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- 2021-05-10 发布
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志航教育学科教师辅导讲义
学员编号: 年 级: 课 时 数:
学员姓名: 辅导科目: 学科教师:
教学内容
限速训练
一、选择题::(本大题共 6题,每题 4分,满分 24分)
1..下列计算正确的是( )
.; .; .; ..
2..关于的方程根的情况是( )
.有两个不相等的实根; .有两个相等的实根;
.没有实数根; .不能确定.
3..已知反比例函数的图像上有两点,,且,那么下列结论中,正确的是( )
.; .;
.; .与之间的大小关系不能确定.
4..如果一组数据,,…,的方差,那么下列结论一定正确的是( )
.这组数据的平均数; .;
.; ..
5..若一个多边形的内角和等于,则这个多边形的边数是( )
.8; .7; .6; .5.
6..一个正多边形绕它的中心旋转36°后,就与原正多边形第一次重合,那么这个正多边形( )
.是轴对称图形,但不是中心对称图形;
.是中心对称图形,但不是轴对称图形;
.既是轴对称图形,又是中心对称图形;
.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形.
二、填空题::(本大题共 12题,每题 4分,满分 48分)
7..分解因式 .
8.的平方根 .
9..计算:
10..已知,当时, .
11..如果将抛物线向左平移2个单位,再向上平移3个单位,那么平移后的抛物线表达式是 .
12..已知,那么 .
13.某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问孤寡老人,如果给每位老人分5盒牛奶,则剩下38盒牛奶。如设敬老院有名老人,则这批牛奶共有 盒.(用含的代数式表示)
14.有三张大小、形状完全相同的卡片,卡片上分别写有数字1、2、3,从这三张卡片中随机同时抽取两张,用抽出的卡片上的数字组成两位数,这个两位数是偶数的概率是 .
15.如图,梯形中,∥,, ,,请用向量
表示向量 .
16.已知两圆的圆心距为,其中一个圆的半径长为,那么当两圆内切时,另一圆的半径为 .
17.将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”,“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面线”,例如圆的直径就是它的“面线”.已知等边三角形的边长为2,则它的“面线”长可以是 (写出2个).
18.如图,在△中,∠,点为的中点,,,△沿着翻折后,点落到点,那么的长为 .
三、解答题:(本大题共7题,满分78分)
19.(本题满分10分)
先化简,再求值:,其中.
20.(本题满分10分)
解不等式组:并把它的解集在数轴上表示出来.
参考答案:
一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)
1.; 2.; 3.;4.;5.;6..
二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.;8.;9.;10.3;11.;12.1或-2;13.;14.;15.;16.7;17.或;18.7.
三、解答题(本大题共七题,19—22题每题10分,23、24题每题12分,25题14分,满分78分)
19. (原式=.)
20..
几何证明
一、专题知识梳理
(一)平行四边形
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形的性质定理1:如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别相等.
简述为:平行四边形的对边相等.
平行四边形的性质定理2:如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分别相等.
简述为:平行四边形的对角相等.
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行四边形的性质定理3:如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两条对角线互相平分.
简述为:平行四边形的两条对角线互相平分.
平行四边形的性质定理4:平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点.
3.平行四边形的判定定理1:如果一个四边形的两组对边分别相等,那么这个四边形是平行四边形.
简述为:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理2:如果一个四边形的一组对边平行且相等,那么这个四边形是平行四边形.
简述为:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理3:如果一个四边形的两条对角线互相平分,那么这个四边形是平行四边形.
简述为:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理4:如果一个四边形的两组对角分别相等,那么这个四边形是平行四边形.
简述为:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
(二)特殊的平行四边形
1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2.矩形的性质定理1:矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理2:矩形的两条对角线相等.
菱形的性质定理1:菱形的四条边都相等.
菱形的性质定理2:菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
正方形的性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
正方形的性质定理2:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直,每条对角线平分一组对角.
3.矩形判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形.
菱形判定定理1:四条边都相等的四边形是菱形.
菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(三)23题常考题型要点
1. 通常第一小问用全等三角形的证明;
2. 通常第二小问用到相似三角形的证明;
3. 通常第一小问的结论和方法用到第二小问。
二、专题精讲
【题型一:四边形的证明】
例1:如图,在梯形中,∥,,对角线与交于点,,垂足是.
