全国各地中考数学分类解析套专题目专题目反比例函数的应用 28页

2012 年全国中考数学试题分类解析汇编(159 套 63 专题） 专题 19：反比例函数的应用 一、选择题 1. （2012 福建福州 4 分）如图，过点 C(1，2)分别作 x 轴、y 轴的平行线，交直线 y＝－x＋6 于 A、B 两点，若反比例函数 y＝k x(x＞0)的图像与△ABC 有公共点，则 k 的取值范围是【 】 A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8 【答案】A。 【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。 【分析】∵ 点 C(1，2)，BC∥y 轴，AC∥x 轴， ∴ 当 x＝1 时，y＝－1＋6＝5；当 y＝2 时，－x＋6＝2，解得 x＝4。 ∴ 点 A、B 的坐标分别为 A(4，2)，B(1，5)。 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点 C 相交时，k＝1×2＝2 最小。 设与线段 AB 相交于点(x，－x＋6)时 k 值最大， 则 k＝x(－x＋6)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9。 ∵ 1≤x≤4，∴ 当 x＝3 时，k 值最大，此时交点坐标为(3，3)。 因此，k 的取值范围是 2≤k≤9。故选 A。 2. （2012 湖北黄石 3 分）如图所示，已知 A ，B 为反比例函数 图像上的两点，动 点 P 在 x 正半轴上运动，当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点 P 的坐标是【 】 1 1( , y )2 2(2, y ) 1y x = (x,0) A. B. C. D. 【答案】D。 【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。 【分析】∵把 A ，B 分别代入反比例函数 得：y1=2，y2= ， ∴A（ ，2），B（2， ）。 ∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP－BP|＜AB， ∴延长 AB 交 x 轴于 P′，当 P 在 P′点时，PA－PB=AB， 即此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大。 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，把 A、B 的坐标代入得： ，解得： 。∴直线 AB 的解析式是 。 当 y=0 时，x= ，即 P（ ，0）。故选 D。 3. （2012 湖北荆门 3 分）如图，点 A 是反比例函数 （x＞0）的图象上任意一点，AB∥x 轴交反比例 函数 的图象于点 B，以 AB 为边作□ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则 S□ABCD 为【 】 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【答案】D。 【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。 1( ,0)2 (1,0) 3( ,0)2 5( ,0)2 1 1( , y )2 2(2, y ) 1y x = 1 2 1 2 1 2 12= k+b2 1 =2k+b2     k= 1 5b= 2 −  5y x 2 = − + 5 2 5 2 2y= x 3y= x − 【分析】设 A 的纵坐标是 a，则 B 的纵坐标也是 a． 把 y=a 代入 得， ，则 ，即 A 的横坐标是 ；同理可得：B 的横坐标是： 。 ∴AB= 。∴S□ABCD= ×a=5。故选 D。 4. （2012 湖北恩施 3 分）已知直线 y=kx（k＞0）与双曲线 交于点 A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 则 x1y2+x2y1 的值为【 】 A．﹣6 B．﹣9 C．0 D．9 【答案】A。 【考点】反比例函数图象的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】∵点 A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线 上的点，∴x1•y1=x2•y2=3。 ∵直线 y=kx（k＞0）与双曲线 交于点 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴x1=﹣x2，y1=﹣y2 ∴x1y2+x2y1=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6。故选 A。 5. （2012 湖北随州 4 分）如图，直线 l 与反比例函数 的图象在第一象限内交于 A、B 两点，交 x 轴 的正半轴于 C 点,若 AB：BC=(m 一 l)：1(m>l)则△OAB 的面积(用 m 表示)为【 】 A. B. C. D. 【答案】B。 【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代数式化简。 【分析】如图，过点 A 作 AD⊥OC 于点 D，过点 B 作 BE⊥OC 于点 E, 设 A(ｘA，ｙA)，B (ｘB，ｙB)，C（c¸0）。 ∵AB：BC=(m 一 l)：1(m>l)，∴AC：BC=m：1。 