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  • 2021-05-10 发布

全国各地中考数学分类解析套专题目专题目反比例函数的应用

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2012 年全国中考数学试题分类解析汇编(159 套 63 专题) 专题 19:反比例函数的应用 一、选择题 1. (2012 福建福州 4 分)如图,过点 C(1,2)分别作 x 轴、y 轴的平行线,交直线 y=-x+6 于 A、B 两点,若反比例函数 y=k x(x>0)的图像与△ABC 有公共点,则 k 的取值范围是【 】 A.2≤k≤9 B.2≤k≤8 C.2≤k≤5 D.5≤k≤8 【答案】A。 【考点】反比例函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质。 【分析】∵ 点 C(1,2),BC∥y 轴,AC∥x 轴, ∴ 当 x=1 时,y=-1+6=5;当 y=2 时,-x+6=2,解得 x=4。 ∴ 点 A、B 的坐标分别为 A(4,2),B(1,5)。 根据反比例函数系数的几何意义,当反比例函数与点 C 相交时,k=1×2=2 最小。 设与线段 AB 相交于点(x,-x+6)时 k 值最大, 则 k=x(-x+6)=-x2+6x=-(x-3)2+9。 ∵ 1≤x≤4,∴ 当 x=3 时,k 值最大,此时交点坐标为(3,3)。 因此,k 的取值范围是 2≤k≤9。故选 A。 2. (2012 湖北黄石 3 分)如图所示,已知 A ,B 为反比例函数 图像上的两点,动 点 P 在 x 正半轴上运动,当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时,点 P 的坐标是【 】 1 1( , y )2 2(2, y ) 1y x = (x,0) A. B. C. D. 【答案】D。 【考点】反比例函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,三角形三边关系。 【分析】∵把 A ,B 分别代入反比例函数 得:y1=2,y2= , ∴A( ,2),B(2, )。 ∵在△ABP 中,由三角形的三边关系定理得:|AP-BP|<AB, ∴延长 AB 交 x 轴于 P′,当 P 在 P′点时,PA-PB=AB, 即此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大。 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,把 A、B 的坐标代入得: ,解得: 。∴直线 AB 的解析式是 。 当 y=0 时,x= ,即 P( ,0)。故选 D。 3. (2012 湖北荆门 3 分)如图,点 A 是反比例函数 (x>0)的图象上任意一点,AB∥x 轴交反比例 函数 的图象于点 B,以 AB 为边作□ABCD,其中 C、D 在 x 轴上,则 S□ABCD 为【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D。 【考点】反比例函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,平行四边形的性质。 1( ,0)2 (1,0) 3( ,0)2 5( ,0)2 1 1( , y )2 2(2, y ) 1y x = 1 2 1 2 1 2 12= k+b2 1 =2k+b2     k= 1 5b= 2 −  5y x 2 = − + 5 2 5 2 2y= x 3y= x − 【分析】设 A 的纵坐标是 a,则 B 的纵坐标也是 a. 把 y=a 代入 得, ,则 ,即 A 的横坐标是 ;同理可得:B 的横坐标是: 。 ∴AB= 。∴S□ABCD= ×a=5。故选 D。 4. (2012 湖北恩施 3 分)已知直线 y=kx(k>0)与双曲线 交于点 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则 x1y2+x2y1 的值为【 】 A.﹣6 B.﹣9 C.0 D.9 【答案】A。 【考点】反比例函数图象的对称性,曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】∵点 A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线 上的点,∴x1•y1=x2•y2=3。 ∵直线 y=kx(k>0)与双曲线 交于点 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,∴x1=﹣x2,y1=﹣y2 ∴x1y2+x2y1=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6。故选 A。 5. (2012 湖北随州 4 分)如图,直线 l 与反比例函数 的图象在第一象限内交于 A、B 两点,交 x 轴 的正半轴于 C 点,若 AB:BC=(m 一 l):1(m>l)则△OAB 的面积(用 m 表示)为【 】 A. B. C. D. 【答案】B。 【考点】反比例函数的应用,曲线上点的坐标与方程式关系,相似三角形的判定和性质,代数式化简。 