(1)求证:是的中点;
(2)若在线段上存在点,使得四边形为平行四边形.求证:四边形是平行四边形.
【解析】(1)∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,
∴AC=BD,又BC=CB
∴△ABC≌△DCB 3分
∴∠ACB=∠DBC
∵OE⊥BC,E是垂足
∴E是BC的中点 3分
(2)∵四边形AOEP为平行四边形
∴AO∥EP,AO=EP 1分
∵E是BC的中点
∴PE=OC 2分
∵AD∥BC
∴ 2分
∴AD=BE,又AD∥BE
∴四边形ABED是平行四边形 1分
例2:已知,如图,Rt△和Rt△中,,且与共线,联结,点为中点,联结,交于点,联结,交于点;
(1)求证:;
(2)当,时,求证:四边形为矩形;
【解析】(1)方法一:取BD中点P,联结MP,------------------------------------------------(1分)
∵∠ABC=∠CDE =,∴∠ABC+∠CDE =,∴AB//ED,-------------------------(1分)
∵点M为AE中点,点P为BD中点,∴MP//AB,-------------------------------------------(1分)
∴∠MPD=∠ABC=,即MP⊥BD,∴MP为线段BD的垂直平分线,--------------(1分)
∴MB=MD-----------------------------------------------------------------------------------------------(1分)
方法二:延长BM,与DE的延长线交于点T,------------------------------------------------(1分)
∵∠ABC=∠CDE =,∴∠ABC+∠CDE =,∴AB//ED,
∴∠ABM=∠MTE,
又∵∠AMB=∠EMT,点M为AE中点,∴△AMB≌△EMT,---------------------------------(1分)
∴BM=TM,------------------------------------------------------------------------------------------(1分)
∵∠CDE =,∴ED⊥BD,∴DM=BT,--------------------------------------------------(1分)
∴DM=BM。---------------------------------------------------------------------------------------------(1分)
(2)方法一:取BD中点P,联结MP,∴BP=BC=(BC+CD),
∵AB//ED,点M为AE中点,∴MP =(AB+DE),
∵AB=BC,DC=DE,∴BP= MP,-----------------------------------------------------------------(2分)
∵MP⊥BD,∴∠MBP =,--------------------------------------------------------------------(1分)
又∵DC=DE,∠CDE =,∴∠ECD=,∴BM//CE
同理DM//AC,∴四边形MGCH为平行四边形,-----------------------------------------------(2分)
∵AB=BC,∠ABC=,∴∠ACB=,同理∠ECD=,∴∠ACE=,-----(1分)
∴四边形MGCH为矩形--------------------------------------------------------------------------------(1分)
方法二:延长BM,与DE的延长线交于点T,
∵△AMB≌△EMT,∴AB=ET,∵AB=BC,∴BC= TE,----------------------------------------(1分)
∵DC=DE,∴,∴CE//BT-------------------------------------------------------------(1分)
∴∠BMD+∠MHC=,
∵BC= TE,DC=DE,∴BC+DC=TE+DE,即BD=TD,
∵BM=TM,∴DM⊥BT,即∠BMD=,----------------------------------------------------(2分)
∴∠MHC=,---------------------------------------------------------------------------------------(1分)
又∵AB=BC,∠ABC=,∴∠ACB=,同理∠ECD=,∴∠ACE=,--(1分)
∴四边形MGCH为矩形-------------------------------------------------------------------------------(1分)
例3:已知:如图,在梯形中,∥,点是的中点,是上的点,联结、、.
(1)求证:
(2)若点是的中点,联结交于点,求证:四边形是菱形.
【解析】(1)∵点是的中点,
∴.
又∵,
∴. 1分
∵∥,
∴四边形为平行四边形. 1分
∴∥, 1分
∴即. 1分
(2)∵点是的中点,是上的点,
∴∥且. 1分
又∵∥,
∴四边形为平行四边形. 1分
∵AD平行且等于BE,
∴ 四边形是平行四边形. 1分
又∵,
∴ 四边形是矩形. 1分
∴ 且2分
∴,
∴四边形是菱形 2分
例4:已知:如图,在中中,,,点在边上,延长至点,使,延长交于,过点作//,交于点,在上取一点,使.
