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- 2021-05-10 发布
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因动点产生的平行四边形问题
例1 2015年成都市中考第28题
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.
(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示);
(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为 ,求a的值;
(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
图1 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“15成都28”,拖动点E在直线AD上方的抛物线上运动,可以体验到,当EC⊥AC时,△ACE的面积最大.点击屏幕左下角的按钮“第(3)题”,拖动点H在y轴正半轴运动,观察点Q和Q′,可以看到点Q和点Q′都可以落在抛物线上.
思路点拨
1.过点E作x轴的垂线交AD于F,那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形.
2.以AD为分类标准讨论矩形,当AD为边时,AD与QP平行且相等,对角线AP=QD;当AD为对角线时,AD与PQ互相平分且相等.
满分解答
(1)由y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3),得A(-1, 0).
由CD=4AC,得xD=4.所以D(4, 5a).
由A(-1, 0)、D(4, 5a),得直线l的函数表达式为y=ax+a.
(2)如图1,过点E作x轴的垂线交AD于F.
设E(x, ax2-2ax-3a),F(x, ax+a),那么EF=yE-yF=ax2-3ax-4a.
由S△ACE=S△AEF-S△CEF=
===,
得△ACE的面积的最大值为.解方程,得.
(3)已知A(-1, 0)、D(4, 5a),xP=1,以AD为分类标准,分两种情况讨论:
①如图2,如果AD为矩形的边,那么AD//QP,AD=QP,对角线AP=QD.
由xD-xA=xP-xQ,得xQ=-4.
当x=-4时,y=a(x+1)(x-3)=21a.所以Q(-4, 21a).
由yD-yA=yP-yQ,得yP=26a.所以P(1, 26a).
由AP2=QD2,得22+(26a)2=82+(16a)2.
整理,得7a2=1.所以.此时P.
②如图3,如果AD为矩形的对角线,那么AD与PQ互相平分且相等.
由xD+xA=xP+xQ,得xQ=2.所以Q(2,-3a).
由yD+yA=yP+yQ,得yP=8a.所以P(1, 8a).
由AD2=PQ2,得52+(5a)2=12+(11a)2.
整理,得4a2=1.所以.此时P.
图1 图2 图3
考点伸展
第(3)题也可以这样解.设P(1,n).
①如图2,当AD时矩形的边时,∠QPD=90°,所以,即.
解得.所以P.所以Q.
将Q代入y=a(x+1)(x-3),得.所以.
②如图3,当AD为矩形的对角线时,先求得Q(2,-3a).
由∠AQD=90°,得,即.解得.
例2 2014年陕西省中考第24题
如图1,已知抛物线C:y=-x2+bx+c经过A(-3,0)和B(0, 3)两点.将这条抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.
(1)求抛物线C的表达式;
(2)求点M的坐标;
(3)将抛物线C平移到抛物线C′,抛物线C′的顶点记为M′,它的对称轴与x轴的交点记为N′.如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样平移?为什么?
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14陕西24”,拖动右侧的点M′上下运动,可以体验到,以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有四种情况.
思路点拨
1.抛物线在平移的过程中,M′N′与MN保持平行,当M′N′=MN=4时,以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形.
2.平行四边形的面积为16,底边MN=4,那么高NN′=4.
3.M′N′=4分两种情况:点M′在点N′的上方和下方.
4.NN′=4分两种情况:点N′在点N的右侧和左侧.
满分解答
(1)将A(-3,0)、B(0, 3)分别代入y=-x2+bx+c,得
解得b=-2,c=3.
所以抛物线C的表达式为y=-x2-2x+3.
(2)由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,得顶点M的坐标为(-1,4).
(3)抛物线在平移过程中,M′N′与MN保持平行,当M′N′=MN=4时,以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形.
因为平行四边形的面积为16,所以MN边对应的高NN′=4.
那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有4种情况:
抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′(如图2);
抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN′M′(如图2);
抛物线C先向右平移4个单位,再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′(如图3);
抛物线C先向左平移4个单位,再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′(如图3).
图2 图3
考点伸展
本题的抛物线C向右平移m个单位,两条抛物线的交点为D,那么△MM′D的面积S关于m有怎样的函数关系?
如图4,△MM′D是等腰三角形,由M(-1,4)、M′(-1+m, 4),可得点D的横坐标为.
将代入y=-(x+1)2+4,得.所以DH=.
所以S=.
