中考数学 三角形课标解读典例诠释复习1 50页

第十单元 三角形 第一节 三角形 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 三角形 理解三角形及其 内角、外角、中线、 高线、角平分线等 概念；了解三角形 的稳定性；了解三 角形重心的概念 能利用三角形三边关 系解决有关简单问题； 能利用三角形内角和 定理及其推论解决有 关简单问题 运用三角形三边关 系的有关内容解决 有关问题；运用三角 形内角和定理的有 关内容解决有关问 题 ★ 三角形中 位线 理解三角形中位 线的概念 能利用三角形中位线 定理解决有关简单问 题 运用三角形中位线 的有关内容解决有 关问题 ★★ 知识要点 1.三角形的定义：有三条 相接所得到的图形叫做三角形． 2.三角形的分类 (1)按角分类：可分为 三角形， 三角形， 三角形． (2)按边分类：可分为不等边三角形、等腰三角形，等腰三角形可分为 三角形 和 三角形. 3.三角形中的主要线段 (1)三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角 形的三条中线交于一点，此交点叫做三角形的 ． (2)三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交 点之间的线段叫做三角形的角平分线. (3)三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三 角形的高线，简称三角形的高. (4)三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 定理：三角形的中位线 ,且 . 4.三角形的边角关系 边与边的关系： (1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的两边之差小于第三边. 角与角的关系： (1)定理：三角形三个内角的和等于 180°； (2)推论 1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； (3)推论 2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 边与角的关系： 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边. 典例诠释 考点一 三角形三边关系 例 1 (2016·石景山二模)从长度分别是 2，3，4 的三条线段中随机抽出一条，与长为 1，3 的两条线段首尾顺次相接，能构成三角形的概率是( ) A.1 B. C. D.0 【答案】 C 【名师点评】 此题考查了三角形的三边关系，两边长之差的绝对值<第三边长<两边长之和， 并与概率结合. 考点二 与三角形有关的角 例 2 (2016·顺义一模)如图 1-10-1，在△ABC 中，∠A=75°，直线 DE 分别与 AB，AC 交于 D，E 两点，则∠1+∠2= ． 图 1-10-1 【答案】 255° 【名师点评】 此题可以用三角形的外角知识解决，也可以用四边形的内角和知识解决，不 管用哪种方法，要把∠1+∠2 作为一个整体来对待. 例 3 (2016·丰台二模)将一副三角板按图 1-10-2 中方式叠放，则∠α等于( ) A.90° B.75° C.60° D.45° 图 1-10-2 【答案】 B 【名师点评】 要熟悉一副三角板各内角的度数，通过三角形的内角和或外角知识解答. 例 4 (2016·石景山二模)如图 1-10-3 为 4×4 的正方形网格，图中的线段均为格点线段(线 段的端点为格点)，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 的度数为 ． 图 1-10-3 【答案】 225° 【名师点评】 易知∠3=45°，其他角度不易求出，利用全等知识和等量代换，容易找到∠ 2 和∠4 互余，∠1 和∠5 互余，问题得解. 考点三 三角形中的重要线段 例 5 (2016·朝阳一模)某地需要开辟一条隧道，隧道 AB 的长度无法直接测量．如图 1-10-4 所示，在地面上取一点 C，使 C 到 A，B 两点均可直接到达，测量找到 AC 和 BC 的中点 D，E， 测得 DE 的长为 1 100 m，则隧道 AB 的长度为( ) 图 1-10-4 A．3 300 m B．2 200 m C．1 100 m D．550 m 【答案】 B 例 6 (2016·石景山二模)如图 1-10-5，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=40°．按以下步骤 作图：①以点 A 为圆心，小于 AC 的长为半径画弧，分别交 AB，AC 于点 E，F；②分别以点 E， F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧相交于点 G；③作射线 AG 交 BC 边于点 D，则∠ADC 的度数为 ． 图 1-10-5 【答案】 70° 【名师点评】 此题考查尺规作一个角的平分线，再利用三角形内角和知识解决. 基础精练 1.(2016·丰台一模)如图 1-10-6，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，使点 C 能直接 到达点 A 和点 B，连接 AC 和 BC，并分别找出 AC 和 BC 的中点 M，N. 如果测得 MN= 20 m， 那么 A，B 两点间的距离是( ) 图 1-10-6 A.10 m B.20 m C.35 m D.40 m 【答案】 D 2.(2016·顺义一模)如图 1-10-7，为测量池塘岸边 A，B 两点之间的距离，小亮在池塘的一 侧选取一点 O，测得 OA，OB 的中点 D，E 之间的距离是 14 米，则 A，B 两点之间的距离是 ( ) 图 1-10-7 A．18 米 B．24 米 C．