(1)求证:;
(2) 求证:四边形是正方形.
【解析】(1)∵
∴ 1分
∵ 2分
∴ 1分
(2)∵∴ 1分
∵ ∴ 1分
∵//∴ 1分
∵∴ 1分
∴四边形是矩形 1分
∵ 1分
∴∴ 1分
∴四边形是正方形 1分
例51:如图,在梯形中,∥,平分,平分线交于,联结.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)当=60°,时,证明:梯形是等腰梯形.
【解析】(1)∵∥,∴,
又∵,∴.
∴. (2分)
同理有. (1分)
∴.
又∵∥.
∴四边形为平行四边形. (2分)
又∵.
∴为菱形. (1分)
(2)∵,,
∴△为等边三角形. (2分)
∴.
又∵,∥.
∴四边形为平行四边形. (2分)
∴.
∴.
∴梯形是等腰梯形. (2分)
【题型二:比例线段的证明】
例1:已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AC、AB上,DA=DB,BD与CE相交于点F,∠AFD=∠BEC.
求证:(1)AF=CE;
(2).
【解析】(1)∵,
∴∠ =∠, 2分
∵∠=∠,
∴180º-∠ =180º-∠,
即∠ =∠. 2分
∵,
∴△≌△. 1分
∴. 1分
(2)∵△≌△,
∴. 1分
∵∠ =∠,∠=∠,
∴△∽△. 2分
∴. 1分
∴. 1分
∵,,
∴. 1分
例2:点是正方形边上的一点(不与、重合),点在边的延长线上,且满足.联结,点、分别是与、的交点.
(1)求的度数;
(2)求证:.
【解析】(1)在正方形ABCD中,∠B=∠ADC=∠BAD=90°,AB=AD 1分
∴DF=BE,∠B=∠ADF=90°,AB=AD,∴△ABE≌△ADF 1分
∴AE=AF,∠BAE=∠DAF 2分
∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90° 1分
∵AE=AF,∴∠AFE=∠AEF
∴∠AFE=∠AEF= 1分
(2)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACD=45° 1分
∵∠AEF=45°,∴∠AEF=∠ACF 1分
又∵∠AME=∠FMC 1分
∴△ABE≌△ADF 2分
∴ 1分
【题型三:其它】
例1:如图,△中,,是边上一点,点、分别是线段、中点,联结、、.
(1)求证:△≌△;
(2)联结,当时,求证:.
【解析】(1)考察了中位线;斜边中线等于斜边一半;等腰、平行得到角平分线(S.A.S)
(2)四边形CFED是平行四边形(平行且相等),所以DE=CF=AF
例2:如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F。
(1)求证:;
(2)若M、N分别是AB、AD中点,且∠B=60°,求证:EM//FN.
【解析】(1)△ABE∽△AFD
(2)延长EM、DA交于点P,证明∠P=∠FND=60°
例3:如图,已知在正方形ABCD中,点E在CD边上,过C点作AE的垂线交于点F,联结DF,过点D作DF的垂线交AF于点G,联结BG.
(1)求证:△ADG≌△CDF;
(2)如果E为CD的中点,求证:BG⊥AF.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形
∴AD=DC,∠ADC=90° 2分
∵GD⊥DF,∴∠GDF=90°
∴∠ADG=∠CDF 1分
∵CF⊥AF,∴∠AFC=90°,∴∠CFD=90°+∠DFG 1分
∵∠AGD=∠GDF+∠DFG=90°+∠DFG
∴∠AGD=∠CFD 1分
∴△ADG≌△CDF 1分
(2)∵∠ADE=∠EFC,∠DEA=∠FEC,∴△ADE∽△CFE,∴ 1分
∵E为CD的中点,∴,∴,∴
∵△ADG≌△CDF,∴FC=AG,∴,∵,∴ 1分
∵AB∥EC,∴∠FEC=∠GAB 1分
∴△EFC∽△AGB 1分
∴∠EFC=∠AGB=90° 1分
∴BG⊥AF 1分
三、专题过关
检测题1:己知:如图,在菱形中,点、分别在边、,∠ =∠,与交于点.
