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2017年山东省青岛市中考数学试卷
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
1.(3分)(2017•青岛)﹣的相反数是( )
A.8 B.﹣8 C. D.﹣
【考点】14:相反数.菁优网版权所有
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号,求解即可.
【解答】解:﹣的相反数是,
故选:C.
【点评】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号:一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆.
2.(3分)(2017•青岛)下列四个图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】R5:中心对称图形;P3:轴对称图形.菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,符合题意;
B、是轴对称图形,也是中心对称图形,不合题意;
C、是轴对称图形,也是中心对称图形,不合题意;
D、不是轴对称图形,是中心对称图形,不合题意.
故选:A.
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
3.(3分)(2017•青岛)小明家1至6月份的用水量统计如图所示,关于这组数据,下列说法中错误的( )
A.众数是6吨 B.平均数是5吨 C.中位数是5吨 D.方差是
【考点】W7:方差;W1:算术平均数;W4:中位数;W5:众数.菁优网版权所有
【分析】根据众数、平均数、中位数和方差的定义计算各量,然后对各选项进行判断.
【解答】解:这组数据的众数为6吨,平均数为5吨,中位数为5.5吨,方差为.
故选C.
【点评】本题考查了方差:方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.也考查了平均数、众数、中位数.
4.(3分)(2017•青岛)计算6m6÷(﹣2m2)3的结果为( )
A.﹣m B.﹣1 C. D.﹣
【考点】4H:整式的除法;47:幂的乘方与积的乘方.菁优网版权所有
【分析】根据整式的除法法则即可求出答案.
【解答】解:原式=6m6÷(﹣8m6)
=﹣
故选(D)
【点评】本题考查整式的除法,解题的关键是熟练运用整式的除法法则,本题属于基础题型.
5.(3分)(2017•青岛)如图,若将△ABC绕点O逆时针旋转90°,则顶点B的对应点B1的坐标为( )
A.(﹣4,2) B.(﹣2,4) C.(4,﹣2) D.(2,﹣4)
【考点】R7:坐标与图形变化﹣旋转.菁优网版权所有
【分析】利用网格特征和旋转的性质,分别作出A、B、C的对应点A1、B1、C1,于是得到结论.
【解答】解:如图,点B1的坐标为(﹣2,4),
故选B.
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等.
6.(3分)(2017•青岛)如图,AB是⊙O的直径,点C,D,E在⊙O上,若∠
AED=20°,则∠BCD的度数为( )
A.100° B.110° C.115° D.120°
【考点】M5:圆周角定理.菁优网版权所有
【分析】连接AC,根据圆周角定理,可分别求出∠ACB=90°,∠ACD=20°,即可求∠BCD的度数.
【解答】解:连接AC,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠AED=20°,
∴∠ACD=20°,
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°,
故选B.
【点评】此题主要考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
7.(3分)(2017•青岛)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=,AC=2,BD=4,则AE的长为( )
A. B. C. D.
【考点】L5:平行四边形的性质.菁优网版权所有
【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形,所以平行四边形ABCD的面积即可求出.
【解答】解:∵AC=2,BD=4,四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=AC=1,BO=BD=2,
∵AB=,
∴AB2+AO2=BO2,
∴∠BAC=90°,
∵在Rt△BAC中,BC===
S△BAC=×AB×AC=×BC×AE,
∴×2=AE,
∴AE=,
故选D.
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质,能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键.
8.(3分)(2017•青岛)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(﹣1,﹣4),B(2,2)两点,P为反比例函数y=图象上一动点,O为坐标原点,过点P作y轴的垂线,垂足为C,则△PCO的面积为( )
A.2 B.4 C.8 D.不确定
【考点】
G5:反比例函数系数k的几何意义;F8:一次函数图象上点的坐标特征.菁优网版权所有
【分析】根据待定系数法,可得k,b,根据反比例函数图象上的点垂直于坐标轴得到的三角形的面积等于|k|的一半,可得答案.
【解答】解:将A(﹣1,﹣4),B(2,2)代入函数解析式,得
,
解得,
P为反比例函数y=图象上一动点,
反比例函数的解析式y=,
P为反比例函数y=图象上一动点,O为坐标原点,过点P作y轴的垂线,垂足为C,
则△PCO的面积为|k|=2,
故选:A.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,利用反比例函数图象上的点垂直于坐标轴得到的三角形的面积等于|k|的一半
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
9.(3分)(2017•青岛)近年来,国家重视精准扶贫,收效显著,据统计约65000000人脱贫,65000000用科学记数法可表示为 6.5×107 .
