- 4.28 MB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
【2013年中考攻略】专题10:几何三大变换之平移探讨
锦元数学工作室 编辑
轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内,将一个图形(含点、线、面)整体按照某个直线方向移动一定的距离,这样的图形变换叫做图形的平移变换,简称平移。平移由移动的方向和距离决定。经过平移,平移前后图形的形状、大小不变,只是位置发生改变;平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等;平移前后图形的对应线段平行且相等,对应角相等。
在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识,是中考数学的必考内容。
结合2011和2012年全国各地中考的实例,我们从下面七方面探讨平移变换:(1)构造平移图形;(2)点的平移;(3)直线(线段)的平移;(4)曲线的平移;(5)三角形的平移;(6)四边形的平移;(7)圆的平移。
一、构造平移图形:
典型例题:
例1. (2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分)顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形,如图,在一个9 X 9的正方形网格中有一个格点△ABC.设网格中小正方形的边长为l个单位长度.
(1)在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△AlBlCl.
(2)在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转900后得到的△AB2C2
(3)在(1)中△ABC向上平移过程中,求边AC所扫过区域的面积.
【答案】解:(1)、(2)如图所示:
(3)∵△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1,△ABC向上平移过程中,边AC所扫过区域是以4为边长,以2为高的平行四边形, ∴边AC所扫过区域的面积=4×2=8。
【考点】作图(旋转和平移变换),平行四边形的判定和性质。
【分析】(1)根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可。
(2)根据图形旋转的性质画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2。
(3)根据△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1,△ABC向上平移过程中,求边AC所扫过区域是以4为边长,以2为高的平行四边形,由平行四边形的面积公式即可得出结论。
例2.(2012黑龙江龙东地区6分)如图,方格纸中每个小正方形的边长都是单位1,△ABC的三个顶点都在格点上,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:
(1)将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度,画出两次平移后的△A1B1C1;
(2)写出A1、C1的坐标;
(3)将△A1B1C1绕C1逆时针旋转90°,画出旋转后的△A2B2C1,求线段B1C1旋转过程中扫过的面积(结
果保留π)。
【答案】解:(1)两次平移后的△A1B1C1如图所示:
(2)由△A1B1C1在坐标系中的位置可知,A1(0,2);C1(2,0)。
(3)旋转后的图形如图所示:
∵由勾股定理可知,,∴。
∴线段B1C1旋转过程中扫过的面积为。
【考点】作图(旋转和平移变换),扇形面积的计算。
【分析】(1)根据图形平移的性质画出两次平移后的△A1B1C1即可。
(2)根据△A1B1C1在坐标系中的位置写出A1、C1的坐标;
(3)根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2B2C1,再根据勾股定理求出B1C1的长,由扇形的面积公式即可计算出线段B1C1旋转过程中扫过的面积。
例3.(2012贵州六盘水10分)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形.Rt△ABC的顶点均在格点上,建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(﹣4,1),点B的坐标为(﹣1,1).
(1)先将Rt△ABC向右平移5个单位,再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1.试在图中画出图形Rt△A1B1C1,并写出A1的坐标;
(2)将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2,试在图中画出图形Rt△A2B2C2.并计算Rt△A1B1C1在上述旋转过程中C1所经过的路程.
【答案】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求作的三角形。点A1的坐标为(1,0)。
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求作的三角形。
根据勾股定理,A1C1=,
∴旋转过程中C1所经过的路程为。
【考点】网格问题,作图(旋转和平移变换),勾股定理,弧长的计算。
【分析】(1)根据网格结构找出点A.B.C平移后的对应点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可,再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可。
(2)根据网格结构找出点A1、B1、C1绕点A1顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置,然后顺次连接即可,再根据勾股定理求出A1C1的长度,然后根据弧长公式列式计算即可得解。
例4.(2012安徽省8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和点A1.
(1)画出一个格点△A1B1C1,并使它与△ABC全等且A与A1是对应点;
(2)画出点B关于直线AC的对称点D,并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的.
【答案】解:(1)答案不唯一,如图,平移即可:
(2)作图如上,
∵AB=,AD=,BD=,∴AB2+AD2=BD2。
∴△ABD是直角三角形。
∴AD可以看作由AB绕A点逆时针旋转90°得到的。
【考点】作图(平移变换、轴对称变换),全等图形,旋转和轴对称的性质,勾股定理和逆定理。
【分析】(1)利用△ABC三边长度,画出以A1为顶点的三角形三边长度即可,利用图象平移,可得出
△A1B1C1。
(2)利用点B关于直线AC的对称点D,得出D点坐标,根据勾股定理和逆定理可得出AD与AB的位置关系。
例5.(2012海南省8分)如图,在正方形网络中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A、B、C的坐标分别为(-2,4)、(-2,0)、(-4,1),结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.
(2)平移△ABC,使点A移动到点A2(0,2),画出平移后的△A2B2C2并写出点B2、C2的坐标.
(3)在△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2中,△A2B2C2与 成中心对称,其对称中心的坐标为 .
【答案】解:(1)△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示:
(2)平移后的△A2B2C2如图所示:
点B2、C2的坐标分别为(0,-2),(-2,-1)。
(3)△A1B1C1;(1,-1)。
【考点】网格问题,作图(中心对称变换和平移变换),中心对称和平移的性质。
【分析】(1)根据中心对称的性质,作出A、B、C三点关于原点的对称点A1、B1、C1,连接即可。
(2)根据平移的性质,点A(-2,4)→A2(0,2),横坐标加2,纵坐标减2,所以将B(-2,0)、C(-4,1)横坐标加2,纵坐标减2得到B2(0,-2)、C2(-2,-1),连接即可。
(3)如图所示。
例6.(2012江苏泰州10分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上,将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1,然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2.
(1)在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2;
(2)计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积(重叠部分不重复计算)
【答案】解:(1)如图所示:
(2)∵图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格,
∴。
∵将△ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为底,以2为高的平行四边形的面积:4×2=8。
再向右平移3个单位AC所扫过的面积是以3为底,以2为高的平行四边形的面积:4×2=6。
当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时,A1C1所扫过的面积是以A1为圆心以以为半径,圆心角为90°的扇形的面积,重叠部分是以A1
为圆心,以为半径,圆心角为45°的扇形的面积,去掉重叠部分,面积为:
∴线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积=8+6+π×=14+π。
【考点】作图(平移和旋转变换),平移和旋转的性质,网格问题,勾股定理,平行四边形面积和扇形面积的计算。
【分析】(1)根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及△A1B2C2即可。
(2)画出图形,根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。
例7.(2012甘肃白银3分)将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是【 】
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】生活中的平移现象。
【分析】根据平移的性质,平移只改变图形的位置,不改变图形的形状与大小。观察各选项图形可知,A选项的图案可以通过平移得到。故选A。
练习题:
1. (2012江苏常州6分)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A(1,0)、B(3,0)、C(2,1)、D(4,3)、E(6,5)、F(4,7)。按下列要求画图:以点O为位似中心,将△ABC向y轴左侧按比例尺2:1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1,并解决下列问题:
(1)顶点A1的坐标为 ▲ ,B1的坐标为 ▲ ,C1的坐标为 ▲ ;
(2)请你利用旋转、平移两种变换,使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2,且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形(非正方形)。写出符合要求的变换过程。
3.(2012福建泉州9分)如图,在方格纸中(小正方形的边长为1),反比例函数与直线的交点A、
B均在格点上,根据所给的直角坐标系(点O是坐标原点),解答下列问题:
(1)分别写出点A、B的坐标后,把直线AB向右平移平移5个单位,再在向上平移5个单位,画出平移后的直线A′B′.
(2)若点C在函数的图像上,△ABC是以AB为底边的等腰三角形,请写出点C的坐标.
4.(2012湖北武汉7分)如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(-1,3)、(-4,1),先
将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1,点A的对应点为A1,点B1的坐标为(0,2),在将线段A1B1
绕远点O顺时针旋转90°得到线段A2B2,点A1的对应点为点A2.
(1)画出线段A1B1、A2B2;
(2)直接写出在这两次变换过程中,点A经过A1到达A2的路径长.
5.(2012湖南张家界6分)如图,在方格纸中,以格点连线为边的三角形叫格点三角形,请按要求完成下列操作:先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1,再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2.
6.(2012四川凉山6分)如图,梯形ABCD是直角梯形.
(1)直接写出点A、B、C、D的坐标;
(2)画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形,使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形.
(3)将(2)中的等腰梯形向上平移四个单位长度,画出平移后的图形.(不要求写作法)
7.(2012辽宁丹东8分)已知:△ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2).(正方形网格中, 每个小正方形的边长是1个单位长度)
(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1,并直接写出C1点的坐标;
(2)以点B为位似中心,在网格中画出△A2BC2,使△A2BC2与△ABC位似,且位似比为2︰1,并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积.
二、点的平移:
典型例题:
例1. (2012广东肇庆3分)点M(2,)向上平移2个单位长度得到的点的坐标是【 】
A.(2,0) B.(2,1) C.(2,2) D.(2,)
【答案】B。
【考点】坐标平移。
【分析】根据坐标的平移变化的规律,左右平移只改变点的横坐标,左减右加。上下平移只改变点的纵坐标,下减上加。因此,
∵点M(2,-1)向上平移2个单位长度,∴-1+2=1。
∴平移后的点坐标是(2,1)。故选B。
例2. (2012辽宁鞍山3分)在平面直角坐标系中,将点P(﹣1,4)向右平移2个单位长度后,再向下平移3个单位长度,得到点P1,则点P1的坐标为 ▲ .
【答案】(1,1)。
【考点】坐标平移。
【分析】根据坐标的平移变化的规律,左右平移只改变点的横坐标,左减右加。上下平移只改变点的纵坐标,下减上加。因此,
∵点P(﹣1,4)向右平移2个单位长度,向下平移3个单位长度,∴﹣1+2=1,4﹣3=1。
∴点P1的坐标为(1,1)。
例2.(2012江苏泰州3分)如图,数轴上的点P表示的数是-1,将点P向右移动3个单位长度得到点P′,
则点P′表示的数是 ▲ .