28 米 D．30 米 【答案】 C 3.(2016·昌平二模)如图 1-10-8，小慧与小聪玩跷跷板，跷跷板支架 EF 的高为 0.4 米，E 是 AB 的中点，那么小慧能将小聪翘起的最大高度 BC 等于 米. 图 1-10-8 【答案】 0.8 4.(2016·房山二模)如图 1-10-9，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的 三个顶点均在格点上，则△ABC 的面积为 ． 图 1-10-9 【答案】 2.5 5.(2014· 泉 州 ) 如 图 1-10-10 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ C=40° ， CA=CB ， 则 △ ABC 的 外 角 ∠ ABD= ． 【答案】 110° 图 1-10-10 6.如图 1-10-11，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若 AC=5，BC=3， 则 BD 的长为( ) 图 1-10-11 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】 A 7.(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为 3 和 8，则该三角形第三边的长可能是( ) A.5 B.10 C.11 D.12 【答案】 B 真题演练 (2015·北京)如图 1-10-12，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若 测得 AM 的长为 1.2 km，则 M，C 两点间的距离为( ) 图 1-10-12 A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km 【答案】 D 第二节 等腰三角形和直角三角形 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 等腰三角 形和等边 三角形 了解等腰三 角形和等边 三角形的概 念 掌握等腰三角形和等边三角形的性 质定理与判定定理；尺规作图(利用 基本作图作三角形)：已知底边及底 边上的高线作等腰三角形；能利用 等腰三角形和等边三角形的性质定 理与判定定理解决有关简单问题 运用等腰三 角形和等边 三角形的有 关内容解决 有关问题 ★★★★ 直角三角 形 了解直角三 角形的概念 掌握判定直角三角形全等的“斜 边、直角边”定理；尺规作图(利用 基本作图作三角形)：已知一直角边 和斜边作直角三角形；掌握直角三 角形的性质定理；掌握有两个角互 余的三角形是直角三角形；能利用 直角三角形的性质与判定解决有关 简单问题 运用直角三 角形的有关 内容解决有 关问题 ★★★★ 知识要点 等腰三角形 1.定义：有 相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底. 2.性质 (1)等腰三角形是轴对称图形，有 条对称轴； (2)等腰三角形的两个底角相等(简称： )； (3)等腰三角形顶角平分线、底边上的 、底边上的高互相重合(简称： ). 3.判定 (1)定义； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称： ). 4.等边三角形 (1)定义： 三角形是等边三角形； (2)等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴； (3)性质：等边三角形的各角都 ，并且每一个角都等于 . (4)判定： ①定义； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形. 直角三角形 1.定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形. 2.性质：两个锐角 ；斜边上的中线等于 ； 如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于 . 3.判定：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形． 典例诠释 考点一 等腰三角形中的多解问题 例 1 如果等腰三角形的两边长分别为 4 和 7，则三角形的周长为 ． 【答案】 15 或 18 【名师点评】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边 的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答， 这点非常重要，也是解题的关键． 例 2 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为( ) A．60° B．120° C．60°或 150° D．60°或 120° 【答案】 D 【名师点评】 此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位 置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只求出 120°一种情况，把三角形简单的认为是 锐角三角形． 考点二 等腰三角形和直角三角形的性质及判定 例 3 (2016·门头沟一模)如图 1-10-13，直线 m∥n，点 A 在直线 m 上，点 B，C 在直线 n 上，AB=BC，∠1=70°，CD⊥AB 于 D，那么∠2 等于( ) 图 1-10-13 A．20° B．30° C．32° D．25° 【答案】 A 【名师点评】通过平行线的知识可知∠1=∠ACB=70°，再利用等腰三角形的性质和直角三角 形的两个锐角互余即可解决. 例 4 (2016·海淀一模)如图 1-10-14，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，DE 为 AC 边上的中线．