【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:65000000=6.5×107,
故答案为:6.5×107.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
10.(3分)(2017•青岛)计算:(+)×= 13 .
【考点】79:二次根式的混合运算.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题.
【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式,然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算即可.
【解答】解:原式=(2+)×
=×
=13.
故答案为13.
【点评】本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化简为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.
11.(3分)(2017•青岛)若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是 m>9 .
【考点】HA:抛物线与x轴的交点.菁优网版权所有
【分析】利用根的判别式△<0列不等式求解即可.
【解答】解:∵抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点,
∴△=b2﹣4ac<0,
∴(﹣6)2﹣4×1•m<0,
解得m>9,
∴m的取值范围是m>9.
故答案为:m>9.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题,利用根的判别式列出不等式是解题的关键.
12.(3分)(2017•青岛)如图,直线AB,CD分别与⊙O相切于B,D两点,且AB⊥CD,垂足为P,连接BD,若BD=4,则阴影部分的面积为 2π﹣4 .
【考点】MC:切线的性质;MO:扇形面积的计算.菁优网版权所有
【分析】连接OB、OD,根据切线的性质和垂直得出∠OBP=∠P=∠ODP=90°,求出四边形BODP是正方形,根据正方形的性质得出∠BOD=90°,求出扇形BOD和△BOD的面积,即可得出答案.
【解答】解:
连接OB、OD,
∵直线AB,CD分别与⊙O相切于B,D两点,AB⊥CD,
∴∠OBP=∠P=∠ODP=90°,
∵OB=OD,
∴四边形BODP是正方形,
∴∠BOD=90°,
∵BD=4,
∴OB==2,
∴阴影部分的面积S=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣=2π﹣4,
故答案为:2π﹣4.
【点评】本题考查了切线的性质、扇形的面积计算等知识点,能分别求出扇形BOD和△BOD的面积是解此题的关键.
13.(3分)(2017•青岛)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD.若∠BAD=58°,则∠EBD的度数为 32 度.
【考点】KP:直角三角形斜边上的中线.菁优网版权所有
【分析】根据已知条件得到点A,B,C,D在以E为圆心,AC为直径的同一个圆上,根据圆周角定理得到∠DEB=116°,根据直角三角形的性质得到DE=BE=AC,根据等腰三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴点A,B,C,D在以E为圆心,AC为直径的同一个圆上,
∵∠BAD=58°,
∴∠DEB=116°,
∵DE=BE=AC,
∴∠EBD=∠EDB=32°,
故答案为:32.
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质,圆周角定理,推出A,B,C,D四点共圆是解题的关键.
14.(3分)(2017•青岛)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正六边形,则该几何体的表面积为 48+12 .
【考点】U3:由三视图判断几何体.菁优网版权所有
【分析】观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱,然后根据提供的尺寸求得其表面积即可.
【解答】解:观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱,其底面边长为2,高为4,
故其边心距为,
所以其表面积为2×4×6+2××6×2×=48+12,
故答案为:48+12.
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识,解题的关键是能够根据三视图判断几何体的形状及各部分的尺寸,难度不大.
三、解答题(本大题共4分)
15.(4分)(2017•青岛)已知:四边形ABCD.
求作:点P,使∠PCB=∠B,且点P到边AD和CD的距离相等.
【考点】N2:作图—基本作图;KF:角平分线的性质.菁优网版权所有
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知:到边AD和CD的距离相等的点在∠ADC的平分线上,所以第一步作∠ADC的平分线DE,要想满足∠PCB=∠B,则作CP∥AB,得到点P.
【解答】解:作法:①作∠ADC的平分线DE,
②过C作CP∥AB,交DE于点P,
则点P就是所求作的点;
【点评】本题是作图题,考查了角平分线的性质、平行线的性质,熟练掌握角平分线上的点到角两边距离相等是关键.
三、解答题(本大题共9小题,共74分)
16.(8分)(2017•青岛)(1)解不等式组:
(2)化简:(﹣a)÷.
【考点】6C:分式的混合运算;CB:解一元一次不等式组.菁优网版权所有
【分析】(1)先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集即可;
(2)先算减法,把除法变成乘法,再根据分式的乘法法则进行计算即可.