【答案】2。
【考点】数轴和数,平移的性质。
【分析】如图,根据平移的性质,点P′表示的数是2。
例3.(2012安徽省4分)如图,A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,设OP= x,则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是【 】
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】利用AB与⊙O相切,△BAP是直角三角形,把直角三角形的直角边表示出来,从而用x表示出三角形的面积,根据函数解析式确定函数的图象:
∵AB与⊙O相切,∴∠BAP=90°,
∵OP=x,AP=2-x,∠BPA=60°,∴AB=,
∴△APB的面积,(0≤x≤2)。
∴△PAB的面积y关于x的函数图像是经过(2,0)的抛物线在0≤x≤2的部分。故选D。
例4.(2012浙江嘉兴、舟山4分)如图,正方形ABCD的边长为a,动点P从点A出发,沿折线A→B→D→C→A的路径运动,回到点A时运动停止.设点P运动的路程长为长为x,AP长为y,则y关于x的函数图象大致是【 】
A.B.C. D.
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】因为动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动,因此,y关于x的函数图象分为四部分:A→B,B→D,D→C,C→A。
当动点P在A→B上时,函数y随x的增大而增大,且y=x,四个图象均正确。
当动点P在B→D上时,函数y在动点P位于BD中点时最小,且在中点两侧是对称的,故选项B错误。
当动点P在D→C上时,函数y随x的增大而增大,故选项A,C错误。
当动点P在C→A上时,函数y随x的增大而减小。故选项D正确。故选D。
例5.(2012浙江温州4分)如图,在△ABC中,∠C=90°,M是AB的中点,动点P从点A出发,
沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发,沿CB方向匀速运动到终点B.已知P,Q两点同时出发,并同时到达终点.连结MP,MQ,PQ.在整个运动过程中,△MPQ的面积大小变化情况是【 】
A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小
【答案】C。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】如图所示,连接CM,∵M是AB的中点,
∴S△ACM=S△BCM=S△ABC,
开始时,S△MPQ=S△ACM=S△ABC;
由于P,Q两点同时出发,并同时到达终点,从而点P到达AC的中点时,点Q也到达BC的中点,此时,S△MPQ=S△ABC;
结束时,S△MPQ=S△BCM=S△ABC。
△MPQ的面积大小变化情况是:先减小后增大。故选C。
例6.(2012湖北黄石3分)如图所示,已知A,B为反比例函数图像上的两点,动
点P在x正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】反比例函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,三角形三边关系。
【分析】∵把A,B分别代入反比例函数 得:y1=2,y2= ,
∴A( ,2),B(2, )。
∵在△ABP中,由三角形的三边关系定理得:|AP-BP|<AB,
∴延长AB交x轴于P′,当P在P′点时,PA-PB=AB,
即此时线段AP与线段BP之差达到最大。
设直线AB的解析式是y=kx+b,把A、B的坐标代入得:
,解得:。∴直线AB的解析式是。
当y=0时,x= ,即P( ,0)。故选D。
例7.(2012辽宁大连3分)如图,一条抛物线与x轴相交于A、B两点,其顶点P在折线C-D-E上移动,若点C、D、E的坐标分别为(-1,4)、(3,4)、(3,1),点B的横坐标的最小值为1,则点A的横坐标的最大值为【 】
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,二次函数的性质。
【分析】∵抛物线的点P在折线C-D-E上移动,且点B的横坐标的最小值为1,
∴观察可知,当点B的横坐标的最小时,点P与点C重合。
∵C(-1,4),∴设当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为。
∵B(1,0),∴,解得a=-1。
∴当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为。
∵观察可知,当点A的横坐标的最大时,点P与点E重合,E(3,1),
∴当点A的横坐标的最大时抛物线的解析式为。
令,即,解得或。
∵点A在点B的左侧,∴此时点A横坐标为2。故选B。
∴点A的横坐标的最大值为2。
例8(2012北京市5分)操作与探究:
(1)对数轴上的点P进行如下操作:先把点P表示的数乘以,再把所得数对应的点向右平移1个
单位,得到点P的对应点P′.
点A,B在数轴上,对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′,其中点A,B的对
应点分别为A′,B′.如图1,若点A表示的数是,则点A′表示的数是 ;若点B′表示的
数是2,则点B表示的数是 ;已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重
合,则点E表示的数是 ;
(2)如图2,在平面直角坐标系xoy中,对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作:把每个
点的横、纵坐标都乘以同一种实数a,将得到的点先向右平移m个单位,再向上平移n个单位(m>0,
n>0),得到正方形A′B′C′D′及其内部的点,其中点A,B的对应点分别为A′,B′。已知正方形ABCD
内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合,求点F的坐标。
【答案】解:(1)0;3;。
(2)根据题意得, ,解得.
设点F的坐标为(x,y),
∵对应点F′与点F重合,∴,解得。
∴点F的坐标为(1,4)。
【考点】坐标与图形的平移变化,数轴,正方形的性质,平移的性质。
【分析】(1)根据题目规定,以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′,设点B表示的数为a,根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数,设点E表示的数为b,根据题意列出方程计算即可得解:
点A′:-3×+1=-1+1=0。
设点B表示的数为a,则a+1=2,解得a=3。
设点E表示的数为b,则a+1=b,解得b=。
(2)先根据向上平移横坐标不变,纵坐标加,向右平移横坐标加,纵坐标不变求出平移规律,然后设点F的坐标为(x,y),根据平移规律列出方程组求解即可。
例9. (2012江苏常州9分)已知,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M为边BC的中点,点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM,过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x,DE=y。
(1)写出y与x之间的函数关系式 ▲ ;
(2)若点E与点A重合,则x的值为 ▲ ;
(3)是否存在点P,使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上?若存在,求x的值;若不存在,请说明理由。
【答案】解:(1)y=-x2+4x。
(2)或。
(3)存在。
过点P作PH⊥AB于点H。则
∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上,
∴P D′=PD=4-x,E D′=ED= y=-x2+4x,
EA=AD-ED= x2-4x+2,∠P D′E=∠D=900。
在Rt△D′P H中,PH=2, D′P =DP=4-x,D′H=。
∵∠ E D′A=1800-900-∠P D′H=900-∠P D′H=∠D′P H,∠P D′E=∠P HD′ =900,
∴△E D′A∽△D′P H。∴,即,
即,两边平方并整理得,2x2-4x+1=0。解得。
∵当时,y=,
∴此时,点E已在边DA延长线上,不合题意,舍去(实际上是无理方程的增根)。
∵当时,y=,
∴此时,点E在边AD上,符合题意。
∴当时,点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。
【考点】矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,折叠对称的性质,解无理方程。
【分析】(1)∵CM=1,CP=x,DE=y,DP=4-x,且△MCP∽△PDE,
∴,即。∴y=-x2+4x。
(2)当点E与点A重合时,y=2,即2=-x2+4x,x2-4x+2=0。
解得。
(3)过点P作PH⊥AB于点H,则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上,可得△E D′A与△D′P H相似,由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。
例10. (2012江苏苏州8分)如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆
上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为.
⑴当 时,求弦PA、PB的长度;
⑵当x为何值时,的值最大?最大值是多少?
【答案】解:(1)∵⊙O与直线l相切于点A,AB为⊙O的直径,∴AB⊥l。
又∵PC⊥l,∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。
∵AB为⊙O的直径,∴∠APB=90°。
∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。
∴,即PA2=PC·PD。
∵PC=,AB=4,∴。
∴在Rt△APB中,由勾股定理得:。
(2)过O作OE⊥PD,垂足为E。
∵PD是⊙O的弦,OF⊥PD,∴PF=FD。
在矩形OECA中,CE=OA=2,∴PE=ED=x-2。
∴CD=PC-PD= x-2(x-2)=4-x 。
∴。
∵
∴当时,有最大值,最大值是2。
【考点】切线的性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,垂径定理,矩形的判定和性质,二次函数的最值。
【分析】(1)由直线l与圆相切于点A,且AB为圆的直径,根据切线的性质得到AB垂直于直线l,又PC垂直于直线l,根据垂直于同一条直线的两直线平行,得到AB与PC平行,根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似,由相似得比例,将PC及直径AB的长代入求出PA的长,在Rt△APB中,由AB及PA的长,利用勾股定理即可求出PB的长。
(2)过O作OE垂直于PD,与PD交于点E,由垂径定理得到E为PD的中点,再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形,根据矩形的对边相等,可得出EC=OA=2,用PC-EC的长表示出PE,根据PD=2PE表示出PD,再由PC-PD表示出CD,代入所求的式子中,整理后得到关于x的二次函数,配方后根据自变量x的范围,利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值
练习题:
1. (2012山东东营3分)将点A(2,1)向左平移2个单位长度得到点A′,则点A′的坐标是【 】
A.(2,3) B.(2,-1) C.(4,1) D. (0,1)
2.(2012广西来宾3分)在平面直角坐标系中,将点M(1,2)向左平移2个长度单位后得到点N,则点N的坐标是【 】
A.(-1,2) B.(3,2) C.(1,4) D.(1,0)
3.(2012广西玉林、防城港3分)在平面直角坐标系中,一青蛙从点A(-1,0)处向右跳2个单位长度,再向上跳2个单位长度到点A′处,则点A′的坐标为 ▲ .
4.(2012四川攀枝花3分)如图,直角梯形AOCD的边OC在x轴上,O为坐标原点,CD垂直于x轴,D(5,4),AD=2.若动点E、F同时从点O出发,E点沿折线OA→AD→DC运动,到达C点时停止;F点沿OC运动,到达C点是停止,它们运动的速度都是每秒1个单位长度.设E运动秒x时,△EOF的面积为y(平方单位),则y关于x的函数图象大致为【 】
A.B.C.D.
