2017年度中考数学（猜想、规律与探索）押轴题专练1 15页

‎ 猜想、规律与探索 一 选择题 ‎1.一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）‎ ‎ A．(4，O) B.(5，0) C．(0，5) D．(5，5)‎ ‎【解题思路】方法一、在演草纸上按规律去画。方法二、根据题意，结合图形我们可以发现第n（n+2）秒时跳蚤所在位置的坐标是，35= 5（5+2）所以要求坐标为(5，0)。‎ ‎【答案】B ‎【点评】本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析，如果次数较少可按规律一次去画。难度中等。‎ ‎2.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，1)，B(1，－1)，C(－1，－1)，D(－1，1)，y轴上有一点P(0，2)．作点P关于点A的对称点P1，作点P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作点P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作点P5关于点B的对称点P6，…，按此规律下去，则点P2011的坐标为( )‎ A．(0，2) B．(2，0) C．(0，－2) D．(－2，0)‎ ‎【解题思路】P1(2，0)，P2(0，－2)，P3(－2，0)，P4与P重合．题中所述点列P1→P2→P3→P4→P5→…是循环的，循环节是．P1→P2→P3→P．∵2011＝502×4＋3，∴P2011是循环点列中第503节的第三个点，即是P3．‎ ‎【答案】D ‎【点评】此题考查探索、归纳和猜想的能力．探索应从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象进行，难度较大．‎ 对点（x，y ）的一次操作变换记为P1（x，y ），定义其变换法则如下：P1（x，y ）=（，）；且规定（为大于1的整数）．如P1（1，2 ）=（3，），P2（1，2 ）= P1（P1（1，2 ））= P1（3，）=（2，4），P3（1，2 ）= P1（P2（1，2 ））= P1（2，4）=（6，）．则P2011（1，）=（ ）‎ A．（0,21005 ） B．（0,-21005 ） C．（0,-21006） D．（0,21006） ‎ ‎【解题思路】：P1（1，）=(0,2)；P2（1，）=P1(0,2)=(2，)；P3（1，）=P1（P2(1, )=P1(2，)=(0,4)；……由此可知当n为奇数数时，横坐标为0，纵坐标为2，所以P2011（1，）=（0,21006）‎ ‎【答案】D．‎ ‎【点评】：本题是规律探究性问题，解题时先从较简单的特例入手，从中探究出规律，再用得到的规律解答问题即可.本题难度较大，考查了学生分析问题的能力.也可以看作是新定义型问题.‎ 已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2010年、2012年 举办。若这三项运动会均每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办？‎ ‎(A)公元2070年 (B)公元2071年 (C)公元2072年 (D)公元2073年 ‎【分析】：三项运动会均不在下列哪一年举办，就是说该年度没有任何一项赛事。设上一次 举办年份为a，下一次举办年份为b，由于每4年举办一次，只要b-a不能被4整除，既可. ‎ ‎【答案】：B ‎【点评】：本题间接考查规律的探寻，数据的推理等内容。难度中等 ‎2.平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，则n的值为 ‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ ‎【解题思路】由=21，得n1=7，n2=－6（舍去）.‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题考查了平面上不重合的n个点确定的直线条数，得出方程,解出n的值，勿忘验证解得合理性．难度中等．‎ ‎3.图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完整菱形有25个；如此下去，可铺成了一个n×n的近似正方形图案，当得到完整的菱形共181个时，n的值为（ ）‎ A. 7 B. ‎8 C. 9 D.10‎ ‎【解题思路】观察图案可以发现图①有个完整菱形；图②有个完整菱形；图③有个完整菱形；图④有个完整菱形；图⑤有个完整菱形…，所以n×n的近似正方形图案有个完整菱形，所以当时，取正整数解为 ‎【答案】D ‎【点评】本题属于规律探究问题．