【分析】如图,过点 A 作 AD⊥OC 于点 D,过点 B 作 BE⊥OC 于点 E, 设 A(xA,yA),B (xB,yB),C(c¸0)。 ∵AB:BC=(m 一 l):1(m>l),∴AC:BC=m:1。 2y= x 2a= x 2x= a 2 a 3 a − 2 3 5=a a a  − −   5 a 3y= x 3y= x 3y= x 2y= x 2m 1 2m − 2m 1 m − ( )23 m 1 m − ( )23 m 1 2m − 又∵△ADC∽△BEC,∴AD:BE=DC:EC= AC:BC=m:1。 又∵AD=yA,BE=yB,DC= c-xA,EC= c-xB, ∴yA:yB= m:1,即yA= myB。 ∵直线 l 与反比例函数 的图象在第一象限内交于 A、B 两点, ∴ , 。 ∴ , 。 将 又由 AC:BC=m:1 得(c-xA):(c-xB)=m:1,即 ,解得 。 ∴ 。 故选 B。 6. (2012 湖南株洲 3 分)如图,直线 x=t(t>0)与反比例函数 的图象分别交于 B、C 两点, A 为 y 轴上的任意一点,则△ABC 的面积为【 】   A.3  B. t  C.   D.不能确定 【答案】C。 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义,曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】把 x=t 分别代入 ,得 ,∴B(t, )、C(t, )。 ( ) BB 1c x : c x m:1m  − − =   2y= x A A 2y = x B B 2y = x A B 2 2m=x x A B 1x = xm ( )Bx m+1c= m ( ) ( ) ( )B OAB OCB OBC A B A B B B x m+11 1 1 1S =S S = c y c y c y y my y2 2 2 2 m∆ ∆ ∆− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ( )( ) ( ) ( )2 2 2 B BB B x y m 1 2 m 1x y m+1 m 11 m 1 2 m 2m 2m m − −− −= ⋅ = = = 2 1y= y=x x −, 3 2 3 2 2 1y= y=x x −, 2 1y= y=t t −, 2 t 1 t − ∴BC= ﹣( )= 。 ∵A 为 y 轴上的任意一点,∴点 A 到直线 BC 的距离为 t。 ∴△ABC 的面积= 。故选 C。 7. (2012 四川泸州 2 分)如图,矩形 ABCD 中,C 是 AB 的中点,反比例函数 (k>0)在第一象限 的图象经过 A、C 两点,若△OAB 面积为 6,则 k 的值为【 】 A、2 B、4 C、8 D、16 【答案】B。 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义,三角形中位线定理。 【分析】如图,分别过点 A、点 C 作 OB 的垂线,垂足分别为点 M、点 N, ∵点 C 为 AB 的中点,∴CE 为△AMB 的中位线。 ∴MN=NB=a,CN=b,AM=2b。 又∵OM•AM=ON•CN,∴OM=a。 ∴△OAB 面积=3a•2b÷2=3ab=6。 ∴ab=2。∴k=a•2b=2ab=4。故选 B。 8. (2012 辽宁丹东 3 分)如图,点 A 是双曲线 在第二象限分支上的任意一点,点 B、点 C、点 D 分别是点 A 关于 x 轴、坐标原点、y 轴的对称点.若四边形 ABCD 的面积是 8,则 k 的值为【 】 A.-1 B.1 C.2 D.-2 【答案】D。 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义,关于原点对称、x 轴、y 轴对称的点的坐标,矩形的判定和性质。 2 t 1 t − 3 t 1 3 3t=2 t 2 ⋅ ⋅ ky x = ky x = 【分析】∵点 B、点 C、点 D 分别是点 A 关于 x 轴、坐标原点、y 轴的对称点,∴四边形 ABCD 是矩形。∵ 四边形 ABCD 的面积是 8,∴4×|-k|=8,解得|k|=2。 又∵双曲线位于第二、四象限,∴k<0。∴k=-2。故选 D。 9. (2012 辽宁铁岭 3 分)如图,点 A 在双曲线 上,点 B 在双曲线 (k≠0)上,AB∥x 轴,分 别过点 A、B 向 x 轴作垂线,垂足分别为 D、C,若矩形 ABCD 的面积是 8,则 k 的值为【 】 A.1 2 B.10 C.8 D.6 【答案】A。 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义,曲线上点的坐标与方程的关系,平行的性质,矩形的判定和性质。 【分析】∵双曲线 (k≠0)在第一象限,∴k>0。 延长线段 BA,交 y 轴于点 E。 ∵AB∥x 轴,∴AE⊥y 轴。∴四边形 AEOD 是矩形。 ∵点 A 在双曲线 上,∴ =4。 同理 =k。 ∵ , ∴k=12。故选 A。 10. (2012 山东德州 3 分)如图,两个反比例函数 和 的图象分别是 l1 和 l2.设点 P 在 l1 上, PC⊥x 轴,垂足为 C,交 l2 于点 A,PD⊥y 轴,垂足为 D,交 l2 于点 B,则三角形 PAB 的面积为【 】 A.3 B.4 C. D.5 4y x = ky x = ky x = 4y x = AEODS矩形 OCBES矩形 ABCD OCBE AEODS S S k 4 8= − = − =矩形 矩形 矩形 1y= x 2y= x − 9 2 【答案】C。 