求证：∠BAD=∠EDC. 图 1-10-14 【证明】 如图 1-10-15. 图 1-10-15 ∵ ∠BAC=90°， ∴ ∠BAD+∠DAC=90°. ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC=90°， ∴ ∠DAC+∠C=90°，∴ ∠BAD=∠C. ∵ DE 为 AC 边上的中线，∴ DE=EC. ∴ ∠EDC=∠C,∴ ∠BAD=∠EDC. 【名师点评】 此题考查了“双垂直”的基本图形，易知∠BAD=∠C，再利用“直角三角形 中斜边的中线等于斜边的一半”得到等腰△EDC，从而问题得解. 例 5 (2016·海淀一模)如图 1-10-16，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，AE⊥BE 于点 E，且 BE=BC．求证：AB 平分∠EAD． 图 1-10-16 【证明】 ∵ AB=AC,AD 是 BC 边上的中线，∴ BD=BC，AD⊥BC. ∵ BE=BC，∴ BD=BE. ∵ AE⊥BE 于点 E， ∴ 点 B 在∠EAD 的平分线上，∴ AB 平分∠EAD. 【名师点评】 此题考查了等腰三角形的“三线合一”性质，可得到 BD=BE=BC，再利用直 角三角形全等的判定定理(HL)即可. 基础精练 1.(2016·丰台一模)如图 1-10-17，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高线，BE⊥AC 于点 E， ∠BAD =∠CBE.求证：AB=AC. 图 1-10-17 【证明】 ∵ 在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高线，BE⊥AC 于点 E， ∴ ∠ADB＝∠BEC=90°. ∴ ∠ABD+∠BAD＝∠C+∠CBE=90°. 又∵ ∠BAD=∠CBE,∴ ∠ABD＝∠C. ∴ AB=AC. 2.(2016·怀柔一模)如图 1-10-18，在△ABC 中，AB=4，AC=3，AD，AE 分别是其角平分线和 中线，过点 C 作 CG⊥AD 于 F，交 AB 于 G，连接 EF，则线段 EF 的长为( ) 图 1-10-18 A. B.1 C. D.7 【答案】 A 3.(2016·怀柔一模)如图 1-10-19，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB 边的垂直平分线 DE 交 BC 于点 E，垂足为 D.求证：∠CAB=∠AED. 图 1-10-19 【证明】 ∵ DE 是 AB 边的垂直平分线, ∴ AE=BE,∠ADE=90°，∴ ∠EAB=∠B. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°,∴ ∠CAB+∠B=90°. 在 Rt△ADE 中，∠ADE=90°, ∴ ∠AED+∠EAB=90°，∴ ∠CAB=∠AED. 4.(2016·门头沟一模)如图 1-10-20，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC，延长 BC 到 E， 使得 CE=CD．求证：BD=DE． 图 1-10-20 【证明】 ∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠ABC=∠ACB=60°． ∵ BD 平分∠ABC，∴ ∠DBC=∠ABC=30°． ∵ CE=CD，∴ ∠CDE=∠CED． 又∵ ∠ACB=60°，∠DCB=∠CDE+∠CED， ∴ ∠DEC=∠ACB=30°．∴ ∠DBC=∠DEC，∴ BD=DE． 5.(2016·平谷一模)如图 1-10-21，在△ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 上一点，DE⊥AB 于 E， FD⊥BC 于 D，G 是 FC 的中点，连接 GD.求证：GD⊥DE. 图 1-10-21 【证明】 如图 1-10-22. 图 1-10-22 ∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C. ∵ DE⊥AB，FD⊥BC，∴ ∠BED=∠FDC=90°.∴ ∠1=∠3. ∵ G 是直角三角形 FDC 的斜边中点，∴ GD=GF.∴ ∠2=∠3.∴ ∠1=∠2. ∵ ∠FDC=∠2+∠4=90°，∴ ∠1+∠4=90°.∴ ∠2+∠FDE=90°.∴ GD⊥DE. 6.(2016·石景山一模)如图 1-10-23，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是 AB 边上的中线， DE⊥AB 于点 D，交 AC 于点 E．求证：∠AED=∠DCB． 图 1-10-23 【证明】 ∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是 AB 边上的中线， ∴ CD=AB=DB，∴ ∠B=∠DCB． ∵ DE⊥AB 于点 D，∴ ∠A+∠AED=90°． ∵ ∠A+∠B=90°，∴ ∠B=∠AED．∴ ∠AED=∠DCB． 7.(2016·东城二模)如图 1-10-24，在等腰△ABC 中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD 等于( ) 图 1-10-24 A．18° B.36° C．54° D．64° 【答案】 C 8.某等腰三角形的两条边长分别为 3 cm 和 6 cm，则它的周长为( ) A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.12 cm 或 15 cm 【答案】 C 9.