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- 2021-05-10 发布
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中考数学 压轴题100题 精选(1-20题)
【001】如图,已知抛物线(a≠0)经过点,抛物线的顶点为,过作射线.过顶点平行于轴的直线交射线于点,在轴正半轴上,连结.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点从点出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线运动,设点运动的时间为.问当为何值时,四边形分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?
(3)若,动点和动点分别从点和点同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为,连接,当为何值时,四边形的面积最小?并求出最小值及此时的长.
x
y
M
C
D
P
Q
O
A
B
【002】如图16,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ;
(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与
t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
A
C
B
P
Q
E
D
图16
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成
为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;
(4)当DE经过点C 时,请直接写出t的值.
【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD
向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E,①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t值。
【004】如图,已知直线与直线相交于点分别交轴于两点.矩形的顶点分别在直线上,顶点都在轴上,且点与点重合.
(1)求的面积;
(2)求矩形的边与的长;
(3)若矩形从原点出发,沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,
设移动时间为秒,矩形与重叠部分的面积为,求关
的函数关系式,并写出相应的的取值范围.
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
(G)
(第4题)
【005】如图1,在等腰梯形中,,是的中点,过点作交于点.,.
(1)求点到的距离;
(2)点为线段上的一个动点,过作交于点,过作交折线于点,连结,设.
①当点在线段上时(如图2),的形状是否发生改变?若不变,求出的周长;若改变,请说明理由;
②当点在线段上时(如图3),是否存在点,使为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由.
A
D
E
B
F
C
图4(备用)
A
D
E
B
F
C
图5(备用)
A
D
E
B
F
C
图1
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
(第25题)
【006】如图13,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),ΔABC的面积为。
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。
【007】如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),
点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式;
(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,当 t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.
【008】如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD。
(1) 求证:BE=AD;
(2) 求证:AC是线段ED的垂直平分线;
(3) △DBC是等腰三角形吗?并说明理由。
【009】一次函数的图象分别与轴、轴交于点,与反比例函数的图象相交于点.过点分别作轴,轴,垂足分别为;过点分别作轴,轴,垂足分别为与交于点,连接.
(1)若点在反比例函数
的图象的同一分支上,如图1,试证明:
①;
②.
(2)若点分别在反比例函数的图象的不同分支上,如图2,则与还相等吗?试证明你的结论.
O
C
F
M
D
E
N
K
y
x
(第25题图1)
O
C
D
K
F
E
N
y
x
M
(第25题图2)
【010】如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于C点,且经过点,对称轴是直线,顶点是.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)经过两点作直线与轴交于点,在抛物线上是否存在这样的点,使以点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设直线与y轴的交点是,在线段上任取一点
(不与重合),经过三点的圆交直线于点,试判断的形状,并说明理由;
(4)当是直线上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论).
O
B
x
y
A
M
C
1
(第10题图)
【011】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示
,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
D
F
B
A
C
E
第24题图③
F
B
A
D
C
E
G
第24题图②
F
B
A
D
C
E
G
第24题图①
【012】如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于四点.抛物线与轴交于点,与直线交于点,且分别与圆相切于点和点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交轴于点,连结,并延长交圆于,求的长.
(3)过点作圆的切线交的延长线于点,判断点
是否在抛物线上,说明理由.
O
x
y
N
C
D
E
F
B
M
A
【013】如图,抛物线经过三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标.
O
x
y
A
B
C
4
1
(第26题图)
【014】在平面直角坐标中,边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上,点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转,当点第一次落在直线上时停止旋转,旋转过程中,边交直线于点,边交轴于点(如图).
(1)求边在旋转过程中所扫过的面积;
(第26题)
O
A
B
C
M
N
(2)旋转过程中,当和平行时,求正方形
旋转的度数;
(3)设的周长为,在旋转正方形
的过程中,值是否有变化?请证明你的结论.
【015】如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式;
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;
⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC
相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
【016】如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点.
