的距离。记作。
倒数
乘积为1的两个数互为倒数,非零实数a的倒数为。
① ab=1,a、b互为倒数。
② 0没有倒数。
③ 倒数等于本身的数是1或—1。
知识点3:科学记数法、近似数
知识点4:实数的大小比较
知识点5:实数的运算
1. 实数的运算顺序是先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,先算小括号内的,再算中括号内的,最后算大括号内的,同级运算应按从左到右的顺序。
2. 常见的运算类型及法则
运算
法则
0次幂
负整数指数幂
—1的奇偶次幂
—1的奇数次幂为—1,偶数次幂为1。
乘方
正数的任何次幂都为正数,负数的奇次幂为负数,负数的偶次幂为正数。
算术平方根
立方根
去绝对值符号
第二节 整式与因式分解
知识清单梳理
知识点1:代数式、代数式的值
1. 代数式:代数式是用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2. 代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果。
3. 求代数式的值主要用代入法。代入法分为直接代入、整体代入和寻找规律求值。
知识点2:整式的相关概念
单项式
概念
由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个字母也是单项式)。
系数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
次数
单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
多项式
概念
几个单项式的和叫做多项式。
项
多项式中的每个单项式叫做多项式的项。
次数
一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
整式
单项式与多项式统称为整式。
同类项
所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。所有的常数项都是同类项。
知识点3:整式的运算
整式的加减
先去括号,再合并同类项。
幂的运算
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
同底数幂的除法
整式的乘法
单项式与单项式相乘
把它们的系数、同底数幂(相同字母)分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。如:
单项式与多项式相乘
用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即
多项式与多项式相乘
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,即
整式的除法
单项式除以单项式
把系数与同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。如:
多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式,然后把所得的商相加。
乘法公式
平方差公式
完全平方公式
知识点4:因式分解
定义
把一个多项式化成几个多项式乘积的形式,就是因式分解。
方法
提取公因式法
公式法
方法指导:
(1) 幂的加减法实质为系数的加减法运算。
(2) 幂的乘法运算的实质是转化为指数的加法运算。
(3) 幂的乘方运算的实质是转化为指数的乘法运算。
(4) 幂的除法运算的实质是转化为指数的减法运算。
1. 因式分解的一般步骤(一提二套三检查)
(1) 多项式各项有公因式的一定要提公因式,特别是有数字因式的。
(2) 如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法来分解因式:①若括号内有两项且符合相反,可以考虑平方差公式,即;②若有三项,则可以考虑完全平方公式,即。
(3) 检查因式分解是否彻底,必须分解到每一个多项式都不能再分解为止,且最后结果是积的形式。
第三节 分式与二次根式
知识清单梳理
知识点1:分式的概念
概念
有意义的条件
值为零的条件
知识点2:分式的基本性质
基本性质
约分
把分式的分子和分母中的公因式约去,叫做分式的约分。
通分
根据分式的基本性质,把异分母的分式化为同分母的分式,这一过程叫做分式的通分。
最简分式
分子和分母没有公因式的分式。
最简公分母
各分母所有因式的最高次幂的积。
知识点3:分式的运算
分式的乘除法
分式的乘方
分式的加减法
分式的混合运算
在分式的混合运算中,应先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,最后进行加减运算,遇到有括号,先算括号里面的。
知识点4:二次根式的有关概念
二次根式
最简二次根式
必须同时满足:(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数的因数是整数,因式是整式(分母中不应含有根号)。
同类二次根式
几个二次根式化为最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
知识点5:二次根式的性质
双重非负性
两个重要的性质
积的算术平方根
商的算术平方根
知识点6:二次根式的运算
二次根式的加减
先将各根式化为最简二次根式,然后合并被开方数相同的二次根式。
二次根式的乘法
二次根式的除法
混合运算
与实数的运算顺序相同,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号)。
知识点7:二次根式的估值
二次根式的估算,一般采用“夹逼法”确定其值所在范围。具体地说,先对二次根式平方,找出与平方后所得的数相邻的两个能开得尽方的整数,对其进行平方,即可确定这个二次根式在哪两个整数之间。
方法指导
1. 分式乘法的实质是约分,能直接约分的应先约分,不能直接约分的,可先因式分解,看能否约分,然后按法则进行。
2. 分式运算的结果必须是最简分式或整式。
3. 由字母的选值求分式的值时,选值既要使分式的结果有意义,又要使化简前的原分式有意义。
4. 二次根式运算的结果可以是数或整式,也可以是最简二次根式,如果二次根式的运算结果不是最简二次根式,必须化为最简二次根式。
高频考点示例
1. 下列说法正确的是()
A. B.0的倒数是0 C.4的平方根是2 D.-3的相反数是3
2.据有关部门统计,截止到2015年5月1日,昆明市私家小轿车已达到563000辆,将563000这个数用科学记数法表示为 。
3.某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 001s,把0.000 000 001用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
4.计算:
1. 下列运算正确的是()
A. B. C. D.
6.计算:
7.分解因式: 。
8.若代数式有意义,则实数x的取值范围是()
A. B. C. D.
9.计算:
10.先化简,再求值: