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  • 2021-05-10 发布

上海数学初三中考冲刺讲义几何证明培优陈玉婷

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志航教育学科教师辅导讲义 学员编号: 年 级: 课 时 数:‎ 学员姓名: 辅导科目: 学科教师: ‎ 教学内容 限速训练 一、选择题::(本大题共 6题,每题 4分,满分 24分)‎ ‎1..下列计算正确的是( )‎ ‎.; .; .; .. ‎ ‎2..关于的方程根的情况是( )‎ ‎ .有两个不相等的实根; .有两个相等的实根; ‎ ‎.没有实数根; .不能确定.‎ ‎3..已知反比例函数的图像上有两点,,且,那么下列结论中,正确的是( )‎ ‎.; .; ‎ ‎ .; .与之间的大小关系不能确定.‎ ‎4..如果一组数据,,…,的方差,那么下列结论一定正确的是( )‎ ‎.这组数据的平均数; .;‎ ‎.; ..‎ ‎5..若一个多边形的内角和等于,则这个多边形的边数是( )‎ ‎.8; .7; .6; .5.‎ ‎6..一个正多边形绕它的中心旋转36°后,就与原正多边形第一次重合,那么这个正多边形( )‎ ‎.是轴对称图形,但不是中心对称图形;‎ ‎.是中心对称图形,但不是轴对称图形;‎ ‎.既是轴对称图形,又是中心对称图形;‎ ‎.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形.‎ 二、填空题::(本大题共 12题,每题 4分,满分 48分)‎ ‎7..分解因式 .‎ ‎8.的平方根 .‎ ‎9..计算:‎ ‎10..已知,当时, .‎ ‎11..如果将抛物线向左平移2个单位,再向上平移3个单位,那么平移后的抛物线表达式是 .‎ ‎12..已知,那么 .‎ ‎13.某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问孤寡老人,如果给每位老人分5盒牛奶,则剩下38盒牛奶。如设敬老院有名老人,则这批牛奶共有 盒.(用含的代数式表示)‎ ‎14.有三张大小、形状完全相同的卡片,卡片上分别写有数字1、2、3,从这三张卡片中随机同时抽取两张,用抽出的卡片上的数字组成两位数,这个两位数是偶数的概率是 .‎ ‎15.如图,梯形中,∥,, ,,请用向量 表示向量 .‎ ‎16.已知两圆的圆心距为,其中一个圆的半径长为,那么当两圆内切时,另一圆的半径为 .‎ ‎17.将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”,“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面线”,例如圆的直径就是它的“面线”.已知等边三角形的边长为2,则它的“面线”长可以是 (写出2个).‎ ‎18.如图,在△中,∠,点为的中点,,,△沿着翻折后,点落到点,那么的长为 .‎ ‎ ‎ 三、解答题:(本大题共7题,满分78分)‎ ‎19.(本题满分10分)‎ 先化简,再求值:,其中.‎ ‎20.(本题满分10分)‎ 解不等式组:并把它的解集在数轴上表示出来.‎ 参考答案:‎ 一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)‎ ‎1.; 2.; 3.;4.;5.;6..‎ 二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)‎ ‎7.;8.;9.;10.3;11.;12.1或-2;13.;14.;15.;16.7;17.或;18.7.‎ 三、解答题(本大题共七题,19—22题每题10分,23、24题每题12分,25题14分,满分78分)‎ ‎19. (原式=.)‎ ‎ ‎ ‎20..‎ 几何证明 一、专题知识梳理 ‎(一)平行四边形 ‎1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.‎ ‎2.平行四边形的性质定理1:如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别相等.‎ 简述为:平行四边形的对边相等.‎ 平行四边形的性质定理2:如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分别相等.‎ 简述为:平行四边形的对角相等.‎ 夹在两条平行线间的平行线段相等.‎ 平行四边形的性质定理3:如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两条对角线互相平分.‎ 简述为:平行四边形的两条对角线互相平分.‎ 平行四边形的性质定理4:平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点.‎ ‎3.平行四边形的判定定理1:如果一个四边形的两组对边分别相等,那么这个四边形是平行四边形.‎ 简述为:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.‎ 平行四边形的判定定理2:如果一个四边形的一组对边平行且相等,那么这个四边形是平行四边形.‎ 简述为:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.‎ 平行四边形的判定定理3:如果一个四边形的两条对角线互相平分,那么这个四边形是平行四边形.‎ 简述为:对角线互相平分的四边形是平行四边形.‎ 平行四边形的判定定理4:如果一个四边形的两组对角分别相等,那么这个四边形是平行四边形.‎ 简述为:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.‎ ‎(二)特殊的平行四边形 ‎1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.‎ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.‎ 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.‎ ‎2.矩形的性质定理1:矩形的四个角都是直角.‎ ‎ 矩形的性质定理2:矩形的两条对角线相等.‎ ‎ 菱形的性质定理1:菱形的四条边都相等.‎ ‎ 菱形的性质定理2:菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.‎ 正方形的性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.‎ 正方形的性质定理2:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直,每条对角线平分一组对角.‎ ‎3.矩形判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形.‎ ‎ 矩形判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形.‎ ‎ 菱形判定定理1:四条边都相等的四边形是菱形.‎ 菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.‎ ‎(三)23题常考题型要点 ‎1. 通常第一小问用全等三角形的证明;‎ ‎2. 通常第二小问用到相似三角形的证明;‎ ‎3. 通常第一小问的结论和方法用到第二小问。‎ 二、专题精讲 ‎【题型一:四边形的证明】‎ 例1:如图,在梯形中,∥,,对角线与交于点,,垂足是.‎ ‎(1)求证:是的中点;‎ ‎(2)若在线段上存在点,使得四边形为平行四边形.求证:四边形是平行四边形.‎ ‎【解析】(1)∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,‎ ‎ ∴AC=BD,又BC=CB ‎ ∴△ABC≌△DCB 3分 ‎ ∴∠ACB=∠DBC ‎ ∵OE⊥BC,E是垂足 ‎ ∴E是BC的中点 3分 ‎ (2)∵四边形AOEP为平行四边形 ‎ ∴AO∥EP,AO=EP 1分 ‎ ∵E是BC的中点 ‎ ∴PE=OC 2分 ‎ ∵AD∥BC ‎ ∴ 2分 ‎ ∴AD=BE,又AD∥BE ‎ ∴四边形ABED是平行四边形 1分 例2:已知,如图,Rt△和Rt△中,,且与共线,联结,点为中点,联结,交于点,联结,交于点;‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)当,时,求证:四边形为矩形;‎ ‎【解析】(1)方法一:取BD中点P,联结MP,------------------------------------------------(1分)‎ ‎∵∠ABC=∠CDE =,∴∠ABC+∠CDE =,∴AB//ED,-------------------------(1分)‎ ‎∵点M为AE中点,点P为BD中点,∴MP//AB,-------------------------------------------(1分)‎ ‎∴∠MPD=∠ABC=,即MP⊥BD,∴MP为线段BD的垂直平分线,--------------(1分)‎ ‎∴MB=MD-----------------------------------------------------------------------------------------------(1分)‎ 方法二:延长BM,与DE的延长线交于点T,------------------------------------------------(1分)‎ ‎∵∠ABC=∠CDE =,∴∠ABC+∠CDE =,∴AB//ED,‎ ‎∴∠ABM=∠MTE,‎ 又∵∠AMB=∠EMT,点M为AE中点,∴△AMB≌△EMT,---------------------------------(1分)‎ ‎∴BM=TM,------------------------------------------------------------------------------------------(1分)‎ ‎∵∠CDE =,∴ED⊥BD,∴DM=BT,--------------------------------------------------(1分)‎ ‎∴DM=BM。---------------------------------------------------------------------------------------------(1分)‎ ‎(2)方法一:取BD中点P,联结MP,∴BP=BC=(BC+CD),‎ ‎∵AB//ED,点M为AE中点,∴MP =(AB+DE),‎ ‎∵AB=BC,DC=DE,∴BP= MP,-----------------------------------------------------------------(2分)‎ ‎∵MP⊥BD,∴∠MBP =,--------------------------------------------------------------------(1分)‎ 又∵DC=DE,∠CDE =,∴∠ECD=,∴BM//CE 同理DM//AC,∴四边形MGCH为平行四边形,-----------------------------------------------(2分)‎ ‎∵AB=BC,∠ABC=,∴∠ACB=,同理∠ECD=,∴∠ACE=,-----(1分)‎ ‎∴四边形MGCH为矩形--------------------------------------------------------------------------------(1分)‎ 方法二:延长BM,与DE的延长线交于点T,‎ ‎∵△AMB≌△EMT,∴AB=ET,∵AB=BC,∴BC= TE,----------------------------------------(1分)‎ ‎∵DC=DE,∴,∴CE//BT-------------------------------------------------------------(1分)‎ ‎∴∠BMD+∠MHC=,‎ ‎∵BC= TE,DC=DE,∴BC+DC=TE+DE,即BD=TD,‎ ‎∵BM=TM,∴DM⊥BT,即∠BMD=,----------------------------------------------------(2分)‎ ‎∴∠MHC=,---------------------------------------------------------------------------------------(1分)‎ 又∵AB=BC,∠ABC=,∴∠ACB=,同理∠ECD=,∴∠ACE=,--(1分)‎ ‎∴四边形MGCH为矩形-------------------------------------------------------------------------------(1分)‎ 例3:已知:如图,在梯形中,∥,点是的中点,是上的点,联结、、.‎ ‎(1)求证:‎ ‎(2)若点是的中点,联结交于点,求证:四边形是菱形.‎ ‎【解析】(1)∵点是的中点,‎ ‎∴. ‎ 又∵,‎ ‎∴. 1分 ‎∵∥,‎ ‎∴四边形为平行四边形. 1分 ‎∴∥, 1分 ‎ ∴即. 1分 ‎(2)∵点是的中点,是上的点,‎ ‎∴∥且. 1分 ‎ 又∵∥,‎ ‎∴四边形为平行四边形. 1分 ‎∵AD平行且等于BE,‎ ‎∴ 四边形是平行四边形. 1分 又∵,‎ ‎∴ 四边形是矩形. 1分 ‎∴ 且2分 ‎∴,‎ ‎∴四边形是菱形 2分 例4:已知:如图,在中中,,,点在边上,延长至点,使,延长交于,过点作//,交于点,在上取一点,使.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2) 求证:四边形是正方形.‎ ‎【解析】(1)∵ ‎ ‎∴ 1分 ‎∵ 2分 ‎∴ 1分 ‎(2)∵∴ 1分 ‎ ∵ ∴ 1分 ‎∵//∴ 1分 ‎∵∴ 1分 ‎∴四边形是矩形 1分 ‎∵ 1分 ‎∴∴ 1分 ‎∴四边形是正方形 1分 例51:如图,在梯形中,∥,平分,平分线交于,联结.‎ ‎(1)求证:四边形是菱形;‎ ‎(2)当=60°,时,证明:梯形是等腰梯形.‎ ‎【解析】(1)∵∥,∴,‎ 又∵,∴.‎ ‎∴. (2分)‎ 同理有. (1分)‎ ‎∴.‎ 又∵∥.‎ ‎∴四边形为平行四边形. (2分)‎ 又∵.‎ ‎∴为菱形. (1分)‎ ‎(2)∵,,‎ ‎ ∴△为等边三角形. (2分)‎ ‎ ∴.‎ ‎ 又∵,∥.‎ ‎ ∴四边形为平行四边形. (2分)‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴梯形是等腰梯形. (2分)‎ ‎【题型二:比例线段的证明】‎ 例1:已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AC、AB上,DA=DB,BD与CE相交于点F,∠AFD=∠BEC.‎ 求证:(1)AF=CE;‎ ‎ (2).‎ ‎【解析】(1)∵,‎ ‎∴∠ =∠, 2分 ‎ ‎∵∠=∠,‎ ‎∴180º-∠ =180º-∠,‎ 即∠ =∠. 2分 ‎ ‎∵,‎ ‎∴△≌△. 1分 ‎ ‎∴. 1分 ‎ ‎(2)∵△≌△,‎ ‎∴. 1分 ‎ ‎∵∠ =∠,∠=∠,‎ ‎∴△∽△. 2分 ‎ ‎∴. 1分 ‎ ‎∴. 1分 ‎ ‎∵,,‎ ‎∴. 1分 ‎ 例2:点是正方形边上的一点(不与、重合),点在边的延长线上,且满足.联结,点、分别是与、的交点.‎ ‎(1)求的度数;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎【解析】(1)在正方形ABCD中,∠B=∠ADC=∠BAD=90°,AB=AD 1分 ‎ ∴DF=BE,∠B=∠ADF=90°,AB=AD,∴△ABE≌△ADF 1分 ‎ ∴AE=AF,∠BAE=∠DAF 2分 ‎ ∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90° 1分 ‎ ∵AE=AF,∴∠AFE=∠AEF ‎ ∴∠AFE=∠AEF= 1分 ‎ (2)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACD=45° 1分 ‎ ∵∠AEF=45°,∴∠AEF=∠ACF 1分 ‎ 又∵∠AME=∠FMC 1分 ‎ ∴△ABE≌△ADF 2分 ‎ ∴ 1分 ‎【题型三:其它】‎ 例1:如图,△中,,是边上一点,点、分别是线段、中点,联结、、.‎ ‎(1)求证:△≌△;‎ ‎(2)联结,当时,求证:.‎ ‎ ‎ ‎【解析】(1)考察了中位线;斜边中线等于斜边一半;等腰、平行得到角平分线(S.A.S)‎ ‎(2)四边形CFED是平行四边形(平行且相等),所以DE=CF=AF 例2:如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F。 ‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若M、N分别是AB、AD中点,且∠B=60°,求证:EM//FN.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】(1)△ABE∽△AFD ‎(2)延长EM、DA交于点P,证明∠P=∠FND=60°‎ 例3:如图,已知在正方形ABCD中,点E在CD边上,过C点作AE的垂线交于点F,联结DF,过点D作DF的垂线交AF于点G,联结BG.‎ ‎(1)求证:△ADG≌△CDF;‎ ‎(2)如果E为CD的中点,求证:BG⊥AF.‎ ‎【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形 ‎∴AD=DC,∠ADC=90° 2分 ‎∵GD⊥DF,∴∠GDF=90°‎ ‎∴∠ADG=∠CDF 1分 ‎∵CF⊥AF,∴∠AFC=90°,∴∠CFD=90°+∠DFG 1分 ‎∵∠AGD=∠GDF+∠DFG=90°+∠DFG ‎∴∠AGD=∠CFD 1分 ‎∴△ADG≌△CDF 1分 ‎(2)∵∠ADE=∠EFC,∠DEA=∠FEC,∴△ADE∽△CFE,∴ 1分 ‎∵E为CD的中点,∴,∴,∴‎ ‎∵△ADG≌△CDF,∴FC=AG,∴,∵,∴ 1分 ‎∵AB∥EC,∴∠FEC=∠GAB 1分 ‎∴△EFC∽△AGB 1分 ‎∴∠EFC=∠AGB=90° 1分 ‎∴BG⊥AF 1分 三、专题过关 检测题1:己知:如图,在菱形中,点、分别在边、,∠ =∠,与交于点.‎ ‎(1)求证:‎ ‎(2)当要=时,求证:四边形是平行四边形.‎ ‎【解析】2012年中考23题 ‎(1)利用△ABE≌△ADF(A.S.A)‎ ‎(2)∵AD∥BC,∴‎ ‎∴GF∥BE,易证GB=BE ‎∴四边形BEFG是平行四边形 检测题2:如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,BE、AD相交于点G,EF∥AD交BC于点F, 且,联结FG。‎ ‎(1)求证:FG∥CE;‎ ‎(2)设∠BAD=∠C,求证:四边形AGFE是菱形。‎ ‎【解析】(1)∵,‎ ‎∴. 1分 ‎∵∥,‎ ‎∴. 2分 ‎∴. 1分 ‎∴∥. 1分 ‎(2)联结,交于点 ‎∵,‎ ‎,‎ ‎∴△∽△. 1分 ‎∴.即. 1分 ‎∵,‎ ‎∴. 1分 ‎∵∥,∥,‎ ‎∴四边形是平行四边形. 1分 ‎∴. 1分 又∵,‎ ‎∴. 1分 由四边形是平行四边形,‎ 可得四边形是菱形. 1分 检测题3: 如图,在正方形中,为对角线上一点,联结、,延长交于点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)当时,求证:.‎ ‎【解析】(1)∵四边形是正方形,∴,且 (2分)‎ 又∵是公共边,∴△≌△, (2分)‎ ‎∴∠ =∠ (1分)‎ ‎(2)联结 (1分)‎ ‎∵,‎ ‎∴∠ =∠ (1分)‎ ‎∵∠=∠,∠ =∠,‎ ‎∴∠=∠.‎ ‎∵∠+∠=∠+∠,‎ ‎∴∠=∠ (1分)‎ ‎∵四边形是正方形,‎ ‎∴∠=∠ =45°,∠=∠= 45°,‎ ‎∴∠=∠ (1分)‎ ‎∴∠=∠. (1分)‎ 又∵∠是公共角,∴△∽△, (1分)‎ ‎∴,即 (1分)‎ 检测题4: 如图,在梯形中,,,,点在对角线上,作,连接,且满足.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)当时,试判断四边形的形状,并说明理由.‎ ‎【解析】(1)∵, ‎ ‎∴ (1分)‎ ‎∵,‎ ‎∴≌ (1分)‎ ‎∴ (1分)‎ ‎∵,‎ ‎∴ (1分)‎ ‎∴,‎ ‎∴ (1分)‎ ‎∴ (1分)‎ ‎(2)四边形是正方形 (1分)‎ ‎∵,‎ ‎∴, ‎ ‎∴ (2分)‎ ‎ ∵ ‎ ‎∴∽ (1分)[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎ ∴ (1分)‎ ‎ ∵, ‎ ‎∴四边形是矩形 (1分)‎ ‎ ∵, ‎ ‎∴四边形是正方形 检测题5: 如图,在正方形中,点在对角线上,点在边上,联结、,交对角线于点,且;‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:∥;‎ ‎【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AD=CD. 1分 ‎∴.1分 ‎∵DE=DG,∴. 1分 ‎∴. 1分 在△AED与△CGD中,‎ ‎,,AD=CD,‎ ‎∴△AED≌△CGD. 1分 ‎∴AE=CG. 1分 ‎ (2) ∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AD//BC. 1分 ‎∴. 1分 ‎∵AE=CG.∴,‎ 即CE =AG. 1分 ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AD=BC. 1分 ‎∴. 1分 ‎∴BE//DF. 1分 一、能力培养 例1:如图,在中,,,点在边上(点与点、不重合),交边与点,点在线段上,且,以、为邻边作平行四边形联结.‎ ‎ (1)当时,求的面积;‎ ‎ (2)设,的面积为,求与的函数关系式,并写出的取值范围;‎ ‎ (3)如果是以为腰的等腰三角形,求的值.‎ ‎【解析】(1)作于,在中,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴ ‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴ (1分)‎ ‎∵,∴∽,‎ ‎∴ (1分)‎ ‎∵, ,‎ ‎∴, (1分)‎ ‎∴,‎ ‎∴ (1分)‎ ‎(2)设交、于点、‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴ (1分)‎ ‎∵,‎ ‎∴ (1分)‎ ‎∴‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ (2分)‎ ‎(3)作 ‎ 在中,‎ ‎ ∴, ‎ ‎∴‎ ‎ ∴ (2分)‎ ‎ 在中,,‎ ‎①若,则,解得 (2分)‎ ‎②若,则 ‎ 解得 (2分)‎ ‎∴‎ 例2:如图1,在△中,,,,点是边上任意一点,过点作 交于点,截取,联结,线段交于点,设,.‎ ‎(1)求关于的函数解析式及定义域; ‎ ‎(2)如图2,联结,当△和△相似时,求的值; ‎ ‎(3)当以点为圆心,为半径的⊙和以点为圆心,为半径的⊙相交的另一个交点在边 上时,求的长. ‎ ‎【解析】(1)过点作,垂足为.‎ 由题意,可知是等腰直角三角形,‎ ‎∴. 1分 ‎ 易得∽.‎ ‎∴.‎ 设,.‎ ‎∴.‎ ‎∴,.‎ ‎∴. 1分 ‎ ‎∴. 1分 ‎ 定义域是:≤≤. 1分 ‎ ‎(注:其它解法参照评分.)‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴当和相似时,分以下两种情况: 1分 ‎ ‎ 当时,∴∥,易得四边形是正方形;‎ ‎ ∴. 2分 ‎ ‎ 当时,∴,‎ ‎ 由上述(1)的解法,可得,‎ ‎∴,‎ ‎∴;‎ ‎∴,解得. 2分 ‎ 综合,当和相似时,的值为或.‎ ‎(3)如图,设⊙与⊙相交的另一个交点为,联结交于点.‎ ‎∴,.易得∽,∽.‎ ‎∴.‎ 设,.‎ ‎∴. 1分 ‎ ∴,‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴. 1分 ‎ ‎ 又,‎ ‎∴.‎ 解得. 2分 ‎ ‎∴. 1分 作业1:已知:如图,在□中,点、分别是、的中点,、与对角线分别相交于点、.‎ ‎(1)求证:==;‎ ‎(2)如果⊥,求证:四边形是菱形.‎ ‎【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB//CD,AB=CD. (1分)‎ ‎∵点E、F分别是AB、CD的中点,‎ ‎∴. (2分)‎ ‎∴DH=. (1分)‎ ‎ 同理:BG=. (1分)‎ ‎ ∴DH=HG=GB=. (1分)‎ ‎(2)联结EF,交BD于点O. (1分)‎ ‎∵AB//CD,AB=CD,点E、F分别是AB、CD的中点,‎ ‎∴. (1分)‎ ‎∴FO=EO,DO=BO. (1分)‎ ‎∵DH=GB,∴OH=OG.∴四边形EGFH是平行四边形. (1分)‎ ‎∵点E、O分别是AB、BD的中点,∴OE//AD.‎ ‎∵AD⊥BD,∴EF⊥GH. (1分)‎ ‎∴□HEGF是菱形. (1分)‎ 作业2:如图,已知,.‎ ‎(1)求证:四边形为平行四边形;‎ ‎(2)联结GD,若GB=GD,求证:四边形ABCD为菱形.‎ ‎【解析】(1)∵ED∥BC ‎ ∴ 1分 ‎ ∵,∴‎ ‎ ∴ 2分 ‎ ∴AB∥CF,即AB∥CD 2分 ‎ 又∵ED∥BC ‎ ∴四边形ABCD是平行四边形 1分 ‎ (2)联结BD交AC于点O 1分 ‎ ∵四边形ABCD为平行四边形 ‎ ∴BO=DO 2分 ‎ ∵GB=GD,∴OG⊥BD即AC⊥BD 2分 ‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ∴四边形ABCD是菱形 1分 作业3:如图,已知是等边三角形,点是延长线上的一个动点,以为边作等边,过点作的平行线,分别交、的延长线于点,联结.‎ ‎(1)求证:△△;‎ ‎(2)如果,判断四边形的形状,并说明理由.‎ ‎【解析】(1)∵ 为等边三角形,‎ ‎∴,∠ =∠=60°. 1分 ‎ ‎∵∠ +∠= 60°,‎ ‎∠+∠ = 60°,‎ ‎ ∴∠=∠. 2分 ‎ ‎ ∴. 3分 ‎ ‎(2)∵, ‎ ‎∴∠ =∠, ‎ ‎. 1分 ‎∵∠ =∠=60°‎ ‎∴ ∠=∠=∠=120° ‎ ‎∴∠=60°‎ ‎∴∠+∠=180° ‎ ‎∴∥. 2分 ‎ ‎∵∥,‎ ‎∴四边形是平行四边形. 1分 ‎ ‎∵, ‎ ‎∴. 1分 ‎ ‎∴四边形平行四边形是菱形. 1分 ‎ 作业4:已知,如图,△ABC是等边三角形,过AC边上的点D作DG∥BC,交AB于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=DC,联结AE、BD。‎ (1) 求证:△AGE≌△DAB;‎ (2) 延长BD交AE于点M,求证:。‎ ‎【解析】(1)∵△是等边三角形,‎ ‎∴AB=AC=BC, ‎ ‎∵DG∥BC,∴AG:AB=AD:AC=GD:BC, ‎ ‎∴AG=AD=GD,----------------------------------------------------------------------------3分 ‎∴∠DGA=∠GAD=∠ADG,-------------------------------------------------------------1分 ‎∵DE=DC,∴DE+ GD=DC+ AD,即GE=AC,∴GE= AB,-----------------1分 ‎∴在△AGE和△DAB中,,∴△AGE≌△DAB-----------1分 ‎(2)∵△AGE≌△DAB,∴∠GAE=∠ADB,‎ ‎∵∠GAD=∠ADG,∴∠DAE=∠GDB,‎ 又∵∠GDB=∠EDM,∴∠DAE=∠EDM,‎ ‎∵∠E=∠E,∴△EDM∽△EAD,-------------------------------------------------3分 ‎∴ED:EA=EM:ED,即-------------------------------------------1分 ‎∵AG=AD,AB=AC,∴BG=DC,‎ ‎∵DE=DC,∴BG=DE,-------------------------------------------------------------1分 ‎∴---------------------------------------------------------------------1分 作业5:已知:如图,线段∥,,、相交于点,、分别是线段和的中点.‎ ‎(1)求证:∥;‎ ‎(2)如果和的延长线相交于点,、分别是线段和的中点,求证:.‎ ‎【解析】‎