2y= x 2a= x 2x= a 2 a 3 a − 2 3 5=a a a  − −   5 a 3y= x 3y= x 3y= x 2y= x 2m 1 2m − 2m 1 m − ( )23 m 1 m − ( )23 m 1 2m − 又∵△ADC∽△BEC，∴AD：BE=DC：EC= AC：BC=m：1。 又∵AD=ｙA，BE=ｙB，DC= c－ｘA，EC= c－ｘB， ∴ｙA：ｙB= m：1，即ｙA= mｙB。 ∵直线 l 与反比例函数 的图象在第一象限内交于 A、B 两点， ∴ ， 。 ∴ ， 。 将 又由 AC：BC=m：1 得（c－ｘA）：（c－ｘB）=m：1，即 ，解得 。 ∴ 。 故选 B。 6. （2012 湖南株洲 3 分）如图，直线 x=t（t＞0）与反比例函数 的图象分别交于 B、C 两点， A 为 y 轴上的任意一点，则△ABC 的面积为【 】 　　A．3　　B． t　　C． 　　D．不能确定 【答案】C。 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】把 x=t 分别代入 ，得 ，∴B（t， ）、C（t， ）。 ( ) BB 1c x : c x m:1m  − − =   2y= x A A 2y = x B B 2y = x A B 2 2m=x x A B 1x = xm ( )Bx m+1c= m ( ) ( ) ( )B OAB OCB OBC A B A B B B x m+11 1 1 1S =S S = c y c y c y y my y2 2 2 2 m∆ ∆ ∆− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ( )( ) ( ) ( )2 2 2 B BB B x y m 1 2 m 1x y m+1 m 11 m 1 2 m 2m 2m m − −− −= ⋅ = = = 2 1y= y=x x −， 3 2 3 2 2 1y= y=x x −， 2 1y= y=t t −， 2 t 1 t − ∴BC= ﹣（ ）= 。 ∵A 为 y 轴上的任意一点，∴点 A 到直线 BC 的距离为 t。 ∴△ABC 的面积= 。故选 C。 7. （2012 四川泸州 2 分）如图，矩形 ABCD 中，C 是 AB 的中点，反比例函数 (k＞0)在第一象限 的图象经过 A、C 两点，若△OAB 面积为 6，则 k 的值为【 】 A、2 B、4 C、8 D、16 【答案】B。 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义，三角形中位线定理。 【分析】如图，分别过点 A、点 C 作 OB 的垂线，垂足分别为点 M、点 N， ∵点 C 为 AB 的中点，∴CE 为△AMB 的中位线。 ∴MN=NB=a，CN=b，AM=2b。 又∵OM•AM=ON•CN，∴OM=a。 ∴△OAB 面积=3a•2b÷2=3ab=6。 ∴ab=2。∴k=a•2b=2ab=4。故选 B。 8. （2012 辽宁丹东 3 分）如图，点 A 是双曲线 在第二象限分支上的任意一点，点 B、点 C、点 D 分别是点 A 关于 x 轴、坐标原点、y 轴的对称点．若四边形 ABCD 的面积是 8，则 k 的值为【 】 A.-1 B.1 C.2 D.-2 【答案】D。 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义，关于原点对称、x 轴、y 轴对称的点的坐标，矩形的判定和性质。 2 t 1 t − 3 t 1 3 3t=2 t 2 ⋅ ⋅ ky x = ky x = 【分析】∵点 B、点 C、点 D 分别是点 A 关于 x 轴、坐标原点、y 轴的对称点，∴四边形 ABCD 是矩形。∵ 四边形 ABCD 的面积是 8，∴4×|－k|=8，解得|k|=2。 又∵双曲线位于第二、四象限，∴k＜0。∴k=－2。故选 D。 9. （2012 辽宁铁岭 3 分）如图，点 A 在双曲线 上，点 B 在双曲线 （k≠0）上，AB∥x 轴，分 别过点 A、B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 D、C，若矩形 ABCD 的面积是 8，则 k 的值为【 】 A.1 2 B.10 C.8 D.6 【答案】A。 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，矩形的判定和性质。 【分析】∵双曲线 （k≠0）在第一象限，∴k＞0。 延长线段 BA，交 y 轴于点 E。 ∵AB∥x 轴，∴AE⊥y 轴。∴四边形 AEOD 是矩形。 ∵点 A 在双曲线 上，∴ =4。 同理 =k。 ∵ ， ∴k=12。故选 A。 10. （2012 山东德州 3 分）如图，两个反比例函数 和 的图象分别是 l1 和 l2．设点 P 在 l1 上， PC⊥x 轴，垂足为 C，交 l2 于点 A，PD⊥y 轴，垂足为 D，交 l2 于点 B，则三角形 PAB 的面积为【 】 A．3 B．4 C． D．5 4y x = ky x = ky x = 4y x = AEODS矩形 OCBES矩形 ABCD OCBE AEODS S S k 4 8= − = − =矩形 矩形 矩形 1y= x 2y= x − 9 2 【答案】C。 【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积。 11. （2012 山东临沂 3 分）如图，若点 M 是 轴正半轴上任意一点，过点 M 作 PQ∥ 轴，分别交函数 和 的图象于点 P 和 Q，连接 OP 和 OQ．则下列结论正确的是【 】 A．