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点,求的值和这个一次函数的解析式;
(3)第(2)问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D,求过
A、B、D三点的二次函数的解析式;
(4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足:?若存在,求点E的坐标;
若不存在,请说明理由.
y
x
O
C
D
B
A
3
3
6
【017】如图,已知抛物线经过,两点,顶点为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将绕点顺时针旋转90°后,点落到点的位置,将抛物线沿轴平移后经过点,求平移后所得图象的函数关系式;
(3)设(2)中平移后,所得抛物线与轴的交点为,顶点为,若点在平移后的抛物线上,且满足的面积是面积的2倍,求点的坐标.
y
x
B
A
O
D
(第26题)
【018】如图,抛物线经过、两点,与轴交于另一点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点在第一象限的抛物线上,求点关于直线对称的点的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接,点为抛物线上一点,且,求点的坐标.
y
x
O
A
B
C
【019】如图所示,将矩形OABC沿AE折叠,使点O恰好落在BC上F处,以CF为边作正方形CFGH,延长BC至M,使CM=|CF—EO|,再以CM、CO为边作矩形CMNO
(1)试比较EO、EC的大小,并说明理由
(2)令
,请问m是否为定值?若是,请求出m的值;若不是,请说明理由
(3)在(2)的条件下,若CO=1,CE=,Q为AE上一点且QF=,抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点,请求出此抛物线的解析式.
(4)在(3)的条件下,若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在,请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在,请说明理由。
【020】如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为 ,数量关系为 。
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。
试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由。(画图不写作法)
(3)若AC=4,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值。
2010年中考数学压轴题100题精选答案
【001】解:(1)抛物线经过点,
1分
二次函数的解析式为: 3分
(2)为抛物线的顶点过作于,则,
4分
x
y
M
C
D
P
Q
O
A
B
N
E
H
当时,四边形是平行四边形
5分
当时,四边形是直角梯形
过作于,则
(如果没求出可由求)
6分
当时,四边形是等腰梯形
综上所述:当、5、4时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形. 7分
(3)由(2)及已知,是等边三角形
则
过作于,则 8分
= 9分
当时,的面积最小值为 10分
此时
A
C
)
B
P
Q
D
图3
E
)
F
11分
【002】解:(1)1,;
(2)作QF⊥AC于点F,如图3, AQ = CP= t,∴.
A
C
B
P
Q
E
D
图4
由△AQF∽△ABC,,
得.∴. ∴,
即.
(3)能.
A
C
B
P
Q
E
D
图5
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图6
G
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图7
G
①当DE∥QB时,如图4.
∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形.
此时∠AQP=90°.
由△APQ ∽△ABC,得,
即. 解得.
②如图5,当PQ∥BC时,DE⊥BC,四边形QBED是直角梯形.
此时∠APQ =90°.
由△AQP ∽△ABC,得 ,
即. 解得.
(4)或.
【注:①点P由C向A运动,DE经过点C.
方法一、连接QC,作QG⊥BC于点G,如图6.
,.
由,得,解得.
方法二、由,得,进而可得
,得,∴.∴.
②点P由A向C运动,DE经过点C,如图7.
,】
【003】解.(1)点A的坐标为(4,8) …………………1分
将A (4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx
8=16a+4b
得
0=64a+8b
解 得a=-,b=4
∴抛物线的解析式为:y=-x2+4x …………………3分
(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE==,即=
∴PE=AP=t.PB=8-t.
∴点E的坐标为(4+t,8-t).
∴点G的纵坐标为:-(4+t)2+4(4+t)=-t2+8. …………………5分
∴EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t.
∵-<0,∴当t=4时,线段EG最长为2. …………………7分
②共有三个时刻. …………………8分
t1=, t2=,t3= . …………………11分
【004】(1)解:由得点坐标为
由得点坐标为∴(2分)
由解得∴点的坐标为(3分)
∴(4分)
(2)解:∵点在上且 ∴点坐标为(5分)又∵点在上且∴点坐标为(6分)
∴(7分)
(3)解法一:当时,如图1,矩形与重叠部分为五边形(时,为四边形).过作于,则
A
D
B
E
O
R
F
x
y
y
M
(图3)
G
C
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
(图1)
R
M
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
(图2)
R
M
∴即∴
∴
即(10分)
图1
A
D
E
B
F
C
G
【005】(1)如图1,过点作于点 1分
∵为的中点,
∴
在中,∴ 2分
∴
即点到的距离为 3分
(2)①当点在线段上运动时,的形状不发生改变.