若等腰三角形中有一个角等于 50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A.50° B.80° C.65°或 50° D.50°或 80° 【答案】 D 10.已知：如图 1-10-25，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线相交于 F，过 F 作 DE∥BC， 交 AB 于 D，交 AC 于 E，那么下列结论：①△BDF，△CEF 都是等腰三角形；②DE=DB+CE；③ AD+DE+AE=AB+AC；④BF=CF.正确的有( ) 图 1-10-25 A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】 C 11.(2016·顺义一模)我们把过三角形的一个顶点，且能将这个三角形分割成两个等腰三角 形的线段称为该三角形的“等腰线段”． 例如：如图 1-10-26，在 Rt△ABC 中，取 AB 边的中点 D，线段 CD 就是△ABC 的“等腰线段”． (1) 请分别画出如图 1-10-27 所示三角形的“等腰线段”； 图 1-10-26 图 1-10-27 (2)如图 1-10-28，在△EFG 中，∠G=2∠F，若△EFG 有“等腰线段”，请直接写出∠F 的取 值． 图 1-10-28 【解】 (1)如图 1-10-29 所示. 图 1-10-29 (2)36°和 45°． 12.如图 1-10-30，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB＝90°，将线段 CB 绕点 C 旋转 60°得到 CB′， ∠ACB 的平分线 CD 交直线 AB′于点 D，连接 DB，在射线 DB′上截取 DM=DC． (1)在图 1-10-30①中证明：MB′=DB； (2)若 AC=，分别在图 1-10-30①和②中，求出 AB′的长(直接写出结果)． ① ② 图 1-10-30 (1)【证明】 如图 1-10-31，连接 CM． 图 1-10-31 由旋转可知：CB′=CB，∠BCB′=60°． ∵ AC=BC，∠ACB＝90°， ∴ AC=CB′，∠ACB′＝150°．∴ ∠CAB′=∠CB′A=15°． ∵ CD 平分∠ACB， ∴ ∠ACD=∠BCD=45°．∴ ∠CDM=∠ACD+∠CAD=60°． ∵ DM=DC，∴ △CDM 是等边三角形， ∴ CM=CD，∠DCM=60°． ∴ ∠B′CM=∠ACB′－∠ACD－∠DCM=45°． ∴ ∠B′CM=∠BCD． 在△CMB′和△CDB 中， ∴ △CMB′≌△CDB(SAS)，∴ MB′=DB． (2)【解】 在图 1-10-30①中，AB′=3+，在图 1-10-30②中，AB′=3－． 真题演练 (2015·北京)如图 1-10-31，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E.求 证：∠CBE=∠BAD. 图 1-10-31 【证明】 ∵ AB=AC，∴ ∠ABC=∠C. 又∵ AD 是 BC 边上的中线，∴ AD⊥BC， ∴ ∠BAD+∠ABC=90°. ∵ BE⊥AC，∴ ∠CBE+∠C=90°，∴ ∠CBE=∠BAD. 第三节 全等三角形 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 全等三角 形 理解全 等三角 形的概 念 能识别全等三角形中的对应边、对应角；掌握 三个基本事实：三边分别相等的两个三角形全 等，两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；掌 握两角分别相等且其中一组等角的对边相等的 两个三角形全等；尺规作图(利用基本作图作三 角形)：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹 边作三角形；能利用全等三角形的性质与判定 利用全 等三角 形的有 关内容 解决有 关问题 ★★★★ ★ 解决有关简单问题 知识要点 1.全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等形.全等图形的形状和 完全相同. 全等三角形：能够完全重合的两个三角形就是全等三角形. 2.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形对应边上的高线、中线、对应 角的平分线相等． 3.判定 (1)基本事实：三条边对应相等的两个三角形全等(简记为： )． (2)基本事实：两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为： )． (3)基本事实：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为： )． (4)定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为： )． (5)定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为： )． 4.常见的全等三角形 (1)平移型(如图 1-10-32)： 图 1-10-32 (2)翻折型(如图 1-10-33)： 图 1-10-33 (3)旋转型(如图 1-10-34)： 图 1-10-34 (4)复合型(如图 1-10-35)： 图 1-10-35 5.用尺规作三角形 (1)已知三边作三角形：已知线段 a，b，c,如图 1-10-36，求作：△ABC，使 AB=c,AC=b，BC=a. 作法： 图 1-10-36 (2)已知两边及夹角作三角形：已知线段 m,n,∠α，如图 1-10-37，求作：△ABC，使∠A=α， AB=m,AC=n. 作法： 图 1-10-37 (3)已知两角及夹边作三角形：已知线段 m,∠α,∠β，如图 1-10-38，求作：△ABC，使∠ A=α，∠B=β,AB=m. 作法： 图 1-10-38 (4)已知底边及底边上的高线作等腰三角形：已知线段 m,n，如图 1-10-39，求作：等腰三角 形 ABC，使底边 BC=m，底边 BC 边上的高等于 n. 作法： 图 1-10-39 (5)已知一直角边和斜边作直角三角形：已知线段 m,n，如图 1-10-40，求作：直角三角形 ABC，使 BC=m，斜边 AC=n. 图 1-10-40 作法： 典例诠释 考点一 三角形全等及其应用 例 1 如图 1-10-41，已知 E 是 BC 的中点，点 A 在 DE 上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD. 图 1-10-41 【证明】 如图 1-10-42,延长 DE 到 F，使 EF=DE，连接 BF .∵ E 是 BC 的中点，∴ BE=CE. 图 1-10-42 ∵ 在△BEF 和△CED 中， ∴ △BEF≌△CED．∴ ∠F=∠CDE，BF=CD． ∵ ∠BAE=∠CDE，∴ ∠BAE=∠F,∴ AB=BF. 又∵ BF=CD，∴ AB=CD． 【名师点评】 此题要证明 AB=CD，不能通过证明△ABE 和△CED 全等得到，因为根据已知 条件无法证明它们全等，那么可以利用等腰三角形的性质来解题，为此必须把 AB 和 CD 通过 作辅助线转化到一个等腰三角形中． 例 2 (2016·石景山一模)如图 1-10-43，已知 AD=AE，请你添加一个条件 ，使得 △ADC≌△AEB. 图 1-10-4 【答案】 ∠C=∠B 或 AC=AB 等(答案不唯一) 【名师点评】 此题考查两个三角形全等的条件，此题答案不唯一. 例 3 (2016·顺义一模)如图 1-10-44，已知 B，A，E 在同一直线上，AC∥BD 且 AC=BE，∠ ABC=∠D．求证：AB=AD． 图 1-10-44 【证明】 ∵ AC∥BD，∴ ∠BAC=∠DBE． 在△ABC 和△BDE 中， ∴ △ABC≌△BDE(AAS)，∴ AB=BD． 考点二 尺规作图 例 4 (2016·房山二模)阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图： 已知：Rt△ABC，∠C=90°(如图 1-10-45)． 图 1-10-45 求作：Rt△DEF，使∠DFE=90°，DE=AB，FE = CB． 小芸的作图步骤如下： 如图 1-10-46, 图 1-10-46 (1)作线段 FE=CB； (2)过点 F 作 GF⊥FE 于点 F； (3)以点 E 为圆心,AB 的长为半径作弧，交射线 FG 于点 D，连接 DE. 所以△DEF 即为所求作的直角三角形． 老师说：“小芸的作图步骤正确，且可以得到 DF=AC”． 请回答：得到 DF=AC 的依据是 ． 【答案】 全等三角形的对应边相等 【名师点评】 此题考查两个直角三角形全等的判定定理(HL)，学生要能通过阅读作图步骤， 找到哪些是已知条件，从而找到两个三角形全等的依据. 基础精练 1.(2016·通州一模)如图 1-10-47，在△ABC 中，AC=BC，BD⊥AC 于点 D，在△ABC 外作∠CAE= ∠CBD，过点 C 作 CE⊥AE 于点 E.如果∠BCE =140°，求∠BAC 的度数. 图 1-10-47 【解】 ∵ BD⊥AC，CE⊥AE，∴ ∠BDC=∠E=90°. ∵ ∠CAE=∠CBD，∴ △BDC∽△AEC，∴ ∠BCD=∠ACE. ∵ ∠BCE=140°，∴ ∠BCD=∠ACE=70°. ∵ AC=BC，∴ ∠BAC=∠ABC=55°. 2.(2016·西城二模)如图 1-10-48，在△ABC 中，D 是 AB 边上一点，且 DC=DB,点 E 在 CD 的 延长线上，且∠EBC=∠ACB．求证：AC=EB． 图 1-10-48 【证明】 ∵ DC=DB，∴ ∠DCB=∠DBC． 在△ACB 和△EBC 中，∴ △ACB≌△EBC，∴ AC=EB． 3.(2016·东城二模)如图 1-10-49，已知∠ABC=90°，分别以 AB 和 BC 为边向外作等边 △ ABD 和等边△BCE，连接 AE，CD.求证：AE=CD. 图 1-10-49 【证明】 如图 1-10-49，∵ △ABD 和△BCE 为等边三角形， ∴ ∠ABD=∠CBE=60°，BA=BD，BC=BE, ∴ ∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，即∠CBD=∠ABE. 在△CBD 和△EBA 中， ∴ △CBD≌△EBA(SAS)，∴ AE=CD. 4.(2016·海淀二模)如图 1-10-50，在△ABC 中，∠ACB=90°，点 D 在 BC 上，且 BD=AC，过 点 D 作 DE⊥AB 于点 E，过点 B 作 CB 的垂线，交 DE 的延长线于点 F．求证：AB=DF． 图 1-10-50 【证明】 如图 1-10-51. 图 1-10-51 ∵ BF⊥BC，DE⊥AB，∠ACB=90°， ∴ ∠DBF=∠BEF=∠ACB=90°, ∴ ∠1+∠2=90°，∠2+∠F=90°. ∴ ∠1=∠F. 在△ABC 和△DFB 中， ∴ △ABC≌△DFB，∴ AB=DF. 5.(2014 ·顺义一模)如图 1-10-52，在△MNQ 中，MQ≠NQ． 图 1-10-52 (1)请你以 MN 为一边，在 MN 的同侧构造一个与△MNQ 全等的三角形，画出图形，并简要说 明构造的方法； (2)参考(1)中构造全等三角形的方法解决下面问题： 如图 1-10-53，在四边形 ABCD 中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求证：CD=AB． 图 1-10-53 (1)【解】 如图 1-10-54①,过点 N 在 MN 的同侧作∠MNR=∠QMN，在 NR 上截取 NP=MQ，连接 MP，则△MNP 即为所求． ① ② 图 1-10-54 (2)【证明】 如图 1-10-54②，延长 BC 到点 E，使 CE=AD，连接 AE． ∵ ∠ACB+∠CAD=180°，∠ACB+∠ACE=180°，∴ ∠CAD=∠ACE． 