∠POQ 不可能等于 90°　　 B． 　　 x y 1 ( 0)ky xx = > 2 ( 0)ky xx = > 1 2 PM QM k k = C．这两个函数的图象一定关于 轴对称　 　D．△POQ 的面积是 【答案】D。 【考点】反比例函数综合题，直角三角形的判定，反比例函数的性质，反比例函数系数的几何意义。 【分析】根据反比例函数的性质逐一作出判断： A．∵当 PM=MO=MQ 时，∠POQ=90°，故此选项错误； B．根据反比例函数的性质，由图形可得： ＞0， ＜0，而 PM，QM 为线段一定为正值，故 ，故此选项错误； C．根据 ， 的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于 轴对称，故此选项错误； D．∵| |=PM•MO，| |=MQ•MO， ∴△POQ 的面积= MO•PQ= MO（PM+MQ）= MO•PM+ MO•MQ= 。 故此选项正确。 故选 D。 12. （2012 山东威海 3 分）下列选项中，阴影部分面积最小的是【 】 【答案】C。 【考点】反比例函数的图象和性质。 【分析】根据反比例函数的图象和性质，A，B，D 三个图形中阴影部分面积均为 2。而 C 图形中阴影部分 面积为 。故选 C。 二、填空题 1. （2012 广东深圳 3 分）如图，双曲线 与⊙O 在第一象限内交于 P、Q 两点，分别过 P、Q 两点向 x 轴和 y 轴作垂 线，已知点 P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ▲ ． x ( )1 2 1 2 k k+ 1k 2k 1 2 PM QM k k = 1k 2k x 1k 2k 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )1 2 1 2 k k+ 3 2 ky (k 0)x = > 【答案】4。 【考点】反比例函数综合题 【分析】∵⊙O 在第一象限关于 y=x 对称， 也关于 y=x 对称，P 点坐标是（1，3）， ∴Q 点的坐标是（3，1）， ∴S 阴影=1×3+1×3－2×1×1=4。 2. （2012 浙江衢州 4 分）如图，已知函数 y=2x 和函数 的图象交于 A、B 两点，过点 A 作 AE⊥x 轴 于点 E，若△AOE 的面积为 4，P 是坐标平面上的点，且以点 B、O、E、P 为顶点的四边形是平行四边形， 则满足条件的 P 点坐标是　 ▲ 　． 【答案】（0，﹣4），（﹣4，﹣4），（4，4）。 【考点】反比例函数综合题，平行四边形的性质。 【分析】先求出 B、O、E 的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出 P 点的坐标： 如图，∵△AOE 的面积为 4，函数 的图象过一、三象限， ∴k=8。 ∴反比例函数为 ∵函数 y=2x 和函数 的图象交于 A、B 两点， ∴A、B 两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4）， ∵以点 B、O、E、P 为顶点的平行四边形共有 3 个， ∴满足条件的 P 点有 3 个，分别为：P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）。 ky (k 0)x = > ky= x ky= x 8y= x 8y= x 3. （2012 浙江温州 5 分）如图，已知动点 A 在函数 (x>o)的图象上，AB⊥x 轴于点 B，AC⊥y 轴于 点 C，延长 CA 至点 D，使 AD=AB，延长 BA 至点Ｅ，使 AE=AC.直线 DE 分别交 x 轴，y 轴于点 P,Q.当 QE：DP=4:9 时，图中的阴影部分的面积等于 ▲ _. 【答案】 。 【考点】反比例函数综合题，曲线上坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G，过点 E 作 EF⊥y 轴于点 F。 ∵A 在函数 (x>o)的图象上，∴设 A（t， ）， 则 AD=AB=DG= ，AE=AC=EF=t。 在 Rt△ADE 中，由勾股定理，得 。 ∵△EFQ∽△DAE，∴QE：DE=EF：AD。∴QE= 。 ∵△ADE∽△GPD，∴DE：PD=AE：DG。∴DP= 。 又∵QE：DP=4：9，∴ 。解得 。 ∴图中阴影部分的面积= 。 4. （2012 江苏常州 2 分）如图，已知反比例函数 和 。点 A 在 y 轴的正半轴上， 过点 A 作直线 BC∥x 轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点 B 和 C，连接 OC、OB。若△BOC 的面 积为 ，AC：AB=2：3，则 = ▲ ， = ▲ 。 4y= x 13 3 4y= x 4 t 4 t 4 2 2 2 24 t +16DE AD AE tt t  = + = + =   4t t +16 4 4 3 4 t +16 t 4 4 3 t t +16 4 t +16 4 94 t =： ： 2 8t 3 = 2 2 2 2 1 1 1 1 16 4 13AC AB t 32 2 2 2 t 3 3 + = + ⋅ = + = ( )1 1 ky= k 0x > ( )2 2 ky= k 0x < 5 2 1k 2k 5. （2012 江苏苏州 3 分）如图，已知第一象限内的图象是反比例函数 图象的一个分支，第二象限 内的图象是反比例函数 图象的一个分支，在 轴上方有一条平行于 轴的直线 与它们分别交于点 A、 B，过点 A、B 作 轴的垂线，垂足分别为 C、D.