解决这类问题，首先从简单的图形入手，随着“序号”增加，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性结论.‎ ‎11．将正方体骰子（相对面上的点数分别为 1 和 6 、 2 和 5 、 3 和 4 ）放置于水平桌面上 ，如图 ① ．在图 ② 中，将骰子向右翻滚 90，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）‎ A．6 B．‎5 ‎‎ C．3 D．2‎ ‎【解题思路】不难看出经过一次变换后正面朝上的点数是5，经过第二次变换后正面朝上的点数是6，经过第三次变换后正面朝上的点数是3，又回到了起始位置，则三个变换一循环，10次变换即相当于第一次变换的结果故选B.‎ ‎【答案】B．‎ ‎【点评】本题主要考查了翻转、旋转的有关知识及空间想象能力.难度较大. ‎ 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A、B、C、D，轴上有一点P。作点P关于点A的对称点，作关于点B的对称点，作点关于点C的对称点，作关于点D的对称点，作点关于点A的对称点，作关于点B的对称点┅，按如此操作下去，则点的坐标为〖 〗‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【解题思路】由于点P1（2,0），P2（0，-2），P3（-2,0），P4（0,2），P5（2,0）……，P的坐标每4次就会出现重复，2011÷4=502……3，所以点的坐标为（-2,0），故选D.‎ ‎【答案】选D.‎ ‎【点评】这是一道规律性探索题，解答本题的关键是找到点的坐标每4次就会出现重复的规律.‎ 二 填空题 将1、、、按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是 ▲ ．‎ ‎（第18题图）‎ ‎【解题思路】（5，4）表示的数从图上可以直接得到为，（15，7）表示第15排从左向右第7个数，从第1个开始数则处于个，恰好为4的倍数，所以是，两数求积化简即可．‎ ‎【答案】2．‎ ‎【点评】本题属于规律探究题．解题是关键是找到图形的排列规律和以4个数字为单位的循环规律．难度中等．‎ 一个边长为‎16 m的正方形展厅，准备用边长分别为‎1 ‎m和‎0.5 ‎m的两种正方形地板砖铺设其地面．要求正中心一块是边长为‎1 ‎m的大地板砖，然后从内到外一圈小地板砖、一圈大地板砖相间镶嵌（如图所示），则铺好整个展厅地面共需要边长为‎1 ‎m的大地板砖 ▲ 块．‎ ‎（第18题）‎ ‎【解题思路】因为正方形的边长为‎16 ‎m，所以从外到内第一圈（最外一圈）大地板砖的块数是16×2＋14×2＝60；第二圈大地板砖的块数是13×2＋11×2＝48；第三圈大地板砖的块数是10×2＋8×2＝36；第四圈大地板砖的块数是7×2＋5×2＝24；第五圈大地板砖的块数是4×2＋2×2＝12；第六圈（最里一圈）大地板砖的块数是1；所以大地板砖的块数是181．‎ ‎【答案】181．‎ ‎【点评】本题属于规律探索型试题，主要考查了正方形及相关知识．解答此类问题的关键正确探索出规律，要注意探索规律的方法．有一定难度．‎ 甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：‎ ‎①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；‎ ‎②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为____________．‎ ‎【解题思路】甲报到的数为1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、41、45、49，所以3的倍数为9、21、33、45，所以甲同学需要拍手次数为4次。‎ ‎【答案】 4 。 ‎ ‎【点评】甲、乙、丙、丁四位同学报数，四次一循环，甲报1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、41、45、49这13个数，其中，9、21、33、45是3的倍数，因此甲需要拍手次数 4次。‎ 如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 .‎ ‎……‎ ‎【解题思路】已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的=；第三个矩形的面积是=；…故第n个矩形的面积为：．‎ ‎【答案】.‎ ‎【点评】本题是一道找规律的题目，主要考查的知识点矩形的性质；菱形的性质．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．难度中等.‎ ‎2.凸n边形的对角线的条数记作，例如：，那么：①；②；③．