【解答】解:(1)∵解不等式①得:x<﹣,
解不等式②得:x<﹣10,
∴不等式组的解集为x<﹣10;
(2)原式=÷
=•
=.
【点评】本题考查了分式的混合运算和解一元一次不等式组,能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解(1)的关键,能灵活运用分式的运算法则进行化简是解(2)的关键,注意运算顺序.
17.(6分)(2017•青岛)小华和小军做摸球游戏:A袋装有编号为1,2,3的三个小球,B袋装有编号为4,5,6的三个小球,两袋中的所有小球除编号外都相同.从两个袋子中分别随机摸出一个小球,若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数,则小华胜,否则小军胜,这个游戏对双方公平吗?请说明理由.
【考点】X7:游戏公平性;X6:列表法与树状图法.菁优网版权所有
【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与数字的差为偶数的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:不公平,
画树状图得:
∵共有9种等可能的结果,数字的差为偶数的有4种情况,
∴P(小华胜)=,P(小军胜)=,
∵≠,
∴这个游戏对双方不公平.
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.
18.(6分)(2017•青岛)某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动,他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查,并绘制成如图①,②的统计图,已知“查资料”的人数是40人.
请你根据以上信息解答下列问题:
(1)在扇形统计图中,“玩游戏”对应的圆心角度数是 126 度;
(2)补全条形统计图;
(3)该校共有学生1200人,估计每周使用手机时间在2小时以上(不含2小时)的人数.
【考点】VC:条形统计图;V5:用样本估计总体;VB:扇形统计图.菁优网版权所有
【专题】11 :计算题;541:数据的收集与整理.
【分析】(1)由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比,乘以360即可得到结果;
(2)求出3小时以上的人数,补全条形统计图即可;
(3)由每周使用手机时间在2小时以上(不含2小时)的百分比乘以1200即可得到结果.
【解答】解:(1)根据题意得:1﹣(40%+18%+7%)=35%,
则“玩游戏”对应的圆心角度数是360°×35%=126°;
故答案为:126;
(2)根据题意得:40÷40%=100(人),
∴3小时以上的人数为100﹣(2+16+18+32)=32(人),
补全条形统计图,如图所示:
(3)根据题意得:1200×64%=768(人),
则每周使用手机时间在2小时以上(不含2小时)的人数约有768人.
【点评】此题考查了条形统计图,扇形统计图,以及用样本估计总体,弄清题中的数据是解本题的关键.
19.(6分)(2017•青岛)如图,C地在A地的正东方向,因有大山阻隔,由A地到C地需绕行B地,已知B地位于A地北偏东67°方向,距离A地520km,C地位于B地南偏东30°方向,若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求A地到C地之间高铁线路的长.(结果保留整数)
(参考数据:sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,≈1.73)
【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题.菁优网版权所有
【分析】过点B作BD⊥AC于点D,利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长,进而可得出结论.
【解答】解:过点B作BD⊥AC于点D,
∵B地位于A地北偏东67°方向,距离A地520km,
∴∠ABD=67°,
∴AD=AB•sin67°=520×==480km,
BD=AB•cos67°=520×==200km.
∵C地位于B地南偏东30°方向,
∴∠CBD=30°,
∴CD=BD•tan30°=200×=,
∴AC=AD+CD=480+≈480+115=595(km).
答:A地到C地之间高铁线路的长为595km.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题,熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键.
20.(8分)(2017•青岛)A,B两地相距60km,甲、乙两人从两地出发相向而行,甲先出发,图中l1,l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系,请结合图象解答下列问题:
(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是 l2 (填l1或l2);
甲的速度是 30 km/h,乙的速度是 20 km/h;
(2)甲出发多少小时两人恰好相距5km?
【考点】FH:一次函数的应用.菁优网版权所有
【分析】(1)观察图象即可知道乙的函数图象为l2,根据速度=,利用图中信息即可解决问题;
(2)分相遇前或相遇后两种情形分别列出方程即可解决问题;
【解答】解:(1)由题意可知,乙的函数图象是l2,
甲的速度是=30km/h,乙的速度是=20km/h.
故答案为l2,30,20.
(2)设甲出发多少小时两人恰好相距5km.
由题意30x+20(x﹣0.5)+5=60或30x+20(x﹣0.5)﹣5=60
解得x=1.3或1.5,
答:甲出发1.3小时或1.5小时两人恰好相距5km.
