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- 2021-05-10 发布
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2019上海中考数学卷25题思路解析
如图,在⊙O中AB是直径,AB=2,点C,点D是圆上的两点,连结BD,AC交于E,OD⊥AC垂足为F.
(1) 如图11,若AC=DB,求弦AC的长.
(2) 如图12,E是DB的中点,求∠ABD的余切.
(3) 连结CB,DC,DA若CB是⊙O内接正n边形的一边,DC是是⊙O内接正(n+4)边形的一边,求三角形ADC的面积.
(1) ∵AC=DB,
∴弧ADC=弧BCD,
∴弧AD=弧BC,
则∠A=∠B;
又∵∠AOD=2∠B
∴∠AOD=2∠A,
则∠AOD+∠A=3∠A;
又∵OD⊥AC
∴∠AFO=900,
∴∠AOD+∠A=900,
∴3∠A=900,
∠A=300;
在Rt△AFO中,AO=1,
AF=AO×cos∠A=1×cos300=;
又∵OD⊥AC
∴AC=2 AF =
(2)连结CB,OE,
∵AB为直径,
∴3∠C=900,
又∵∠DFE=900;
易证得△BCE≌△DFE,
∴BC=DF;
又∵是△ABC的中位线,
∴BC=2OF,
则DO=3OF,
又∵DO=1
∴OF=,DF=
由垂径定理推论,OE⊥BD
∴在Rt△DEO中,
易证得Rt△DFE∽Rt△EFO,
∴EF2=OF×DF=,
则EF=;
又∵∠ABD=∠D,
cot∠ABD=cot∠D==
(3)
为了方便研究问题,我们省略线段BD,标注了α,β,α
在Rt△AFO中,
α+∠AOF=900;
∠AOF=1800-α-β
∴β+α=900
连结OC,
根据⊙O内接正n边形的中心角公式,
α= ,β= ;
∴+·=90
解得,n=4 ,n=-2(舍去);
此时得α=900 ,β=450 ,
∴∠AOF=450 ,
为解题方便最好重新画图如下,
用割补法,S△ADC = S四AOCD-S△AOC
易证得△AOD≌△COD,
∴S四AOCD=2S△ODC ,
S△ODC=OD·FC,
而FC=OC·sin450=,
∴S△ODC=·1·=,
则S四AOCD=2S△ODC
∵S△AOC=·1·1=
∴S△ADC = S四AOCD-S△AOC=