5.(2012四川内江3分)如图,正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发,以每秒1cm的速度,沿的方向运动,到达点C时停止,设运动时间为x(秒),,则y关于x的函数的图像大致为【 】
A. B. C. D.
6.(2012江苏无锡10分)如图,菱形ABCD的边长为2cm,∠DAB=60°.点P从A点出发,以cm/s的速度,沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以1cm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时,P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts.
(1)当P异于A.C时,请说明PQ∥BC;
(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?
7. (2012广东河源9分)如图,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,2)、D(0,3),射线l过点D且与
x轴平行,点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点,满足∠PQO=60º.
(1)点B的坐标是 ,∠CAO= º,当点Q与点A重合时,点P的坐标
为 ;
(2)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系式和相应
的自变量x的取值范围.
8. (2012福建南平14分)如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,连接AD、DE,且∠1=∠B=∠C.
(1)由题设条件,请写出三个正确结论:(要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中,不必证明)
答:结论一: ;结论二: ;结论三: .
(2)若∠B=45°,BC=2,当点D在BC上运动时(点D不与B、C重合),
①求CE的最大值;
②若△ADE是等腰三角形,求此时BD的长.
(注意:在第(2)的求解过程中,若有运用(1)中得出的结论,须加以证明)
9. (2012福建漳州14分)如图,在OABC中,点A在x轴上,∠AOC=60o,OC=4cm.OA=8cm.动
点P从点O出发,以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动;动点Q同时从点O出发,以
acm/s的速度沿线段OC→CB运动,其中一点先到达终点B时,另一点也随之停止运动.
设运动时间为t秒.
(1)填空:点C的坐标是(______,______),对角线OB的长度是_______cm;
(2)当a=1时,设△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出当t为何值时,S的值最大?
(3)当点P在OA边上,点Q在CB边上时,线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似,求a与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围.
10. (2012福建福州13分)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0).
(1) 直接用含t的代数式分别表示:QB=______,PD=______.
(2) 是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.并探究如
何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;
(3) 如图②,在整个运动过程中,求出线段PQ中点M所经过的路径长.
11.(2011湖北黄石3分)初三年级某班有54名学生,所在教室有6行9列座位,用表示第行第
列的座位,新学期准备调整座位,设某个学生原来的座位为,如果调整后的座位为,则称该生作了平移[],并称为该生的位置数。若某生的位置数为10,则当取最小值时,的最大值为 ▲ .
三、直线(线段)的平移:
典型例题:
例1. (2012湖南娄底3分)对于一次函数y=﹣2x+4,下列结论错误的是【 】
A. 函数值随自变量的增大而减小
B. 函数的图象不经过第三象限
C. 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
D. 函数的图象与x轴的交点坐标是(0,4)
例2.(2012福建南平3分)将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是 ▲
【答案】y=2x+1。
【考点】一次函数图象与平移变换,待定系数法,直线上点的坐标理性认识各式的关系。
【分析】直线y=2x经过点(0,0),向上平移1个单位后对应点的坐标为(0,1),
∵平移前后直线解析式的k值不变,∴设平移后的直线为y=2x+b。
则2×0+b=1,解得b=1。∴所得到的直线是y=2x+1。
例3. (2012湖南娄底4分)如图,A.B的坐标分别为(1,0)、(0,2),若将线段AB平移到至A1B1,A1、B1的坐标分别为(2,a)、(b,3),则a+b= ▲ .
【答案】2。
【考点】坐标与图形平移变化。
【分析】∵A(1,0)转化为A1(2,a)横坐标增加了1,B(0,2)转化为B1(b,3)纵坐标增加了1,
∴a=0+1=1,b=0+1=1。∴a+b=1+1=2。
例4.(2012江西南昌3分)如图,有a、b、c三户家用电路接入电表,相邻电路的电线等距排列,则三户所用电线【 】
A. a户最长 B. b户最长
C. c户最长 D. 三户一样长
【答案】D。
【考点】生活中的平移现象,平移的性质。
【分析】根据平移的性质,对于电线中横的和竖的线段分别采用割补法将线段向右进行平移,便可直观观察到都是相等的。因此a b c三线长度相等。故选D。
例5.(2012广西河池12分)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在
的直线建立平面直角坐标系,抛物线经过A、B两点.
(1)写出点A、点B的坐标;
(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA、CA和抛物
线于点E、M和点P,连结PA、PB.设直线l移动的时间为t(0<t<4)秒,求四边形PBCA的面积S(面积单位)与t(秒)的函数关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使得△PAM是直角三角形?若存在,请求出点P
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)A(8,0),B(0,4)。
(2)∵AB=AC,∴OB=OC。∴C(0,-4)。
设直线AC:,由A(8,0),C(0,-4)得
,解得。∴直线AC:。
∵ 直线l移动的速度为2,时间为t,∴OE=2t。
设P,
在中,令x=2t,得,∴M(2t,)。
∵BC=8,PM=,OE=2t,EA=,
∴
。
∴四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为(0<t<4)。
∵,
∴四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。
(3)存在。∵由(2),在0<t<4,即0<t<8时,∠AMP和∠APM不可能为直角。
若∠PAM为直角,则PA⊥CA,∴△AOC∽△PEA。∴。
设P,则OC=4,OA=8,EA=8-p,EP=,
∴,整理得,解得(舍去)。
当时,。∴P(3,10)。
∴当P(3,10)时,△PAM是直角三角形。
【考点】二次函数综合题,动直线问题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数最值,相似三角形的判定和性质,直角三角形的判定。
【分析】(1)在中,令x=0,得y=4;令y=0,得x=-1或x=8。
∴A(8,0),B(0,4)。
(2)由AB=AC,根据等腰三角形三线合一的性质可得点C的坐标,从而用待定系数法求出直线AC的解析式,得到点M关于t的表达式,根据求出四边形PBCA的面积S与t的函数关系式,应用二次函数最值的求法求出四边形PBCA的最大面积。
(3)存在。易知,∠AMP和∠APM不可能为直角。当∠PAM为直角时,△AOC∽△PEA,根据比例关系列出方程求解即可。
例6.(2012广东广州14分)如图,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
【答案】解:(1)在中,令y=0,即,解得x1=﹣4,x2=2。
∵点A在点B的左侧,∴A、B点的坐标为A(﹣4,0)、B(2,0)。
(2)由得,对称轴为x=﹣1。
在中,令x=0,得y=3。
∴OC=3,AB=6,。
在Rt△AOC中,。
设△ACD中AC边上的高为h,则有AC•h=9,
解得h=。
如图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到AC的距离=h=,这样的直线有2条,分别是L1和L2,则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。
设L1交y轴于E,过C作CF⊥L1于F,则CF=h=,
∴。
设直线AC的解析式为y=kx+b,
将A(﹣4,0),B(0,3)坐标代入,得
,解得。 21
∴直线AC解析式为。
直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位(个长度单位)而形成的,
∴直线L1的解析式为。
则D1的纵坐标为。∴D1(﹣4,)。
同理,直线AC向上平移个长度单位得到L2,可求得D2(﹣1,)。
综上所述,D点坐标为:D1(﹣4,),D2(﹣1,)。
(3)如图2,以AB为直径作⊙F,圆心为F.过E点作⊙F的切线,这样的切线有2条.
连接FM,过M作MN⊥x轴于点N。
∵A(﹣4,0),B(2,0),∴F(﹣1,0),⊙F半径FM=FB=3。
又FE=5,则在Rt△MEF中,-
ME=,sin∠MFE=,cos∠MFE=。
在Rt△FMN中,MN=MN•sin∠MFE=3×,
FN=MN•cos∠MFE=3×。
则ON=。∴M点坐标为(,)。
直线l过M(,),E(4,0),
设直线l的解析式为y=k1x+b1,则有,解得。
∴直线l的解析式为y=x+3。
同理,可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。
综上所述,直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,勾股定理,直线平行和平移的性质,直线与圆的位置关系,直线与圆相切的性质,圆周角定理,锐角三角函数定义。
【分析】(1)A、B点为抛物线与x轴交点,令y=0,解一元二次方程即可求解。
(2)根据题意求出△ACD中AC边上的高,设为h.在坐标平面内,作AC的平行线,平行线之间的距离等于h.根据等底等高面积相等的原理,则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点.从一次函数的观点来看,这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成.因此先求出直线AC的解析式,再求出平移距离,即可求得所作平行线的解析式,从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。
(3)本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义.因为过A、B点作x轴的垂线,其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形,这样已经有符合题意的两个直角三角形;第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑,以AB为直径作圆,当直线与圆相切时,根据圆周角定理,切点与A、B点构成直角三角形.从而问题得解。这样的切线有两条。
例7.(2012广东深圳9分)如图,在平面直角坐标系中,直线:y=-2x+b (b≥0)的位置随b
的不同取值而变化.
(1)已知⊙M的圆心坐标为(4,2),半径为2.
当b= 时,直线:y=-2x+b (b≥0)经过圆心M:
当b= 时,直线:y=-2x+b(b≥0)与OM相切:
(2)若把⊙M换成矩形ABCD,其三个顶点坐标分别为:A(2,0)、B(6,0)、C(6,2).