图4
例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题
如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求tan∠ABO的值;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13松江24”,拖动点N在直线AB上运动,可以体验到,以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个,符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个.
请打开超级画板文件名“13松江24”,拖动点N在直线AB上运动,可以体验到,MN有4次机会等于3,这说明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个,而符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个.
思路点拨
1.第(2)题求∠ABO的正切值,要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形.
2.第(3)题解方程MN=yM-yN=BC,并且检验x的值是否在对称轴左侧.
满分解答
(1)将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y=-x2+bx+c,得
解得,c=1.
所以抛物线的解析式是.
(2)在Rt△BOC中,OC=4,BC=3,所以OB=5.
如图2,过点A作AH⊥OB,垂足为H.
在Rt△AOH中,OA=1,,
所以. 图2
所以,.
在Rt△ABH中,.
(3)直线AB的解析式为.
设点M的坐标为,点N的坐标为,
那么.
当四边形MNCB是平行四边形时,MN=BC=3.
解方程-x2+4x=3,得x=1或x=3.
因为x=3在对称轴的右侧(如图4),所以符合题意的点M的坐标为(如图3).
图3 图4
考点伸展
第(3)题如果改为:点M是抛物线上的一个点,直线MN平行于y轴交直线AB于N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
那么求点M的坐标要考虑两种情况:MN=yM-yN或MN=yN-yM.
由yN-yM=4x-x2,解方程x2-4x=3,得(如图5).
所以符合题意的点M有4个:,,,.
图5
例4 2012年福州市中考第21题
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD//BC,交AB于点D,联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒(t≥0).
(1)直接用含t的代数式分别表示:QB=_______,PD=_______;
(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ
在某一时刻为菱形,求点Q的速度;
(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ的中点M所经过的路径长.
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“12福州21”,拖动左图中的点P运动,可以体验到,PQ的中点M的运动路径是一条线段.拖动右图中的点Q运动,可以体验到,当PQ//AB时,四边形PDBQ为菱形.
请打开超级画板文件名“12福州21”,拖动点Q向上运动,可以体验到,PQ的中点M的运动路径是一条线段.点击动画按钮的左部,Q的速度变成1.07,可以体验到,当PQ//AB时,四边形PDBQ为菱形.点击动画按钮的中部,Q的速度变成1.
思路点拨
1.菱形PDBQ必须符合两个条件,点P在∠ABC的平分线上,PQ//AB.先求出点P运动的时间t,再根据PQ//AB,对应线段成比例求CQ的长,从而求出点Q的速度.
2.探究点M的路径,可以先取两个极端值画线段,再验证这条线段是不是点M的路径.
满分解答
(1)QB=8-2t,PD=.
(2)如图3,作∠ABC的平分线交CA于P,过点P作PQ//AB交BC于Q,那么四边形PDBQ是菱形.
过点P作PE⊥AB,垂足为E,那么BE=BC=8.
在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,所以AB=10. 图3
在Rt△APE中,,所以.
当PQ//AB时,,即.解得.
所以点Q的运动速度为.
(3)以C为原点建立直角坐标系.
如图4,当t=0时,PQ的中点就是AC的中点E(3,0).
如图5,当t=4时,PQ的中点就是PB的中点F(1,4).
直线EF的解析式是y=-2x+6.
如图6,PQ的中点M的坐标可以表示为(,t).经验证,点M(,t)在直线EF上.
所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长,EF=.
图4 图5 图6
考点伸展
第(3)题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数:
当t=2时,PQ的中点为(2,2).
设点M的运动路径的解析式为y=ax2+bx+c,代入E(3,0)、F(1,4)和(2,2),
得 解得a=0,b=-2,c=6.
所以点M的运动路径的解析式为y=-2x+6.
例5 2012年烟台市中考第26题
如图1,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12烟台26”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,当P在AB的中点时,△ACG的面积最大.观察右图,我们构造了和△CEQ中心对称的△FQE和△
ECH′,可以体验到,线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F,线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H′,因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个.
请打开超级画板文件名“12烟台26”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,当P在AB的中点时,即t=2,△ACG的面积取得最大值1.观察CQ,EQ,EC的值,发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个.点击动画按钮的左部和中部,可得菱形的两种准确位置。
思路点拨
1.把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形,高的和等于AD.
2.用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来.
3.构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形,再用邻边相等列方程验证菱形是否存在.
满分解答
(1)A(1, 4).因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,
代入点C(3, 0),可得a=-1.
所以抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.
(2)因为PE//BC,所以.因此.