又∵ AD=CE，AC=CA，∴ △ACD≌△CAE．∴ ∠D=∠E，CD=AE． ∵ ∠B=∠D，∴ ∠B=∠E，∴ AE=AB，∴ CD=AB． 6.(2014·河南)(1)问题发现 如图 1-10-55，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE. 填空：①∠AEB 的度数为 ； 图 1-10-55 ②线段 AD,BE 之间的数量关系是 ． (2)拓展探究 如图 1-10-56，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,点 A，D，E 在同一 直线上，CM 为△DCE 中 DE 边上的高，连接 BE．请判断∠AEB 的度数及线段 CM，AE，BE 之间 的数量关系，并说明理由． 图 1-10-56 (3)解决问题 如图 1-10-57，在正方形 ABCD 中，CD=．若点 P 满足 PD=1,且∠BPD=90°，请直接写出点 A 到 BP 的距离． 图 1-10-57 【解】 (1)①60；②AD=BE. (2)∠AEB＝90°；AE=2CM+BE. 【理由】∵ △ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°, ∴ AC=BC,CD=CE. ∵ ∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB, 即∠ACD=∠BCE，∴ △ACD≌△BCE. ∴ AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°. ∴ ∠AEB=∠BEC－∠CED=135°－45°=90°． 在等腰直角三角形 DCE 中，CM 为斜边 DE 上的高， ∴ CM=DM=ME,∴ DE=2CM. ∴ AE=DE+AD=2CM+BE. (3)或. 【提示】∵ PD=1，∠BPD=90°, ∴ BP 是以点 D 为圆心，以 1 为半径的⊙D 的切线，点 P 为切点． 第一种情况：如图 1-10-58，过点 A 作 AP 的垂线，交 BP 于点 P′，过点 A 作 AM⊥BP 交 BP 于点 M. 可证△APD≌△AP′B,PD=P′B=1. ∵ CD=,∴ BD=2,BP=, ∴ AM=PP′=(PB－BP′)=. 图 1-10-58 第二种情况如图 1-10-59，可得 AM=PP′=(PB+BP′)=. 图 1-10-59 真题演练 1.(2013·北京)如图 1-10-60，已知 D 是 AC 上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE.求证：BC=AE. 图 1-10-60 【证明】 ∵ DE∥AB，∴ ∠CAB=∠ADE. 在△ABC 与△DAE 中， ∴ △ABC≌△DAE(ASA)，∴ BC=AE. 2.(2012·北京)如图 1-10-61，已知点 E，A，C 在同一条直线上，AB∥CD,AB=CE,AC=CD.求 证：BC＝ED. 图 1-10-61 【证明】 ∵ AB∥CD，∴ ∠BAC=∠ECD. 在△BAC 和△ECD 中， ∴ △BAC≌△ECD(SAS)，∴ CB=ED． 第四节 相似三角形 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 相似三角 形 了解相似三角形的性质定 理与判定定理 能利用相似三角形的性质 定理与判定定理解决有关 简单问题 ★★★★ 图形的相 似 了解比例的基本性质、线段 的比、成比例线段；了解黄 金分割；认识图形的相似； 了解相似多边形和相似比 掌握基本事实：两条直线 被一组平行线所截，所得 的对应线段成比例；会利 用图形的相似解决一些简 单的实际问题 ★★★ 知识要点 1.比例线段：对于四条线段 a，b，c，d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长 度的比相等，即=，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例性质： (1)比例的基本性质(这是等积式与比例式互相转化的依据) 若=，则 ad=bc；若=，则=ac(b 为 a，c 的比例中项). 若 ad=bc,且 bd≠0,则=；若=ac,且 bc≠0,则=(b 为 a，c 的比例中项). (2) 合比性质 若=，则=或=. (3)等比性质 如果==…=(b+d+…+n≠0)，那么=. 3.黄金分割：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(AC>BC)，如果 ， 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比， 黄金比约为 ． 4.基本事实：平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得到的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得到的对应线段成比例． 5.相似图形：形状相同的图形叫相似形；相似三角形：对应角 ，对应边的 比 的两个三角形叫做相似三角形；相似三角形的对应边的比叫做 ，一般用 k 表示． 6.相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似． 如图 1-10-62，∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC. 图 1-10-62 (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．