【考点】反比例函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,三角形的面积。 11. (2012 山东临沂 3 分)如图,若点 M 是 轴正半轴上任意一点,过点 M 作 PQ∥ 轴,分别交函数 和 的图象于点 P 和 Q,连接 OP 和 OQ.则下列结论正确的是【 】 A.∠POQ 不可能等于 90°   B.    x y 1 ( 0)ky xx = > 2 ( 0)ky xx = > 1 2 PM QM k k = C.这两个函数的图象一定关于 轴对称   D.△POQ 的面积是 【答案】D。 【考点】反比例函数综合题,直角三角形的判定,反比例函数的性质,反比例函数系数的几何意义。 【分析】根据反比例函数的性质逐一作出判断: A.∵当 PM=MO=MQ 时,∠POQ=90°,故此选项错误; B.根据反比例函数的性质,由图形可得: >0, <0,而 PM,QM 为线段一定为正值,故 ,故此选项错误; C.根据 , 的值不确定,得出这两个函数的图象不一定关于 轴对称,故此选项错误; D.∵| |=PM•MO,| |=MQ•MO, ∴△POQ 的面积= MO•PQ= MO(PM+MQ)= MO•PM+ MO•MQ= 。 故此选项正确。 故选 D。 12. (2012 山东威海 3 分)下列选项中,阴影部分面积最小的是【 】 【答案】C。 【考点】反比例函数的图象和性质。 【分析】根据反比例函数的图象和性质,A,B,D 三个图形中阴影部分面积均为 2。而 C 图形中阴影部分 面积为 。故选 C。 二、填空题 1. (2012 广东深圳 3 分)如图,双曲线 与⊙O 在第一象限内交于 P、Q 两点,分别过 P、Q 两点向 x 轴和 y 轴作垂 线,已知点 P 坐标为(1,3),则图中阴影部分的面积为 ▲ . x ( )1 2 1 2 k k+ 1k 2k 1 2 PM QM k k = 1k 2k x 1k 2k 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )1 2 1 2 k k+ 3 2 ky (k 0)x = > 【答案】4。 【考点】反比例函数综合题 【分析】∵⊙O 在第一象限关于 y=x 对称, 也关于 y=x 对称,P 点坐标是(1,3), ∴Q 点的坐标是(3,1), ∴S 阴影=1×3+1×3-2×1×1=4。 2. (2012 浙江衢州 4 分)如图,已知函数 y=2x 和函数 的图象交于 A、B 两点,过点 A 作 AE⊥x 轴 于点 E,若△AOE 的面积为 4,P 是坐标平面上的点,且以点 B、O、E、P 为顶点的四边形是平行四边形, 则满足条件的 P 点坐标是  ▲  . 【答案】(0,﹣4),(﹣4,﹣4),(4,4)。 【考点】反比例函数综合题,平行四边形的性质。 【分析】先求出 B、O、E 的坐标,再根据平行四边形的性质画出图形,即可求出 P 点的坐标: 如图,∵△AOE 的面积为 4,函数 的图象过一、三象限, ∴k=8。 ∴反比例函数为 ∵函数 y=2x 和函数 的图象交于 A、B 两点, ∴A、B 两点的坐标是:(2,4)(﹣2,﹣4), ∵以点 B、O、E、P 为顶点的平行四边形共有 3 个, ∴满足条件的 P 点有 3 个,分别为:P1(0,﹣4),P2(﹣4,﹣4),P3(4,4)。 ky (k 0)x = > ky= x ky= x 8y= x 8y= x 3. (2012 浙江温州 5 分)如图,已知动点 A 在函数 (x>o)的图象上,AB⊥x 轴于点 B,AC⊥y 轴于 点 C,延长 CA 至点 D,使 AD=AB,延长 BA 至点E,使 AE=AC.直线 DE 分别交 x 轴,y 轴于点 P,Q.当 QE:DP=4:9 时,图中的阴影部分的面积等于 ▲ _. 【答案】 。 【考点】反比例函数综合题,曲线上坐标与方程的关系,勾股定理,相似三角形的判定和性质。 【分析】过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G,过点 E 作 EF⊥y 轴于点 F。 ∵A 在函数 (x>o)的图象上,∴设 A(t, ), 则 AD=AB=DG= ,AE=AC=EF=t。 在 Rt△ADE 中,由勾股定理,得 。 ∵△EFQ∽△DAE,∴QE:DE=EF:AD。∴QE= 。 ∵△ADE∽△GPD,∴DE:PD=AE:DG。∴DP= 。 又∵QE:DP=4:9,∴ 。解得 。 ∴图中阴影部分的面积= 。 4. (2012 江苏常州 2 分)如图,已知反比例函数 和 。点 A 在 y 轴的正半轴上, 过点 A 作直线 BC∥x 轴,且分别与两个反比例函数的图象交于点 B 和 C,连接 OC、OB。若△BOC 的面 积为 ,AC:AB=2:3,则 = ▲ , = ▲ 。 4y= x 13 3 4y= x 4 t 4 t 4 2 2 2 24 t +16DE AD AE tt t  = + = + =   4t t +16 4 4 3 4 t +16 t 4 4 3 t t +16 4 t +16 4 94 t =: : 2 8t 3 = 2 2 2 2 1 1 1 1 16 4 13AC AB t 32 2 2 2 t 3 3 + = + ⋅ = + = ( )1 1 ky= k 0x > ( )2 2 ky= k 0x < 5 2 1k 2k 5. (2012 江苏苏州 3 分)如图,已知第一象限内的图象是反比例函数 图象的一个分支,第二象限 内的图象是反比例函数 图象的一个分支,在 轴上方有一条平行于 轴的直线 与它们分别交于点 A、 B,过点 A、B 作 轴的垂线,垂足分别为 C、D.