∵∴
∵∴,
同理 4分
如图2,过点作于,∵
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
G
H
∴
∴
∴
则
在中,
∴的周长= 6分
②当点在线段上运动时,的形状发生改变,但恒为等边三角形.
当时,如图3,作于,则
类似①,
∴ 7分
∵是等边三角形,∴
此时, 8分
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图4
A
D
E
B
F
C
P
M
N
图5
A
D
E
B
F(P)
C
M
N
G
G
R
G
当时,如图4,这时
此时,
当时,如图5,
则又
∴
因此点与重合,为直角三角形.
∴
此时,
综上所述,当或4或时,为等腰三角形.
【006】解:(1)OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=,得AB=,
设A(a,0),B(b,0)AB=b-a==,解得p=,但p<0,所以p=。
所以解析式为:
(2)令y=0,解方程得,得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC=,同样可求得BC=,显然AC2+BC2=AB2,得△ABC是直角三角形。AB为斜边,所以外接圆的直径为AB=,所以。
(3)存在,AC⊥BC,①若以AC为底边,则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式为y=-2x+b,把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4,解方程组得D(,9)
②若以BC为底边,则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b,把 A(,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25,解方程组得D() 综上,所以存在两点:(,9)或()。
【007】
【008】证明:(1)∵∠ABC=90°,BD⊥EC,
∴∠1与∠3互余,∠2与∠3互余,
∴∠1=∠2…………………………………………………1分
∵∠ABC=∠DAB=90°,AB=AC
∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分
∴AD=BE……………………………………………………3分
(2)∵E是AB中点,
∴EB=EA由(1)AD=BE得:AE=AD……………………………5分
∵AD∥BC∴∠7=∠ACB=45°∵∠6=45°∴∠6=∠7
由等腰三角形的性质,得:EM=MD,AM⊥DE。
即,AC是线段ED的垂直平分线。……………………7分
(3)△DBC是等腰三角(CD=BD)……………………8分
理由如下:
由(2)得:CD=CE由(1)得:CE=BD∴CD=BD
∴△DBC是等腰三角形。……………………………10分
【009】O
C
F
M
D
E
N
K
y
x
图1
解:(1)①轴,轴,
四边形为矩形.
轴,轴,
四边形为矩形.
轴,轴,
四边形均为矩形. 1分
,
,
.
.
,
,
. 2分
②由(1)知.
.
. 4分
,
. 5分
.
. 6分
轴,
四边形是平行四边形.
. 7分
同理.
. 8分
(2)与仍然相等. 9分
,
O
C
D
K
F
E
N
y
x
M
图2
,
又,
. 10分
.
.
,
.
.
. 11分
轴,
四边形是平行四边形.
.
同理.
. 12分
【010】y
x
E
D
N
O
A
C
M
P
N
1
F
(第26题图)
解:(1)根据题意,得 2分
解得抛物线对应的函数表达式为. 3分
(2)存在.
在中,令,得.
令,得,.
,,.
又,顶点. 5分
容易求得直线的表达式是.
在中,令,得.
,. 6分
在中,令,得.
.
,四边形为平行四边形,此时. 8分
(3)是等腰直角三角形.
理由:在中,令,得,令,得.
直线与坐标轴的交点是,.
,. 9分
又点,.. 10分
由图知,. 11分
,且.是等腰直角三角形. 12分
(4)当点是直线上任意一点时,(3)中的结论成立. 14分
【011】解:(1)证明:在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,∴ CG= FD.………1分
同理,在Rt△DEF中,EG= FD.…………2分∴ CG=EG.…………………3分
(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.…………………………4分
证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
在△DAG与△DCG中,∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴ △DAG≌△DCG.∴ AG=CG.………………………5分
在△DMG与△FNG中,∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,
∴ △DMG≌△FNG.∴ MG=NG 在矩形AENM中,AM=EN. ……………6分
在Rt△AMG 与Rt△ENG中,∵ AM=EN, MG=NG,
∴ △AMG≌△ENG.∴ AG=EG.∴ EG=CG. ……………………………8分
证法二:延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC, ……………………4分
在△DCG 与△FMG中,∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG ≌△FMG.∴MF=CD,∠FMG=∠DCG.