(三边对应成比例，两 三角形相似) (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相 似.(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似) (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似．(两角对应相等，两三角形相似) 7.相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应边的比相等,对应角相等. (2)相似三角形对应高、 、 的比等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于 . (4)相似三角形面积的比等于 . 8.相似三角形的几种基本图形： (1)如图 1-10-63：称为“平行线型”的相似三角形. 图 1-10-63 (2)如图 1-10-64，其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC 称为“相交线型”的相似三角形. 图 1-10-64 (3)如图 1-10-65：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形. 图 1-10-65 (4)如图 1-10-66，其他类型的相似三角形. 图 1-10-66 典例诠释 考点一 平行线分线段成比例定理的应用 例 1 (2016·平谷一模)如图 1-10-67，在△ABC 中，DE∥BC，AE∶EC=2∶3，DE=4，则 BC 的长为( ) 图 1-10-67 A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】 A 【名师点评】 此题通过两个三角形相似，找到对应边之比 DE∶BC=AE∶AC，从而计算出 BC 的长. 例 2 (2016·东城一模)如图 1-10-68，有一池塘，要测池塘两端 A，B 间的距离，可先在平 地上取一个不经过池塘可以直接到达点 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长至 D，使 CD=CA，连接 BC 并延长至 E，使 CE=CB，连接 ED. 若量出 DE=58 米，则 A，B 间的距离为( ) 图 1-10-68 A．29 米 B． 58 米 C．60 米 D．116 米 【答案】 B 考点二 相似三角形的判定和性质的应用 例 3 (2016·西城二模)利用复印机的缩放功能，将原图中边长为 5 cm 的一个等边三角形 放大成边长为 20 cm 的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 【答案】 D 【名师点评】 此题考查两个三角形相似的性质，即相似比的平方=面积比，从而得到答案. 例 4 (2016·东城二模)如图 1-10-69，点 P 在△ABC 的边 AC 上，请你添加一个条件，使得 △ABP∽△ACB，这个条件可以是 . 图 1-10-69 【答案】 ∠ABP=∠C(答案不唯一) 【名师点评】 此题考查两个三角形相似的条件，注意图中隐含有一对公共角∠A，此题答 案不唯一. 考点三 相似三角形的实际应用 例 5 (2016·房山一模)为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点 A，再在河的这一边选点 B 和点 C，使得 AB⊥BC，然后再在河岸上选点 E，使得 EC⊥BC，设 BC 与 AE 交于点 D，如图 1-10-70 所示，测得 BD=120 米，DC=60 米，EC=50 米，那么这条河 的大致宽度是( ) 图 1-10-70 A.75 米 B.25 米 C.100 米 D.120 米 【答案】 C 【名师点评】 此题利用两个三角形相似来解决实际问题，学生要能准确地列出 AB∶EC=BD∶ DC，从而计算出河宽 AB 的长. 基础精练 11.(2016·燕山一模)为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空 间狭小，他想根据测试距离为 5 m 的大视力表制作一个测试距离为 3 m 的小视力表．如图 1-10-71，如果大视力表中“E”的高度是 3.5 cm，那么小视力表中相应“E”的高度是( ) 图 1-10-7 A．3 cm B．2.5 cm C．2.3 cm D．2.1 cm 【答案】 D 2.(2016·房山二模)如图 1-10-72，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB,AC 上，且∠AED= ∠ABC,DE=3,BC=5,AC=12.求 AD 的长. 图 1-10-72 【解】 ∵ ∠AED=∠ABC,∠A=∠A, ∴ △AED∽△ABC,∴ =. ∵ DE=3,BC=5,AC=12,∴ =,∴ AD=. 3.(2016·海淀二模)据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在 金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图 1-10-73 所示，木杆 EF 的长为 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，则金字塔 的高度 BO 为 m． 图 1-10-73 【答案】 134 4.(2016·石景山二模)如图 1-10-74，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点 A， 在近岸取点 B，C，D，E，使点 A，B，D 在一条直线上，且 AD⊥DE，点 A，C，E 也在一条直 线上且 DE∥BC．如果 BC=24 m，BD=12 m，DE=40 m，则河的宽度 AB 约为( ) 图 1-10-74 A．