设直线扫过矩形ABCD的面积为S,当b由小到大变化时,请求出S与b的函数关系式,
【答案】解:(1)10;。
(2)由A(2,0)、B(6,0)、C(6,2),根据矩形的性质,得D(2,2)。
如图,当直线经过A(2,0)时,b=4;当直线经过D(2,2)时,b=6;当直线经过B(6,0)时,b=12;当直线经过C(6,2)时,b=14。
当0≤b≤4时,直线扫过矩形ABCD的面积S为0。
当4<b≤6时,直线扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积(如图1),
在 y=-2x+b中,令x=2,得y=-4+b,则E(2,-4+b),
令y=0,即-2x+b=0,解得x=,则F(,0)。
∴AF=,AE=-4+b。
∴S=。
当6<b≤12时,直线扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA的面积(如图2),
在 y=-2x+b中,令y=0,得x=,则G(,0),
令y=2,即-2x+b=2,解得x=,则H(,2)。
∴DH=,AG=。AD=2
∴S=。
当12<b≤14时,直线扫过矩形ABCD的面积S为五边形DMNBA的面积=矩形ABCD的面积-△CMN的面积(如图3)
在 y=-2x+b中,令y=2,即-2x+b=2,解得x=,则M(,0),
令x=6,得y=-12+b,,则N(6,-12+b)。
∴MC=,NC=14-b。
∴S=。
当b>14时,直线扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积,面积为民8。
综上所述。S与b的函数关系式为:
。
【考点】直线平移的性质,相似三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,直线与圆相切的性质,勾股定理,解一元二次方程,矩形的性质。
【分析】(1)①∵直线y=-2x+b (b≥0)经过圆心M(4,2),
∴2=-2×4+b,解得b=10。
②如图,作点M垂直于直线y=-2x+b于点P,过点
P作PH∥x轴,过点M作MH⊥PH,二者交于点H。设直线y=-2x+b与x,y轴分别交于点A,B。
则由△OAB∽△HMP,得。
∴可设直线MP的解析式为。
由M(4,2),得,解得。∴直线MP的解析式为。
联立y=-2x+b和,解得。
∴P()。
由PM=2,勾股定理得,,化简得。
解得。
(2)求出直线经过点A、B、C、D四点时b的值,从而分0≤b≤4,4<b≤6,6<b≤12,12<b≤14,b>14五种情况分别讨论即可。
例8.(2012广东珠海9分)如图,在等腰梯形ABCD中,ABDC,AB=3,DC=,高CE=2,对角线AC、BD交于H,平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移,分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q,分别交对角线AC于F、G;当直线RQ到达点C时,两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2,若直线MN平移的速度为1单位/秒,直线RQ平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x秒.
(1)填空:∠AHB= ;AC= ;
(2)若S2=3S1,求x;
(3)设S2=mS1,求m的变化范围.
【答案】解:(1)90°;4。
(2)直线移动有两种情况:0<x<及≤x≤2。
①当0<x<时,∵MN∥BD,∴△AMN∽△ARQ。
∵直线MN平移的速度为1单位/秒,直线RQ平移的速度为2单位/秒,
∴△AMN和△ARQ的相似比为1:2。
∴。∴S2=4S1,与题设S2=3S1矛盾。
∴当0<x<时,不存在x使S2=3S1。
②当≤x≤2时,
∵AB∥CD,∴△ABH∽△CDH。
∴CH:AH=CD:AB=DH:BH=1:3。
∴CH=DH=AC=1,AH═BH=4﹣1=3。
∵CG=4﹣2x,AC⊥BD,∴S△BCD=×4×1=2
∵RQ∥BD,∴△CRQ∽△CDB。
∴。
又,
∵MN∥BD,∴△AMN∽△ADB。∴,
∴S1=x2,S2=8﹣8(2﹣x)2。
∵S2=3S1,∴8﹣8(2﹣x)2=3·x2,解得:x1=(舍去),x2=2。
∴x的值为2。
(3)由(2)得:当0<x<时,m=4,
当≤x≤2时,∵S2=mS1,
∴。
∴m是的二次函数,当≤x≤2时,即当时,m随的增大而增大,
∴当x=时,m最大,最大值为4;当x=2时,m最小,最小值为3。
∴m的变化范围为:3≤m≤4。
【考点】相似三角形的判定和性质,平移的性质,二次函数的最值,等腰梯形的性质。
【分析】(1)过点C作CK∥BD交AB的延长线于K,
∵CD∥AB,∴四边形DBKC是平行四边形。
∴BK=CD=,CK=BD。
∴AK=AB+BK=。
∵四边形ABCD是等腰梯形,∴BD=AC。
∴AC=CK。∴AE=EK=AK=2=CE。
∵CE是高,∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°。
∴∠ACK=90°。∴∠AHB=∠ACK=90°
∴AC=AK•cos45°=。
(2)直线移动有两种情况:0<x<及≤x≤2;然后分别从这两种情况分析求解:当
0<x<时,易得S2=4S1≠3S1;当 ≤x≤2时,根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方法,可求得△BCD与△CRQ的面积,继而可求得S2与S1的值,由S2=3S1,即可求得x的值;
(3)由(2)可得当0<x< 时,m=4;当≤x≤2时,可得,化为关于的二次函数,利用二次函数的性质求得m的变化范围。
例9.(2012福建福州14分)如图①,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D
的坐标;
(3) 如图②,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB
的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).
【答案】解:(1) ∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3,0)、B(4,4).
∴,解得:。
∴抛物线的解析式是y=x2-3x。
(2) 设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(4,4),
得:4=4k1,解得k1=1。
∴直线OB的解析式为y=x。
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x-m。
∵点D在抛物线y=x2-3x上,∴可设D(x,x2-3x)。
又点D在直线y=x-m上,∴ x2-3x =x-m,即x2-4x+m=0。
∵抛物线与直线只有一个公共点, △=16-4m=0,解得:m=4。
此时x1=x2=2,y=x2-3x=-2。∴ D点坐标为(2,-2)。
(3) ∵直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),
∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0,3)。
设直线A'B的解析式为y=k2x+3,过点B(4,4),
∴4k2+3=4,解得:k2=。
∴直线A'B的解析式是y=x+3。
∵∠NBO=∠ABO,∴点N在直线A'B上。
∴设点N(n,n+3),又点N在抛物线y=x2-3x上,
∴ n+3=n2-3n,解得:n1=-,n2=4(不合题意,会去)。
∴ 点N的坐标为(-,)。
如图,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,
则N1(-,-),B1(4,-4)。
∴O、D、B1都在直线y=-x上。
∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N1OB1。
∴ ==。∴点P1的坐标为(-,-)。
将△OP1D沿直线y=-x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,)。
综上所述,点P的坐标是(-,-)或(,)。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,一元二次方程根的判别式,翻折对称的性质,旋转的性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
(2) 根据已知可求出OB的解析式为y=x,则向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x-m。
由于抛物线与直线只有一个公共点,意味着联立解析式后得到的一元二次方程,其根的判别式等于0,由此可求出m的值和D点坐标。
(3) 综合利用几何变换和相似关系求解:翻折变换,将△NOB沿x轴翻折。(或用旋转)求出P点坐标之后,该点关于直线y=-x的对称点也满足题意,即满足题意的P点有两个。
练习题:
1. (2012山东枣庄3分)将直线向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为【 】
A. B. C. D.
2.(2012天津市3分)将正比例函数y=-6x的图象向上平移,则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 ▲ (写出一个即可).
3. (2011湖北随州4分)如图:矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为【 】
A、14 B、16 C、20 D、28
4. (2011云南昭通10分)如图(1)所示,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相争于点C,AD⊥EF,垂足为D。
(1)求证:∠DAC=∠BAC;
(2)若把直线EF向上平行移动,如图(2)所示,EF交⊙O于G、C两点,若题中的其它条件不变,这时与∠DAC相等的角是哪一个?为什么?
5. (2011四川广安12分)如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A(),B(),D(3,0).连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON.若抛物线经过点D、M、N.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大?并求出最大值.
6. (2011辽宁盘锦14分) 如图,直线y=x+m(m≠0)交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B且AB=
5,过点A作直线AC⊥AB交y轴于点C.点E从坐标原点O出发,以0.8个单位/秒的速度沿y轴向上运动;与此同时直线l从与直线AC重合的位置出发,以1个单位/秒的速度沿射线AB方向平行移动. 直线l在平移过程中交射线AB于点F、交y轴于点G.设点E离开坐标原点O的时间为t(t≥0)s.
(1)求直线AC的解析式;
(2)直线l在平移过程中,请直接写出△BOF为等腰三角形时点F的坐标;
(3)直线l在平移过程中,设点E到直线l的距离为d,求d与t的函数关系.
备用图
四、曲线的平移:
典型例题:
例1. (2012上海市4分)将抛物线y=x2+x向下平移2个单位,所得抛物线的表达式是 ▲ .
【答案】y=x2+x﹣2。
【考点】二次函数图象与平移变换。
【分析】根据平移变化的规律,左右平移只改变点的横坐标,左减右加。上下平移只改变点的纵坐标,下减上加。因此,将抛物线y=x2+x向下平移2个单位,所得抛物线的表达式是y=x2+x﹣2。
例2. (2012广东广州3分)将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为【 】
A.y=x2﹣1 B.y=x2+1 C.y=(x﹣1)2 D.y=(x+1)2
【答案】A。
【考点】二次函数图象与平移变换。
【分析】根据平移变化的规律,左右平移只改变横坐标,左减右加。上下平移只改变纵坐标,下减上加。因此,将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为:y=x2﹣1。故选A。
例3.(2012陕西省3分)在平面直角坐标系中,将抛物线向上(下)或向左(右)平移了m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则的最小值为【 】
A.1 B.2 C.3 D.6
【答案】B。
【考点】二次函数图象与平移变换
【分析】计算出函数与x轴、y轴的交点,将图象适当运动,即可判断出抛物线移动的距离及方向:
当x=0时,y=-6,故函数与y轴交于C(0,-6),
当y=0时,x2-x-6=0, 解得x=-2或x=3,即A(-2,0),B(3,0)。
由图可知,函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点,故|m|的最小值为2。故选B。
例5.(2012甘肃兰州4分)抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移过程正确的是【 】
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
【答案】B。
【考点】二次函数图象与平移变换。
【分析】根据“左加右减,上加下减”的原则进行解答即可:
∵y=x2,
∴平移过程为:先向左平移2个单位,再向下平移3个单位。故选B。
例6.(2012四川广安3分)如图,把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(﹣6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为
▲ .