(1)求证:
(2)当要=时,求证:四边形是平行四边形.
【解析】2012年中考23题
(1)利用△ABE≌△ADF(A.S.A)
(2)∵AD∥BC,∴
∴GF∥BE,易证GB=BE
∴四边形BEFG是平行四边形
检测题2:如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,BE、AD相交于点G,EF∥AD交BC于点F, 且,联结FG。
(1)求证:FG∥CE;
(2)设∠BAD=∠C,求证:四边形AGFE是菱形。
【解析】(1)∵,
∴. 1分
∵∥,
∴. 2分
∴. 1分
∴∥. 1分
(2)联结,交于点
∵,
,
∴△∽△. 1分
∴.即. 1分
∵,
∴. 1分
∵∥,∥,
∴四边形是平行四边形. 1分
∴. 1分
又∵,
∴. 1分
由四边形是平行四边形,
可得四边形是菱形. 1分
检测题3: 如图,在正方形中,为对角线上一点,联结、,延长交于点.
(1)求证:;
(2)当时,求证:.
【解析】(1)∵四边形是正方形,∴,且 (2分)
又∵是公共边,∴△≌△, (2分)
∴∠ =∠ (1分)
(2)联结 (1分)
∵,
∴∠ =∠ (1分)
∵∠=∠,∠ =∠,
∴∠=∠.
∵∠+∠=∠+∠,
∴∠=∠ (1分)
∵四边形是正方形,
∴∠=∠ =45°,∠=∠= 45°,
∴∠=∠ (1分)
∴∠=∠. (1分)
又∵∠是公共角,∴△∽△, (1分)
∴,即 (1分)
检测题4: 如图,在梯形中,,,,点在对角线上,作,连接,且满足.
(1)求证:;
(2)当时,试判断四边形的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵,
∴ (1分)
∵,
∴≌ (1分)
∴ (1分)
∵,
∴ (1分)
∴,
∴ (1分)
∴ (1分)
(2)四边形是正方形 (1分)
∵,
∴,
∴ (2分)
∵
∴∽ (1分)[来源:Z,xx,k.Com]
∴ (1分)
∵,
∴四边形是矩形 (1分)
∵,
∴四边形是正方形
检测题5: 如图,在正方形中,点在对角线上,点在边上,联结、,交对角线于点,且;
(1)求证:;
(2)求证:∥;
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD. 1分
∴.1分
∵DE=DG,∴. 1分
∴. 1分
在△AED与△CGD中,
,,AD=CD,
∴△AED≌△CGD. 1分
∴AE=CG. 1分
(2) ∵四边形ABCD是正方形,
∴AD//BC. 1分
∴. 1分
∵AE=CG.∴,
即CE =AG. 1分
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC. 1分
∴. 1分
∴BE//DF. 1分
一、能力培养
例1:如图,在中,,,点在边上(点与点、不重合),交边与点,点在线段上,且,以、为邻边作平行四边形联结.
(1)当时,求的面积;
(2)设,的面积为,求与的函数关系式,并写出的取值范围;
(3)如果是以为腰的等腰三角形,求的值.
【解析】(1)作于,在中,
∵,
∴,
∴
∵,
∴,
∴ (1分)
∵,∴∽,
∴ (1分)
∵, ,
∴, (1分)
∴,
∴ (1分)
(2)设交、于点、
∵,
∴
∵,
∴ (1分)
∵,
∴ (1分)
∴
∴
∴ (2分)
(3)作
在中,
∴,
∴
∴ (2分)
在中,,
①若,则,解得 (2分)
②若,则
解得 (2分)
∴
例2:如图1,在△中,,,,点是边上任意一点,过点作
交于点,截取,联结,线段交于点,设,.
(1)求关于的函数解析式及定义域;
(2)如图2,联结,当△和△相似时,求的值;
(3)当以点为圆心,为半径的⊙和以点为圆心,为半径的⊙相交的另一个交点在边
上时,求的长.
【解析】(1)过点作,垂足为.
由题意,可知是等腰直角三角形,
∴. 1分
易得∽.
∴.
设,.
∴.
∴,.