20 m B．18 m C．28 m D．30 m 【答案】 B 5.(2016·东城期末)如图 1-10-75，在△ABC 中，D 为 BC 上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4， 求 CD 的长. 图 1-10-75 【解】 ∵ ∠BAD=∠C，∠B=∠B， ∴ △ABC∽△DBA. ∴ =.∴ =BD·BC. ∴ BC=9，∴ CD=BC－BD=5. 6.(2014 ·丰台一模)如图 1-10-76 是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,点 P 处放一水平的平面镜,光线从点 A 发出经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得 AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12 米，那么该古城墙的高度是( ) 图 1-10-76 A．6 米 B．8 米 C．18 米 D．24 米 【答案】 B 7.如图 1-10-77，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，DE∥BC，且 AD=AB，则△ADE 的 周长与△ABC 的周长的比为 . 图 1-10-77 【答案】 1∶3 8.(2014·丰台期末)如图 1-10-78，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上的点，且 DE∥BC， 如果 DE∶BC=3∶5,那么 AE∶AC 的值为( ) 图 1-10-78 A.3∶2 B.2∶3 C.2∶5 D.3∶5 【答案】 D 9.(2014·门头沟期末)如图 1-10-79，点 A(6，3)，B(6，0)在直角坐标系内,以原点 O 为位 似中心，相似比为，在第一象限内把线段 AB 缩小后得到线段 CD，那么点 C 的坐标为( ) 图 1-10-79 A．(3，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(2，1) 【答案】 D 10.(2016·房山期末)如图 1-10-80，在矩形 ABCD 中，边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得点 B 落在 CD 边上的点 P 处． 图 1-10-80 (1)如图 1-10-81，设折痕与边 BC 交于点 O，连接 OP，OA．已知△OCP 与△PDA 的面积比为 1∶ 4，求边 AB 的长. 图 1-10-81 (2)动点 M 在线段 AP 上(不与点 P，A 重合)，动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连接 MN，PB，交于点 F，过点 M 作 ME⊥BP 于点 E． ①在图 1-10-80 中画出图形. ②在△OCP 与△PDA 的面积比为 1∶4 不变的情况下，试问动点 M,N 在移动的过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？请你说明理由． 【解】 (1)如图 1-10-82. 图 1-10-82 ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠C=∠D=90°,∴ ∠1+∠3=90°． ∵ 由折叠可得∠APO=∠B=90°， ∴ ∠1+∠2=90°．∴ ∠2=∠3． 又∵ ∠D=∠C，∴ △OCP∽△PDA． ∵ △OCP 与△PDA 的面积比为 1∶4， ∴ ===,∴ CP=AD=4． 设 OP=x，则 CO=8－x． 在 Rt△PCO 中，∠C=90°， 由勾股定理得．解得 x=5． ∴ AB=AP=2OP=10,∴ 边 AB 的长为 10． (2)①如图 1-10-83. 图 1-10-83 ②在△OCP 与△PDA 的面积比为 1∶4 这一条件不变的情况下，点 M,N 在移动过程中，线段 EF 的长度是不变的． 过点 M 作 MQ∥AN，交 PB 于点 Q，如图 1-10-84． ∵ AP=AB，MQ∥AN， ∴ ∠APB=∠ABP=∠MQP,∴ MP=MQ． 图 1-10-84 又 ME⊥PQ,∴ 点 E 是 PQ 的中点. ∵ BN=PM，∴ BN=MQ. 又 MQ∥AN，∴ ∠QMF=∠N. 在△MQF 和△NBF 中， ∴ △MQF≌△NBF,∴ QF=BF.∴ EF=PB． ∵ 在△BCP 中，∠C=90°，PC=4，BC=AD=8， ∴ PB=4 为定值，∴ EF=PB 为定值. 故在△OCP 与△PDA 的面积比为 1∶4 这一条件不变的情况下，点 M，N 在移动过程中，线段 EF 的长度是不变的，且 EF=2． 11.(2014·平谷期末)如图 1-10-85,在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P 是 AD 上一动点(点 P 不与 A,D 重合)，PE⊥BP，PE 交 DC 于点Ｅ． 图 1-10-85 (1)求证：△ABP∽△DPE. (2)设 AP＝x，DE=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围. (3)请你探索在点 P 运动的过程中，四边形 ABED 能否构成矩形？如果能，求出 AP 的长；如 果不能，请说明理由． (1)【证明】 ∵ ∠A=90°，∴ ∠1+∠3=90°. ∵ PE⊥BP，∴ ∠1+∠2=90°,∴ ∠3=∠2. ∵ AB∥CD，∠A=90°，∴ ∠D=∠A=90°∴ △ABP∽△DPE. 图 1-10-86 (2)【解】 由△ABP∽△DPE 可得=. ∵ AB=2，AD=5，AP＝x，DE=y,∴ DP=5－x,∴ =, 整理，得 y=－+x(0