【答案】。
【考点】二次函数图象与平移变换,平移的性质,二次函数的性质。
【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴,然后求出点P的坐标,过点P作PM⊥y轴于点M,根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积,然后求解即可:
过点P作PM⊥y轴于点M,设PQ交x轴于点N,
∵抛物线平移后经过原点O和点A(﹣6,0),∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3。
∴平移后的二次函数解析式为:y=(x+3)2+h,
将(﹣6,0)代入得出:0=(﹣6+3)2+h,解得:h=﹣。∴点P的坐标是(3,﹣)。
根据抛物线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积,
∴S=。
例7.(2012广西桂林3分)如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后,其顶点在直线上的A
处,则平移后的抛物线解析式是【 】
A.y=(x+1)2-1 B.y=(x+1)2+1 C.y=(x-1)2+1 D.y=(x-1)2-1
【答案】C。
【考点】二次函数图象与平移变换,二次函数的性质,勾股定理。
【分析】首先根据A点所在位置设出A点坐标为(m,m)再根据AO=,利用勾股定理求出m的值,
然后根据抛物线平移的性质:左加右减,上加下减可得解析式:
∵A在直线y=x上,∴设A(m,m),
∵OA= ,∴m2+m2=()2,解得:m=±1(m=-1舍去)。∴A(1,1)。
∴抛物线解析式为:y=(x-1)2+1。故选C。
例8.(2012江苏南通14分)如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B(-0,0)和C,O为坐标原点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度、再向左平移m(m>0)个单位长度,得到新抛物
线.若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;
(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长.
【答案】解:(1)将A(0,-4)、B(-2,0)代入抛物线y=x2+bx+c中,得:
,解得,。
∴抛物线的解析式:y=x2-x-4。源: ]
(2)由题意,新抛物线的解析式可表示为:,
即:。它的顶点坐标P(1-m,-1)。
由(1)的抛物线解析式可得:C(4,0)。
∴直线AB:y=-2x-4;直线AC:y=x-4。
当点P在直线AB上时,-2(1-m)-4=-1,解得:m=;
当点P在直线AC上时,(1-m)+4=-1,解得:m=-2;
又∵m>0,
∴当点P在△ABC内时,0<m< 。
(3)由A(0,-4)、B(4,0)得:OA=OC=4,且△OAC是等腰直角三角形。
如图,在OA上取ON=OB=2,则∠ONB=∠ACB=45°。
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB,
即∠ONB=∠OMB。
如图,在△ABN、△AM1B中,
∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B,
∴△ABN∽△AM1B,得:AB2=AN•AM1;
由勾股定理,得AB2=(-2)2+42=20,
又AN=OA-ON=4-2=2,
∴AM1=20÷2=10,OM1=AM1-OA=10-4=6。
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN,∴OM1=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2。
综上,AM的长为6或2。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,二次函数的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】(1)该抛物线的解析式中只有两个待定系数,只需将A、B两点坐标代入即可得解。
(2)首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式,从而用m表示出该函数的顶点坐标,将其
代入直线AB、AC的解析式中,即可确定P在△ABC内时m的取值范围。
(3)先在OA上取点N,使得∠ONB=∠ACB,那么只需令∠NBA=∠OMB即可,显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点;以y轴正半轴上的点M为例,先证△ABN、△AMB相似,然后通过相关比例线段求出AM的长。
例9.(2012北京市7分)已知二次函数在和时的函数值相等。
(1) 求二次函数的解析式;
(2) 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A,求m和k的值;
(3) 设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B在点C的左侧),将二次函数的图象在点B,C间
的部分(含点B和点C)向左平移个单位后得到的图象记为C,同时将(2)中得到的直线向上平移n个单位。请结合图象回答:当平移后的直线与图象G有公共点时,n的取值范围。
【答案】解:(1)∵二次函数在和时的函数值相等,∴二次函数图象的对称轴为。
∴,解得。
∴二次函数解析式为。
(2)∵二次函数图象经过A点,
∴,A(-3,-6)。
又∵一次函数的图象经过A点,
∴,解得。
(3)由题意可知,二次函数在点B,C间的部分图象的解析式为
,,
则向左平移后得到的图象C的解析式为,。
此时一次函数的图象平移后的解析式为。
∵平移后的直线与图象C有公共点,∴两个临界的交点为与。
∴当时,,即;
当时,,即。
∴
【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质。
【分析】(1)由二次函数在和时的函数值相等,可知二次函数图象的对称轴为,从而由对称轴公式可求得,从而求得二次函数的解析式。
(2)由二次函数图象经过A点代入可求得,从而由一次函数的图象经过A点,代入可求得。
(3)根据平移的性质,求得平移后的二次函数和一次函数表达式,根据平移后的直线与图象C有公共点,求得公共点的坐标即可。
例10.(2012广西柳州12分)如图,在△ABC中,AB=2,AC=BC=.
(1)以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系如图,请你分别写出A、B、C
三点的坐标;
(2)求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式;
(3)若D为抛物线上的一动点,当D点坐标为何值时,S△ABD=S△ABC;
(4)如果将(2)中的抛物线向右平移,且与x轴交于点A′B′,与y轴交于点C′,当平移多少个单位时,
点C′同时在以A′B′为直径的圆上(解答过程如果有需要时,请参看阅读材料).
附:阅读材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法,对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元
二次方程求解.如解方程:y4-4y2+3=0.
解:令y2=x(x≥0),则原方程变为x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3.
当x1=1时,即y2=1,∴y1=1,y2=-1.
当x2=3,即y2=3,∴y3= 3 ,y4=- 3 .
所以,原方程的解是y1=1,y2=-1,y3= 3 ,y4=- 3 .
再如 ,可设 ,用同样的方法也可求解.
【答案】解:(1)∵AB的垂直平分线为y轴,∴OA=OB=AB=×2=1。
∴A的坐标是(-1,0),B的坐标是(1,0)。
在Rt△OBC中,,∴C的坐标为(0,2)。
(2)设抛物线的解析式是:y=ax2+b,
根据题意得: ,解得: 。
∴抛物线的解析式是:。
(3)∵S△ABC=AB•OC=×2×2=2,S△ABD=S△ABC,∴S△ABD=S△ABC=1。
设D的纵坐标是m,则AB•|m|=1,∴m=±1。
当m=1时,-2x2+2=1,解得:x=±。
当m=-1时,-2x2+2=-1,解得:x=±。
∴D的坐标是:(,1)或(-,1)或(,-1),或(-,-1)。
(4)设抛物线向右平移c个单位长度,则0<c≤1,OA′=1-c,OB′=1+c。
平移以后的抛物线的解析式是:。
令x=0,解得y=-2c2+2,即OC′= +2c2+2。
当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有:OC′2=OA′•OB′,
则(-2c2+2)2=(1-c)(1+c),即(4c2-3)(c2-1)=0。
解得:c= ,(舍去),1,-1(舍去)。
故平移 或1个单位长度。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,线段垂直平分线的性质,勾股定理,平移的性质,相似三角形的判定和性质,解多元方程。
【分析】(1)根据y轴是AB的垂直平分线,则可以求得OA,OB的长度,在直角△OAC中,利用勾股
定理求得OC的长度,则A、B、C的坐标即可求解。
(2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。
(3)首先求得△ABC的面积,根据S△ABD= S△ABC,以及三角形的面积公式,即可求得D的
纵坐标,把D的纵坐标代入二次函数的解析式,即可求得横坐标。
(4)设抛物线向右平移c个单位长度,则0<c≤1,可以写出平移以后的函数解析式,当点C′同
时在以A′B′为直径的圆上时由相似三角形的性质有:OC′2=OA•OB,据此即可得到一个关于c的方程求得c的值。
练习题:
1. (2012贵州黔东南4分)抛物线y=x2﹣4x+3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为【 】
A.(4,﹣1) B.(0,﹣3) C.(﹣2,﹣3) D.(﹣2,﹣1)
2.(2012江苏宿迁3分)在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2 - 4x+3先向右平移3个单位长度,再
向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【 】
A.(-2,3) B.(-1,4) C.(1,4) D.(4,3)
3.(2012江苏扬州3分)将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物线的函数关系式是【 】
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2-2 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2-2
4.(2012湖北鄂州3分)把抛物线的图像向右平移3个单位,再向上平移2个单位,所得到的图象的解析式为,则b的值为【 】
A.2 B.4 C.6 D.8
5.(2012浙江丽水、金华10分)在直角坐标系中,点A是抛物线y=x2在第二象限上的点,连接OA,过点O作OB⊥OA,交抛物线于点B,以OA、OB为边构造矩形AOBC.
(1)如图1,当点A的横坐标为 时,矩形AOBC是正方形;
(2)如图2,当点A的横坐标为时,
①求点B的坐标;
②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2,试判断抛物线y=-x2经过平移交换后,能否经过A,B,C三点?如果可以,说出变换的过程;如果不可以,请说明理由.
6.(2012福建三明12分)已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B,抛物线的顶点M在直线AB上,且抛物线与直线AB的另一个交点为N.
(1)如图①,当点M与点A重合时,求:
①抛物线的解析式;(4分)
②点N的坐标和线段MN的长;(4分)
(2)抛物线在直线AB上平移,是否存在点M,使得△OMN与△AOB相似?若存在,
直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(4分)
7. (2011广西崇左14分)已知抛物线y=x2+4x+m(m为常数)经过点(0,4).
(1) 求m的值;
(2) 将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线.已知平移后的抛物线满足下述两个条件:的
对称轴(设为直线l2)与平移前的抛物线的对称轴(设为直线l1)关于y轴对称;它所对应的函数的最小值为-8.
① 试求平移后的抛物线的解析式;
② 试问在平移后的抛物线上是否存在点P,使得以3为半径的圆P既与x轴相切,又与直线l2
相交?若存在,请求出点P的坐标,并求出直线l2被圆P所截得的弦AB的长度;若不存在,请说明理由.
8. (2011山东枣庄10分)如图,在平面直角坐标系中,把抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线.所得抛物线与轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与轴交于点C,顶点为D.
(1)写出的值;
(2)判断△ACD的形状,并说明理由;
(3)在线段AC上是否存在点M,使△AOM∽△ABC?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
9. (2011内蒙古呼和浩特12分)已知抛物线的图象向上平移个单位(
)得到的新抛物线过点(1,8).