若四边形 ACDB 的周长为 8 且 AB0）的图象上，则 ▲ ． 【答案】 。 0 3 x2 0 3 y2 0 3 x2 0 3 y2 0 3 x2 ky= x 0 3 x2 B 0 2y y3 = 0 0 3 2x y2 3 ， 5 2 5 155+ =2 2 1 15NB OM=2 2 ⋅ 0 0 0 1 3 2 3 15y y x =2 2 3 2 2  − ⋅   0 0x y =12⋅ ( )1 1x y， ( )2 2x y， 1y= x 1 2y +y = 2 【考点】反比例函数综合题。 【分析】∵⊙O1 过原点 O，⊙O1 的半径 O1P1，∴O1O=O1P1。 ∵⊙O1 的半径 O1P1 与 x 轴垂直，点 P1（x1，y1）在反比例函数 （x＞0）的图象上， ∴x1=y1，x1y1=1。∴x1=y1=1。 ∵⊙O1 与⊙O2 相外切，⊙O2 的半径 O2P2 与 x 轴垂直， 设两圆相切于点 A，∴AO2=O2P2=y2，OO2=2+y2。 ∴P2 点的坐标为：（2+y2，y2）。 ∵点 P2 在反比例函数 （x＞0）的图象上， ∴（2+y2）•y2=1，解得：y2=－1+ 或－1－ （不合题意舍去）。 ∴y1+y2=1+（－1+ ）= 。 9. （2012 福建漳州 4 分）如图，点 A(3，n)在双曲线 y= 上，过点 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C．线段 OA 的垂直平分线交 OC 于点 B，则△ABC 周长的值是 ▲ ． 【答案】4。 【考点】反比例函数的图象和性质，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理。 【分析】由点 A(3，n)在双曲线 y= 上得，n=1。∴A(3，1)。 ∵线段 OA 的垂直平分线交 OC 于点 B，∴OB=AB。 则在△ABC 中， AC=1，AB＋BC=OB＋BC=OC=3， ∴△ABC 周长的值是 4。 10. （2012 福建三明 4 分）如图，点 A 在双曲线 上，点 B 在双曲线 上，且 AB//y 轴，点 P 是 轴上的任意一点，则△PAB 的面积为 ▲ ．y 1y= x 1y= x 2 2 2 2 3 x 3 x ( )2y= x 0x > ( )4y= x 0x > 【答案】1。 【考点】反比例函数的图象和性质，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】∵点 A 在双曲线 上，点 B 在双曲线 上，且 AB//y 轴， ∴可设 A（x， ），B（x， ） 。 ∴AB= ，AB 边上的高为 x。 ∴△PAB 的面积为 。 11. （2012 湖南湘潭 3 分）近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（m）成反比例（即 ），已知 200 度近视眼镜的镜片焦距为 0.5m，则 y 与 x 之间的函数关系式是　 ▲ ． 【答案】 。 【考点】根据实际问题列反比例函数关系式。 【分析】由于点（0.5，200）适合这个函数解析式，则 k=0.5×200=100，∴ 。 故眼镜度数 y 与镜片焦距 x 之间的函数关系式为： 。 12. （2012 四川成都 4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B， 与反比例函数 ( 为常数，且 )在第一象限的图象交于点 E，F．过点 E 作 EM⊥y 轴于 M，过点 F 作 FN⊥x 轴于 N，直线 EM 与 FN 交于点 C．若 ( 为大于 l 的常数)．记△CEF 的面积为 S1， △OEF 的面积为 S2，则 = ▲ ． (用含 的代数式表示) ( )2y= x 0x > ( )4y= x 0x > 2 x 4 x ( )x 0> 4 2 2 x x x − = 1 2 x=12 x ⋅ ⋅ ( )ky= k 0x ≠ 100y= x 100y= x 100y= x ky= x k k 0> BE 1=BF m m 1 2 S S m 【答案】 。 【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。。 【分析】过点 F 作 FD⊥BO 于点 D，EW⊥AO 于点 W， ∵ ，∴ 。 设 E 点坐标为：（x，my），则 F 点坐标为：（mx，y）， ∴△CEF 的面积为：S1= （mx﹣x）（my﹣y）= （m﹣1）2xy。 ∵△OEF 的面积为：S2=S 矩形 CNOM﹣S1﹣S△MEO﹣S△FON =MC•CN﹣ （m﹣1）2xy﹣ ME•MO﹣ FN•NO =mx•my﹣ （m﹣1）2xy﹣ x•my﹣ y•mx=m2xy﹣ （m﹣1）2xy﹣mxy = （m2﹣1）xy= （m+1）（m﹣1）xy， ∴ 。 13. （2012 山东聊城 3 分）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点 O，且正方形的一组对边与 x 轴 平行，点 P（3a，a）是反比例函数 （k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积 等于 9，则这个反比例函数的解析式为　 ▲ 　． m 1 m+1 − BE 1=BF m FN 1=EW m 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) 2 1 2 1 m 1 xyS m 12 1S m+1m 1 m 1 xy2 − −= = + − （ ） ky x = 【答案】 。 【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质。 