（，用含的代数式表示）‎ ‎【解题思路】先计算出、、,再计算,,,从而找出规律,求出的值.‎ ‎【答案】①5；②4,；③n-1。‎ ‎【点评】这是规律探究问题．属于中考高频题，解答此类问题要学会寻找规律，一般情况下，要计算前3次，才能探索出一般规律，然后验证，难度较大．‎ ‎3.如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△‎ ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A‎1F1B1D‎1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B‎1C1和△D1E‎1F1各边中点，连接成正六角星形A‎2F2B2D‎2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A‎4F4B4D‎4C4E4的面积为_________________． ‎ ‎（1）‎ A1‎ B C D A F E B C D A F E B C D A F E B1‎ C1‎ F1‎ D1‎ E1‎ A1‎ B1‎ C1‎ F1‎ D1‎ E1‎ A2‎ B2‎ C2‎ F2‎ D2‎ E2‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎【解题思路】由三角形中位线性质得：A1B1：AB= 1：2，即A1B1= AB，同理可得A2B2=A1B1= AB；A3B3=A2B2= AB；A4B4=A3B3= AB，即第四个正六角星形与第一个正六角星形的边长之比为1：16，根据“相似多边形面积比等于相似比的平方”知它们的面积比为1：256 ，所以正六角星形A‎4F4B4D‎4C4E4的面积=×正六角星形AFBDCE的面积=.‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题考查从图形中探索数的规律问题.只要想到从相似多边形性质去考虑，问题将容易得解. 难度中等.‎ ‎4.‎ 如图4所示，直线OP经过点P(4, )，过x轴上的点l、3、5、7、9、11……分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S1、S2、S3……Sn则Sn关于n的函数关系式是____．‎ O ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎11‎ S1‎ S2‎ S3‎ 图4‎ x y P ‎【解题思路】先求出直线op解析式为：y=经观察可知每个小梯形的高一定为2，面积为Sn的梯形上底所在直线为x=4n-3，上底长为，下底所在直线为x=4n-1，上底长为，故梯形的面积Sn=(8n－4) ‎ ‎【答案】(8n－4)．‎ ‎【点评】本题为探究规律试题，具有一定的难度．‎ 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆．（用含 n 的代数式表示）‎ 第1个图形 第 2 个图形 第3个图形 第 4 个图形 ‎【解题思路】观察第一个图形小圆个数为：，第二个图形小圆个数为：，第三个图形小圆个数为：，……由此得出第n个图形小圆个数为：即 ‎【答案】．‎ ‎【点评】本题主要考查规律探索及由规律列代数式，解决本题的关键是发现图形中小圆个数的变化规律，难度中等. ‎ 如图（9），已知∠AOB=，在射线OA、OB上分别取点OA=OB，连结AB，在BA、BB上分别取点A、B，使B B= B A，连结A B…按此规律上去，记∠A B B ‎=，∠，…，∠‎ 则（1）= ； = 。‎ ‎【解题思路】：根据题意：OA1=OB1，△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3……是等腰三角形，已知∠AOB=，∴=1800-=;以此类推可得：=1800-（900-）……=。‎ ‎【答案】；。‎ ‎【点评】本题是规律探究性问题，是中考的热点问题之一，在已知等腰三角形的顶角的情况下，通过计算三角形的外角来探索规律。本题难度中等。‎ 观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120个★．‎ ‎【解题思路】第1个图形有1个★，第2个图形有3个★，且3＝1+2＝，第3个图形有6个★，且6＝1+2+3=，第4个图形有10个★，且10＝1+2+3+4=．则第n个图形有120个★，则第n个图形中★的个数是1+2+3+…+n＝，即＝120，整理，得n2+n－240＝0．解方程，得n1＝15，n2＝－16(不合舍去)．所以，第15个图形有120个★．‎ ‎【答案】15‎ ‎【点评】本题是规律探索问题，根据简单图形★的个数，找出图形★的个数与图形序号之间的关系，然后用代数式表示．