(1)求的值,并将平移后的抛物线解析式写成的形式;
(2)将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻
折到x轴上方,与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数的解析式,并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图,同时写出该函数在≤时对应的函数值的取值范围;
(3)设一次函数,问是否存在正
整数使得(2)中函数的函数值时,对应的的值为,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
10. (2011四川绵阳12分)已知抛物线y = x2-2x + m-1与x轴只有一个交点,且与y轴交于A点,如图,设它的顶点为B.
(1)求m的值;
(2)过A作x轴的平行线,交抛物线于点C,求证:△ABC是等腰直角三角形;
(3)将此抛物线向下平移4个单位后,得到抛物线C′,且与x轴的左半轴
交于E点,与y轴交于F点,如图.请在抛物线C′上求点P,使得△EFP是以
EF为直角边的直角三角形.
五、三角形的平移:
典型例题:
例1. (2012湖北孝感3分)如图,△ABC在平面直角坐标系中的第二象限内,顶点A的坐标是(-2,3),
先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,再作△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2,则顶点
A2的坐标是【 】
A.(-3,2) B.(2,-3) C.(1,-2) D.(3,-1)
【答案】B。
【考点】坐标与图形的对称和平移变化。
【分析】∵将△ABC向右平移4个单位得△A1B1C1,∴A1的横坐标为-2+4=2;纵坐标不变为3;
∵把△A1B1C1以x轴为对称轴作轴对称图形△A2B2C2,∴A2的横坐标为2,纵坐标为-3。
∴点A2的坐标是(2,-3)。故选B。
例3.(2012江苏无锡2分) 如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1cm,得到△EFG,FG交AC于H,则GH的长等于 ▲ cm.
【答案】3。
【考点】直角三角形斜边上中线的性质,平移的性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】由∠ACB=90°,AB=8,D是AB的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,得AD=BD=CD=AB=4。然后由平移的性质得GH∥CD,因此△AGH∽△ADC。 ∴。
又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1cm得到的, ∴AG=4-1=3。
∴,解得GH=3。
例4.(2012湖北黄冈3分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(-2,3),B(-4,
-1),C(2,0),将△ABC平移至△A1B1C1 的位置,点A、B、C 的对应点分别是A1B1C1,若点A1 的
坐标为(3,1).则点C1 的坐标为 ▲ .
【答案】(7,-2)。
【考点】坐标与图形的平移变化。
【分析】根据A点平移后的坐标变化,确定三角形的平移方法,得到C点的平移方法:
由A(-2,3)平移后点A1的坐标为(3,1),可得A点横坐标加5,纵坐标减2,
则点C的坐标变化与A点的变化相同,故C1(2+5,0-2),即(7,-2)。
例5.(2012浙江义乌3分)如图,将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD的周长为【 】
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】C。
【考点】平移的性质。
【分析】根据题意,将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF,
∴AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC。
又∵AB+BC+AC=8,
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10。故选C。
例6(2012贵州安顺12分)在如图所示的方格图中,我们称每个小正方形的顶点为“格点”,以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”,根据图形,回答下列问题.
(1)图中格点△A′B′C′是由格点△ABC通过怎样的变换得到的?
(2)如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(﹣3,4),请写出格点△DEF各顶点的坐标,并求出△DEF的面积.
【答案】解:(1)图中格点△A′B′C′是由格点△ABC向右平移7个单位长度得到的;
(2)如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(﹣3,4),则格点△DEF各顶点的坐标分别为D(0,﹣2),E(﹣4,﹣4),F(3,﹣3),
过点F作FG∥x轴,交DE于点G,
则G(-2,-3)。
∴S△DEF=S△DGF+S△GEF=×5×1+×5×1=5。
【考点】作图(平移变换),网格问题,三角形的面积。
【分析】(1)直接根据图形平移的性质得到△A′B′C′即可。
(2)根据△DEF所在的格点位置写出其坐标,过点F作FG∥x轴,交DE于点G,,再根据三角形的面积公式求解。
例7.(2012浙江温州8分)如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,将△ABC沿射线BC方向平移10cm,得到△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连结AD,求证:四边形ACFD是菱形。
【答案】证明:由平移变换的性质得,CF=AD=10,DF=AC。
∵∠B=90°,AB=6,BC=8,
∴。
∴AC=DF=AD=CF=10。∴四边形ACFD是菱形。
【考点】平移的性质,勾股定理,菱形的判定。
【分析】根据平移的性质可得CF=AD=10,DF=AC,再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10,就可以根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论。
例8.(2012湖南湘潭8分)如图,△ABC是边长为3的等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合,得到△DCE,连接BD,交AC于F.
(1)猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论;
(2)求线段BD的长.
【答案】解:(1)AC⊥BD。证明如下:
∵△DCE由△ABC平移而成,∴△DCE≌△ABC。
又∵△ABC是等边三角形,∴BC=CD=CE=DE,∠E=∠ACB=60°。
∴∠DBC=∠BDC=30°。∴∠BDE=90°。∵BD⊥DE,
∵∠E=∠ACB=60°,∴AC∥DE。∴BD⊥AC。
(2)在Rt△BED中,∵BE=6,DE=3,∴。
【考点】等边三角形的性质,平移的性质,三角形内角和定理,平行的判定和性质,勾股定理。
【分析】(1)由平移的性质可知△DCE≌△ABC。故可得出BD⊥DE,由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE,故可得出结论。
(2)在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长。
例9.(2012广西北海12分)如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A(-2,0)、
B(0,1)、C(d,2)。
(1)求d的值;
(2)将△ABC沿x轴的正方向平移,在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图
像上。请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式;
(3)在(2)的条件下,直线B′C′交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P,
使得四边形PGMC′是平行四边形。如果存在,请求出点M和点P的坐标;如果不存在,请说明理由。
【答案】解:(1)作CN⊥x轴于点N。
在Rt△CNA和Rt△AOB中,
∵NC=OA=2,AC=AB
∴Rt△CNA≌Rt△AOB(HL)。
∴AN=BO=1,NO=NA+AO=3,
又∵点C在第二象限,∴d=-3。
(2)设反比例函数为,点C′和B′在该比例函数图像上,
设C′(c,2),则B′(c+3,1)。
把点C′和B′的坐标分别代入,得k=2 c;k=c+3。
∴2 c=c+3,c=3,则k=6。∴反比例函数解析式为。
得点C′(3,2);B′(6,1)。
设直线C′B′的解析式为y=ax+b,把C′、B′两点坐标代入得,解得。
∴直线C′B′的解析式为。
(3)设Q是G C′的中点,由G(0,3),C′(3,2),得点Q的横坐标为,点Q的纵坐标为
2+。∴Q(,)。
过点Q作直线l与x轴交于M′点,与的
图象交于P′点,若四边形P′G M′ C′是平行四边形,则有P′Q=Q M′,易知点M′的横坐标大于,点P′的横坐标小于。
作P′H⊥x轴于点H,QK⊥y轴于点K,P′H与QK交于点E,作QF⊥x轴于点F,
则△P′EQ≌△QFM′ 。
设EQ=FM′=t,则点P′的横坐标x为,点P′的纵坐标y为,
点M′的坐标是(,0)。
∴P′E=。
由P′Q=QM′,得P′E2+EQ2=QF2+FM′2,∴,
整理得:,解得(经检验,它是分式方程的解)。
∴,,。
∴P′(,5),M′(,0),则点P′为所求的点P,点M′为所求的点M。
【考点】反比例函数综合题,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,平行四边形的和性质,勾股定理,解分式方程和二元一次方程组。
【分析】(1)作CN⊥x轴于点N,由Rt△CNA≌Rt△AOB即可求得d的值。
(2)根据平移的性质,用待定系数法求出反比例函数和直线B′C′的解析式。
(3)根据平行四边形对角线互相平分的性质,取G C′的中点Q,过点Q作直线l与x轴交于M′点,与的图象交于P′点,求出P′Q=Q M′的点M′和P′的坐标即可。
例10.(2012甘肃兰州12分)如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点B(0,4),∴c=4。
∵顶点在直线x=上,∴,解得。
∴所求函数关系式为。
(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴。
∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5。
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),
当x=5时,;
当x=2时,。
∴点C和点D都在所求抛物线上。
(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,
则,解得,。∴直线CD对应的函数关系式为。
当x=时,。∴P()。
(4)∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD。
∴,即,得。
设对称轴交x于点F,则。
∵,
,
(0<t<4)。
∵,,0<<4,
∴当时,S取最大值是。此时,点M的坐标为(0,)。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,菱形的性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)根据抛物线y=x2+bx+c经过点B(0,4),以及顶点在直线x=上,得出b,c即可。
(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出x=5或2时,y的值即可。
(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式,当x=时,求出y即可。
(4)利用MN∥BD,得出△OMN∽△OBD,进而得出,得到,从而表示出△PMN的面积,利用二次函数最值求出即可。
练习题:
1. (2012福建莆田4分)如图,△A’B’C’是由ABC沿射线AC方向平移2 cm得到,若AC=3cm,则
A’C= ▲ cm.
2.(2012山东聊城3分)如图,在方格纸中,△ABC经过变换得到△DEF,正确的变换是【 】
A.把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°,再向下平移2格
B.把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°,再向下平移5格
C.把△ABC向下平移4格,再绕点C逆时针方向旋转180°
D.把△ABC向下平移5格,再绕点C顺时针方向旋转180°
3.(2012宁夏区3分)如图,将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1.若BC=3, ,则BB1= ▲ .
4.(2012湖北宜昌3分)如图,在10×6的网格中,每个小方格的边长都是1个单位,将△ABC平移到△DEF的位置,下面正确的平移步骤是【 】
A.先把△ABC向左平移5个单位,再向下平移2个单位
B.先把△ABC向右平移5个单位,再向下平移2个单位
C.先把△ABC向左平移5个单位,再向上平移2个单位
D.先把△ABC向右平移5个单位,再向上平移2个单位
5.(2012辽宁铁岭3分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC经过平移后点A的对应点为点A′,则平移
后点B的对应点B′的坐标为 ▲ .