【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积 的，设小正方形的边长为 b，图中阴影部分的面积等于 9 可求出 b 的值，从而 可得出直线 AB 的表达式，再根据点 P（3a，a）在直线 AB 上可求出 a 的值，从而 得出反比例函数的解析式： ∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正 方形的面积。 设正方形的边长为 b，则 b2=9，解得 b=6。 ∵正方形的中心在原点 O，∴直线 AB 的解析式为：x=3。 ∵点 P（3a，a）在直线 AB 上，∴3a=3，解得 a=1。∴P（3，1）。 ∵点 P 在反比例函数 （k＞0）的图象上，∴k=3×1=3。 ∴此反比例函数的解析式为： 。 14. （2012 山东日照 4 分）如图，点 A 在双曲线 上，过 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C，OA 的垂直平分 线交 OC 于点 B，当 OA＝4 时，则△ABC 周长为 ▲ . 【答案】 。 【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质。 3y x = ky x = 3y x = 6y= x 2 7 【分析】根据线段垂直平分线的性质可知 AB=OB，由此推出△ABC 的周长=OC+AC，设 OC=a，AC=b， 根据勾股定理和函数解析式即可得到关于 a、b 的方程组，解之即可求出△ABC 的周长。 设 A（a，b），则 OC=a，AC=b。 ∵点 A 在双曲线 上，∴ ，即 ab=6。 ∵OA=4，∴a2＋b2=42，即（a＋b）2－2ab=16，即（a＋b）2－2×6=16，∴a＋b= 。 ∵OA 的垂直平分线交 OC 于 B，∴AB=OB。 ∴△ABC 的周长=OC+AC= a＋b= 。 15. （2012 河南省 5 分）如图，点 A，B 在反比例函数 的图像上，过点 A，B 作 x 轴的 垂线，垂足分别为 M，N，延长线段 AB 交 x 轴于点 C，若 OM=MN=NC，△AOC 的面积为 6，则 k 值为 ▲ 【答案】4。 【考点】反比例函数综合题。 【分析】设 OM=a， ∵点 A 在反比例函数 上，∴AM= 。 ∵OM=MN=NC，∴OC=3a。 ∴S△AOC= •OC•AM= ×3a× = k=6。解得 k=4。 16. （2012 甘肃兰州 4 分）如图，点 A 在双曲线 上，点 B 在双曲线 上，且 AB∥x 轴，C、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为　 ▲ 　． 【答案】2。 6y= x 6b= a 2 7 2 7 ( )ky= k 0 x 0x > >， ( )ky= k 0 x 0x > >， ky= a 1 2 1 2 k a 3 2 1y= x 3y= x 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义。 【分析】如图，过 A 点作 AE⊥y 轴，垂足为 E， ∵点 A 在双曲线 上，∴四边形 AEOD 的面积为 1。 ∵点 B 在双曲线 上，且 AB∥x 轴，∴四边形 BEOC 的面积为 3。 ∴四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 3－1＝2。 三、解答题 1. （2012 重庆市 10 分）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函 数 的图象交于一、三象限内的 A．B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的坐标为（2，m)，点 B 的坐标为（n，－2），tan∠BOC＝ 。 （l）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在 x 轴上有一点 E（O 点除外），使得△BCE 与△BCO 的面积相等，求出点 E 的坐标． 【答案】解：（1）过 B 点作 BD⊥x 轴，垂足为 D， ∵B（n，－2），∴BD=2。 在 Rt△OBD 中 ， tan∠BOC= ， 即 ， 解得 OD=5。 又∵B 点在第三象限，∴B（－5，－2）。 将 B（－5，－2）代入 中，得 k=xy=10。 ∴反比例函数解析式为 。 将 A（2，m）代入 中，得 m=5，∴A（2，5）， 1y= x 3y= x ( )ky k 0x = ≠ 2 5 BD 2= OD 5 2 2= OD 5 ky x = 10y x = 10y x = 将 A（2，5），B（－5，－2）代入 y=ax+b 中， 得 ，解得 。 ∴一次函数解析式为 y=x+3。 （2）由 y=x+3 得 C（－3，0），即 OC=3。 ∵S△BCE=S△BCO，∴CE=OC=3，∴OE=6，即 E（－6，0）。 【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义。 【分析】（1）过 B 点作 BD⊥x 轴，垂足为 D，由 B（n，－2）得 BD=2，由 tan∠BOC= ，解直角 三角形求 OD，确定 B 点坐标，得出反比例函数关系式。再由 A、B 两点横坐标与纵坐标的积相等求 n 的 值，由“两点法”求直线 AB 的解析式。 （2）点 E 为 x 轴上的点，要使得△BCE 与△BCO 的面积相等，只需要 CE=CO 即可，根据直线 AB 解析式求 CO，再确定 E 点坐标。 