若四边形 ACDB 的周长为 8 且 AB0)的图象上,则 ▲ . 【答案】 。 0 3 x2 0 3 y2 0 3 x2 0 3 y2 0 3 x2 ky= x 0 3 x2 B 0 2y y3 = 0 0 3 2x y2 3 , 5 2 5 155+ =2 2 1 15NB OM=2 2 ⋅ 0 0 0 1 3 2 3 15y y x =2 2 3 2 2  − ⋅   0 0x y =12⋅ ( )1 1x y, ( )2 2x y, 1y= x 1 2y +y = 2 【考点】反比例函数综合题。 【分析】∵⊙O1 过原点 O,⊙O1 的半径 O1P1,∴O1O=O1P1。 ∵⊙O1 的半径 O1P1 与 x 轴垂直,点 P1(x1,y1)在反比例函数 (x>0)的图象上, ∴x1=y1,x1y1=1。∴x1=y1=1。 ∵⊙O1 与⊙O2 相外切,⊙O2 的半径 O2P2 与 x 轴垂直, 设两圆相切于点 A,∴AO2=O2P2=y2,OO2=2+y2。 ∴P2 点的坐标为:(2+y2,y2)。 ∵点 P2 在反比例函数 (x>0)的图象上, ∴(2+y2)•y2=1,解得:y2=-1+ 或-1- (不合题意舍去)。 ∴y1+y2=1+(-1+ )= 。 9. (2012 福建漳州 4 分)如图,点 A(3,n)在双曲线 y= 上,过点 A 作 AC⊥x 轴,垂足为 C.线段 OA 的垂直平分线交 OC 于点 B,则△ABC 周长的值是 ▲ . 【答案】4。 【考点】反比例函数的图象和性质,曲线上点的坐标与方程的关系,线段垂直平分线的性质,勾股定理。 【分析】由点 A(3,n)在双曲线 y= 上得,n=1。∴A(3,1)。 ∵线段 OA 的垂直平分线交 OC 于点 B,∴OB=AB。 则在△ABC 中, AC=1,AB+BC=OB+BC=OC=3, ∴△ABC 周长的值是 4。 10. (2012 福建三明 4 分)如图,点 A 在双曲线 上,点 B 在双曲线 上,且 AB//y 轴,点 P 是 轴上的任意一点,则△PAB 的面积为 ▲ .y 1y= x 1y= x 2 2 2 2 3 x 3 x ( )2y= x 0x > ( )4y= x 0x > 【答案】1。 【考点】反比例函数的图象和性质,曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】∵点 A 在双曲线 上,点 B 在双曲线 上,且 AB//y 轴, ∴可设 A(x, ),B(x, ) 。 ∴AB= ,AB 边上的高为 x。 ∴△PAB 的面积为 。 11. (2012 湖南湘潭 3 分)近视眼镜的度数 y(度)与镜片焦距 x(m)成反比例(即 ),已知 200 度近视眼镜的镜片焦距为 0.5m,则 y 与 x 之间的函数关系式是  ▲ . 【答案】 。 【考点】根据实际问题列反比例函数关系式。 【分析】由于点(0.5,200)适合这个函数解析式,则 k=0.5×200=100,∴ 。 故眼镜度数 y 与镜片焦距 x 之间的函数关系式为: 。 12. (2012 四川成都 4 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B, 与反比例函数 ( 为常数,且 )在第一象限的图象交于点 E,F.过点 E 作 EM⊥y 轴于 M,过点 F 作 FN⊥x 轴于 N,直线 EM 与 FN 交于点 C.若 ( 为大于 l 的常数).记△CEF 的面积为 S1, △OEF 的面积为 S2,则 = ▲ . (用含 的代数式表示) ( )2y= x 0x > ( )4y= x 0x > 2 x 4 x ( )x 0> 4 2 2 x x x − = 1 2 x=12 x ⋅ ⋅ ( )ky= k 0x ≠ 100y= x 100y= x 100y= x ky= x k k 0> BE 1=BF m m 1 2 S S m 【答案】 。 【考点】反比例函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质。。 【分析】过点 F 作 FD⊥BO 于点 D,EW⊥AO 于点 W, ∵ ,∴ 。 设 E 点坐标为:(x,my),则 F 点坐标为:(mx,y), ∴△CEF 的面积为:S1= (mx﹣x)(my﹣y)= (m﹣1)2xy。 ∵△OEF 的面积为:S2=S 矩形 CNOM﹣S1﹣S△MEO﹣S△FON =MC•CN﹣ (m﹣1)2xy﹣ ME•MO﹣ FN•NO =mx•my﹣ (m﹣1)2xy﹣ x•my﹣ y•mx=m2xy﹣ (m﹣1)2xy﹣mxy = (m2﹣1)xy= (m+1)(m﹣1)xy, ∴ 。 13. (2012 山东聊城 3 分)如图,在直角坐标系中,正方形的中心在原点 O,且正方形的一组对边与 x 轴 平行,点 P(3a,a)是反比例函数 (k>0)的图象上与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积 等于 9,则这个反比例函数的解析式为  ▲  . m 1 m+1 − BE 1=BF m FN 1=EW m 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) 2 1 2 1 m 1 xyS m 12 1S m+1m 1 m 1 xy2 − −= = + − ( ) ky x = 【答案】 。 