6. (2012山东济南3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,将△ABC沿CB向右平移得到△DEF,若平移距离为2,则四边形ABED的面积等于 ▲ .
7. (2011山西省9分)如图(1),Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F
(1)求证:CE=CF.
(2)将图(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置,使点E′落在BC边上,其它条件不变,如图(2)所示.试猜想:BE′与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.
8.(2011广东珠海7分)如图,Rt△OAB中,∠OAB=90°,O为坐标
原点,边OA在轴上,OA=AB=1个单位长度.把Rt△OAB沿轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B.
(1)求以A为顶点,且经过点B1的抛物线的解析式;
(2) 若(1)中的抛物线与OB交于点C,与 轴交于点D,
求点D、C的坐标.
六、四边形的平移:
典型例题:
例1. (2012山东青岛3分)如图,将四边形ABCD先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,那么点
A的对应点A1的坐标是【 】
A.(6,1) B.(0,1) C.(0,-3) D.(6,-3)
【答案】B。
【考点】坐标与图形的平移变化。
【分析】∵四边形ABCD先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,
∴点A也先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,
∴由A(3,-1)可知,A′坐标为(0,1)。故选B。
例2.(2012江西省8分)如图,等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中,已知A(-2,0)、B(6,0)、D(0,3),反比例函数的图象经过点C.
(1)求点C坐标和反比例函数的解析式;
(2)将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后,使点B恰好落在双曲线上,求m的值
【答案】解:(1)过点C作CE⊥AB于点E,
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AD=BC,DO=CE。
∴△AOD≌△BEC(HL)。∴AO=BE=2。
∵BO=6,∴DC=OE=4,∴C(4,3)。
设反比例函数的解析式为(k≠0),
∵反比例函数的图象经过点C,∴,解得k=12;
∴反比例函数的解析式为。
(2)将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后得到梯形A′B′C′D′,
∴点B′(6,m),
∵点B′(6,m)恰好落在双曲线上,
∴当x=6时,。
即m=2。
【考点】反比例函数综合题,等腰梯形的性质,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质。
【分析】(1)C点的纵坐标与D的纵坐标相同,过点C作CE⊥AB于点E,则△AOD≌△BEC,即可求得BE的长度,则OE的长度即可求得,即可求得C的横坐标,然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。
(2)得出B′的坐标是(6,m),代入反比例函数的解析式,即可求出答案。
例3.(2012重庆市12分)已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为BC边上一点,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.
(1)当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时,求BE的长;
(2)将(1)问中的正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG,当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B′EFG的边EF与AC交于点M,连接B′D,B′M,DM,是否存在这样的t,使△B′DM是直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)问的平移过程中,设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.
【答案】解:(1)如图①,设正方形BEFG的边长为x,
则BE=FG=BG=x。
∵AB=3,BC=6,∴AG=AB﹣BG=3﹣x。
∵GF∥BE,∴△AGF∽△ABC。
∴,即。
解得:x=2,即BE=2。
(2)存在满足条件的t,理由如下:
如图②,过点D作DH⊥BC于H,
则BH=AD=2,DH=AB=3,
由题意得:BB′=HE=t,HB′=|t﹣2|,EC=4﹣t,
∵EF∥AB,∴△MEC∽△ABC。
∴,即。∴ME=2﹣t。
在Rt△B′ME中,B′M2=ME2+B′E2=22+(2﹣t)2=t2﹣2t+8。
在Rt△DHB′中,B′D2=DH2+B′H2=32+(t﹣2)2=t2﹣4t+13。
过点M作MN⊥DH于N,则MN=HE=t,NH=ME=2﹣t,
∴DN=DH﹣NH=3﹣(2﹣t)=t+1。
在Rt△DMN中,DM2=DN2+MN2=(t+1)2+ t 2=t2+t+1。
(Ⅰ)若∠DB′M=90°,则DM2=B′M2+B′D2,
即t2+t+1=(t2﹣2t+8)+(t2﹣4t+13),解得:t=。
(Ⅱ)若∠B′MD=90°,则B′D2=B′M2+DM2,
即t2﹣4t+13=(t2﹣2t+8)+(t2+t+1),解得:t1=﹣3+,t2=﹣3﹣(舍去)。
∴t=﹣3+。
(Ⅲ)若∠B′DM=90°,则B′M2=B′D2+DM2,
即t2﹣2t+8=(t2﹣4t+13)+(t2+t+1),此方程无解。
综上所述,当t=或﹣3+时,△B′DM是直角三角形;
(3)。
【考点】相似三角形的判定和性质,勾股定理和逆定理,正方形的性质,直角梯形的性质,平移的性质。
【分析】(1)首先设正方形BEFG的边长为x,易得△AGF∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得BE的长。
(2)首先由△MEC∽△ABC与勾股定理,求得B′M,DM与B′D的平方,然后分别从若∠DB′M、
∠DB′M和∠B′DM分别是直角,列方程求解即可。
(3)分别从,, 和时去分析求解即可求得答案:
①如图③,当F在CD上时,EF:DH=CE:CH,
即2:3=CE:4,∴CE=。
∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣。
∵ME=2﹣t,∴FM=t,
∴当时,S=S△FMN=×t×t=t2。
②如图④,当G在AC上时,t=2,
∵EK=EC•tan∠DCB= ,
∴FK=2﹣EK=﹣1。
∵NL=,∴FL=t﹣,
∴当时,S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣(t﹣)(﹣1)=。
③如图⑤,当G在CD上时,B′C:CH=B′G:DH,
即B′C:4=2:3,解得:B′C=,
∴EC=4﹣t=B′C﹣2=。∴t=。
∵B′N=B′C=(6﹣t)=3﹣t,
∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1。
∴当时,S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×(t﹣1+t)﹣(t﹣)(﹣1)
=。
④如图⑥,当时,
∵B′L=B′C=(6﹣t),EK=EC=(4﹣t),
B′N=B′C=(6﹣t)EM=EC=(4﹣t),
∴S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=。
综上所述:。
例4.(2012江苏宿迁12分)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知直线l1:y=x与直线l2:y=-x+6相交于点M,直线l2与x轴相较于点N.
(1) 求M,N的坐标;
(1) 在矩形ABCD中,已知AB=1,BC=2,边AB在x轴上,矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个
单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t(从点B与点O重合时开始计时,到点A与点N重合时计时结束)。直接写出S与自变量t之间的函数关系式(不需要给出解答过程);
(2) 在(2)的条件下,当t为何值时,S的值最大?并求出最大值.
【答案】解:(1)解得。∴M的坐标为(4,2)。
在y=-x+6中令y=0得x=6,∴N的坐标为(6,0)。
(2)S与自变量t之间的函数关系式为:
①当0≤t≤1时,矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积(不含t=0),三角形的底为t,高为,∴。
②当1<t≤4时,矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积,梯形的上底为,下底为,高为1。∴。
③当4<t≤5时,矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为两梯形面积的和,第一个梯形的上底为,下底为2,高为;第二个梯形的上底为-t +6,下底为2,高为。
∴。
④当5<t≤6时,矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积,梯形的上底为
6-t ,下底为7-t,高为1。∴。
⑤当6<t≤7时,矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积(不含t=7),三角形的底为7-t,高为7-t,∴。
(3)分别讨论各分段函数的最大值而得所求。
例5.(2012四川达州12分)如图1,在直角坐标系中,已知点A(0,2)、点B(-2,0),过点B和线
段OA的中点C作直线BC,以线段BC为边向上作正方形BCDE.
(1)填空:点D的坐标为( ),点E的坐标为( ).
(2)若抛物线经过A、D、E三点,求该抛物线的解析式.
(3)若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移,直至正方形的顶点E
落在y轴上时,正方形和抛物线均停止运动.
①在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为s,求s关于平移时间t(秒)的函数关系式,
并写出相应自变量t的取值范围.
②运动停止时,求抛物线的顶点坐标.
【答案】解:(1)D(-1,3),E(-3,2)。
(2)抛物线经过(0,2)、(-1,3)、(-3,2),则
,解得 。∴抛物线的解析式为
(3)①求出端点的时间:
当点D运动到y轴上时,如图1,DD1=DC=BC =,t=。
当点B运动到y轴上时,如图2,BB1=BC=,t=。
当点E运动到y轴上时,如图2,EE1=ED+DE1=,t=。
当0<t≤时,如图4,正方形落在y轴右侧部分的面积为△CC′F的面积,设D′C′交y轴于点F。
∵tan∠BCO==2,∠BCO=∠FCC′,
∴tan∠FCC′=2, 即=2。
∵CC′=t,∴FC′=2t。
∴S△CC′F=CC′·FC′=t×t=5 t2。
当<t≤1时,如图5,正方形落在y轴右侧部分的面积为直角梯形CC′D′G的面积,设D′E′交y轴于点G,过G作GH⊥B′C′于H。
∵GH=BC=,∴CH=GH=。
∵CC′=t,∴HC′= GD′=t-。
∴
当1<t≤时,如图6,正方形落在y轴右侧部分的面积为五边形B′C′D′MN的面积,设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N。
∵CC′=t,B′C′=,
∴CB′=t-。∴B′N=2CB′=t-。
∵B′E′=,∴E′N=B′E′-B′N=-t。
∴E′M=E′N= (-t)。
∴。
∴。
综上所述,S与x的函数关系式为:
。
②当点E运动到点E′时,运动停止,如图7所示。
∵∠CB′E′=∠BOC=90°,∠BCO=∠B′CE′,
∴△BOC∽△E′B′C。∴。
∵OB=2,B′E′=BC=,∴。
∴CE′=。
∴OE′=OC+CE′=1+。∴E′(0,)。
由点E(-3,2)运动到点E′(0,),可知整条抛物线向右平移了3个单位,向上平移了个单位。
∵,∴原抛物线顶点坐标为()
∴运动停止时,抛物线的顶点坐标为()。
例6.(2012江西南昌6分)如图,等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中,已知A(﹣2,0)、B(6,0)、D(0,3),反比例函数的图象经过点C.