2. （2012 安徽省 12 分）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“慢 200 减 100”的促销方式，即购买 商品的总金额满 200 元但不足 400 元，少付 100 元；满 400 元但不足 600 元，少付 200 元；……，乙商场 按顾客购买商品的总金额打 6 折促销。 （1）若顾客在甲商场购买了 510 元的商品，付款时应付多少钱？ （2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为 x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率为 p（p= ），写出 p 与 x 之间的函数关系式，并说明 p 随 x 的变化情况； （3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是 x（200≤x＜400）元，你认为选择 哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由。 【答案】解：（1）顾客在甲商场购买了 510 元的商品，付款时应付 510－200=310（元）。 （2）p 与 x 之间的函数关系式为 。 ∵200＞0，∴p 随 x 的增大而减小。 （3）购 x 元（200≤x＜400）在甲商场的优惠额是 100 元，乙商场的优惠额是 x－0.6x=0.4x。 当 0.4x＜100，即 200≤x＜250 时，选甲商场购买商品花钱较少； 当 0.4x=100，即 x=250 时，选甲乙商场一样优惠； 当 0.4x＞100，即 250＜x＜4000 时，选乙商场购买商品花钱较少。 【考点】反比例函数的性质和应用。 2a b 5 5a b 2 + = − + = − a 1 b 3 =  = BD 2= OD 5 购买商品的总金额 优惠金额 200p x = 【分析】（1）根据题意直接列出算式 510-200 即可。 （2）根据商家的优惠率即可列出 p 与 x 之间的函数关系式，并能得出 p 随 x 的变化情况。 （3）先设购买商品的总金额为 x 元，（200≤x＜400），得出甲商场需花 x-100 元，乙商场需花 0.6x 元，然后分三种情况列出不等式和方程即可。 3. （2012 浙江丽水、金华 8 分）如图，等边△OAB 和等边△AFE 的一边都在 x 轴上，双曲线 y＝ (k＞0) 经过边 OB 的中点 C 和 AE 的中点 D．已知等边△OAB 的边长为 4． (1)求该双曲线所表示的函数解析式； (2)求等边△AEF 的边长． 【答案】解：(1)　过点 C 作 CG⊥OA 于点 G， ∵点 C 是等边△OAB 的边 OB 的中点， ∴OC＝2，∠ A OB＝60°。∴OG＝1，CG＝ ， ∴点 C 的坐标是(1， )。由 ，得：k＝ 。 ∴该双曲线所表示的函数解析式为 。 (2)　过点 D 作 DH⊥AF 于点 H，设 AH＝a，则 DH＝ a。 ∴点 D 的坐标为(4＋a， a)。 ∵点 D 是双曲线 上的点， ∴由 xy＝ ，得 a (4＋a)＝ ，即：a2＋4a－1＝0。 解得：a1＝ －2，a2＝－ －2(舍去)。∴AD＝2AH＝2 －4。 ∴等边△AEF 的边长是 2AD＝4 －8。． 【考点】反比例函数综合题，等边三角形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程。 3 3 k3 1 = 3 3y x = 3 3 3y x = 3 3 3 5 5 5 5 【分析】(1)过点 C 作 CG⊥OA 于点 G，根据等边三角形的性质求出 OG、CG 的长度，从而得到点 C 的坐 标，再利用待定系数法求反比例函数解析式列式计算即可得解。 (2)过点 D 作 DH⊥AF 于点 H，设 AH＝a，根据等边三角形的性质表示出 DH 的长度，然后表示 出点 D 的坐标，再把点 D 的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到 a 的值，从而得解。 4. （2012 浙江义乌 8 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 D 为对角线 OB 的中点，点 E（4，n）在边 AB 上，反比例函数 （k≠0）在第一象限内的图象经过点 D、E，且 tan∠BOA= ． （1）求边 AB 的长； （2）求反比例函数的解析式和 n 的值； （3）若反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F，将矩形折叠，使点 O 与点 F 重合，折痕分别与 x、y 轴正半轴交于点 H、G，求线段 OG 的长． 【答案】解：（1）∵点 E（4，n）在边 AB 上，∴OA=4， 在 Rt△AOB 中，∵tan∠BOA= ，∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2。 （2）由（1），可得点 B 的坐标为（4，2）， ∵点 D 为 OB 的中点，∴点 D（2，1）。 ∵点 D 在反比例函数 （k≠0）的图象上，∴ ，解得 k=2。 ∴反比例函数解析式为 。 又∵点 E（4，n）在反比例函数图象上，∴ 。 （3）如图，设点 F（a，2）， ∵反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F， ∴ ，解得 a=1。∴CF=1。 连接 FG，设 OG=t，则 OG=FG=t，CG=2﹣t， 在 Rt△CGF 中，GF2=CF2+CG2，即 t2=（2﹣t）2+12， ky= x 1 2 1 2 ky= x k2= 1 2y= x 2 1n= =4 2 22= a 解得 t= ，∴OG=t= 。 