【考点】待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,反比例函数图象的对称性,正方形的性质。 【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积 的,设小正方形的边长为 b,图中阴影部分的面积等于 9 可求出 b 的值,从而 可得出直线 AB 的表达式,再根据点 P(3a,a)在直线 AB 上可求出 a 的值,从而 得出反比例函数的解析式: ∵反比例函数的图象关于原点对称,∴阴影部分的面积和正好为小正 方形的面积。 设正方形的边长为 b,则 b2=9,解得 b=6。 ∵正方形的中心在原点 O,∴直线 AB 的解析式为:x=3。 ∵点 P(3a,a)在直线 AB 上,∴3a=3,解得 a=1。∴P(3,1)。 ∵点 P 在反比例函数 (k>0)的图象上,∴k=3×1=3。 ∴此反比例函数的解析式为: 。 14. (2012 山东日照 4 分)如图,点 A 在双曲线 上,过 A 作 AC⊥x 轴,垂足为 C,OA 的垂直平分 线交 OC 于点 B,当 OA=4 时,则△ABC 周长为 ▲ . 【答案】 。 【考点】反比例函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,线段垂直平分线的性质。 3y x = ky x = 3y x = 6y= x 2 7 【分析】根据线段垂直平分线的性质可知 AB=OB,由此推出△ABC 的周长=OC+AC,设 OC=a,AC=b, 根据勾股定理和函数解析式即可得到关于 a、b 的方程组,解之即可求出△ABC 的周长。 设 A(a,b),则 OC=a,AC=b。 ∵点 A 在双曲线 上,∴ ,即 ab=6。 ∵OA=4,∴a2+b2=42,即(a+b)2-2ab=16,即(a+b)2-2×6=16,∴a+b= 。 ∵OA 的垂直平分线交 OC 于 B,∴AB=OB。 ∴△ABC 的周长=OC+AC= a+b= 。 15. (2012 河南省 5 分)如图,点 A,B 在反比例函数 的图像上,过点 A,B 作 x 轴的 垂线,垂足分别为 M,N,延长线段 AB 交 x 轴于点 C,若 OM=MN=NC,△AOC 的面积为 6,则 k 值为 ▲ 【答案】4。 【考点】反比例函数综合题。 【分析】设 OM=a, ∵点 A 在反比例函数 上,∴AM= 。 ∵OM=MN=NC,∴OC=3a。 ∴S△AOC= •OC•AM= ×3a× = k=6。解得 k=4。 16. (2012 甘肃兰州 4 分)如图,点 A 在双曲线 上,点 B 在双曲线 上,且 AB∥x 轴,C、D 在 x 轴上,若四边形 ABCD 为矩形,则它的面积为  ▲  . 【答案】2。 6y= x 6b= a 2 7 2 7 ( )ky= k 0 x 0x > >, ( )ky= k 0 x 0x > >, ky= a 1 2 1 2 k a 3 2 1y= x 3y= x 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义。 【分析】如图,过 A 点作 AE⊥y 轴,垂足为 E, ∵点 A 在双曲线 上,∴四边形 AEOD 的面积为 1。 ∵点 B 在双曲线 上,且 AB∥x 轴,∴四边形 BEOC 的面积为 3。 ∴四边形 ABCD 为矩形,则它的面积为 3-1=2。 三、解答题 1. (2012 重庆市 10 分)已知:如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函 数 的图象交于一、三象限内的 A.B 两点,与 x 轴交于 C 点,点 A 的坐标为(2,m),点 B 的坐标为(n,-2),tan∠BOC= 。 (l)求该反比例函数和一次函数的解析式; (2)在 x 轴上有一点 E(O 点除外),使得△BCE 与△BCO 的面积相等,求出点 E 的坐标. 【答案】解:(1)过 B 点作 BD⊥x 轴,垂足为 D, ∵B(n,-2),∴BD=2。 在 Rt△OBD 中 , tan∠BOC= , 即 , 解得 OD=5。 又∵B 点在第三象限,∴B(-5,-2)。 将 B(-5,-2)代入 中,得 k=xy=10。 ∴反比例函数解析式为 。 将 A(2,m)代入 中,得 m=5,∴A(2,5), 1y= x 3y= x ( )ky k 0x = ≠ 2 5 BD 2= OD 5 2 2= OD 5 ky x = 10y x = 10y x = 将 A(2,5),B(-5,-2)代入 y=ax+b 中, 得 ,解得 。 ∴一次函数解析式为 y=x+3。 (2)由 y=x+3 得 C(-3,0),即 OC=3。 ∵S△BCE=S△BCO,∴CE=OC=3,∴OE=6,即 E(-6,0)。 【考点】反比例函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义。 【分析】(1)过 B 点作 BD⊥x 轴,垂足为 D,由 B(n,-2)得 BD=2,由 tan∠BOC= ,解直角 三角形求 OD,确定 B 点坐标,得出反比例函数关系式。