(1)求点C的坐标和反比例函数的解析式;
(2)将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后,问点B是否落在双曲线上?
【答案】解:(1)过点C作CE⊥AB于点E,
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AD=BC,DO=CE。
∴△AOD≌△BEC(HL)。∴AO=BE=2。
∵BO=6,∴DC=OE=4,∴C(4,3)。
设反比例函数的解析式为(k≠0),
∵反比例函数的图象经过点C,
∴,解得k=12;
∴反比例函数的解析式为。
(2)将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后得到梯形A′B′C′D′,则点B′(6,2)。
∵当x=6时,,∴即点B′恰好落在双曲线上。
【考点】反比例函数综合题,等腰梯形的性质,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质。
【分析】(1)C点的纵坐标与D的纵坐标相同,过点C作CE⊥AB于点E,则△AOD≌△BEC,即可求得BE的长度,则OE的长度即可求得,即可求得C的横坐标,然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。
(2)将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后,点B向上平移2个单位长度得到的点的坐标即可得到,代入函数解析式判断即可。
例7.(2012江苏苏州9分)如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD
以1cm/s的速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合.在移动过程中,边AD始终与边FG重合,
连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm,矩形EFGH
的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x(s),线段GP的长为y(cm),其中
0≤x≤2.5.
⑴试求出y关于x的函数关系式,并求出y =3时相应x的值;
⑵记△DGP的面积为S1,△CDG的面积为S2.试说明S1-S2是常数;
⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长.
【答案】解:(1)∵CG∥AP,∴∠CGD=∠PAG,则。∴。
∵GF=4,CD=DA=1,AF=x,∴GD=3-x,AG=4-x。
∴,即。∴y关于x的函数关系式为。
当y =3时,,解得:x=2.5。
(2)∵,
∴为常数。
(3)延长PD交AC于点Q.
∵正方形ABCD中,AC为对角线,∴∠CAD=45°。
∵PQ⊥AC,∴∠ADQ=45°。
∴∠GDP=∠ADQ=45°。
∴△DGP是等腰直角三角形,则GD=GP。
∴,化简得:,解得:。
∵0≤x≤2.5,∴。
在Rt△DGP中,。
【考点】正方形的性质,一元二次方程的应用,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】(1)根据题意表示出AG、GD的长度,再由可解出x的值。
(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S2,然后作差即可。
(3)延长PD交AC于点Q,然后判断△DGP是等腰直角三角形,从而结合x的范围得出x的值,在Rt△DGP中,解直角三角形可得出PD的长度。
练习题:
1. (2011江苏徐州2分)如图,将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移,使点A移至线段AC的中点A′处,得新正方形A′B′C′D′,新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是【 】
A. B. C.1 D.
2.(2011辽宁葫芦岛3分)两个全等的梯形纸片如图(1)摆放,将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图(2).已知AD=4,BC=8,若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的,则图(2)中平移距离A′A= ▲ .
3.(2012辽宁本溪14分)如图,已知抛物线y=ax²+bx+3经过点B(-1,0)、C(3,0),交y轴于点A,将线段OB绕点O顺时针旋转90°,点B的对应点为点M,过点A的直线与x轴交于点D(4,0).直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合,∠FEH=90°,EF∥HG,EF=EH=1。直角梯形EFGH从点D开始,沿射线DA方向匀速运动,运动的速度为1个长度单位/秒,在运动过程中腰FG与直线AD始终重合,设运动时间为t秒。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当t为何值时,以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形;
(3)作点A关于抛物线对称轴的对称点A′,直线HG与对称轴交于点K,当t为何值时,以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形。请直接写出符合条件的t值。
4.(2012辽宁丹东14分)已知抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,点A的坐标是(-1,0),O是坐标原点,且.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)直接写出直线BC的函数表达式;
(3)如图1,D为y轴的负半轴上的一点,且OD=2,以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF
以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动,在运动过程中,设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s,运动的时间为t秒(0<t≤2).
求:①s与t之间的函数关系式;
②在运动过程中,s是否存在最大值?如果存在,直接写出这个最大值;如果不存在,请
说明理由.
(4)如图2,点P(1,k)在直线BC上,点M在x轴上,点N在抛物线上,是否存在以A、M、
N、P为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由.
5.(2012贵州安顺14分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.
①移动开始后第t秒时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.
②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.
6.(2011广东台山10分)如图,正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为,对角线BD、FH都在直线L上,O1、O2分别是正方形的中心,线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距。当中心O2在直线L上平移时,正方形EFGH也随平移,在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变。
(1)计算:O1D= ,O2F= 。
(2)当中心O2在直线L上平移到两个正方
形只有一个公共点时,中心距O1O2= 。
(3)随着中心O2在直线L上的平移,两个正方形的公共
点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取 值范围(不必写出计算过程)。
五、圆的平移:
典型例题:
例1. (2012福建厦门4分)如图,已知∠ABC=90°,AB=πr,BC=,半径为r的⊙O从点A出发,沿A→B→C方向滚动到点C时停止.请你根据题意,在图上画出圆心O运动路径的示意图;圆心O运动的路程是 ▲ .
【答案】2πr。
【考点】作图题,弧长的计算。
【分析】根据题意画出图形,将运动路径分为三部分:OO1,O1O2 ,O2O3,分别计算出各部分的长再相加即可:
圆心O运动路径如图:
∵OO1=AB=πr;O1O2 =;O2O3=BC= ,
∴圆心O运动的路程是πr++ =2πr。
【注:本题实质是圆心的平移,圆是滚动】
例2.(2012黑龙江大庆8分) 已知半径为1cm的圆,在下面三个图中AC=10cm,AB=6cm,BC=8cm,在图2中∠ABC=90°.
(1)如图1,若将圆心由点A沿AC方向运动到点C,求圆扫过的区域面积;
(2)如图2,若将圆心由点A沿ABC方向运动到点C,求圆扫过的区域面积;
(3)如图3,若将圆心由点A沿ABCA方向运动回到点A.
则I)阴影部分面积为_ ___;Ⅱ)圆扫过的区域面积为__ __.
【答案】解:(1)由题意得,圆扫过的面积=DE×AC+πr2=(20+π)cm2。
(2)圆扫过的区域面积=AB的面积+BC的面积-一个圆的面积。
结合(1)的求解方法,可得所求面积
=(2r×AB+πr2)+(2r×BC+πr2)﹣πr2=2r(AB+BC)+πr2=(28+π)cm2。
(3)I) cm2;Ⅱ)(+π)cm2。
例3.(2011四川攀枝花12分)如图(Ⅰ),在平面直角坐标系中,⊙O′是以点O′(2,﹣2)为圆心,半径为2的圆,⊙O″是以点O″(0,4)为圆心,半径为2的圆.
(1)将⊙O′竖直向上平移2个单位,得到⊙O1,将⊙O″水平向左平移1个单位,得到⊙O2如图(Ⅱ),分别求出⊙O1和⊙O2的圆心坐标.
(2)两圆平移后,⊙O2与y轴交于A、B两点,过A、B两点分别作⊙O2的切线,交x轴与C、D两点,求△O2AC和△O2BD的面积.
【答案】解:(1)∵﹣2+2=0,∴点O1的坐标为:(2,0)。
∵0﹣1=﹣1,∴点O2的坐标为:(﹣1,4)。
(2)如图,连接O2A,O2B,
∵⊙O2的半径为2,圆心O2到y轴的距离是1,
∴∠O2AB=∠O2BA=30°。
∴AB=2×2cos30°=2,
∴点A、B的坐标分别为A(0,4﹣),B(0,4+)。
∵AC,BD都是⊙O2的切线,∴∠OAC=180°﹣90°﹣30°=60°,∠OBD=90°﹣30°=60°。
∴AC=(4﹣)÷cos60°=8﹣2,BD=(4+)÷cos60°=8+2。
∴S△O2AC=×AC×O2A=×(8﹣2)×2=8﹣2,
S△O2BD=×BD×O2B=×(8+2)×2=8+2。
【考点】切线的性质,坐标与图形的平移变化,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。
【分析】(1)根据“左减右加,下减上加”的规律对点O′,O″的坐标进行平移即可得到点O1,O2的坐标。
(2)先求出点A、B的坐标,然后连接O2A,O2B,根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半得出∠O2AB=∠O2BA=30°,又AC与BD是圆的切线,然后求出∠OAC=∠OBD=60°,利用特殊角的三角函数与点A,B的坐标即可求出AC、BD的长,最后代入三角形的面积公式进行计算即可。
练习题:
1.(2011广西河池3分)如图,已知点A(1,0)、B(7,0),⊙A、⊙B的半径分别为1和2,将⊙A沿
轴向右平移3个单位,则此时该圆与⊙B的位置关系是【 】
A.外切 B.相交 识 C.内含 D.外离
2.(2011广东省6分)如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-4,0),⊙P的半径为2,将⊙P沿轴向右平移4个单位长度得⊙P1.
(1)画出⊙P1,并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系;
(2)设⊙P1与轴正半轴,轴正半轴的交点分别为A,B,求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积(结果保留π).
相关文档
- 中考物理真题透镜及其应用培优训练2021-05-1019页
- 平面几何有关三角形五心的经典考题2021-05-108页
- 中考英语专题训练阅读理解2021-05-1031页
- (云南专版)2020届中考生物 教材考点2021-05-107页
- 2019年中考英语三项模拟试题2(无答2021-05-104页
- 2017年度中考数学(猜想、规律与探索2021-05-1015页
- 2020中考化学真题分类汇编 专题分2021-05-105页
- 2013年舟山市数学中考卷2021-05-107页
- 2017年度高考英语快速命中考点132021-05-104页
- 2018北京中考一模物理整理之力学计2021-05-108页