【点评】本题考查了一次函数的应用,解题的关键是读懂图象信息,灵活应用速度、路程、时间之间的关系解决问题.
21.(8分)(2017•青岛)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.
(1)求证:△BCE≌△DCF;
(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.
【考点】LF:正方形的判定;KD:全等三角形的判定与性质;L8:菱形的性质.菁优网版权所有
【分析】(1)由菱形的性质得出∠B=∠D,AB=BC=DC=AD,由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OE∥BC,由SAS证明△BCE≌△DCF即可;
(2)由(1)得:AE=OE=OF=AF,证出四边形AEOF是菱形,再证出∠AEO=90°,四边形AEOF是正方形.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AB=BC=DC=AD,
∵点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,
∴AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OE∥BC,
在△BCE和△DCF中,,
∴△BCE≌△DCF(SAS);
(2)解:当AB⊥BC时,四边形AEOF是正方形,理由如下:
由(1)得:AE=OE=OF=AF,
∴四边形AEOF是菱形,
∵AB⊥BC,OE∥BC,
∴OE⊥AB,
∴∠AEO=90°,
∴四边形AEOF是正方形.
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识;熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键.
22.(10分)(2017•青岛)青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准,旺季每间价格比淡季上涨.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录:
淡季
旺季
未入住房间数
10
0
日总收入(元)
24000
40000
(1)该酒店豪华间有多少间?旺季每间价格为多少元?
(2)今年旺季来临,豪华间的间数不变.经市场调查发现,如果豪华间仍旧实行去年旺季价格,那么每天都客满;如果价格继续上涨,那么每增加25元,每天未入住房间数增加1间.不考虑其他因素,该酒店将豪华间的价格上涨多少元时,豪华间的日总收入最高?最高日总收入是多少元?
【考点】HE:二次函数的应用.菁优网版权所有
【分析】(1)根据题意可以列出相应的方程组,进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格;
(2)根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式,然后化为顶点式即可解答本题.
【解答】解:(1)设淡季每间的价格为x元,酒店豪华间有y间,
,
解得,,
∴x+x=600+=800,
答:该酒店豪华间有50间,旺季每间价格为800元;
(2)设该酒店豪华间的价格上涨x元,日总收入为y元,
y=(800+x)(50﹣)=42025,
∴当x=225时,y取得最大值,此时y=42025,
答:该酒店将豪华间的价格上涨225元时,豪华间的日总收入最高,最高日总收入是42025元.
【点评】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用二次函数的性质解答.
23.(10分)(2017•青岛)数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题.下面我们来探究“由数思形,以形助数”的方法在解决代数问题中的应用.
探究一:求不等式|x﹣1|<2的解集
(1)探究|x﹣1|的几何意义
如图①
,在以O为原点的数轴上,设点A′对应的数是x﹣1,有绝对值的定义可知,点A′与点O的距离为|x﹣1|,可记为A′O=|x﹣1|.将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB,此时点A对应的数是x,点B对应的数是1.因为AB=A′O,所以AB=|x﹣1|,因此,|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB.
(2)求方程|x﹣1|=2的解
因为数轴上3和﹣1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2,所以方程的解为3,﹣1.
(3)求不等式|x﹣1|<2的解集
因为|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离,所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围.
请在图②的数轴上表示|x﹣1|<2的解集,并写出这个解集.
探究二:探究的几何意义
(1)探究的几何意义
如图③,在直角坐标系中,设点M的坐标为(x,y),过M作MP⊥x轴于P,作MQ⊥y轴于Q,则P点坐标为(x,0),Q点坐标为(0,y),OP=|x|,OQ=|y|,在Rt△OPM中,PM=OQ=|y|,则MO===,因此, 的几何意义可以理解为点M(x,y)与点O(0,0)之间的距离MO.
(2)探究的几何意义
如图④,在直角坐标系中,设点A′的坐标为(x﹣1,y﹣5),由探究二(1)可知,A′O=
,将线段A′O先向右平移1个单位,再向上平移5个单位,得到线段AB,此时点A的坐标为(x,y),点B的坐标为(1,5),因为AB=A′O,所以AB=,因此的几何意义可以理解为点A(x,y)与点B(1,5)之间的距离AB.
(3)探究的几何意义
请仿照探究二(2)的方法,在图⑤中画出图形,并写出探究过程.