‎ 三 解答题 ‎4.如图，在正方形ABC1D1中，AB=1，连接AC1，以AC1为边作第二个正方形AC‎1C2D2；连接AC2，以AC2为边作第三个正方形AC‎2C3D3。‎ ‎（1）求第二个正方形AC‎1C2D2和第三个正方形AC‎2C3D3的边长。‎ ‎（2）请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长。‎ ‎ ‎ ‎【解题思路】根据正方形的性质和勾股定理可求出AC1和AC2 的长，根据题意找到规律：每画一次正方形后的边长是原来的倍，第N个正方形的边长是。‎ ‎【答案】解：（1）AC1=。‎ AC2=。‎ ‎（2）每画一次正方形后的边长是原来的倍，第7个正方形的边长是=8。‎ 答：（1）第二个正方形AC‎1C2D2的边长是，第三个正方形AC‎2C3D3的边长是2。‎ ‎（2）第7个正方形的边长是8。‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理，考查学生的综合分析问题和解决问题的能力。 综观规律性中考试题，考察了学生收集数据，分析数据，处理信息的能力，考生在回答此类试题时，要体现“从特殊到一般，从抽象到具体”的思想，要从简单的情形出发，认真比较，发现规律，分析联想，归纳猜想，推出结论，一举成功。‎ 要求读者通过阅读与操作，要归纳、猜想出背景所蕴含的规律或结论。数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．中等难度。‎ ‎1.在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位.其行走路线如下图所示.‎ ‎(1)填写下列各点的坐标：A1（____，_____），A3（____，_____），A12（____，____）；‎ ‎（2)写出点An的坐标(n是正整数)；‎ ‎(3)指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向.‎ A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ A11‎ A12‎ O x y ‎1‎ ‎【解题思路】（1）由图形可直接写出A4、A8、A12坐标；（2）由（1）的结论不难确定点A4n的坐标(n是正整数)；（3）由（2）的规律可得点A100到A101的移动方向是向上的.‎ ‎【答案】解：⑴A1(0,1) A3(1,0) A12(6,0) ；⑵A4n(2n,0)；⑶由（2）的规律可知：点A100于属A4n(2n,0)类中的点，从这些点移动到下一点都是向上的，所以点A100到A101的移动方向是向上的.‎ ‎【点评】本题是在平面直角坐标系中以点的有规律的（平行）移动为情境，探究点的坐标变化规律来解决问题.问题设计的起点比较直观，完成的要求具有梯度性、上升性，符合一般的认知特点.难度中等.‎ ‎2.如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．‎ ‎1‎ ‎2 3 4‎ ‎5 6 7 8 9‎ ‎10 11 12 13 14 15 16‎ ‎17 18 19 20 21 22 23 24 25‎ ‎26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36‎ ‎ …………………………‎ ‎（1）表中第8行的最后一个数是______________，它是自然数_____________的平方，第8行共有____________个数；‎ ‎（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是___________________，最后一个数是 ‎________________，第n行共有_______________个数；‎ ‎（3）求第n行各数之和．‎ ‎【解题思路】认真阅读，发现上述规律，每行的最后的一个数式行数的平方，便可解答了。‎ ‎【答案】(1)64，8，15；‎ ‎（2）n2-2n+2，n2，(2n-1);‎ ‎（3）第n行各数之和：‎ ‎【点评】规律探究题是近几年中考的热点，本题还带有自主学习的成分，培养学生的自主学习能力应成为今后教学的重点，难度中等．‎ ‎3.‎ ‎16．观察下列算式：‎ ‎① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1 ‎ ‎② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1‎ ‎③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ‎ ‎④ ‎ ‎……‎ ‎（1）请你按以上规律写出第4个算式；‎ ‎（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；‎ ‎（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．