∴MF∥CD∥AB.………………………5分∴ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中,
∵ MF=CB,EF=BE,∴△MFE ≌△CBE.∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°.∴ △MEC为直角三角形.∵ MG = CG,∴ EG= MC.………8分
(3)(1)中的结论仍然成立,即EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.……10分
【012】解:(1)圆心在坐标原点,圆的半径为1,
点的坐标分别为
抛物线与直线交于点,且分别与圆相切于点和点,
.点在抛物线上,将的坐标代入,得: 解之,得:
抛物线的解析式为:. 4分
(2)
抛物线的对称轴为,
O
x
y
N
C
D
E
F
B
M
A
P
. 6分
连结,
,,
又,
,
. 8分
(3)点在抛物线上. 9分
设过点的直线为:,
将点的坐标代入,得:,
直线为:. 10分
过点作圆的切线与轴平行,点的纵坐标为,
将代入,得:.
点的坐标为,当时,,
所以,点在抛物线上. 12分
【013】解:(1)该抛物线过点,可设该抛物线的解析式为.
将,代入,
得解得
此抛物线的解析式为. (3分)
(2)存在. (4分)
如图,设点的横坐标为,
O
x
y
A
B
C
4
1
(第26题图)
D
P
M
E
则点的纵坐标为,
当时,
,.
又,
①当时,
,
即.
解得(舍去),. (6分)
②当时,,即.
解得,(均不合题意,舍去)
当时,. (7分)
类似地可求出当时,. (8分)
当时,.
综上所述,符合条件的点为或或. (9分)
(3)如图,设点的横坐标为,则点的纵坐标为.
过作轴的平行线交于.由题意可求得直线的解析式为
. (10分)
点的坐标为.. (11分)
.
当时,面积最大.. (13分)
【014】(1)解:∵点第一次落在直线上时停止旋转,∴旋转了.
∴在旋转过程中所扫过的面积为.……………4分
(2)解:∵∥,∴,.
∴.∴.又∵,∴.
又∵,,∴.∴.∴.∴旋转过程中,当和平行时,正方形旋转的度数为.……………………………………………8分
(3)答:值无变化. 证明:延长交轴于点,则,
,∴.又∵,.∴.∴.
(第26题)
O
A
B
C
M
N
又∵,, ∴.
∴.∴,
∴.
∴在旋转正方形的过程中,值无变化. ……………12分
【015】⑴设二次函数的解析式为:y=a(x-h)2+k∵顶点C的横坐标为4,且过点(0,)
∴y=a(x-4)2+k ………………①
又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6 ∴A(1,0),B(7,0)
∴0=9a+k ………………②由①②解得a=,k=∴二次函数的解析式为:y=(x-4)2-
⑵∵点A、B关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P
设直线x=4与x轴交于点M ∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO∴ ∴∴点P的坐标为(4,)
⑶由⑴知点C(4,),又∵AM=3,∴在Rt△AMC中,cot∠ACM=,
∴∠ACM=60o,∵AC=BC,∴∠ACB=120o
①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有
BQ=6,∠ABQ=120o,则∠QBN=60o ∴QN=3,BN=3,ON=10,此时点Q(10,),
如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,)
②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB,此时点Q的坐标是(4,),
经检验,点(10,)与(-2,)都在抛物线上
综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC
点Q的坐标为(10,)或(-2,)或(4,).
【016】解:(1)设正比例函数的解析式为,
因为的图象过点,所以,解得.