【考点】反比例函数综合题，锐角三角函数定义，曲线上点的坐标与方程的关系，折叠对称的性质，勾股 定理。 【分析】（1）由点 E 的纵坐标得出 OA=4，再根据 tan∠BOA= 即可求出 AB 的长度； （2）根据（1）求出点 B 的坐标，再根据点 D 是 OB 的中点求出点 D 的坐标，然后利用待定系数 法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点 E 的坐标代入进行计算即可求出 n 的值。 （3）利用反比例函数解析式求出点 F 的坐标，从而得到 CF 的长度，连接 FG，根据折叠的性质可 得 FG=OG，然后用 OG 表示出 CG 的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出 OG 的长度。 5. （2012 四川攀枝花 8 分）据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工 作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方 米含药量 y（毫克）与燃烧时间 x（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段 OA 和双曲线在 A 点及其右 侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y 与 x 之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于 2 毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在 多长时间内，师生不能进入教室？ 【答案】解：（1）设反比例函数解析式为 ，将（25，6）代入解析式得，k=25×6=150， ∴函数解析式为 （x＞15）。 将 y=10 代入解析式得， ，解得 x=15。∴A（15，10）。 设正比例函数解析式为 y=nx， 将 A（15，10）代入上式，得 。 ∴正比例函数解析式为 y= x（0≤x≤15）。 5 4 5 4 1 2 ky= x 150y= x 150y= 10 10 2n= =15 3 2 3 综上所述，从药物释放开始，y 与 x 之间的函数关系式为 。 （2）由 解得 x=75（分钟）， ∵消毒开始的时间是在 15 分钟时，∴75－15=60（分钟）。 答：从消毒开始，至少在 60 分钟内，师生不能进入教室。 【考点】反比例函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）首先根据题意，用待定系数法将数据（25，6）代入求得反比例函数的关系式，从而得到点 A 的坐标；用待定系数法将点 A 的坐标代入求得正比例函数的关系式。根据点 A 的坐标确定自变量的取值 范围。 （2）因为是从消毒开始，所以将 y=2 代入 求出 x 的值，再用它减去消毒开始的时间即可得 到从消毒开始，至少在 60 分钟内，师生不能进入教室的结论。 6. （2012 山东济南 9 分）如图，已知双曲线 ，经过点 D（6，1），点 C 是双曲线第三象限上的动点， 过 C 作 CA⊥x 轴，过 D 作 DB⊥y 轴，垂足分别为 A，B，连接 AB，BC． （1）求 k 的值； （2）若△BCD 的面积为 12，求直线 CD 的解析式； （3）判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由． 【答案】解：（1）∵双曲线 经过点 D（6，1），∴ ，解得 k=6。 （2）设点 C 到 BD 的距离为 h， ∵点 D 的坐标为（6，1），DB⊥y 轴，∴BD=6，∴S△BCD= ×6•h=12，解得 h=4。 ∵点 C 是双曲线第三象限上的动点，点 D 的纵坐标为 1，∴点 C 的纵坐标为 1－4= －3。 ( ) ( ) 2 x 0 x 153y= 150 x 15x >  ≤ ≤   1502= x 150y= x ky x = ky x = k 16 = 1 2 ∴ ，解得 x= －2。∴点 C 的坐标为（－2，－3）。 设直线 CD 的解析式为 y=kx＋b， 则 ，解得 。 ∴直线 CD 的解析式为 。 （3）AB∥CD。理由如下： ∵CA⊥x 轴，DB⊥y 轴，点 C 的坐标为（－2，－3），点 D 的坐标为（6，1）， ∴点 A、B 的坐标分别为 A（－2，0），B（0，1）。 设直线 AB 的解析式为 y=mx+n， 则 ，解得 。 ∴直线 AB 的解析式为 。 ∵AB、CD 的解析式 k 都等于 相等。 ∴AB 与 CD 的位置关系是 AB∥CD。 【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的判定。 【分析】（1）把点 D 的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解。 （2）先根据点 D 的坐标求出 BD 的长度，再根据三角形的面积公式求出点 C 到 BD 的距离，然后 求出点 C 的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点 C 的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解 答。 （3）根据题意求出点 A、B 的坐标，然后利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，可知与直线 CD 的解析式 k 值相等，所以 AB、CD 平行。 