再由 A、B 两点横坐标与纵坐标的积相等求 n 的 值,由“两点法”求直线 AB 的解析式。 (2)点 E 为 x 轴上的点,要使得△BCE 与△BCO 的面积相等,只需要 CE=CO 即可,根据直线 AB 解析式求 CO,再确定 E 点坐标。 2. (2012 安徽省 12 分)甲、乙两家商场进行促销活动,甲商场采用“慢 200 减 100”的促销方式,即购买 商品的总金额满 200 元但不足 400 元,少付 100 元;满 400 元但不足 600 元,少付 200 元;……,乙商场 按顾客购买商品的总金额打 6 折促销。 (1)若顾客在甲商场购买了 510 元的商品,付款时应付多少钱? (2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为 x(400≤x<600)元,优惠后得到商家的优惠率为 p(p= ),写出 p 与 x 之间的函数关系式,并说明 p 随 x 的变化情况; (3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品,在甲乙两商场的标价都是 x(200≤x<400)元,你认为选择 哪家商场购买商品花钱较少?请说明理由。 【答案】解:(1)顾客在甲商场购买了 510 元的商品,付款时应付 510-200=310(元)。 (2)p 与 x 之间的函数关系式为 。 ∵200>0,∴p 随 x 的增大而减小。 (3)购 x 元(200≤x<400)在甲商场的优惠额是 100 元,乙商场的优惠额是 x-0.6x=0.4x。 当 0.4x<100,即 200≤x<250 时,选甲商场购买商品花钱较少; 当 0.4x=100,即 x=250 时,选甲乙商场一样优惠; 当 0.4x>100,即 250<x<4000 时,选乙商场购买商品花钱较少。 【考点】反比例函数的性质和应用。 2a b 5 5a b 2 + = − + = − a 1 b 3 =  = BD 2= OD 5 购买商品的总金额 优惠金额 200p x = 【分析】(1)根据题意直接列出算式 510-200 即可。 (2)根据商家的优惠率即可列出 p 与 x 之间的函数关系式,并能得出 p 随 x 的变化情况。 (3)先设购买商品的总金额为 x 元,(200≤x<400),得出甲商场需花 x-100 元,乙商场需花 0.6x 元,然后分三种情况列出不等式和方程即可。 3. (2012 浙江丽水、金华 8 分)如图,等边△OAB 和等边△AFE 的一边都在 x 轴上,双曲线 y= (k>0) 经过边 OB 的中点 C 和 AE 的中点 D.已知等边△OAB 的边长为 4. (1)求该双曲线所表示的函数解析式; (2)求等边△AEF 的边长. 【答案】解:(1) 过点 C 作 CG⊥OA 于点 G, ∵点 C 是等边△OAB 的边 OB 的中点, ∴OC=2,∠ A OB=60°。∴OG=1,CG= , ∴点 C 的坐标是(1, )。由 ,得:k= 。 ∴该双曲线所表示的函数解析式为 。 (2) 过点 D 作 DH⊥AF 于点 H,设 AH=a,则 DH= a。 ∴点 D 的坐标为(4+a, a)。 ∵点 D 是双曲线 上的点, ∴由 xy= ,得 a (4+a)= ,即:a2+4a-1=0。 解得:a1= -2,a2=- -2(舍去)。∴AD=2AH=2 -4。 ∴等边△AEF 的边长是 2AD=4 -8。. 【考点】反比例函数综合题,等边三角形的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,解一元二次方程。 3 3 k3 1 = 3 3y x = 3 3 3y x = 3 3 3 5 5 5 5 【分析】(1)过点 C 作 CG⊥OA 于点 G,根据等边三角形的性质求出 OG、CG 的长度,从而得到点 C 的坐 标,再利用待定系数法求反比例函数解析式列式计算即可得解。 (2)过点 D 作 DH⊥AF 于点 H,设 AH=a,根据等边三角形的性质表示出 DH 的长度,然后表示 出点 D 的坐标,再把点 D 的坐标代入反比例函数解析式,解方程得到 a 的值,从而得解。 4. (2012 浙江义乌 8 分)如图,矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上,点 D 为对角线 OB 的中点,点 E(4,n)在边 AB 上,反比例函数 (k≠0)在第一象限内的图象经过点 D、E,且 tan∠BOA= . (1)求边 AB 的长; (2)求反比例函数的解析式和 n 的值; (3)若反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F,将矩形折叠,使点 O 与点 F 重合,折痕分别与 x、y 轴正半轴交于点 H、G,求线段 OG 的长. 【答案】解:(1)∵点 E(4,n)在边 AB 上,∴OA=4, 在 Rt△AOB 中,∵tan∠BOA= ,∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2。 (2)由(1),可得点 B 的坐标为(4,2), ∵点 D 为 OB 的中点,∴点 D(2,1)。 ∵点 D 在反比例函数 (k≠0)的图象上,∴ ,解得 k=2。 ∴反比例函数解析式为 。 又∵点 E(4,n)在反比例函数图象上,∴ 。 (3)如图,设点 F(a,2), ∵反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F, ∴ ,解得 a=1。∴CF=1。 连接 FG,设 OG=t,则 OG=FG=t,CG=2﹣t, 在 Rt△CGF 中,GF2=CF2+CG2,即 t2=(2﹣t)2+12, ky= x 1 2 1 2 ky= x k2= 1 2y= x 2 1n= =4 2 22= a 解得 t= ,∴OG=t= 。 【考点】反比例函数综合题,锐角三角函数定义,曲线上点的坐标与方程的关系,折叠对称的性质,勾股 定理。 【分析】(1)由点 E 的纵坐标得出 OA=4,再根据 tan∠BOA= 即可求出 AB 的长度; (2)根据(1)求出点 B 的坐标,再根据点 D 是 OB 的中点求出点 D 的坐标,然后利用待定系数 法求函数解析式求出反比例函数解析式,再把点 E 的坐标代入进行计算即可求出 n 的值。 (3)利用反比例函数解析式求出点 F 的坐标,从而得到 CF 的长度,连接 FG,根据折叠的性质可 得 FG=OG,然后用 OG 表示出 CG 的长度,再利用勾股定理列式计算即可求出 OG 的长度。 5. (2012 四川攀枝花 8 分)据媒体报道,近期“手足口病”可能进入发病高峰期,某校根据《学校卫生工 作条例》,为预防“手足口病”,对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧机释放过程中,室内空气中每立方 米含药量 y(毫克)与燃烧时间 x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段 OA 和双曲线在 A 点及其右 侧的部分),根据图象所示信息,解答下列问题: (1)写出从药物释放开始,y 与 x 之间的函数关系式及自变量的取值范围; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于 2 毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在 多长时间内,师生不能进入教室? 【答案】解:(1)设反比例函数解析式为 ,将(25,6)代入解析式得,k=25×6=150, ∴函数解析式为 (x>15)。 将 y=10 代入解析式得, ,解得 x=15。∴A(15,10)。 设正比例函数解析式为 y=nx, 将 A(15,10)代入上式,得 。 ∴正比例函数解析式为 y= x(0≤x≤15)。 5 4 5 4 1 2 ky= x 150y= x 150y= 10 10 2n= =15 3 2 3 综上所述,从药物释放开始,y 与 x 之间的函数关系式为 。 (2)由 解得 x=75(分钟), ∵消毒开始的时间是在 15 分钟时,∴75-15=60(分钟)。 答:从消毒开始,至少在 60 分钟内,师生不能进入教室。 【考点】反比例函数的应用,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】(1)首先根据题意,用待定系数法将数据(25,6)代入求得反比例函数的关系式,从而得到点 A 的坐标;用待定系数法将点 A 的坐标代入求得正比例函数的关系式。根据点 A 的坐标确定自变量的取值 范围。 (2)因为是从消毒开始,所以将 y=2 代入 求出 x 的值,再用它减去消毒开始的时间即可得 到从消毒开始,至少在 60 分钟内,师生不能进入教室的结论。 6. (2012 山东济南 9 分)如图,已知双曲线 ,经过点 D(6,1),点 C 是双曲线第三象限上的动点, 过 C 作 CA⊥x 轴,过 D 作 DB⊥y 轴,垂足分别为 A,B,连接 AB,BC. (1)求 k 的值; (2)若△BCD 的面积为 12,求直线 CD 的解析式; (3)判断 AB 与 CD 的位置关系,并说明理由. 【答案】解:(1)∵双曲线 经过点 D(6,1),∴ ,解得 k=6。 (2)设点 C 到 BD 的距离为 h, ∵点 D 的坐标为(6,1),DB⊥y 轴,∴BD=6,∴S△BCD= ×6•h=12,解得 h=4。 ∵点 C 是双曲线第三象限上的动点,点 D 的纵坐标为 1,∴点 C 的纵坐标为 1-4= -3。 ( ) ( ) 2 x 0 x 153y= 150 x 15x >  ≤ ≤   1502= x 150y= x ky x = ky x = k 16 = 1 2 ∴ ,解得 x= -2。∴点 C 的坐标为(-2,-3)。 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b, 则 ,解得 。 ∴直线 CD 的解析式为 。 (3)AB∥CD。理由如下: ∵CA⊥x 轴,DB⊥y 轴,点 C 的坐标为(-2,-3),点 D 的坐标为(6,1), ∴点 A、B 的坐标分别为 A(-2,0),B(0,1)。 设直线 AB 的解析式为 y=mx+n, 则 ,解得 。 ∴直线 AB 的解析式为 。 ∵AB、CD 的解析式 k 都等于 相等。 ∴AB 与 CD 的位置关系是 AB∥CD。 【考点】反比例函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平行的判定。 【分析】(1)把点 D 的坐标代入双曲线解析式,进行计算即可得解。 (2)先根据点 D 的坐标求出 BD 的长度,再根据三角形的面积公式求出点 C 到 BD 的距离,然后 求出点 C 的纵坐标,再代入反比例函数解析式求出点 C 的坐标,然后利用待定系数法求一次函数解析式解 答。 (3)根据题意求出点 A、B 的坐标,然后利用待定系数法求出直线 AB 的解析式,可知与直线 CD 的解析式 k 值相等,所以 AB、CD 平行。 7. (2012 山东淄博 9 分)如图,正方形 AOCB 的边长为 4,反比例函数的图象过点 E(3,4). (1)求反比例函数的解析式; (2)反比例函数的图象与线段 BC 交于点 D,直线 过点 D,与线段 AB 相交于点 F,求 点 F 的坐标; (3)连接 OF,OE,探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系,并证明. 6 3x = 2k b 3 6k b 1 − + = −  + = 1k 2 b 2  =  = − 1y x 22 = − 2m n 0 n 1 − + =  = 1m 2 n 1  =  = 1y x 12 = + 1 2 1y x b2=- + 【答案】解:(1)设反比例函数的解析式 , ∵反比例函数的图象过点 E(3,4),∴ ,即 。 ∴反比例函数的解析式 。 (2)∵正方形 AOCB 的边长为 4,∴点 D 的横坐标为 4,点 F 的纵坐标为 4。    ∵点 D 在反比例函数的图象上,∴点 D 的纵坐标为 3,即 D(4,3)。 ∵点 D 在直线 上,∴ ,解得 。    ∴直线 DF 为 。    将 代入 ,得 ,解得 。∴点 F 的坐标为(2,4)。 (3)∠AOF= ∠EOC。证明如下: 在 CD 上取 CG=CF=2,连接 OG,连接 EG 并延长交x轴于点 H。 ∵AO=CO=4,∠OAF=∠OCG=900,AF=CG=2, ∴△OAF≌△OCG(SAS)。∴∠AOF=∠COG。 ∵∠EGB=∠HGC,∠B=∠GCH=900,BG=CG=2, ∴△EGB≌△HGC(AAS)。∴EG=HG。 设直线 EG: , ∵E(3,4),G(4,2), ∴ ,解得, 。 ∴直线 EG: 。 令 ,得 。∴H(5,0),OH=5。 在 Rt△AOF 中,AO=4,AE=3,根据勾股定理,得 OE=5。∴OC=OE。 ky x= k4 3= k=12 12y x= 1y x b2=- + 13 4 b2=- × + b=5 1y x 52=- + y 4= 1y x 52=- + 14 x 52=- + x 2= 1 2 y mx n= + 4 3m n 2 4m n = +  = + m 2 n=10 =   - y 2x 10=- + y 2x 10=0=- + x 5= ∴OG 是等腰三角形底边 EF 上的中线。∴OG 是等腰三角形顶角的平分线。 ∴∠EOG=∠GOH。∴∠EOG=∠GOC=∠AOF,即∠AOF= ∠EOC。 【考点】反比例函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,正方形的性质,全等三角形的 判定和性质,勾股定理,等腰三角形的判定和性质。 【分析】(1)将点 E(3,4)代入待定的反比例函数解析式即可求得反比例函数的解析式。     (2)求出点 D 的坐标代入 即可求出直线 DF 的解析式,令 即可求得点 F 的坐 标。 (3)在 CD 上取 CG=CF=2,连接 OG,连接 EG 并延长交x轴于点 H。通过证△OAF≌△OCG (SAS)和△EGB≌△HGC(AAS)得到∠AOF=∠COG 和 EG=HG。求出直线 EG 的解析式从而得到点 H 的坐标,从而得到 OH 的长。在 Rt△AOF 中,应用勾股定理求得 OE 的长。因此得到 OG 是等腰三角形 底边 EF 上的中线的结论,根据等腰三角形三线合一的性质得 OG 是等腰三角形顶角的平分线。从而得 ∠AOF= ∠EOC。 8. (2012 江西省 8 分)如图,等腰梯形 ABCD 放置在平面直角坐标系中,已知 A(-2,0)、B(6,0)、D (0,3),反比例函数的图象经过点 C. (1)求点 C 坐标和反比例函数的解析式; (2)将等腰梯形 ABCD 向上平移 m 个单位后,使点 B 恰好落在双曲线上,求 m 的值 【答案】解:(1)过点 C 作 CE⊥AB 于点 E, ∵四边形 ABCD 是等腰梯形, ∴AD=BC,DO=CE。 ∴△AOD≌△BEC(HL)。∴AO=BE=2。 ∵BO=6,∴DC=OE=4,∴C(4,3)。 设反比例函数的解析式为 (k≠0), 1 2 1y x b2=- + y 4= 1 2 ky= x ∵反比例函数的图象经过点 C,∴ ,解得 k=12; ∴反比例函数的解析式为 。 (2)将等腰梯形 ABCD 向上平移 m 个单位后得到梯形 A′B′C′D′, ∴点 B′(6,m), ∵点 B′(6,m)恰好落在双曲线 上, ∴当 x=6 时, 。 即 m=2。 【考点】反比例函数综合题,等腰梯形的性质,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标 与方程的关系,平移的性质。 【分析】(1)C 点的纵坐标与 D 的纵坐标相同,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,则△AOD≌△BEC,即可求 得 BE 的长度,则 OE 的长度即可求得,即可求得 C 的横坐标,然后利用待定系数法即可求得反比例函数 的解析式。 (2)得出 B′的坐标是(6,m),代入反比例函数的解析式,即可求出答案。 k3= 4 12y= x 12y= x 12m= =26