这个正比例函数的解析式为. (1分)
设反比例函数的解析式为.因为的图象过点,所以
,解得.这个反比例函数的解析式为. (2分)
(2)因为点在的图象上,所以,则点. (3分)
设一次函数解析式为.因为的图象是由平移得到的,
所以,即.又因为的图象过点,所以
,解得,一次函数的解析式为. (4分)
(3)因为的图象交轴于点,所以的坐标为.
设二次函数的解析式为.
因为的图象过点、、和,
所以 (5分) 解得
这个二次函数的解析式为. (6分)
(4)交轴于点,点的坐标是,
y
x
O
C
D
B
A
3
3
6
E
如图所示,
.
假设存在点,使.
四边形的顶点只能在轴上方,,
.
,.在二次函数的图象上,
.解得或.
当时,点与点重合,这时不是四边形,故舍去,
点的坐标为. (8分)
【017】解:(1)已知抛物线经过,
解得
所求抛物线的解析式为. 2分
(2),,
可得旋转后点的坐标为 3分
当时,由得,
可知抛物线过点
将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点.
平移后的抛物线解析式为:. 5分
(3)点在上,可设点坐标为
将配方得,其对称轴为. 6分
y
x
C
B
A
O
N
D
B1
D1
图①
①当时,如图①,
此时
y
x
C
B
A
O
D
B1
D1
图②
N
点的坐标为. 8分
②当时,如图②
同理可得
此时
点的坐标为.
综上,点的坐标为或. 10分
【018】解:(1)抛物线经过,两点,
解得
抛物线的解析式为.
y
x
O
A
B
C
D
E
(2)点在抛物线上,,
即,或.
点在第一象限,点的坐标为.
由(1)知.
设点关于直线的对称点为点.
,,且,
,
点在轴上,且.
,.
即点关于直线对称的点的坐标为(0,1).
(3)方法一:作于,于.
y
x
O
A
B
C
D
E
P
F
由(1)有:,
.
,且.
,
.
,,,
.
设,则,,
.
点在抛物线上,
,
(舍去)或,.
y
x
O
A
B
C
D
P
Q
G
H
方法二:过点作的垂线交直线于点,过点作轴于.过点作于.
.
,
又,.
,,.
由(2)知,.
,直线的解析式为.
解方程组得
点的坐标为.
【019】(1)EO>EC,理由如下:
由折叠知,EO=EF,在Rt△EFC中,EF为斜边,∴EF>EC, 故EO>EC …2分
(2)m为定值
∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―
EC)
S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO
∴ ……………………………………………………4分
(3)∵CO=1, ∴EF=EO=
∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°,
∴
∴△EFQ为等边三角形, …………………………………………5分
作QI⊥EO于I,EI=,IQ=
∴IO= ∴Q点坐标为 ……………………………………6分
∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0,1), Q ,m=1
∴可求得,c=1
∴抛物线解析式为 ……………………………………7分
(4)由(3),
当时,<AB
∴P点坐标为 …………………8分
∴BP=AO
方法1:若△PBK与△AEF相似,而△AEF≌△AEO,则分情况如下:
①时,∴K点坐标为或
②时, ∴K点坐标为或…………10分
故直线KP与y轴交点T的坐标为
…………………………………………12分
方法2:若△BPK与△AEF相似,由(3)得:∠BPK=30°或60°,过P作PR⊥y轴于R,则∠RTP=60°或30°
①当∠RTP=30°时,
②当∠RTP=60°时,
∴ ……………………………12分
【020】解:(1)①CF⊥BD,CF=BD
②成立,理由如下:∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF
又 BA=CA ,AD=AF ∴△BAD≌△CAF∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45°
∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……(1分)
(2)当∠ACB=45°时可得CF⊥BC,理由如下:
如图:过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G
则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45°
∵AG=AC AD=AF ………(1分)
∴△GAD≌△CAF(SAS) ∴∠ACF=∠AGD=45°
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………(2分)
(3)如图:作AQBC于Q
∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4
∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°
∴△ADQ∽△DPC …(1分)
∴=
设CD为x(0<x<3)则DQ=CQ-CD=4-x则= …………(1分)
∴PC=(-x2+4x)=-(x-2)2+1≥1
当x=2时,PC最长,此时PC=1 ………(1分)