7. （2012 山东淄博 9 分）如图，正方形 AOCB 的边长为 4，反比例函数的图象过点 E（3，4）． （1）求反比例函数的解析式； （2）反比例函数的图象与线段 BC 交于点 D，直线 过点 D，与线段 AB 相交于点 F，求 点 F 的坐标； （3）连接 OF，OE，探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系，并证明． 6 3x = 2k b 3 6k b 1 − + = −  + = 1k 2 b 2  =  = − 1y x 22 = − 2m n 0 n 1 − + =  = 1m 2 n 1  =  = 1y x 12 = + 1 2 1y x b2=- + 【答案】解：（1）设反比例函数的解析式 ， ∵反比例函数的图象过点 E（3，4），∴ ，即 。 ∴反比例函数的解析式 。 （2）∵正方形 AOCB 的边长为 4，∴点 D 的横坐标为 4，点 F 的纵坐标为 4。 　　　∵点 D 在反比例函数的图象上，∴点 D 的纵坐标为 3，即 D（4,3）。 ∵点 D 在直线 上，∴ ，解得 。 　　　∴直线 DF 为 。 　　　将 代入 ，得 ，解得 。∴点 F 的坐标为（2，4）。 （3）∠AOF＝ ∠EOC。证明如下： 在 CD 上取 CG=CF=2，连接 OG，连接 EG 并延长交ｘ轴于点 H。 ∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=900，AF=CG=2， ∴△OAF≌△OCG（SAS）。∴∠AOF=∠COG。 ∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=900，BG=CG=2， ∴△EGB≌△HGC（AAS）。∴EG=HG。 设直线 EG： ， ∵E（3，4），G（4，2）， ∴ ，解得， 。 ∴直线 EG： 。 令 ，得 。∴H（5，0），OH=5。 在 Rｔ△AOF 中，AO=4，AE=3，根据勾股定理，得 OE=5。∴OC=OE。 ky x= k4 3= k=12 12y x= 1y x b2=- + 13 4 b2=- × + b=5 1y x 52=- + y 4= 1y x 52=- + 14 x 52=- + x 2= 1 2 y mx n= + 4 3m n 2 4m n = +  = + m 2 n=10 =   － y 2x 10=- + y 2x 10=0=- + x 5= ∴OG 是等腰三角形底边 EF 上的中线。∴OG 是等腰三角形顶角的平分线。 ∴∠EOG=∠GOH。∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF＝ ∠EOC。 【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质，全等三角形的 判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质。 【分析】（1）将点 E（3，4）代入待定的反比例函数解析式即可求得反比例函数的解析式。 　　　　（2）求出点 D 的坐标代入 即可求出直线 DF 的解析式，令 即可求得点 F 的坐 标。 （3）在 CD 上取 CG=CF=2，连接 OG，连接 EG 并延长交ｘ轴于点 H。通过证△OAF≌△OCG （SAS）和△EGB≌△HGC（AAS）得到∠AOF=∠COG 和 EG=HG。求出直线 EG 的解析式从而得到点 H 的坐标，从而得到 OH 的长。在 Rｔ△AOF 中，应用勾股定理求得 OE 的长。因此得到 OG 是等腰三角形 底边 EF 上的中线的结论，根据等腰三角形三线合一的性质得 OG 是等腰三角形顶角的平分线。从而得 ∠AOF＝ ∠EOC。 8. （2012 江西省 8 分）如图，等腰梯形 ABCD 放置在平面直角坐标系中，已知 A（-2，0）、B（6，0）、D （0，3），反比例函数的图象经过点 C． （1）求点 C 坐标和反比例函数的解析式； （2）将等腰梯形 ABCD 向上平移 m 个单位后，使点 B 恰好落在双曲线上，求 m 的值 【答案】解：（1）过点 C 作 CE⊥AB 于点 E， ∵四边形 ABCD 是等腰梯形， ∴AD=BC，DO=CE。 ∴△AOD≌△BEC（HL）。∴AO=BE=2。 ∵BO=6，∴DC=OE=4，∴C（4，3）。 设反比例函数的解析式为 （k≠0）， 1 2 1y x b2=- + y 4= 1 2 ky= x ∵反比例函数的图象经过点 C，∴ ，解得 k=12； ∴反比例函数的解析式为 。 （2）将等腰梯形 ABCD 向上平移 m 个单位后得到梯形 A′B′C′D′， ∴点 B′（6，m）， ∵点 B′（6，m）恰好落在双曲线 上， ∴当 x=6 时， 。 即 m=2。 【考点】反比例函数综合题，等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标 与方程的关系，平移的性质。 【分析】（1）C 点的纵坐标与 D 的纵坐标相同，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，则△AOD≌△BEC，即可求 得 BE 的长度，则 OE 的长度即可求得，即可求得 C 的横坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数 的解析式。 （2）得出 B′的坐标是（6，m），代入反比例函数的解析式，即可求出答案。 k3= 4 12y= x 12y= x 12m= =26