‎ ‎【解题思路】等式的左边的第一列数恰好为序列数，第二列比第一列的数大2,第三列数是比第一列数大1的平方,第四列数比第三列数少1,第五列数恰好为第三列数 ‎【答案】解：⑴； ‎ ‎⑵答案不唯一.如； ‎ ‎ ⑶ . ‎ ‎【点评】本题是等式的规律探究题，解题的关键是观察与确定其中 的不变量与可变量，进而用序列数表示。‎ ‎5．阅读理解：‎ 同学们，我们曾经研究过n×n正方形网格，得到网格中正方形总个数的表达式为12+22+32+……+n2，但n=100时如何计算正方形总个数呢？下面我们就一起来探索并解决这个问题．首先通过探究我们知道0×1+1×2+2×3+……..+(n-1)×n=,我们可以这样做：‎ ‎（1）观察并猜想：‎ ‎12+22=（1+0）×1+（1+1）×2=1+0×1+2+1×2=（1+2）+(0×1+1×2)‎ ‎12+22+32=（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×3=1+0×1+2+1×2+3+2×3=（1+2+3）+(0×1+1×2+2×3)‎ ‎12+22+32+42=（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×3+____________‎ ‎=1+0×1+2+1×2+3+2×3+____________‎ ‎=（）+___________________________‎ ‎………………….‎ ‎（2）归纳结论 ‎12+22+32+……+n2=（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×3+……….+[1+(n-1)] n ‎ =1+0×1+2+1×2+3+2×3+……+n+(n-1) n ‎ =( )+[_____________________]‎ ‎ =_______________________+_______________________‎ ‎ =×_______________________‎ ‎（3）实践应用 通过以上探究过程，我们可以算出当n=100时，正方形网格中正方形总个数是________.‎ ‎【思路分析】通过提供材料求12+22+32+……+n2值的方法是首先将其转化为（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×3+……….+[1+(n-1)] n，再分解结合为（1+2+3+4+…….+n）+[0×1+1×2+2×3+3×4+……+(n-1)n]，最后根据已有知识及提供公式0×1+1×2+2×3+……..+(n-1)×n=合并为×．‎ ‎【答案】解：（1）观察并猜想：（1+3）×4 （0×1+1×2+2×3+3×4）‎ ‎ （2）归纳结论（1+2+3+4+…….+n）+[0×1+1×2+2×3+3×4+……+(n-1)n]、‎ ‎(1+n)n+、×‎ ‎（3）338350.‎ ‎【点评】规律性探究问题通常指根据给出的材料，观察其中的规律，再运用这种规律解决问题的一类题型. 观察的三种主要途径：（1）、式与数的特征观察；（2）、式与数的分解过程观察；（3）、转化合并推广到一般情况．‎ ‎25．如图（14.1）,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).‎ 试探究线段EF与EG的数量关系.‎ ‎ ‎ (1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 ‎ 证明:‎ (2) ‎ 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是 ‎ 证明如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 ‎ ‎(写出关系式,不必证明)‎ ‎【解题思路】：添加辅助线，构建新的直角三角形，推理证明三角形相似，利用相似关系，列比例式推出EF与EG的数量关系。‎ ‎【答案】(1)相等。如,14.2，当m=1,n=1时,△ACB是等腰直角三角形，E为AC中点，作EM⊥AB,EN⊥CD,垂足分别为M、N，EM、EN为中位线，∴△EFM≌△ENG,∴EF=EG.‎ ‎（2）EF:EG=1：n。作EM⊥AB,EN⊥CD,垂足分别为M、N，m=1, △ACB是等腰直角三角形，△EFM∽△ENG,∴EF:EG=EM:EN=AE:EC,∴EF:EG=AE:nAE=1:n.‎ ‎【点评】本题是属于图形演变、规律探索性题目，找准基础图形，作出辅助线，确定三角形全等或相似关系，列出关系式，是解题的关键。本题难度较大。‎