所以点E的横坐标为.
将代入抛物线的解析式,y=-(x-1)2+4=.
所以点G的纵坐标为.于是得到.
因此.
所以当t=1时,△ACG面积的最大值为1.
(3)或.
考点伸展
第(3)题的解题思路是这样的:
因为FE//QC,FE=QC,所以四边形FECQ是平行四边形.再构造点F关于PE轴对称的点H′,那么四边形EH′CQ也是平行四边形.
再根据FQ=CQ列关于t的方程,检验四边形FECQ是否为菱形,根据EQ=CQ列关于t的方程,检验四边形EH′CQ是否为菱形.
,,,.
如图2,当FQ=CQ时,FQ2=CQ2,因此.
整理,得.解得,(舍去).
如图3,当EQ=CQ时,EQ2=CQ2,因此.
整理,得..所以,(舍去).
图2 图3
例6 2011年上海市中考第24题
已知平面直角坐标系xOy(如图1),一次函数的图象与y轴交于点A,点M在正比例函数的图象上,且MO=MA.二次函数
y=x2+bx+c的图象经过点A、M.
(1)求线段AM的长;
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图象上,点D在一次函数的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11上海24”,拖动点B在y轴上点A下方运动,四边形ABCD保持菱形的形状,可以体验到,菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上.
思路点拨
1.本题最大的障碍是没有图形,准确画出两条直线是基本要求,抛物线可以不画出来,但是对抛物线的位置要心中有数.
2.根据MO=MA确定点M在OA的垂直平分线上,并且求得点M的坐标,是整个题目成败的一个决定性步骤.
3.第(3)题求点C的坐标,先根据菱形的边长、直线的斜率,用待定字母m表示点C的坐标,再代入抛物线的解析式求待定的字母m.
满分解答
(1)当x=0时,,所以点A的坐标为(0,3),OA=3.
如图2,因为MO=MA,所以点M在OA的垂直平分线上,点M的纵坐标为.将代入,得x=1.所以点M的坐标为.因此.
(2)因为抛物线y=x2+bx+c经过A(0,3)、M,所以解得,
.所以二次函数的解析式为.
(3)如图3,设四边形ABCD为菱形,过点A作AE⊥CD,垂足为E.
在Rt△ADE中,设AE=4m,DE=3m,那么AD=5m.
因此点C的坐标可以表示为(4m,3-2m).将点C(4m,3-2m)代入,得.解得或者m=0(舍去).
因此点C的坐标为(2,2).
图2 图3
考点伸展
如果第(3)题中,把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”,那么还存在另一种情况:
如图4,点C的坐标为.
图4
例7 2011年江西省中考第24题
将抛物线c1:沿x轴翻折,得到抛物线c2,如图1所示.
(1)请直接写出抛物线c2的表达式;
(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.
①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;
②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11江西24”,拖动点M向左平移,可以体验到,四边形ANEM可以成为矩形,此时B、D重合在原点.观察B、D的位置关系,可以体验到,B、D是线段AE的三等分点,存在两种情况.
思路点拨
1.把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来,用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来.
2.B、D是线段AE的三等分点,分两种情况讨论,按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程.
3.根据矩形的对角线相等列方程.
满分解答
(1)抛物线c2的表达式为.
(2)抛物线c1:与x轴的两个交点为(-1,0)、(1,0),顶点为.
抛物线c2:与x轴的两个交点也为(-1,0)、(1,0),顶点为.
抛物线c1向左平移m个单位长度后,顶点M的坐标为,与x轴的两个交点为、,AB=2.
抛物线c2向右平移m个单位长度后,顶点N的坐标为,与x轴的两个交点为、.所以AE=(1+m)-(-1-m)=2(1+m).
①B、D是线段AE的三等分点,存在两种情况:
情形一,如图2,B在D的左侧,此时,AE=6.所以2(1+m
)=6.解得m=2.
情形二,如图3,B在D的右侧,此时,AE=3.所以2(1+m)=3.解得.
图2 图3 图4
②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形,那么AE=MN=2OM.而OM2=m2+3,所以4(1+m)2=4(m2+3).解得m=1(如图4).
考点伸展
第(2)题②,探求矩形ANEM,也可以用几何说理的方法:
在等腰三角形ABM中,因为AB=2,AB边上的高为,所以△ABM是等边三角形.
同理△DEN是等边三角形.当四边形ANEM是矩形时,B、D两点重合.
因为起始位置时BD=2,所以平移的距离m=1.