(4)的几何意义可以理解为: 点(x,y)与点(a,b)之间的距离 .
拓展应用:
(1)+的几何意义可以理解为:点A(x,y)与点E(2,﹣1)的距离和点A(x,y)与点F (﹣1,﹣5) (填写坐标)的距离之和.
(2)+的最小值为 5 (直接写出结果)
【考点】RB:几何变换综合题.菁优网版权所有
【分析】探究一(3)由于|x﹣1|
表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离,所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围,从而画出数轴即可.
探究二(3)由于的几何意义是:点A(x,y)与B(﹣3,4)之间的距离,所以构造直角三角形利用勾股定理即可得出答案.
(4)根据前面的探究可知的几何意义是表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离;
拓展研究(1)根据探究二(4)可知点F的坐标;
(2)根据三角形的三边关系即可求出答案.
【解答】解:探究一:(3)如图所示,
∴|x﹣1|<2的解集是﹣1<x<3,
探究二:(3)的几何意义是:点A(x,y)与B(﹣3,4)之间的距离,
∴过点B作BD⊥x轴于D,过点A作AC⊥BD于点C,
∴AC=|x+3|,BC=|y﹣4|,
∴由勾股定理可知:AB2=AC2+BC2,
∴AB=,
(4)根据前面的探究可知的几何意义是表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离;
拓展研究:(1)由探究二(4)可知表示点(x,y)与(﹣1,﹣5)之间的距离,
故F(﹣1,﹣5),
(2)由(1)可知:+表示点A(x,y)与点E(2,﹣1)的距离和点A(x,y)与点F(﹣1,﹣5)的距离之和,
当A(x,y)位于直线EF外时,
此时点A、E、F三点组成△AEF,
∴由三角形三边关系可知:EF<AF+AE,
当点A位置线段EF之间时,此时EF=AF+AE,
∴+的最小值为EF的距离,
∴EF==5
故答案为:探究二(4)点(x,y)与点(a,b)之间的距离;
拓展研究(1)(﹣1,﹣5);(2)5.
【点评】本题考查学生的阅读理解能力,解题的关键是正确理解题意,仿照题意求出答案,本题考查学生综合能力,属于中等题型.
24.(12分)(2017•青岛)已知:Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放(点P与点B重合),点F,B(P),C在同一直线上,AB=EF=6cm,BC=FP=8cm,∠EFP=90°,如图②,△EFP从图①的位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s,EP与AB交于点G;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连接AF,FQ,当点Q停止运动时,△
EFQ也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6),解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ∥BD?
(2)设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM:S矩形ABCD=9:8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【分析】(1)如图1中,当PQ∥BD时,=,可得=,解方程即可;
(2)如图2中,当0<t<6时,S五边形AFPQM=S梯形AFCD﹣S△DMQ﹣S△PQC,由此计算即可解决问题;
(3)假设存在,根据题意列出方程即可解决问题;
(4)如图3中,连接MG、MP,作MK⊥BC于K.理由勾股定理,根据MG=MP,列出方程即可解决问题;
【解答】解:(1)如图1中,
当PQ∥BD时,=,
∴=,
∴t=,
∴t=s时,PQ∥BD.
(2)如图2中,
当0<t<6时,S五边形AFPQM=S梯形AFCD﹣S△DMQ﹣S△PQC
=(8+8﹣t+8)•6﹣•(6﹣t)•(6﹣t)﹣•(8﹣t)•t
=t2﹣t+.
(3)如图2中,假设存在,则有(t2﹣t+.):48=9:8,
解得t=2或18(舍弃),
∴t=2s时,S五边形AFPQM:S矩形ABCD=9:8.
(4)存在.
理由:如图3中,连接MG、MP,作MK⊥BC于K.
易知:AG=6﹣t.DQ=6﹣t,DM=KC=(6﹣t),PK=8﹣t﹣(6﹣t),MK=CD=6,
∵点M在PG的垂直平分线上,
∴MG=MP,
∴AG2+AM2=PK2+MK2,
∴(6﹣t)2+[8﹣(6﹣t)]2=62+[8﹣t﹣(6﹣t)]2,
解得t=或0(舍弃),
∴t=s时,点M在线段PG的垂直平分线上
【点评】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、多边形的面积等知识,解题的关键是学会理由分割法求多边形面积,学会用方程的思想思考问题,属于中考压轴题.