∴. 1分
∴. 1分
定义域是:≤≤. 1分
(注:其它解法参照评分.)
(2)∵,
∴当和相似时,分以下两种情况: 1分
当时,∴∥,易得四边形是正方形;
∴. 2分
当时,∴,
由上述(1)的解法,可得,
∴,
∴;
∴,解得. 2分
综合,当和相似时,的值为或.
(3)如图,设⊙与⊙相交的另一个交点为,联结交于点.
∴,.易得∽,∽.
∴.
设,.
∴. 1分
∴,
∴.
∵,
∴. 1分
又,
∴.
解得. 2分
∴. 1分
作业1:已知:如图,在□中,点、分别是、的中点,、与对角线分别相交于点、.
(1)求证:==;
(2)如果⊥,求证:四边形是菱形.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB//CD,AB=CD. (1分)
∵点E、F分别是AB、CD的中点,
∴. (2分)
∴DH=. (1分)
同理:BG=. (1分)
∴DH=HG=GB=. (1分)
(2)联结EF,交BD于点O. (1分)
∵AB//CD,AB=CD,点E、F分别是AB、CD的中点,
∴. (1分)
∴FO=EO,DO=BO. (1分)
∵DH=GB,∴OH=OG.∴四边形EGFH是平行四边形. (1分)
∵点E、O分别是AB、BD的中点,∴OE//AD.
∵AD⊥BD,∴EF⊥GH. (1分)
∴□HEGF是菱形. (1分)
作业2:如图,已知,.
(1)求证:四边形为平行四边形;
(2)联结GD,若GB=GD,求证:四边形ABCD为菱形.
【解析】(1)∵ED∥BC
∴ 1分
∵,∴
∴ 2分
∴AB∥CF,即AB∥CD 2分
又∵ED∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形 1分
(2)联结BD交AC于点O 1分
∵四边形ABCD为平行四边形
∴BO=DO 2分
∵GB=GD,∴OG⊥BD即AC⊥BD 2分
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形 1分
作业3:如图,已知是等边三角形,点是延长线上的一个动点,以为边作等边,过点作的平行线,分别交、的延长线于点,联结.
(1)求证:△△;
(2)如果,判断四边形的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵ 为等边三角形,
∴,∠ =∠=60°. 1分
∵∠ +∠= 60°,
∠+∠ = 60°,
∴∠=∠. 2分
∴. 3分
(2)∵,
∴∠ =∠,
. 1分
∵∠ =∠=60°
∴ ∠=∠=∠=120°
∴∠=60°
∴∠+∠=180°
∴∥. 2分
∵∥,
∴四边形是平行四边形. 1分
∵,
∴. 1分
∴四边形平行四边形是菱形. 1分
作业4:已知,如图,△ABC是等边三角形,过AC边上的点D作DG∥BC,交AB于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=DC,联结AE、BD。
(1) 求证:△AGE≌△DAB;
(2) 延长BD交AE于点M,求证:。
【解析】(1)∵△是等边三角形,
∴AB=AC=BC,
∵DG∥BC,∴AG:AB=AD:AC=GD:BC,
∴AG=AD=GD,----------------------------------------------------------------------------3分
∴∠DGA=∠GAD=∠ADG,-------------------------------------------------------------1分
∵DE=DC,∴DE+ GD=DC+ AD,即GE=AC,∴GE= AB,-----------------1分
∴在△AGE和△DAB中,,∴△AGE≌△DAB-----------1分
(2)∵△AGE≌△DAB,∴∠GAE=∠ADB,
∵∠GAD=∠ADG,∴∠DAE=∠GDB,
又∵∠GDB=∠EDM,∴∠DAE=∠EDM,
∵∠E=∠E,∴△EDM∽△EAD,-------------------------------------------------3分
∴ED:EA=EM:ED,即-------------------------------------------1分
∵AG=AD,AB=AC,∴BG=DC,
∵DE=DC,∴BG=DE,-------------------------------------------------------------1分
∴---------------------------------------------------------------------1分
作业5:已知:如图,线段∥,,、相交于点,、分别是线段和的中点.
(1)求证:∥;
(2)如果和的延长线相交于点,、分别是线段和的中点,求证:.
【解析】